Đẳng thức tổ hợp và một số vấn đề liên quan

Khi nói về các bài toán Tổ hợp, chúng ta không thể khôngnhắc tới một dạng toán rất hay và quen thuộc đó là Đẳng thức tổ hợp.. Có thể nóiĐẳng thức tổ hợp là một trong những đề tài khó như

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN

Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và khôngtrùng khớp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết quả trong luận văn,tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, chính xác.

Quy Nhơn, tháng 8 năm 2021

Học viên

NGUYỄN THỊ NGỌC LINH

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Nguyễn HữuTrọn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã giúp đỡ và chỉ bảo tôi mộtcách tận tình trong suốt quá trình thực hiện luận văn Xin cảm ơn các thầy cô trongkhoa Toán và Thống kê - Đại học Quy Nhơn đã ân cần dạy tôi trong suốt quá trìnhhọc tập tại đây.

Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và biết ơn vô tận đối với gia đình tôi,những người đã luôn sát cánh và tạo động lực để tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên dù rất cố gắng nhưng chắc chắnluận văn còn nhiều thiếu sót Kính mong quý thầy cô cùng các bạn đồng nghiệp đónggóp ý kiến để luận văn có thể hoàn chỉnh hơn

Quy Nhơn, tháng 8 năm 2021

Học viên

Nguyễn Thị Ngọc Linh

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn

1.1 Một số kiến thức về lý thuyết tổ hợp 3

1.1.1 Quy tắc cộng 3

1.1.2 Quy tắc nhân 4

1.1.3 Hoán vị và tổ hợp 5

1.1.4 Hoán vị và tổ hợp suy rộng 7

1.2 Một số kiến thức về số nguyên và phép chia 9

1.3 Một số kiến thức về số phức 13

2 ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 15 2.1 Hệ số nhị thức, định lý nhị thức 15

2.1.1 Hệ số nhị thức 15

2.1.2 Định lý nhị thức 16

2.1.3 Lũy thừa giảm, lũy thừa tăng 17

2.1.4 Khai triển nhị thức suy rộng với số mũ thực 18

2.2 Các đẳng thức tổ hợp 19

3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 25 3.1 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp trong số học 25

3.1.1 Định lý 25

3.2 Chứng minh đẳng thức tổ hợp bằng hai cách 323.2.1 Phương pháp cân bằng hệ số chứng minh đẳng thức tổ hợp 333.2.2 Kỹ thuật đếm bằng hai cách chứng minh đẳng thức Tổ hợp 51

• x n : Lũy thừa giảm n của x

• (x) n : Lũy thừa tăng n của x

Lời nói đầu

Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngànhtoán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp cóhữu hạn phần tử Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tửcủa một tập hợp

Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xácsuất, lý thuyết ergodic và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa họcmáy tính và vật lý thống kê

Toán học tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lýthuyết, mặc dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trungvào cuối thế kỷ XX Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lýthuyết đồ thị, mà bản thân lý thuyết này lại có nhiều kết nối tự nhiên đến các lĩnhvực khác

Toán học tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để có được công thức

và ước lượng trong phân tích thuật toán

Đại số tổ hợp ngày nay đã trở thành một môn học không thể thiếu trong chươngtrình trung học phổ thông Khi nói về các bài toán Tổ hợp, chúng ta không thể khôngnhắc tới một dạng toán rất hay và quen thuộc đó là Đẳng thức tổ hợp

Đẳng thức tổ hợp là những đẳng thức có chứa các hệ số nhị thức thường được phátbiểu dưới dạng tính tổng, thiết lập mối liên hệ giữa các cấu hình tổ hợp Có thể nóiĐẳng thức tổ hợp là một trong những đề tài khó nhưng thú vị của Đại số tổ hợp.Trong những năm gần đây, Đẳng thức tổ hợp xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thiĐại học, học sinh giỏi các cấp trong nước và quốc tế, đã cho thấy vai trò của vấn đề

này trong toán học cũng như trong việc giảng dạy của giáo viên, học tập của học sinhcác cấp Việc nghiên cứu về vấn đề này áp dụng vào việc giải quyết các bài toán đangthu hút và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học hiện nay Để tìm hiểu vấn

đề này một cách hệ thống, dựa trên các tài liệu tham khảo [1]-[6], trong luận văn nàychúng tôi tìm hiểu về các đẳng thức tổ hợp, chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằngnhiều cách, ứng dụng của đẳng thức tổ hợp vào các bài toán tổ hợp thường gặp.Luận văn tập trung nghiên cứu các đẳng thức tổ hợp, chứng minh các đẳng thức tổhợp bằng những công cụ khác nhau, và ứng dụng của đẳng thức tổ hợp trong việc giảiquyết các bài toán tổ hợp thường gặp Ngoài mục lục, danh mục các ký hiệu, phần mởđầu và phần kết luận, nội dung của luận văn được chúng tôi trình bày trong 3 chương

Chuơng 1 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở để chuẩn

bị cho các chương sau của luận văn

Chương 2 Nội dung chính của chương này là giới thiệu và trình bày các đẳng

Quy Nhơn, tháng 8 năm 2021

Học viên

Nguyễn Thị Ngọc Linh

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này dành cho việc trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết phục vụ cho cácchương sau liên quan đến các bài toán về đẳng thức tổ hợp như một số kiến thức về

lý thuyết tổ hợp (các tuy tắc đếm, hoán vị và tổ hợp), số nguyên và phép chia trong

số học, số phức Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2],[3], [5]

1.1.1 Quy tắc cộng

Quy tắc cộng 1.1 Giả sử có hai công việc Công việc thứ nhất có thể làm bằng n1

cách, công việc thứ hai có thể làm bằng n2 cách và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có n1+ n2 cách làm một trong hai việc đó.

Ví dụ 1.1 Giả sử cần chọn hoặc là một cán bộ của khoa toán hoặc là một sinh viên

toán làm đại biểu trong hội đồng của một trường đại học Hỏi có bao nhiêu cách chọn

vị đại biểu này nếu khoa toán có 37 cán bộ và 83 sinh viên?

Ta gọi việc thứ nhất là việc chọn một cán bộ của khoa toán Nó có thể làm bằng

37 cách Việc thứ hai, chọn một sinh viên toán, có thể làm bằng 83 cách Theo quy tắccộng có 37 + 83 = 120 cách chọn vị đại diện này

Mở rộng Quy tắc cộng cho trường hợp có nhiều hơn hai công việc.

Quy tắc cộng 1.2 (Quy tắc cộng tổng quát) Giả sử các việc T1, T2, , T m có thể làm tương ứng bằng n1, n2, , n m cách và giả sử không có hai việc nào có thể làm đồng thời Khi đó, số cách làm một trong m việc đó là n1+ n2+ + n m

Ví dụ 1.2 Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong ba danh

sách tương ứng có 23, 15, 19 bài Có bao nhiêu cách chọn bài thực hành?

Có 23 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ nhất, 15 cách từ danh sách thứhai và 19 cách từ danh sách thứ ba Vì vậy có 23 + 15 + 19 = 57 cách chọn bài thựchành

Phát biểu Quy tắc cộng dưới dạng của ngôn ngữ tập hợp như sau

Quy tắc cộng 1.3 (Quy tắc cộng cho tập hợp) Cho A1, A2, , A m là các tập hợp hữu hạn (số phần tử của chúng hữu hạn), khác rỗng và đôi một rời nhau, tức là A i ∩ A j 6= ∅

với mọi i, j = 1, 2, , n và i 6= j Khi đó

|A1∪ A2∪ ∪ A m | = |A1| + |A2| + + |A m |,

trong đó kí hiệu |A| chỉ số phần tử của tập hợp A và |∅| = 0.

1.1.2 Quy tắc nhân

Quy tắc nhân 1.1 Giả sử một nhiệm vụ nào đó được tách ra làm hai việc Việc thứ

nhất có thể làm bằng n1 cách, việc thứ hai có thể làm bằng n2 cách sau khi việc thứ nhất đã hoàn thành Khi đó, ta sẽ có n1n2 cách thực hiện nhiệm vụ này.

Ví dụ 1.3 Người ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đường bằng

một chữ cái và một số nguyên dương không vượt quá 100 Bằng cách như vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể được ghi nhãn khác nhau?

Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong 26 chữ cái và sau đó

gán thêm một trong 100 số nguyên dương Quy tắc nhân chỉ ra rằng có 26.100 = 2600

cách khác nhau để gán nhãn cho một chiếc ghế Như vậy nhiều nhất ta có thể gánnhãn cho 2600 chiếc ghế.

Người ta thường sử dụng Quy tắc nhân mở rộng như sau

Quy tắc nhân 1.2 (Quy tắc nhân tổng quát) Giả sử rằng một nhiệm vụ nào đó được

thi hành bằng cách thực hiện các việc T1, T2, , T m Nếu việc T i có thể làm bằng n i

cách sau khi các việc T1, T2, , T i−1 đã hoàn thành Khi đó, có n1n2 n m cách thực hiện nhiệm vụ đã cho.

Ví dụ 1.4 Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng kí xe ô tô nếu mỗi biển chứa một dãy

ba chữ cái tiếp sau là ba chữ số (không bỏ dãy chữ nào ngay cả khi nó có ý nghĩa không đẹp)?

Có tất cả 26 cách chọn cho mỗi một trong ba chữ cái và 10 cách chọn cho mỗi chữ

số Vì thế theo quy tắc nhân, nhiều nhất có 26.26.26.10.10.10 = 17576000 biển đăng

kí xe

Quy tắc nhân có thể được phát biểu dưới dạng ngôn ngữ của tập hợp như sau

Quy tắc nhân 1.3 Cho A1, A2, , A m là các tập hợp hữu hạn khác rỗng Khi đó

số phần tử của tích Đề-các của các tập này bằng tích của số các phần tử của các tập thành phần, tức là

|A1× A2× × A m | = |A1|.|A2| |A m |.

1.1.3 Hoán vị và tổ hợp

Định nghĩa 1.1 (Hoán vị) Hoán vị của một tập các đối tượng khác nhau là một cách

sắp xếp có thứ tự các đối tượng này.

Ví dụ 1.5 Cho S = {1, 2, 3} Cách sắp xếp 3, 2, 1 là một hoán vị của S, còn cách sắp

xếp 3, 2 là một chỉnh hợp chập 2 của S.

Chúng ta cũng quan tâm tới việc sắp xếp có thứ tự một số phần tử của một tậphợp

a) Mỗi cách chọn có thứ tự 4 cầu thủ của đội bóng là một chỉnh hợp chập bốn của

mười phần tử Khi đó P4

10= 10.9.8.7 = 5040.

b) Số lộ trình có thể giữa các thành phố bằng số hoán vị của bảy phần tử, vì thànhphố đầu tiên đã được xác định, nhưng bảy thành phố còn lại có thể có thứ tự tùy ý

Do đó có 7! = 5040 cách để người bán hàng chọn hành trình của mình Nếu muốn tìm

lộ trình ngắn nhất thì chị ta phải tính tổng khoảng cách cho mỗi hành trình có thể,tức là tổng cộng phải tính cho 5040 hành trình

Định nghĩa 1.3 (Tổ hợp) Một tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử là một

cách chọn không có thứ tự k phần tử của tập đã cho Như vậy, một tổ hợp chập k chính

là một tập con k phần tử của tập ban đầu Số tổ hợp chập k của tập có n phần tử được biểu thị bởi C n k

Ví dụ 1.7 Cho S là tập {1, 2, 3, 4} Khi đó {1, 3, 4} là một tổ hợp chập 3 của S.

Chúng ta có thể xác định số tổ hợp chập k của tập có n phần tử nhờ công thức tính chỉnh hợp chập k của n phần tử Để làm được điều đó chú ý rằng các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có thể nhận được bằng cách trước hết lập các tổ hợp chập k

rồi sắp thứ tự cho các phần tử thuộc các tổ hợp đó Từ đó ta có

C n k = P

k n

Ví dụ 1.8 Có bao nhiêu cách tuyển 5 trong số 10 cầu thủ của một đội bóng quần vợt

để đi thi đấu tại một trường khác?

Định nghĩa 1.4 Một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử của một tập n phần tử, trong

đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.

Định lý 1.2 Số các chỉnh hợp lặp chập k từ tập n phần tử bằng n k

Ví dụ 1.9.

a) Từ bảng chữ cái tiếng Anh có thể tạo ra bao nhiêu xâu có độ dài n?

b) Có bao nhiêu cách có thể lấy được liên tiếp 3 quả bóng đỏ ra khỏi bình kín chứa 5 quả đỏ và 7 quả xanh, nếu sau mỗi lần lấy một quả bóng ra lại bỏ nó trở lại bình?

a) Theo quy tắc nhân, vì có 26 chữ cái và vì mỗi chữ cái có thể dùng lại nên chúng

ta có 26n xâu với độ dài n.

b) Theo quy tắc nhân, số các kết cục có lợi - tức là số cách lấy được 3 quả bóng đỏ

là 53 = 125, vì mỗi lần lấy ta có 5 quả đỏ ở trong bình

Định nghĩa 1.5 Một cách chọn ra k phần tử từ tập có n phần tử (trong đó mỗi phần

tử có thể được chọn lại nhiều lần) được gọi là tổ hợp lặp chập k của n.

Định lý 1.3 Số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử bằng C k

n+k−1

Ví dụ 1.10.

a) Giả sử trong một đĩa quả có táo, cam, lê mỗi loại có ít nhất 4 quả Tính số cách lấy

4 quả từ đĩa này, nếu giả sử rằng thứ tự các quả được chọn không quan trọng, và các

quả thuộc cùng một loại là không phân biệt?

b) Một cửa hàng bánh quy có 4 loại bánh khác nhau Có bao nhiêu cách chọn 6 hộp bánh?(Giả sử là chỉ quan tâm tới loại bánh mà không quan tâm tới hộp bánh cụ thể nào và thứ tự chọn chúng).

a) Ta liệt kê tất cả 15 cách chọn 4 quả như sau

· 4 táo, 4 cam, 4 lê

· 3 táo 1 cam, 3 táo 1 lê, 3 cam 1 táo, 3 cam 1 lê, 3 lê 1 táo, 3 lê 1 cam

· 2 táo 2 cam, 2 táo 2 lê, 2 cam 2 lê

· 2 táo 1 cam 1 lê, 2 cam 1 táo 1 lê, 2 lê 1 táo 1 cam

Lời giải chính là số các tổ hợp lặp chập 4 từ tập 3 phần tử {táo, cam, lê}

Ta có C3+4−14 = C64 = 15 cách chọn theo yêu cầu bài toán

b) Số cách chọn 6 hộp bánh bằng số tổ hợp lặp chập 6 của 4 phần tử Khi đó số

cách chọn là C6

4+6−1= C6

9 = 84.

Định lý 1.4 (Hoán vị của tập hợp có các phần tử giống nhau) Số hoán vị của n phần

tử trong đó có n1 phần tử như nhau thuộc loại 1, n2 phần tử như nhau thuộc loại 2, .,

và n k phần tử như nhau thuộc loại k, bằng n!

n1!n2! n k!.

Ví dụ 1.11 Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ

cái của từ SUCCESS?

Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là như nhau nên câu trả lời không thể là sốhoán vị của 7 chữ cái được Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và 1 chữ E Khi đó

Khi một số nguyên được chia cho một số nguyên thứ hai khác không, thương số cóthể là một số nguyên hoặc không Ví dụ, 12

3 = 4 là một số nguyên, trong khi

11

4 = 2, 75lại không là một số nguyên Điều này dẫn tới định nghĩa

Định nghĩa 1.6 Nếu a và b là hai số nguyên với a 6= 0, ta nói b chia hết cho a nếu

có một số nguyên c sao cho b = a.c Khi b chia hết cho a, ta cũng nói a là một ước số của b và b là bội của a Ký hiệu a|b là chỉ b chia hết cho a và a - b để chỉ b không chia hết cho a.

Ví dụ 1.13 Cho n và d là hai số nguyên dương Có bao nhiêu số nguyên dương không

vượt quá n chia hết cho d?

Các số nguyên dương chia hết cho d là tất cả các số nguyên dương có dạng d.k, với k cũng là một số nguyên dương Do đó, số các số nguyên dương chia hết cho d và không vượt quá n sẽ bằng số các số nguyên k với 0 < k.d 6 n hay 0 < k 6 n

số nguyên dương không vượt quá n chia hết cho d.

Định nghĩa 1.7 Số nguyên dương p lớn hơn 1 được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có

các ước số dương là 1 và p Các số nguyên dương lớn hơn 1 và không phải là số nguyên

tố được gọi là hợp số.

Ví dụ 1.14 Số 7 là số nguyên tố vì nó chỉ có các ước số dương là 1 và 7, trong khi 9

là một hợp số vì nó chia hết cho 3.

Định lý 1.6 (Định lý cơ bản của Số học) Mọi số nguyên dương đều có thể được viết

duy nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố Trong đó các số nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần.

Ví dụ 1.15 Sự phân tích 100, 641, 999, 1024 ra thừa số nguyên tố như sau

100 = 2.2.5.5 = 2252, 641 = 641, 999 = 3.3.3.37 = 33.37, 1024 = 210.

Định lý 1.7 (Thuật toán chia) Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương.

Khi đó tồn tại các số q và r duy nhất, với 0 6 r < d, sao cho a = dq + r.

Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a là số bị chia,

q được gọi là thương số và r được gọi là số dư.

Ví dụ 1.16 Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11 Khi đó 101 = 11.9 + 2.

Vậy thương của phép chia là 9 và số dư là 2.

Ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất

Định nghĩa 1.8 Cho a và b là hai số nguyên khác không, số nguyên d lớn nhất sao

cho d|a và d|b được gọi là ước số chung lớn nhất của a và b Ước số chung lớn nhất của

a và b được kí hiệu là ƯCLN(a, b).

Ví dụ 1.17.

1) Tìm ước số chung lớn nhất của 24 và 36 Khi đó các ước số chung dương của 24 và

36 là 1, 2, 3, 4, 6, 12 Vậy ƯCLN(24, 36) = 12.

2) Tìm ước số chung lớn nhất của 17 và 22 Khi đó các ước số chung của 17 và 22

không có một ước số chung dương nào ngoài 1 Vậy ƯCLN(17, 22) = 1.

Định nghĩa 1.9 Các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước số

chung lớn nhất của chúng bằng 1.

Từ ví dụ 1.17 ở trên, ta suy ra 17 và 22 là nguyên tố cùng nhau.

Định nghĩa 1.10 Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên a và b là số nguyên dương

nhỏ nhất chia hết cho cả a và b Bội số chung nhỏ nhất của hai số nguyên a và b kí hiệu là BCNN(a, b).

Ví dụ 1.18 Xác định bội số chung nhỏ nhất của 23.35.72 và 24.33.

Khi đó

BCN N (23.35.72, 24.33) = 2max{3;4} 3 max{5;3} 7 max{2;0} = 24.35.72.

Đồng dư

Định nghĩa 1.11 Cho a là một số nguyên và m là một số nguyên dương Khi đó ta

kí hiệu a mod m là số dư khi chia a cho m.

Từ định nghĩa của số dư, ta suy ra rằng a mod m là số nguyên r sao cho a = qm+r

và 0 6 r < m.

Ví dụ 1.19 Ta thấy 17 mod 5 = 2, −133 mod 9 = 2, 2001 mod 101 = 82.

Định nghĩa 1.12 Nếu a và b là hai số nguyên và m là một số nguyên dương, thì a

được gọi là đồng dư với b theo mođun m nếu a − b chia hết cho m Chúng ta sẽ kí hiệu

a ≡ b (mod m) để chỉ rằng a đồng dư với b theo mođun m Nếu a và b không đồng dư theo mođun m, ta viết a 6≡ b (mod m).

Chú ý rằng a ≡ b (mod m) nếu và chỉ nếu a mod m = b mod m.

Ví dụ 1.20 Xác định 17 có đồng dư với 5 theo mođun 6 không? Tương tự vậy với 24

và 14?

Khi đó 17 − 5 = 12 chia hết cho 6 nên 17 ≡ 5 (mod 6) Tuy nhiên, vì 24 − 14 = 10

không chia hết cho 6 nên 24 6≡ 14 (mod 6).

Định lý 1.8 Cho m là một số nguyên dương Các số nguyên a và b đồng dư theo

mođun m nếu và chỉ nếu tồn tại một số nguyên k sao cho a = b + km.

Thuật toán Euclid Thuật toán này dùng để tìm ước số chung lớn nhất.

Mô tả: Chúng ta sẽ dùng các phép chia liên tiếp để qui bài toán tìm ước số chung lớnnhất của hai số nguyên dương về chính bài toán đó nhưng với hai số nguyên nhỏ hơn,cho tới khi một trong hai số nguyên là 0

Thuật toán Euclid dựa trên kết quả sau về các ước số chung lớn nhất và thuật toánchia

Bổ đề 1.1 Cho a = bq + r, trong đó a, b, q, r là các số nguyên Khi đó

ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r).

Thuật toán Giả sử rằng a và b là hai số nguyên dương với a ≥ b Giả sử r0 = a

và r1 = b Bằng cách áp dụng liên tiếp thuật toán chia, ta tìm được

r0 = r1q1+ r2, 0 6 r2 < r1.

r1 = r2q2+ r3, 0 6 r3 < r2.

.

.

r n−2 = r n−1 q n−1 + r n , 0 6 r n < r n−1

r n−1 = r n q n

Cuối cùng số dư 0 sẽ xuất hiện trong dãy các phép chia liên tiếp, vì dãy các số dư

a = r0 > r1 > r2 > ≥ 0 không thể chứa quá a số hạng được Hơn nữa từ Bổ đề

1 suy ra ƯCLN(a, b) = ƯCLN (r0, r1) = ƯCLN(r1, r2) = = ƯCLN (r n−2 , r n−1) =

ƯCLN (r n−1 , r n ) = ƯCLN (r n , 0) = r n

Do đó, ước số chung lớn nhất là số dư khác không cuối cùng trong dãy các phép chia

Ví dụ 1.21 Dùng thuật toán Euclid tìm ƯCLN(414, 662)?

Khi đó dùng liên tiếp thuật toán chia, ta được

Định nghĩa 1.13 Số phức (dạng đại số) sẽ có dạng z = a + bi, trong đó a, b là các

số nguyên, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo và i được xem là đơn vị ảo, qui ước i2 = −1.

Tập hợp số phức được kí hiệu là C

Kí hiệu: Re(z) = a và Im(z) = b.

Chú ý: Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Xét hai số phức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i Điều kiện để 2 số phức bằng nhau

z = a + bi được biểu diễn thành z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Trong đó ϕ là acgumen của số phức z và z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ).

Chương 2

ĐẲNG THỨC TỔ HỢP

Trong chương này chúng tôi trình bày hệ thống một số khái niệm về hệ số nhị thức,định lý nhị thức và các đẳng thức tổ hợp (một số tính chất cơ bản của hệ số nhị thức).Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [6]

Tính chất 2.1 Quy ước n k= 0 nếu k > n ≥ 0 hoặc k < 0 6 n.

Định lý 2.2 (Công thức giai thừa) Với mọi số nguyên không âm n và k, ta có

n k

!

k! (n − k)! .

Với n! = 1.2 n, trong đó quy ước 0! = 1.

(ii) Các hạng tử có số mũ của x giảm dần từ n đến 0, số mũ của a tăng dần từ 0 đến

n, nhưng tổng các số mũ của x và a trong mỗi hạng tử luôn bằng n;

(iii) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều 2 hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

Chứng minh.

• Cách 1 Chứng minh bằng phương pháp tổ hợp Thật vậy, các số hạng

trong khai triển của (x + a) n sẽ có dạng x n−k a k với k = 0, 1, , n Để nhận được số hạng dạng x n−k a k ta chọn x từ n − k tổng (x + a) và có C n−k

n cách chọn như vậy Khi

đó a được chọn từ k tổng còn lại (chỉ có một cách duy nhất) Do đó hệ số của x n−k a k

là C n n−k = C n k Đó chính là điều cần chứng minh

• Cách 2 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp Công thức (2.1) hiển

nhiên đúng với n = 1 Giả sử (2.1) đúng với n ∈ Z+ Ta sẽ chứng minh công thức (2.1) đúng với n + 1 Thật vậy

!

x n−k a k

= n + 11

!

= n + 12

2.1.3 Lũy thừa giảm, lũy thừa tăng

Định nghĩa 2.2 (Lũy thừa giảm) Lũy thừa giảm n của x là

Chứng minh.

n k

Kết hợp (2.2), (2.3), (2.4), ta được kết luận mong muốn.

2.1.4 Khai triển nhị thức suy rộng với số mũ thực

Trong phần này, chúng ta mở rộng khai triển nhị thức với số mũ thực bất kỳ

2.2 Các đẳng thức tổ hợp

Trong mục này chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của hệ số nhị thức

Tính chất 2.6 (Tính chất đối xứng) Với mọi số nguyên n, k thỏa mãn 0 6 k 6 n ta

có

n k

Tính chất 2.10 (Tổng theo đường chéo phụ (Số Fibonacci)).

n

X

k=0

n − k k

!n

− 1 −

√52

!

Tính chất 2.12 (Quy tắc "Hút") Với 0 < k 6 n, ta có

n k

!

n − k

n − 1 k

!

.

Chứng minh.

n k

!

.

Tính chất 2.14 (Tập con của tập con) Với 0 6 k 6 m 6 n, ta có

n m

!

m k

!

.

Tính chất 2.15 (Đẳng thức Vandermonde (2 thừa số)) Cho các số nguyên không âm

!

m j

!

m j

Chứng minh tương tự ta có đẳng thức mở rộng sau

Tính chất 2.16 (Đẳng thức Vandermonde mở rộng) Cho các số nguyên không âm

Chương 3

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề liên quan của đẳng thức tổhợp, bao gồm ứng dụng của đẳng thức tổ hợp vào số học và chứng minh đẳng thức tổhợp bằng hai cách khác nhau Các kết quả trong chương này được tham khảo từ cáctài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6]

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số định lý và các bài toán số học sử dụng

tổ hợp và đẳng thức tổ hợp Để giải được chúng, chúng ta phải biết kết hợp các phươngpháp, kỹ thuật với nhau

3.1.1 Định lý

Định lý 3.1 Cho p là số nguyên tố Khi đó p k .p với mọi k = 1, 2, , p − 1.

Chứng minh Ta có

p k

Suy ra p k .p (điều phải chứng minh).

Định lý 3.2 (Định lý tương ứng của Lucas) Cho p là một số nguyên tố và n là một

số nguyên dương với n = (n m n m−1 n0)p Giả sử i là một số nguyên dương nhỏ hơn

n, viết i = i0+ i1p + + i m p m , ở đó 0 6 i0, , i m 6 p − 1 Khi đó

n i

Định lý 3.3 (Định lí Ruf) Cho số nguyên dương n, gọi ε là nghiệm phức khác 1 bất

kì của phương trình x n = 1 Xét hàm đa thức f (x) = Pn

!

p p

!

+ p1