Chuyên đề tính chất dãy tỉ số bằng nhau - Giáo viên Việt Nam

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Chuyên đề Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I – GIỚI THIỆU Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một nội dung khá hay trong chương trình học kì I Đại số 7, với nhiều biến đổi đa dạng, kiểu bài phong phú và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế Các dạng bài vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thường gặp có thể kể đến như Toán tìm số, giá trị biểu thức, chứng minh tỉ lệ thức, toán có nội dung thực tiễn Với chuyên đề này,[.]

Trang 1

Chuyên đề: Tính chất Dãy tỉ số bằng nhau

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

PHẦN I – GIỚI THIỆU

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau là một nội dung khá hay trong chương trình học kì I Đại số 7, với nhiều biến đổi đa dạng, kiểu bài phong phú và có rất nhiều ứng dụng trong thực tế Các dạng bài vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thường gặp có thể kể đến như: Toán tìm số, giá trị biểu thức, chứng minh tỉ lệ thức, toán có nội dung thực tiễn… Với chuyên đề này, người viết chỉ đưa ra một số ứng dụng điển hình của tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ở mức độ không quá phức tạp, từ dễ đến khó, phù hợp với chương trình lớp 7

Mong quý thầy cô đón đọc và cho ý kiến đóng góp để chuyên đề hoàn thiện hơn!

PHẦN II – NỘI DUNG

1 Dạng 1: Toán tìm số

Bài 1: Tìm x, y hoặc a, b biết:

a) 3x 5y và xy  32 d) 43

y

x

và 5y 3x 33 b) 109

y

x

16 9

2

a

 và 2 2 100



b a

c) 4 a 5b và b 2a  5 f) 5 x 3y và 2 2 4





 y x

Giải a) 3x 5y và xy   32

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 4

8

32 5

3 5









y x y x

Do đó: x  4 3   12 và y  4 5   20

b) 109

y

x

và y x 120

Từ 109

y

x

suy ra 9x 10y

9 10 10





 y y x x

Do đó: x  120  9 1080 và y 120 10  1200

c) 4 a 5b và b 2a  5

Từ 4 a 5b suy ra a5 b4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 5 4 4 22.5 6565









b b a a

Do đó: a 5 65256 và b 4 65 103

d) 43

y

x

và 5y 3x 33

Trang 2

Từ 43

y

x

suy ra

4 3

y x



11

33 3 3 4 5

3 5 4





x

Do đó: x  3  3 9 và y  3 4  12

e)

16

9

2

a

 và 2 2 100



b a

Phân tích: HS thường nhầm lẫn:

337

100 16

9 16

2 2 2 2







25

100 16 9 16 9

2 2 2 2







b a b a

Suy ra: 2 4 9 36



64 16 4

Theo đề bài a và b có thể cùng hoặc khác dấu nên:

a;b6 ; 8 ; 6 ;  8 ;  6 ; 8 ;  6 ;  8

f) 5 x 3y và 2 2 4





 y x

Từ 5 x 3y

25 9 5 3

2

x y x









Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

4

1 16

4 25 9 25 9

2 2 2 2











y x y x

Suy ra:

4

9 4

1 9

x

2

3





 x

y2  25 41254

2

5





 y

Theo đề bài x và y phải cùng dấu nên  





































2

5

; 2

3

; 2

5

; 2

3

; y

Chú ý: Ở câu (e) và (f) cần phải đánh giá về dấu của các biến khi kết luận.

Bài 2: Tìm x, y, z hoặc a, b, c biết:

a) ab23c và 4a 3b 2c  36 e) 2x 3y , 5y 4z và x yz  49

b) 5x 8y  20z và x y z 3

f) 207

y

x

, 85

z

y

và 2x 5y 2z  100

5

18 2

9 11

6



 và  xyz  120 g) 5x 7y 3z và 2 2 2 585





y z x

d) a21b32 c4 3

và a 2b 3c 14 h) x.y   30, y z 42 và z x   12

Giải a) a2b 3c và 4a 3b 2c 36

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: ab2 3c 9

4

36 3 2 2 3 1 4

2 3 4











Do đó: a 9, b 18, c 27

Trang 3

b) 5x  8y  20z và x y z  3

Vì BCNN(5;8;20)40 nên từ 5x  8y  20z suy ra

2 5 8

z y x



 (chia cho BCNN)

2 5 8 2 5





y z x y z x

Do đó: x  24, y 15, z  6

5

18 2

9

11

6



 và  xyz  120

5

18 2

9 11

6



18

5 9

2 6 11

z y x



(chia cho phân thức nghịch đảo)

3 4 120 18

5 9

2 6

11 18

5 9

2 6















x

Do đó: x 165, y  20, z 25

d)

4

3 3

2 2







a

và a 2b 3c 14

Phân tích: Việc áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau không phụ thuộc các chữ số ở

trên tử số

8

6 14 8

9 4 1 3 2 4

3 3 2 2

3 3 2 2 1 4

3 3

2 2

1





































a

Do đó: a 1  2  a 3; b 2  3  b 5; c 3  4  c 7

e) 2x 3y , 5y 4z và x yz  49

Phân tích: Đề bài cho 2 dãy tỉ số bằng nhau, muốn sử dụng được giả thiết thứ ba, cần

thiết lập dãy tỉ số có đủ x, y, z Để ý rằng 2 dãy tỉ số đầu cùng chứa y nên ta sẽ chọn quy đồng mẫu cho y làm trung gian giữa 2 tỉ số

Vì 2x 3y

15 10

y x



 và 5y 4z

12 15

z y



 nên: 10x 15y 12z

7

49 12

15 10 12 15















x

Suy ra: x  70, y   105, z  84

f) 207

y

x

, 85

z

y

và 2x 5y 2z  100

Phân tích: Cách làm câu (f) tương tự câu (e).

Từ 207

y

x

20 7

y x



 và 85

z

y

32 20 8 5

z y z y







 Do đó: 7x 20y 32z

50

100 32 2 20 5 7 2

2 5 2 32 20







x

Suy ra: x 14, y  40, z  64

g) 5x 7y 3z và 2 2 2 585





y z

Trang 4

Phân tích: HS thường nhầm lẫn:   

3 7 5

z y x

9 65

585 9 49 25

2 2 2









y z x

dẫn tới tính toán sai

Từ 5x 7y 3z 

9 49 25

2 2

x



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:   

9 49 25

2 2

x

9 65

585 9 49 25

2 2 2









y z x

Suy ra: 2 225 15







x

2 441 21







y

2 81 9







z

Theo đề bài: x, y, z cùng dấu nên x 15 ,y 21 ,z  9 hoặc x  15 ,y  21 ,z   9

h) x.y   30, y z 42 và z x   12

Từ x.y   30

y

5 



 và y z 42

7

6 z

y 

 Do đó: x56y 7z



Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:   1

12

12 5

7 7

6











x z z y x

Suy ra: x 5, y  6, z   7

Phân tích: Điểm mấu chốt của bài toán là tách -30 và 42 thành tích của 2 số, trong đó

có số 6 là ƯCLN(30;42) Một điểm khác biệt của câu (h) là sau khi biến đổi thì dãy tỉ số bằng nhau có x, y, z không cùng nằm ở tử số hoặc mẫu số

Bài 3: Tìm x, y, z , biết:

11

20 15 9

12 20 7

15









và xyz 48

Phân tích: Để ý rằng hệ số của x, y, z ở các tử số trái dấu nhau nên nếu áp dụng tính

chất dãy tỉ số bằng nhau cộng các tử số với nhau thì sẽ được kết quả bằng 0

Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

0 11

9 7

20 15 12 20 15 12 11

20 15 9

12 20 7

15 12

























x



















0

2 0 15

0 12

20

0

1 5 12

z y

x z

y x

3 4 5 20 15

12x y z x y z

BCNN(12;15;20)60)

12

48 3 4 5 3 4





y z x y z x

Do đó: x 20, y 16, z  12

Bài 4: Tìm t1, t2, …, t9 , biết:

1

9 7

3 8

2 9











t

 và t1t2 t3 t9  90 Giải

1

9 7

3 8

2 9











t

45

45 90 1

7 8 9

9

3 2

1























1 9

8 2

9 1

9 3 2 1 9

2



















t t t t t

t



Trang 5

2 Dạng 2: Toán thực tiễn

Sau khi đã biết các bước biến đổi ở dạng toán 1, học sinh sẽ căn cứ vào đó để có thể giải được các bài toán thực tế sau khi đặt ẩn cho các đại lượng chưa biết

Bài 1: Tìm diện tích hình tam giác vuông, biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 2: 5 và

chúng hơn kém nhau 12 cm

Giải Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác lần lượt là a và b (cm) (0 a  b)

Thì diện tích tam giác là: a2.b (cm2 )

Theo đề bài ta có: 52

b

a

và b a 12

Từ

5

2



b

a

suy ra

5 2

b a



3

12 2 5 5





b b a a

Do đó: a 4  2 8 và b 4  5 20 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy diện tích tam giác là: 80

2

20 8

 (cm2 )

Bài 2: Tìm hai số tự nhiên biết 32 số thứ nhất bằng 43 số thứ hai và hiệu các bình

phương của chúng bằng 68

Giải

Gọi hai số tự nhiên cần tìm lần lượt là x và y ( x;yN và x  y)

Theo đề bài ta có: x y

4

3 3

2

 và 2 2 68



 y x

4

3

2



8 9 9

8x y x y



64 81

2

x





Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  

64 81

2

x

4 17

68 64 81

2 2





 y x

Do đó: 2 4 81 324 18







x

2 4 64 256 16







Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 18 và 16

Bài 3: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9, 8, 7, 6 Biết rằng số học sinh khối

9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh Tính số học sinh mỗi khối

Giải

Gọi số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c, d (em) (a, b, c, d N*)

Theo đề bài ta có: 9a b87c d6 và b d  70

Trang 6

2

70 6 8 6 7 8





b c d b d a

Do đó: a 35  9 315, b 35  8 280, c 35 7  245, d  35  6 210 (thỏa mãn)

Vậy số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 lần lượt là 315, 280, 245 và 210 (em)

Bài 4: Có 64 tờ giấy bạc gồm ba loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng Biết rằng

tổng giá trị của mỗi loại giấy bạc trên đều bằng nhau Hỏi mỗi loại giấy bạc có bao nhiêu tờ?

Giải Gọi số tờ của ba loại giấy bạc mệnh giá 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là

x, y, z (tờ) (x, y, z N*)

Theo đề bài ta có: xyz 64 và 2000x 5000y 10000z

Từ 2000x  5000y  10000z suy ra x y z

2 5

8

64 1 2 5 2





z y x

Do đó: x  8  5 40, y  8 2  16 và z  8 (thỏa mãn)

Vậy có 40 tờ loại 2000 đồng, 16 tờ loại 5000 đồng và 8 tờ loại 10000 đồng

Bài 5: Tính số đo các góc của một tam giác, biết rằng số đo của góc thứ nhất bằng 32 số

đo góc thứ hai và bằng 21 số đo góc thứ ba

Giải

Gọi số đo ba góc lần lượt là a, b, c (độ) (0 0 a,b,c 180 0)

Theo đề bài ta có: abc 180 0 và a b c

2

1 3

2



Từ a b c

2

1 3

2



2 3

c b

a 

0

40 2 9

180 2 2

3 1

2 2





b c a b c a

Do đó: a 40 0 , 40 0 60 0

2

3







b , c 2 40 0  80 0

Vậy số đo các góc của tam giác là 400 , 600 , 800

Bài 5: Một lớp học sinh có 35 em Sau khi khảo sát chất lượng, số học sinh được chia

thành ba loại giỏi, khá và trung bình Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 Tính số học sinh mỗi loại

Giải

Gọi số học sinh giỏi, khá và trung bình của lớp lần lượt là x, y, z (em)

Trang 7

(x, y, zN* và x, y, z 35) Theo đề bài ta có: xyz 35,

3 2

y x

 và

5 4

z y



Ta có: 2x 3y

12 8

y x



 và 4y 5z

15 12

z y



 Do đó: 8x 12y 15z

35

35 15 12 8 15 12





 y z x y z x

Suy ra: x 8, y 12, z  15

Vậy lớp có 8 học sinh giỏi, 12 học sinh khá và 15 học sinh trung bình

Bài 6: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc Sau khi chuyển đi 15 số thóc ở kho I, 61 số

thóc ở kho II và 111 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở cả ba kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc?

Giải

Gọi số thóc ban đầu ở kho I, kho II, kho III lần lượt là a, b, c (tấn) (0 a,b,c 710)

Theo đề bài ta có: abc 710

Mặt khác: số thóc còn lại ở kho I sau khi chuyển đi là: a a a

5

4 5

1



số thóc còn lại ở kho II sau khi chuyển đi là: b b b

6

5 6

1



số thóc còn lại ở kho III sau khi chuyển đi là: c c c

11

10 11

1



mà số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau nên: a b c

11

10 6

5 5

4

22 24 25

c b a



 (chia cho 20)

71

710 22 24 25 22 24





a

Do đó: a 10 25  250, b 10 24  240, c  10 22  220 (thỏa mãn)

Vậy ban đầu kho I có 250 tấn, kho II có 240 tấn và kho III có 220 tấn thóc

Bài 7: Trong đợt thi đua chào mừng ngày Quốc khánh 2 – 9, ba đội xe được giao vận

chuyển ít nhất là 3030 tấn hàng Cuối đợt, đội I vượt mức 26%, đội II vượt mức 5% và đội III vượt mức 8% định mức của mỗi đội nên khối lượng mà ba đội đã vận chuyển được bằng nhau Tính định mức vận chuyển của mỗi đội xe

Giải

Gọi định mức vận chuyển của đội I, đội II, đội III lần lượt là a, b, c (tấn) (0 a,b,c 3030) Theo đề bài ta có: abc 3030

Mặt khác: cuối đợt, đội I chở được là: a 26 %.a  126 %.a(tấn)

cuối đợt, đội II chở được là: 105 %.b(tấn)

cuối đợt, đội III chở được là: 108 %.c(tấn)

Trang 8

mà ba đội chở được bằng nhau nên: 126 %.a 105 %.b 108 %.c 126a 105b 108c



35 36

30

c b

a



 (chia cho BCNN(126;105;108) 3780)

101

3030 35

36 30 35 36





a

Do đó: a 30 30  900, b 30 36  1080, c 30 35  1050

Vậy định mức vận chuyển của đội I, đội II, đội III lần lượt là 900, 1080, 1050 (tấn)

Bài 8: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng có cùng diện tích Đội một cày xong trong 3

ngày, đội hai cày xong trong 5 ngày, đội ba cày xong trong 6 ngày Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy cày, biết rằng đội hai nhiều hơn đội ba 1 máy (giả sử năng suất các máy như nhau)

Giải

Gọi số máy cày của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là x, y, z (máy) (x, y, zN*)

Theo đề bài ta có: y z  1

Vì số máy và thời gian cày xong cánh đồng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:





 y z

3

5 6 10

z y x



5 6 5 6





y z y z x

Do đó: x 10, y  6, z 5

Vậy đội một có 10 máy, đội hai có 6 máy, đội ba có 5 máy

Bài 9: Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ 2, 3, 4 Hỏi mỗi đơn vị được chia bao

nhiêu tiền lãi nếu tổng tiền lãi là 135 triệu và tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp

Giải

Gọi số tiền lãi được chia của ba đơn vị lần lượt là a, b, c (triệu đồng)

(a, b, c N*; a,b,c 135) Theo đề bài ta có: abc 135

Vì số tiền lãi được chia tỉ lệ thuận với số vồn đóng góp nên a, b, c tỉ lệ thuận với 2, 3, 4,

do đó ta có: 2a b3 4c

9

135 4 3 2 4 3





b c a b c a

Suy ra: a 15  2 30; b  15  3 45; c 15 4  60

Vậy số tiền lãi được chia của ba đơn vị lần lượt là 30, 45, 60 (triệu đồng)

Trang 9

Bài 10: Hai ô tô cùng khởi hành từ A để đến B Vận tốc của ô tô thứ nhất là 50 km/h, vận

tốc của ô tô thứ hai là 60km/h Ô tô thứ nhất đến sau ô tô thứ hai 36 phút Tính quãng đường AB

Giải Đổi 36 phút  0 , 6 giờ

Gọi thời gian đi hết quãng đường AB của ô tô thứ nhất và ô tô thứ hai lần lượt là x, y (h).

(x,y 0) Theo đề bài ta có: x y 0 , 6

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là quãng đường nên:



 y

x 60 50

5 6 50 60

y x y x







Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0 , 6

5 6 5





y x y x

Do đó: x  6 0 , 6  3 , 6; y 0 , 6 5  3 (thỏa mãn)

Vậy quãng đường AB dài: 60 3  180 (km)

3 Dạng 3: Toán giá trị biểu thức

Bài 1: Cho P x x y y z z

3 2







 Tính giá trị biểu thức P biết x, y, z tỉ lệ với 5; 4; 3.

Giải

Vì x, y, z tỉ lệ với 5; 4; 3 nên 5x 4y 3z

4

3 2 3

3 4 2 5

3 2 3

4

5

z y x z y x z y













Và 5x 4y 3z 5x 22.4y 33.z3x 26y3z











Từ (1) và (2) suy ra:      

6

3 2 4

3

2y z x y z x

3

2 6

4 3 2

3 2









z y x

Vậy P 32

Bài 2: Cho các số A, B,C tỉ lệ với các số a, b, c

Chứng minh rằng giá trị biểu thức: Q Ax ax by By c C



 không phụ thuộc x, y.

Giải Theo đề bài ta có: a A b B C c không đổi

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a Ab B C c Ax axBy byc C

Vậy Q Ax ax By by c C



 có giá trị không đổi

Trang 10

hay giá trị biểu thức Q Ax ax By by c C



 không phụ thuộc x, y.

Bài 3: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2ab acd a2b bcd abc2cd abd c2d

Tính giá trị của biểu thức M c a d b d b a c a c d b d b c a



(a,b,c,d  0, abcd  0, ab 0, bc 0, cd  0, da 0)

Giải

Phân tích: Nhận thấy vai trò của a, b, c, d như nhau và tổng các hệ số của a, b, c, d ở

trên tử số bằng nhau nên ta dự đoán: abcd

5 5 5 5 5 2 2

2 2





















d c b a

d c b a d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b a

) 3 ( ) 2 ( ) 1 (

3 3 5

2 5 2

5 2







































d c b a

c d b a

b d c a

a d c b

d d c b a

c d c b a

b d c b a

a d c b a

Từ (1) và (2) suy ra b a 3ab 4a b 0  ab

Từ (2) và (3) suy ra c b 3b c 4b c 0  bc

Từ (3) và (4) suy ra d c 3c d 4c d 0  cd

















c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a





c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

Bài 4: Cho b a c bd c a d với abcd  0

Tính giá trị biểu thức M c a d b d b a c a c b d b d c a

















Giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  1





a d c b

d c b a a

d d

c c

b b a

Nên a bcd

Suy ra:

2

1 2

2 2

2































a

a a a

a a c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

2

1 2

2 2

2

























c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a

Bài 5: Cho x916y16 25z2510

và 2 3 1 15





x Tính xyz Giải

50

1 25

16 9

10 25 16

25

10 16

25 9



















x

(1) Mặt khác theo đề bài: 2 3 1 15 2 3 16 3 8 2















x

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	872,5 KB