Bài tập hàm số lượng giác đầy đủ các dạng - Giáo viên Việt Nam

danghoa949@gmail com 1 CHUYÊN ĐỀ 7 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phần 1 Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác Ta chứng minh một Bổ đề Xác định điều kiện của a,b,c để phương trình (1) có nghiệm Điều kiện i) Điều kiện ii) Khi đó (1) Do , nên Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm là Ta vận dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (1) Giải Xác định miề[.]

CHUYÊN ĐỀ 7

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.

-Ta chứng minh một Bổ đề : Xác định điều kiện của a,b,c để phương trình:

asinx b cosx c (1) có nghiệm

.Điều kiện i) : a2 b2 0

.Điều kiện ii) : asinx b cosx c

sin

x





Do sin(x  ) 1 , nên :



Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm là :

a  b  c

Ta vận dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:

Bài 1-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

cos 2sin

2 sin

y

x





Giải

-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 2 sin x 0  x R

.Khi đó : (1) y(2 sin ) cos x  x 2sin x

Phương trình (*) có nghiệm khi : (y 2)2  1 (2 )y 2

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

3

 

3

 

+∞

f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

3

và max

3

-Bài 2-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

2 cos sin 1

2 sin cos

y



Giải

Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 2 cos sin 2 2 cos( ) 0

4

.Khi đó : (1) y(2 cos xsin ) 2cosx  x sin x 1

Phương trình (*) có nghiệm khi : (y1)2 (y 2)2 (2y1)2

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

2

 

2

 

+∞ f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

2

và max

2

-Bài 3-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

2

2

cos sin cos

1 sin

y

x





Giải

Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 1 sin 2 x0  x R

.Khi đó :

2

2

2cos 2sin cos (1)

2 2sin

y

x





1 cos 2 sin 2

3 cos 2

3 cos 2 1 cos 2 sin 2 (1 ) cos 2 sin 2 3 1 (*)

y

x



Phương trình (*) có nghiệm khi : (1y)2  1 (3y 1)2

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

4



4

 +∞

f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

4

và max

4

-Bài 4-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

y



Giải

-Xét biểu thức : sinxcosx  2 2 2 0 , nên y xác định với mọi x R -Khi đó : (1) y(sinxcosx2) sin x2cosx1

Phương trình (*) có nghiệm khi : (y 1)2 (y 2)2  (1 2 )y 2

-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 4 số :

(y 1), (y 2), sin ,x cosx

Ta có : (y 1)2 (y 2)2  (1 2 )y 2

2

2

2 0 (**)

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞ 2 1 +∞

f(y) + 0 - 0 +

Tập giá trị của y là : y  [ 2;1]

Vậy : ymin  và 2 ymax  1

-Bài 5-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

2 cos sin 4

y



Giải

-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do 2cosx sinx 4 0  x R ( sinx 1, cosx  1,  x)

.Khi đó : (1) y(2 cosx sinx4) cos x2sin x3

Phương trình (*) có nghiệm khi :

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

2

11 2 +∞ f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

2 [ ; 2]

11

y 

Hay : min

2 11

và ymax 2

-Bài 6-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

2 cos

x y





Giải

Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :

.Do sinxcosx 2 0  x R (do sinx, cosx không đồng thời bằng 1) Khi đó : (1) y(sinxcosx 2) 2 cos  x

sin ( 1) cos 2(1 ) (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi :

2

-Lập bảng xét dấu của (**)

y -∞

2

 

2

 

+∞ f(y) + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là :

Hay : min

2

và max

2

-Phần 2: Sử dụng bất đẳng thức vào tính toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

-Ta nhắc lại một số bất đẳng thức liên quan:

1-Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương :a b c    33 a b c

2-Bất đẳng thức Svasơ - Bunhiakopsky :

a).Cho 4 số thực : a2 b2 c2 d2 (ac bd )2

-Đẳng thức xảy ra khi : ( , 0)

c d

a b

a b 

b).Cho 6 số thực : a2 b2 c2 d2 e2  f2 ad be cf  2

-Đẳng thức xảy ra khi : ( , , 0)

d e f

a b c

a  b c 

-Bài 7-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

.(1)

Giải

-Biến đổi tương đương :

-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 4 số :

, được:

Hay :

22 2

y 

Vậy : max

22 2

.Đẳng thức xảy ra khi :

1 cos 2

2

x

-Bài 8-Cho cos2 xcos2 ycos2 z Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 1

y  1 cos 2 x  1 cos 2 y  1 cos 2 z (1)

Giải

-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 6 số :

1, 1, 1, cos ,2 x cos2 y, cos2 z :

Hay : y 2 3

Vậy : ymax 2 3

-Bài 9- Cho x y z , , 0 và x y z 2



Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

y  1 tan tan x y  1 tan tan y z  1 tan tan z x (1)

Giải

-Ta xét giả thiết : x y z 2



  

2

2

tan tan tan tan 1 tan tan

1 tan tan tan

tan tan tan tan tan tan 1 (*)









-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :

1, 1, 1, tan tan ,x y tan tan ,y z tan tanz x :

1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan

1 1 1 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tan

3 3 (tan tan tan tan tan tan )

Hay : y 2 3

Vậy : ymax 2 3.

-Bài 10-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :

:

2

2 2

2

1

1 (1 4) 2

x

2

Hay :

25

2

y 

Vậy : min

25 2

-Đẳng thức xảy ra khi :

sin cos

4

x x x  k

-Phần 3- Sử dụng công cụ đạo hàm

Bài 11-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y cosx  sin x.(1)

Giải

-Hàm số xác định khi : cosx 0, sinx 0.Ta khảo sát trên 0; 2



-Tính :

y'

2 cos 2 sin



y' 0

2 cos 2 sin

(sin cos )(1 sin cos ) 0

4

-Bảng biến thiên:

x

0 4



2



y’ + 0 -y

4 8

1 1

Vậy : ymin 1 và ymax 4 8

-Bài 12-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

ysinx3sin 2x.(1)

Giải

-Hàm số xác định với mọi x  R

-Tính : y' cos x6cos 2x12 cos2 xcosx 6

2 cos

3 ' 0

3 cos

4

x y

x



 



 y đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong 2 điểm đó mà y’ = 0

+Khi

Khi đó :

5 5 sin 3sin 2 sin 6sin cos

3

(*)

+Khi

Khi đó :

7 7 sin 3sin 2 sin 6sin cos

8

(**) Xét (*) và (**) cho ta : max

5 5 y

3



, khi

-Phần 4- Một số dạng khác.

Bài 13-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số :

2 2

y

 



Giải

-Ta xét biểu thức :

2 2 cos 1 2 2 cos cos2 sin2 ( cos )2 sin2 0

(do :0    ) Vậy y xác định với mọi xR

-Biến đổi tương đương :

2

Ta giải và biện luận phương trình (*):

+Khi y cos

2

x y y



Vậy nếu x     0 1 y 1 Hay : ymin  và 1 ymax 1 (a)

+Khi y cos Điều kiện có nghiệm là :

2

1 0

y y y

y



   

Vậy nếu x     0 1 y 1 Hay : ymin  và 1 ymax  1 (b)

Từ (a) , (b) Ta có : ymin  và 1 ymax  1

-Bài 14-Gọi α là một góc cho trước.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :

y tan (2 x) tan ( 2 x ).(1)

Giải

-Ta xét đẳng thức:

-Đặt a tan(x  ) , btan(x  )

-Khi đó:

2

2 cos ( ).cos ( ) 2 cos ( ).cos ( ) sin 2 sin 2

2cos ( ).cos ( ) 2(sin 2 sin 2 ) (cos 2 cos 2 )

x

x

x x

















 +Do α cho trước, nên tử thức đạt giá trị lớn nhất khi : sin 2x 0 , suy ra :

cos 2x 1

.Nếu cos 2x 1 , cos 2 0 :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng :

(1 cos 2 )   2

.Nếu cos 2x 1 , cos 2 0 :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng :

( 1 cos 2 )    2

Vậy :

+Khi cos 2 0 thì :

2

2

2sin 2

(1 cos 2 )









+Khi cos 2 0 thì :

2

2

2sin 2

(1 cos 2 )









-Bài 15-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : cos sin 3 2 1 2

sin cos

.(1)

Giải

-Ta xét 1 cos sin 3 2 2 3( )

4

.mà

3

1

4

Đẳng thức xảy ra khi :

5

cos sin sin 2

y

.mà 2 2

4

sin 2x   y 

.Đẳng thức xảy ra khi :

5

Vậy : ymin 2 2 4. ( khi :

5 4

)

Bài 16-Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của :

tan tan 1 tan tan

2 2

 

Giải

-Biến đổi tương dương :

tan tan 1 tan tan y



sin( ) cos( ) 1

2



Do đó :



 

-Do , 2 2;

 

    



-Do , 2 2;

 

    



      

Vậy : min

1 y

2





và max

1 y

2



-Bài 17 –Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của : y x 3(1 x2)

Giải

-Điều kiện : x 1, ta đặt : xsinu (2  u 2)

3

-Do

+Khi y  1 x 1.Vậy ymin  1 x1

+Khi

1 2

2

.Vậy max

1 2

2