Giaovienvietnam com CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ Ở TIỂU HỌC Dạng 1 QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ * Kiến thức cần lưu ý (cách giải) Trước hết ta cần xác định quy luật của dãy số Những quy luật thường gặp là + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0; + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó; + Mỗi số hạng (kể từ s[.]
Trang 1CÁC D NG TOÁN V DÃY S TI U H CẠ Ề Ố Ở Ể Ọ
D ng 1. QUY LU T VI T DÃY S :ạ Ậ Ế Ố
* Ki n th c c n l u ý (cách gi i):ế ứ ầ ư ả
Tr c h t ta c n xác đ nh quy lu t c a dãy s ướ ế ầ ị ậ ủ ố
Nh ng quy lu t th ng g p là:ữ ậ ườ ặ
+ M i s h ng (k t s h ng th hai) b ng s h ng đ ng tr c nó c ng ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ ứ ướ ộ (ho c tr ) v i 1 s t nhiên d;ặ ừ ớ ố ự
+ M i s h ng (k t s h ng th hai) b ng s h ng đ ng tr c nó nhân ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ ứ ướ (ho c chia) v i 1 s t nhiên q khác 0;ặ ớ ố ự
+ M i s h ng (k t s h ng th ba) b ng t ng hai s h ng đ ng tr c nó;ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ ổ ố ạ ứ ướ + M i s h ng (k t s h ng th t ) b ng t ng c a s h ng đ ng tr c nó ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ư ằ ổ ủ ố ạ ứ ướ
c ng v i s t nhiên d c ng v i s th t c a s h ng y;ộ ớ ố ự ộ ớ ố ứ ự ủ ố ạ ấ
+ S h ng đ ng sau b ng s h ng đ ng tr c nhân v i s th t ;ố ạ ứ ằ ố ạ ứ ướ ớ ố ứ ự
v . . . v
1. Lo i 1: Dãy s cách đ u:ạ ố ề
Bài 1:
Vi t ti p 3 s :ế ế ố
a, 5, 10, 15,
b, 3, 7, 11,
Gi i:ả
a, Vì: 10 – 5 = 5
15 – 10 = 5
Dãy s trên 2 s h ng li n nhau h n kém nhau 5 đ n v V y 3 s ti p theo ố ố ạ ề ơ ơ ị ậ ố ế là:
15 + 5 = 20
20 + 5 = 25
25 + 5 = 30
Dãy s m i là:ố ớ
5, 10, 15, 20, 25, 30
b, 7 – 3 = 4
11 – 7 = 4
Dãy s trên 2 s h ng li n nhau h n kém nhau 4 đ n v V y 3 s ti p theo ố ố ạ ề ơ ơ ị ậ ố ế là:
11 + 4 = 15
15 + 4 = 19
19 + 4 = 23
Dãy s m i là:ố ớ
Trang 2Dãy s cách đ u thì hi u c a m i s h ng v i s li n tr c luôn b ng nhauố ề ệ ủ ỗ ố ạ ớ ố ề ướ ằ
1. Lo i 2: Dãy s khác:ạ ố
Bài 1:
Vi t ti p 3 s h ng vào dãy s sau:ế ế ố ạ ố
a, 1, 3, 4, 7, 11, 18,
b, 0, 2, 4, 6, 12, 22,
c, 0, 3, 7, 12,
d, 1, 2, 6, 24,
Gi i:ả
a, Ta nh n xét: 4 = 1 + 3ậ
7 = 3 + 4
11 = 4 + 7
18 = 7 + 11
T đó rút ra quy lu t c a dãy s là: M i s h ng (K t s h ng th ba) b ngừ ậ ủ ố ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ
t ng c a hai s h ng đ ng tr c nó. Vi t ti p ba s h ng, ta đ c dãy s sau:ổ ủ ố ạ ứ ướ ế ế ố ạ ượ ố
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,
b, T ng t bài a, ta tìm ra quy lu t c a dãy s là: M i s h ng (k t s ươ ự ậ ủ ố ỗ ố ạ ể ừ ố
h ng th t ) b ng t ng c a 3 s h ng đ ng tr c nó.ạ ứ ư ằ ổ ủ ố ạ ứ ướ
Viét ti p ba s h ng, ta đ c dãy s sau.ế ố ạ ượ ố
0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136,
c, ta nh n xét:ậ
S h ng th hai là:ố ạ ứ
3 = 0 + 1 + 2
S h ng th ba là:ố ạ ứ
7 = 3 + 1 + 3
S h ng th t là:ố ạ ứ ư
12 = 7 + 1 + 4
. .
T đó rút ra quy lu t c a dãy là: M i s h ng (k t s h ng th hai) b ng ừ ậ ủ ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ
t ng c a s h ng đ ng tr c nó c ng v i 1 và c ng v i s th t c a s ổ ủ ố ạ ứ ướ ộ ớ ộ ớ ố ứ ự ủ ố
h ng y.ạ ấ
Vi t ti p ba s h ng ta đ c dãy s sau.ế ế ố ạ ượ ố
0, 3, 7, 12, 18, 25, 33,
d, Ta nh n xét:ậ
S h ng th hai làố ạ ứ
2 = 1 x 2
Trang 3S h ng th ba làố ạ ứ
6 = 2 x 3
s h ng th t làố ạ ứ ư
24 = 6 x 4
. .
T đó rút ra quy lu t c a dãy s là: M i s h ng (k t s h ng th hai) b ngừ ậ ủ ố ỗ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ằ tích c a s h ng đ ng li n tr c nó nhân v i s th t c a s h ng y.ủ ố ạ ứ ề ướ ớ ố ứ ự ủ ố ạ ấ
Vi t ti p ba s h ng ta đ c dãy s sau:ế ế ố ạ ượ ố
1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040,
D ng 2. Xác đ nh s a có thu c dãy đã cho hay không?ạ ị ố ộ
Cách gi i:ả
Xác đ nh quy lu t c a dãy.ị ậ ủ
Ki m tra s a có tho mãn quy lu t đó hay không.ể ố ả ậ
Bài t p:ậ
Em hãy cho bi t:ế
a, Các s 50 và 133 có thu c dãy 90, 95, 100,. hay không?ố ộ
b, S 1996 thu c dãy 3, 6, 8, 11,. hay không?ố ộ
c, S nào trong các s 666, 1000, 9999 thu c dãy 3, 6, 12, 24,. ?ố ố ộ
Gi i thích t i sao?ả ạ
Gi i:ả
a, C 2 s 50 và 133 đ u không thu c dãy đã cho vìả ố ề ộ
Các s h ng c a dãy đã cho đ u l n h n 50;ố ạ ủ ề ớ ơ
Các s h ng c a dãy đã cho đ u chia h t cho 5 mà 133 không chia h t cho ố ạ ủ ề ế ế 5
b, S 1996 không thu c dãy đã cho, Vì m i s h ng c a dãy khi chia cho ố ộ ọ ố ạ ủ
đ u d 2 mà 1996: 3 thì d 1.ề ư ư
c, C 3 s 666, 1000, 9999 đ u không thu c dãy 3, 6, 12, 24,. , vìả ố ề ộ
M i s h ng c a dãy (k t s h ng th 2) b ng s h ng li n tr c nhân ỗ ố ạ ủ ể ừ ố ạ ứ ằ ố ạ ề ướ
v i 2. Cho nên các s h ng (k t s h ng th 3) có s h ng đ ng li n tr c ớ ố ạ ể ừ ố ạ ứ ố ạ ứ ề ướ
là s ch n mà 666: 2 = 333 là s l ố ẵ ố ẻ
Các s h ng c a dãy đ u chia h t cho 3 mà 1000 không chia h t cho 3ố ạ ủ ề ế ế
Các s h ng c a dãy (k t s h ng th hai) đ u ch n mà 9999 là s l ố ạ ủ ể ừ ố ạ ứ ề ẵ ố ẻ
D ng 3. Tìm s s h ng c a dãy s :ạ ố ố ạ ủ ố
* L u ý:ư
d ng này th ng s d ng ph ng pháp gi i toán kho ng cách (tr ng ở ạ ườ ử ụ ươ ả ả ồ cây).Ta có công th c sau:ứ
S s h ng c a dãy = S kho ng cách + 1ố ố ạ ủ ố ả
N u quy lu t c a dãy là: s đ ng sau b ng s h ng li n tr c c ng v i s ế ậ ủ ố ứ ằ ố ạ ề ướ ộ ớ ố
Trang 4không đ i thì:ổ
S các s h ng c a dãy = (S cu i – s đ u): K/c + 1ố ố ạ ủ ố ố ố ầ
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Bài 1:
Vi t các s l liên ti p t 211. S cu i cùng là 971. H i vi t đ c bao nhiêu ế ố ẻ ế ừ ố ố ỏ ế ượ
s ?ố
Gi i:ả
Hai s l liên ti p h n kém nhau 2 đ n vố ẻ ế ơ ơ ị
S cu i h n s đ u s đ n v là:ố ố ơ ố ầ ố ơ ị
971 – 211 = 760 (đ n v )ơ ị
760 đ n v có s kho ng cách là:ơ ị ố ả
760: 2 = 380 (K/ c)
Dãy s trên có s s h ng là:ố ố ố ạ
380 +1 = 381 (s )ố
Đáp s :381 s h ngố ố ạ
D ng 4. Tìm t ng các s h ng c a dãy s :ạ ổ ố ạ ủ ố
* Cách gi i:ả
N u các s h ng c a dãy s cách đ u nhau thì t ng c a 2 s h ng cách đ u ế ố ạ ủ ố ề ổ ủ ố ạ ề
s h ng đ u và s h ng cu i trong dãy đó b ng nhau. Vì v y:ố ạ ầ ố ạ ố ằ ậ
T ng các s h ng c a dãy = t ng c a 1 c p 2 s h ng cách đ u s h ng đ u ổ ố ạ ủ ổ ủ ặ ố ạ ề ố ạ ầ
và cu i x s h ng c a dãy: 2ố ố ạ ủ
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Bài 1:
Tính t ng c a 100 s l đ u tiên.ổ ủ ố ẻ ầ
Gi i:ả
Dãy c a 100 s l đ u tiên là:ủ ố ẻ ầ
1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199
Ta có:
1 + 199 = 200
3 + 197 = 200
5 + 195 = 200
V y t ng ph i tìm là:ậ ổ ả
200 x 100: 2 = 10 000
Đáp s 10 000ố
D ng 5. Tìm s h ng th n:ạ ố ạ ứ
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Bài 1:
Trang 5Cho dãy s : 1, 3, 5, 7, ố
H i s h ng th 20 c a dãy là s nào?ỏ ố ạ ứ ủ ố
Gi i:ả
Dãy đã cho là dãy s l nên các s liên ti p trong dãy cách nhau 1 kho ng ố ẻ ố ế ả cách là 2 đ n v ơ ị
20 s h ng thì có s kho ng cách là:ố ạ ố ả
20 – 1 = 19 (kho ng cách)ả
19 s có s đ n v là:ố ố ơ ị
19 x 2 = 38 (đ n v )ơ ị
S cu i cùng là:ố ố
1 + 38 = 39
Đáp s : S h ng th 20 c a dãy là 39ố ố ạ ứ ủ
Bài 2:
Vi t 20 s l , s cu i cùng là 2001. S đ u tiên là s nào?ế ố ẻ ố ố ố ầ ố
Gi i:ả
2 s l liên ti p h n kém nhau 2 đ n vố ẻ ế ơ ơ ị
20 s l có s kho ng cách là:ố ẻ ố ả
20 – 1 = 19 (kho ng cách)ả
19 kho ng cách có s đ n v là:ả ố ơ ị
19 x 2 = 38 (đ n v )ơ ị
S đ u tiên là:ố ầ
2001 – 38 = 1963
Đáp s : s đ u tiên là 1963.ố ố ầ
Công th c:ứ
a, Cu i dãy: n = S đ u + kho ng cách x (n – 1)ố ố ầ ả
b, Đ u dãy: n = S cu i – kho ng cách x (n – 1)ầ ố ố ả
D ng 6. Tìm s ch s bi t s s h ngạ ố ữ ố ế ố ố ạ
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Bài 1:
Cho dãy s 1, 2, 3, 4,. , 150.ố
Dãy này có bao nhiêu ch sữ ố
Gi i:ả
Dãy s 1, 2, 3,. , 150 có 150 s ố ố
Trong 150 s cóố
+ 9 s có 1 ch số ữ ố
+ 90 s có 2 ch số ữ ố
+ Các s có 3 ch s là: 150 – 9 – 90 = 51 (ch s )ố ữ ố ữ ố
Dãy này có s ch s là:ố ữ ố
Trang 61 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (ch s )ữ ố
Đáp s : 342 ch số ữ ố
Bài 2:
Vi t các s ch n liên ti p t 2 đ n 1998 thì ph i vi t bao nhiêu ch s ?ế ố ẵ ế ữ ế ả ế ữ ố
Gi i:ả
Gi i:ả
Dãy s : 2, 4,. , 1998 có s s h ng là:ố ố ố ạ
(1998 – 2): 2 + 1 = 999 (s )ố
Trong 999 s có:ố
4 s ch n có 1 ch số ẵ ữ ố
45 s ch n có 2 ch số ẵ ữ ố
450 s ch n có 3 ch số ẵ ữ ố
Các s ch n có 4 ch s là:ố ẵ ữ ố
999 – 4 – 45 – 450 = 500 (s )ố
S l ng ch s ph i vi t là:ố ượ ữ ố ả ế
1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (ch s )ữ ố
đáp s : 3444 ch số ữ ố
Ghi nh :ớ
Đ tìm s ch s ta:ể ố ữ ố
+ Tìm xem trong dãy s có bao nhiêu s s h ngố ố ố ạ
+ Trong s các s đó có bao nhiêu s có 1, 2, 3, 4,. ch số ố ố ữ ố
D ng 7. Tìm s s h ng bi t s ch sạ ố ố ạ ế ố ữ ố
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Bài 1:
M t quy n sách coc 435 ch s H i quy n sách đó có bao nhiêu trang?ộ ể ữ ố ỏ ể
Gi i:ả
Đ đánh s trang sách ng i ta b t đ u đánh t trang s 1. Ta th y đ đánh ể ố ườ ắ ầ ữ ố ấ ể
s trang có 1 ch s ng i ta đánh m t 9 s và m t:ố ữ ố ườ ấ ố ấ
1 x 9 = 9 (ch s )ữ ố
S trang sách có 2 ch s là 90 nên đ đánh 90 trang này m t:ố ữ ố ể ấ
2 x 90 = 180 (ch s )ữ ố
Đánh quy n sách có 435 ch s nh v y ch đ n s trang có 3 ch s S ể ữ ố ư ậ ỉ ế ố ữ ố ố
ch s đ đánh s trang sách có 3 ch s là:ữ ố ể ố ữ ố
435 – 9 – 180 = 246 (ch s )ữ ố
246 ch s thì đánh đ c s trang có 3 ch s là:ữ ố ượ ố ữ ố
246: 3 = 82 (trang)
Quy n sách đó có s trang là:ể ố
9 + 90 + 82 = 181 (trang)
Trang 7đáp s : 181 trangố
Bài 2:
Vi t các s l liên ti p b t đ u t s 87. H i n u ph i vi t t t c 3156 ch s ế ố ẻ ế ắ ầ ừ ố ỏ ế ả ế ấ ả ữ ố thì vi t đ n s nào?ế ế ố
Gi i:ả
T 87 đ n 99 có các s l là:ừ ế ố ẻ
(99 – 87): 2 + 1 = 7 (s )ố
Đ vi t 7 s l c n:ể ế ố ẻ ầ
2 x 7 = 14 (ch s )ữ ố
Có 450 s l có 3 ch s nên c n:ố ẻ ữ ố ầ
3 x 450 = 1350 (ch s )ữ ố
S ch s dùng đ vi t các s l có 4 ch s là:ố ữ ố ể ế ố ẻ ữ ố
3156 – 14 – 1350 = 1792 (ch s )ữ ố
Vi t đ c các s có 4 ch s là:ế ượ ố ữ ố
1792: 4 = 448 (s )ố
Vi t đ n s :ế ế ố
999 + (448 – 1) x 2 = 1893
D ng 8. Vi t liên ti p m t nhóm ch s ho c ch cáiạ ế ế ộ ữ ố ặ ữ
Bài t p v n d ng:ậ ậ ụ
Bài 1:
Vi t liên ti p các ch cái A, N, L, , U thành dãy AN L U, AN L U, ế ế ữ Ư Ư Ư
Ch cãi th 1998 là ch cái gì?ữ ứ ữ
Gi i:ả
Đ vi t 1 nhóm AN L U ng i ta ph i vi t 5 ch cái A, N, L, , U. N u ể ế Ư ườ ả ế ữ Ư ế
x p 5 ch cái y vào 1 nhóm ta có:ế ữ ấ
Chia cho 5 không d là ch cái Uư ữ
Chia cho 5 d 1 là ch cái Aư ữ
Chia cho 5 d 2 là ch cái Nư ữ
Chia cho 5 d 3 là ch cái Lư ữ
Chia cho 5 d 4 là ch cái ư ữ Ư
Mà: 1998: 5 = 339 (nhóm) d 3ư
V y ch cái th 1998 là ch cái L c a nhóm th 400ậ ữ ứ ữ ủ ứ
Bài 2:
M t ng i vi t liên ti p nhóm ch T qu c Vi t Nam thành dãyộ ườ ế ế ữ ổ ố ệ
T qu c vi t nam T qu c vi t nam ổ ố ệ ổ ố ệ
a, Ch cái th 1996 trong dãy là ch gì?ữ ứ ữ
b, Ng i ta đ m đ c trong dãy có 50 ch T thì dãy đó có bao nhiêu ch Ô?ườ ế ượ ữ ữ bao nhiêu ch Iữ
Trang 8c, B n An đ m đ c trong dãy có 1995 ch Ô. H i b n y đ m đúng hay ạ ế ượ ữ ỏ ạ ấ ế sai? Gi i thích t i sao?ả ạ
d, Ng i ta tô màu các ch cái trong dãy theo th t : Xanh, đ , tím, vàng; ườ ữ ứ ự ỏ xanh, đ ,. H i ch cái th 1995 trong dãy tô màu gì?ỏ ỏ ữ ứ
Gi i:ả
a, Nhóm ch T QU C VI T NAM có 13 ch cái. Mà 1996: 13 = 153 ữ Ổ Ố Ệ ữ (nhóm) d 7.ư
Nh v y k t ch cái đ u tiên đ n ch cái th 1996 trong dãy ng i ta đã ư ậ ể ừ ữ ầ ế ữ ứ ườ
vi t 153 l n nhóm ch T QU C VI T NAM và 7 ch cái ti p theo là: T ế ầ ữ Ổ Ố Ệ ữ ế Ổ
QU C V. Ch cái th 1996 trong dãy là ch V.Ố ữ ứ ữ
b, M i nhóm ch T QU C VI T NAM có 2 ch T và cũng có 2 ch Ô và ỗ ữ Ổ Ố Ệ ữ ữ
1 ch I. vì v y, n u ng i ta đ m đ c trong dãy có 50 ch T thì dãy đó ữ ậ ế ườ ế ượ ữ cũng ph i có 50 ch Ô và có 25 ch I.ả ữ ữ
c, B n đó đã đ m sai, vì s ch Ô trong dãy ph i là s ch nạ ế ố ữ ả ố ẵ
d, Ta nh n xét: các màu Xanh, đ , tím, vàng g m có 4 màu.ậ ỏ ồ
Mà 1995: 4 = 498 (nhóm) d 3.ư
Nh ng ch cái trong dãy có s th t là s chia cho 4 d 3 thì đ c tô màu ữ ữ ố ứ ự ố ư ượ tím
V y ch cái th 1995 trong dãy đ c tô màu tím.ậ ữ ứ ượ
(S u T m, Ngu n: Toán Ti u H c Phan Duy Nghĩa)ư ầ ồ ể ọ