Chuyên đề về Nhị thức Newton - Giáo viên Việt Nam

Nhị thức Newton Toán 11 Giaovienvietnam Nhị thức Newton I Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton 1 Tổ hợp là gì? Định nghĩa Giả sử tập A cơ n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Kí hiệu là số tổ hợp chập k của n phần tử Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Tính chất chập k của n phần tử Tính chất 1 Tính chất 2 Công thức pascal 2 Nhị thức Newton Định lí Với và với mọi cặp số ta có 3 Hệ quả Hệ quả Từ hệ quả trên ta rút được n[.]

Nhị thức Newton

I Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton

1 Tổ hợp là gì?

 Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

 Kí hiệu:

k n C

là số tổ hợp chập k của n phần tử 0 k n

Ta có định lí,

số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

!

!

k n

n C

k

k n k



k n C

 Tính chất 1: C n k C n k n , 0 k n

1

1 1

   

2 Nhị thức Newton

Định lí: Với    và với mọi cặp số n * a b, 

ta có:

0

n

k

a b C a  b C a C a b C a  b C  a b  C b



3 Hệ quả

1x n C nxC nx C n  x C n n n

0 1 2

2n C n C n C n  C n n

 

0 1 2 3

C  C C  C    C 

4 Nhận xét

Trong khai triển Newton a b n

có tính chất sau:

- Các hệ số có tính đối xứng C n k C n n k , 0  k n

k b k k

T C a b

Chú ý:

0

1 0 1

n n

T T C a

1 1 1

1 1

k n k k

T T C  a   b 

 

II Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

a a2b5

b a  26

c

10

1

x x



Hướng dẫn giải

a b C a C a b C b

6 0

k



a C a C a C a  C

c Khai triển Newton của

 

 

1

k k

k

k



Ví dụ 2: Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức 7 1 2x 10

Hướng dẫn giải

10

n

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với k = 7 Khi đó hệ số của số hạng chứa7

7

x : 7  7

Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau:

3 2 n

x x



1 2

C  C   x

Hướng dẫn giải

Ta có:

1 2

C  C   n

78

78

 

2







Do đó biểu thức khai triển là

12 12 12

12





 

12

36 4 12 0

k

C x 



Số hạng không chứa x ứng với k: 36 4 k 0 k9

Ví dụ 4: Xét khai triển:

20

1

2x

x



a Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển

b Số hạng nào trong khai triển không chứa x

c.Xác định hệ số của x trong khai triển.4

Hướng dẫn giải

 

20 20 20

20 20 20 2

k k

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: 20 2 k 0 k10

Số hạng không chứa x trong khai triển là:

10 10

20.2

C

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với k là: 20 24  k 4 k8

Vậy số hạng chứa x trong khai triển có hệ số là: 4 C208 212

Ví dụ 5: Tính tổng:

 

0 1 3 4 1

n

n





Hướng dẫn giải

Ta có:

 

0 1 3 4 1

n

n

Vì

1







1 1 0

1

1

n

k k n k

n







1

0

1 1 0

1

n

k k

k



 





III Bài tập tự luyện

Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

a 1 2x 20

b

11

1

3

x

x



c  x 4x68

d.n2m7

Bài 2: Xét khai triển

30

2 1

3x

x



a Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

b Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển.6

c Số hạng thứ 11 trong khai triển

Bài 3: Tính tổng:

0 2 4 6 2

2n 2n 2n 2n 2n n

S C C C C  C

Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển 1x3n

là 64 Số hạng

không chứa x trong khai triển

2

1 2

2

n nx

nx



Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1xn

có hai

hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15