(SKKN 2022) phát triển năng lực tư duy sáng tạo từ một bài toán về phương trình cho học sinh ôn đội tuyển lớp 10 trường THPT DTNT ngọc lặc

MỤC LỤCTRƯỜNG THPT DTNT NGỌC LẶC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO TỪ MỘT BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH ÔN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 TRƯỜNG THPT DTNT NGỌC LẶC Ngườ

MỤC LỤC

TRƯỜNG THPT DTNT NGỌC LẶC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO TỪ MỘT BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH ÔN ĐỘI TUYỂN LỚP 10 TRƯỜNG THPT DTNT NGỌC LẶC

Người thực hiện: Triệu Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

Trang bìa phụ

Mục lục……….1

1 MỞ ĐẦU……… 2

1.1 Lý do chọn đề tài………2

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 4

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 4

2 NỘI DUNG……… 4

2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến……… 4

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến……… 6

2.3.Giải pháp thực hiện sáng kiến ……… 7

2.4 Hiệu quả của sáng kiến đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.……… 14

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 15

3.1 Kết luận……… 15

3.2 Kiến nghị……… 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 17

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay vấn đề “phát triển năng lực tư duy sáng tạo” là một chủ đề thuộc một lĩnh vực nghiên cứu có tính lâu dài và mang tính thực tiễn cao, nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích thích khả năng sáng tạo và để bồi dưỡng, tăng cường khả năng tư duy của cá nhân hay tập thể về một lĩnh vực nào

đó Việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm đáp ứng bối cảnh của thời đại, nhu cầu phát triển đất nước, nhu cầu phát triển nguồn nhân lực, mục tiêu giáo dục phổ thông, yêu cầu cần đạt về phẩm chất và năng lực, phù hợp với nội dung giáo

dục từng cấp, lớp được xem như một điều kiện có tính tiên quyết, nhằm quán

triệt quan điểm chỉ đạo trong Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội

nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo,

đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường

định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế: "Chuyển mạnh quá trình giáo

dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học" Để tạo ra những con người lao động mới có năng lực tư duy

sáng tạo cần có một phương pháp dạy học mới nhằm khơi nguồn sự sáng tạo và phát triển tư duy của con người Chính vì vậy một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong

đó đổi mới phương pháp dạy học toán là một trong những vấn đề đang được quan tâm nhiều nhất Bởi lí do rất đơn giản Toán học là môn học của sự đam mê, sáng tạo, sự tư duy logic và luôn đi khám phá những điều mới lạ Nó giúp cho người học rèn luyện được phương pháp tư duy, suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thông minh sáng tạo xứng danh là “Nữ hoàng của các môn học tự nhiên” Điều quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học toán là người giáo viên phải nhận thức rõ được nhiệm vụ của mình chính là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kĩ năng tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời dạy cho các em biết tự suy nghĩ, phát triển được hết năng lực của bản thân mình để giải quyết những vấn đề khó khăn gặp phải trong quá trình học tập, chứ không phải làm đầy trí tuệ các em bằng cách truyền thụ những tri thức sẵn có “Phát

triển năng lực tư duy sáng tạo” là một mục tiêu mà các nhà giáo dục đang quan tâm và hướng tới

Trong các nội dung ở chương trình toán THPT thì “Phương trình” là một mảng kiến thức rất quan trọng Đặc thù của toán phương trình là rất đa dạng và phong phú, ẩn bên trong nó là sự khó khăn và thách thức rất lớn khi học sinh đối diện và tìm ra cách giải nó vì có những phương trình không có một phương pháp hay một quy tắc giải nào cụ thể Đặc biệt là bài toán về phương trình trong các

đề thi học sinh giỏi, thi vào vào lớp 10, thi THPTQG Mặc dù phương trình là một phần nhỏ trong hệ thống kiến thức toán THPT nhưng trong nó chứa đựng đầy đủ các yếu tố để tạo nên sức hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lưc tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong quá trình giảng dạy môn Toán THPT, tôi nhận thấy nhiều học sinh, đặc biệt là học sinh trong đội tuyển còn bộc lộ những hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo khi gặp các bài toán về phương trình Trước các bài toán về phương trình HS chưa nhận ra được mối quan hệ logic, hệ thống, tính kế thừa và phát triển của các đơn vị kiến thức giữa các khối lớp với nhau Các em còn nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được bản chất và mối quan hệ giữa các yếu tố toán học Do đó các em chưa linh hoạt, sáng tạo trong cách giải bài toán về phương trình

Xuất phát từ những vấn đề nêu trên tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực

tư duy sáng tạo từ một bài toán về phương trình cho học sinh ôn đội tuyển lớp 10 trường THPT DTNT Ngọc Lặc” làm đề tài sáng kiến

1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài

Nhằm nâng cao năng lực tư duy sáng tạo trong việc học môn toán đối với nhóm học sinh ôn đội tuyển lớp 10 ở trường THPT DTNT Ngọc Lặc, từ đó tiếp tục đổi mới phương pháp, hình thức tổ chức dạy học, giáo dục Đáp ứng nhu cầu dạy học theo hướng phát triển năng lực, phẩm chất của học sinh, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy môn Toán cho học sinh trong nhà trường Đặc biệt là công tác ôn bồi dưỡng học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh ôn đội tuyển lớp 10 trường THPT DTNT Ngọc Lặc.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài của mình tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ

sở lí thuyết; Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin về năng lực tư duy sáng tạo của học sinh đối với bộ môn Toán, điểm khảo sát môn Toán trước và sau khi áp dụng sáng kiến

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến

Để thực hiện đề tài tác giả đã dựa trên những cơ sở lý thuyết cơ bản sau

* Định nghĩa: Cho hai hàm số y= f x( ) và y=g x( ) có tập xác định lần lượt là

Df và Dg Đặt D =D f ÇD g Mệnh đề chứa biến "f x( ) =g x( )" được gọi là

phương trình một ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

0

x Î D gọi là một nghiệm của phương trình f x( ) =g x( ) nếu "f x( )0 =g x( )0 " là mệnh đề đúng

Chú ý: Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là các hoành độ giao điểm đồ

thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x)

* Phương trình bậc nhất một ẩn: Cách giải và biện luận phương trình dạng

ax+b = 0

ax+b = 0 (1)

a ≠ 0

(1) có nghiệm duy nhất x = b

a

−

a = 0

b ≠ 0 (1) vô nghiệm

b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

* Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn

ax2 +bx + c = 0 (a≠0)

∆ > 0

(2) có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

b x

a

− ± ∆

=

∆ = 0 (2) có nghiệm kép x =

2

b a

−

∆ < 0 (2) vô nghiệm

* Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y=ax2 +bx+c a( ¹ 0)

· TXĐ: D = ¡

· Khi a >0 hàm số đồng biến trên ;

2

b a

ç- +¥ ÷

çè ø, nghịch biến trên ;

2

b a

ç- ¥ - ÷

çè ø và

có giá trị nhỏ nhất là

4a

D

- khi

2

b x

a

= - Khi a <0 hàm số đồng biến trên

;

2

b

a

ç- ¥ - ÷

çè ø, nghịch biến trên ;

2

b a

ç- +¥ ÷

çè ø và có giá trị lớn nhất là

4a

D

- khi 2

b

x

a

= -

Bảng biến thiên

x

- ¥

2

b a

- +¥

2

y=ax +bx+c(a >0) +¥ +¥

4a

D

-x

- ¥

2

b a

- +¥

2

y=ax +bx+c(a <0)

4a

D

- ¥ - ¥

* P1(x)P2(x)P3(x)…Pn(x) = 0

1 2

( ) 0 ( ) 0

( ) 0

n

P x

P x

P x

=



 =



⇔

 =



với Pi(x) (i = 1, n ) là các đa thức của x

* Dãy số (un) là cấp số cộng ⇔un+1 = un + d, với n∈ ¥ *, d là hằng số (1)

- Công sai: d = un+1 – un

- Số hạng tổng quát: un = u1 +(n-1)d

- Tính chất: uk-1 + uk+1 = 2uk

* Cho hai đồ thị (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao điểm của hai đồ thị (C)

và (C’) chính là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x)

Từ kết quả này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau

Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: F(x,m) = 0 (m là tham số) Phương pháp giải

- Ta biến đổi phương trình F(x,m) = 0 về dạng f(x) = g(m), trong đó ta đã biết đồ thị (C) của hàm số y= f(x) hoặc có thể dễ dàng vẽ được

- Để biện luận số nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận số giao điểm của (C) và đường thẳng song song với Ox: y = g(m)

Bài toán 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (*)

Số giao điểm của (C) và (C’) chính là số nghiệm của phương trình (*)

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thuận lợi

Đa số các em học sinh đều ngoan và có ý thức học tập Được sự quan tâm của Đảng và nhà nước, của ban giám hiệu nhà trường nên sách giáo khoa, đồ dùng học tập tài liệu tham khảo cho các em được trang cấp tương đối đầy đủ Một số em tích cực chủ động và có ý thức tự học tốt

2.2.2 Khó khăn

Điểm đầu vào của các em ở bộ môn toán còn rất thấp, nhiều em học sinh chưa nắm chắc kiến thức cơ bản dẫn đến rất khó khăn trong việc tiếp nhận các kiến thức mới 100% các em học sinh của nhà trường là dân tộc thiểu số sinh sống ở vùng có điều kiện kinh tế khó khăn và vùng đặc biệt khó khăn của 11 huyện miền núi Thanh Hóa Nhiều em có hoàn cảnh hết sức đặc biệt như bố mẹ

bỏ nhau hay bố mẹ đi làm ăn xa phải ở với ông bà nội, ngoại nên thiếu sự quan tâm và giáo dục từ phía gia đình

2.2.3 Thực trạng

Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh còn bộc lộ những hạn chế về năng lực tư duy toán học Các em nhìn các đối tượng Toán học một cách rời rạc, chưa thấy được bản chất và mối quan hệ giữa các yếu tố Toán học Đặc biệt là không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại,

quen với kiểu suy nghĩ dập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm cũ vào những hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, nên học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải trong các bài toán Thực trạng trên được thể hiện qua kết quả khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến:

Lần kiểm tra Số học sinh Số học sinh làm được câu

phương trình

Tỉ lệ

Được sự quan tâm của ban giám hiệu nhà trường và sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ bộ môn bản thân tôi cũng đã cố găng để đưa ra các giải pháp để nâng cao chất lương đại trà và chất lượng HSG các cấp Do đó rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo chính là một yêu cầu cần thiết, quan trọng trong dạy và học toán

2.3 Giải pháp thực hiện sáng kiến

Phát triển cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, hệ thống hóa kiến thức thông qua các bài toán

Bài toán 1: Giải phương trình

(x 2 +4x -12)(x 2 +12x+20) = 0

Đây là bài toán với học sinh THCS mặc dù các em chưa được học cách giải phương trình bậc hai nhưng vẫn phải giải được phương trình bằng một trong những cách sau:

* Cách 1: Có A.B = 0 0

0

A B

=



⇔  = + Trường hợp 1: x2 +4x -12 = 0 ⇔(x+2)2 = 16 ⇔ x +2 = ±4⇔x = -6; 2.

+ Trường hợp 2: x2 +12x+20 = 0 ⇔(x+6)2 = 16 ⇔x+6= ±4⇔x = -10; -2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-10; -6; -2; 2}

* Cách 2: Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ta được:

(x2+4x-12)(x2+12x+20) = 0

⇔(x+2)(x+10)(x+6) (x – 2)=0 ⇔

 + =  = −

 + =  = −

 + =  = −

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-10; -6; -2; 2}

Bài toán 2: Giải phương trình (x 2 +4x -12)(x 2 +12x+20) = -240

Để giải phương trình này yêu cầu hs lớp 9 phải có tư duy và kĩ năng biến đổi tốt

* Cách 1: Ta thực hiện phép nhân 2 đa thức để đưa về phương trình:

x4 +16x3 +56x2 – 64x = 0 ⇔ x(x+8)(x2 +8x-8) = 0

Phương trình này có tập nghiệm là S ={− − 4 2 6; -8 ; 0; − + 4 2 6}

* Cách 2: Ta thực hiện phân tích đa thức bậc 2 thành nhân tử được:

(x – 2)(x+6)(x+2)(x+10) = -240⇔(x2 + 8x -20)(x2 + 8x +12) = -240

Đặt (x+4)2 = t ≥ 0 Ta có:

PT đã cho ⇔ (t- 36)(t – 4) = - 240 ⇔t2 – 40t + 384 = 0 ⇔  =t t=16(24(TM TM))

Với t = 24 ⇔(x+4)2 = 24 ⇔x2 + 8x – 8 = 0 ⇔ 4 2 6

4 2 6

x x

 = − −



= − +

Với t = 16 ⇔(x+4)2 = 16 ⇔x2 + 8x = 0 ⇔  =x x= −08.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={-8; − − 4 2 6; 0; − + 4 2 6}

Bài toán 3: Yêu cầu cao hơn cho hs lớp 10 là cho phương trình

(x 2 +4x -12)(x 2 +12x+20) = m (1), với m là tham số thực

Với các yêu cầu:

1 Tìm m để phương trình (1):

+) vô nghiệm

+) có 1 nghiệm

+) có 2 nghiệm phân biệt

+) có 3 nghiệm phân biệt

+) có 4 nghiệm phân biệt

2 Tổng quát hơn cả là giải và biện luận phương trình (1) theo tham số m.

* Cách 1: (1) ⇔(x2 +4x -12)(x2 +12x+20) = m ⇔(x – 2)(x+6)(x+2)(x+10) = m

⇔(x-2)(x+10)(x+6)(x+2) = m ⇔(x2 + 8x -20)(x2 + 8x +12) = m

Đặt (x+4)2 = t ≥ 0 Ta có:

PT⇔ (t- 36)(t – 4) = m ⇔t2 – 40t + 144 - m = 0 (2)

Ta có ∆ =' 256 m+ ; S = 40; P = 144 – m

TH1: ∆ < ⇔ < − ' 0 m 256 thì PT(2) vô nghiệm suy ra PT (1) vô nghiệm

TH2: ∆ = ⇔ = − ' 0 m 256 thì PT (2) có nghiệm kép dương t1 = t2 = 20 > 0 ⇒

x+ = ⇒ = − ±x ⇒ PT (1) có hai nghiệm phân biệt.

TH3: ∆ > ⇔ > − ' 0 m 256:

3.1 Nếu P < 0 ⇔ >m 144 thì PT (2) có 2 nghiệm t1 < 0 < t2 ⇒PT (1) có hai nghiệm phân biệt

3.2 Nếu P = 0 ⇔ m = 144 ⇒ PT (2) có hai nghiệm 1

2

0 40

t t

=



⇒

 =

 PT (1) có 3

nghiệm phân biệt

4

4 2 10

4 2 10

x x x

= −



 = − −



 = − +



3.3 Nếu -256 < m < 144 thì PT (2) có 2 nghiệm 0 < t1 < t2 ⇒ PT (1) có 4 nghiệm phân biệt

Vậy: +) Với m < - 256 thì PT (1) vô nghiệm

+) Không tồn tại m để PT (1) có 1 nghiệm

+) Với  >m m= −144256 thì PT (1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Với m = 144 thì PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

+) Với -256 < m < 144 thì PT (1) có 4 nghiệm phân biệt

* Cách 2: (1) ⇔(x2 +4x -12)(x2 +12x+20) = m ⇔(x – 2)(x+6)(x+2)(x+10) = m

⇔(x-2)(x+10)(x+6)(x+2) = m ⇔(x2 + 8x -20)(x2 + 8x +12) = m

Đặt (x+4)2 = t ≥ 0 Ta có:

PT⇔ (t- 36)(t – 4) = m ⇔t – 40t + 144 = m (2)

Xét hàm số y = t2 - 40t +144 (t≥0) và đường thẳng y = m

Lập bảng biến thiên của hàm số y = t2 - 40t +144 (t≥0):

t −∞ 0 20 +∞

y

-∞ +∞

144

-256

Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy:

TH1: Với m < -256 thì PT (2) vô nghiệm nên PT (1) vô nghiệm

TH2: m = -256 thì PT(2) có nghiệm kép t = 20 ⇒ PT (1) có 2 nghiệm phân biệt

x = -4 ± 2 5

TH3:-256 < m < 144 thì PT (2) có 2 nghiệm phân biệt 0 < t1 < t2 ⇒ PT (1) có 4 nghiệm phân biệt

TH4: m = 144 ⇒ PT (2) có 2 nghiệm 0 = t1 < t2 ⇒ PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

TH5: m > 144 ⇒PT (2) có 2 nghiệm t1 < 0 < t2 ⇒ PT (1) có 2 nghiệm phân biệt

Bài toán 4: Tìm m để phương trình (x 2 +4x -12)(x 2 +12x+20) = m (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

Đây là một bài toán vận dụng dành cho học sinh lớp 11

Giải: Từ phương trình (1) có phương trình t2 – 40t + 144 - m = 0 (2), với t = (x+4)2

(1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt dương (0 < t1 < t2 )

' 0

2

0

S

m P

∆ >





⇔ > ⇔ − < <



>



và 0 < t1 = 20 − 256 m+ < t2 = 20+ 256 m+

Khi đó: Phương trình (1) có 4 nghiệm được sắp xếp theo đúng thứ tư như sau:

x = − − t <x = − − t < = − +x t <x = − + t

4 nghiệm x1, x2, x3, x4 lập thành cấp số cộng ⇔x2 – x1 = x3 – x2

20 256 m 9(20 256 m) 10 256 m 160 256 m 16 m 0

Vậy với m = 0 thì phương trình có 4 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng với công sai d = 4:

x1 = -10; x2 = -6; x3 = -2; x3 = 2

Bài toán 5: Cho phương trình (x 2 +4x -12)(x 2 +12x+20) = m (1)

a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m.

b) Tìm m để bất phương trình (x 2 +4x – 12)(x 2 +12x+20) > m nghiệm đúng với ∀ ∈x ¡ .

Đây là một trong những dạng toán quen thuộc có yêu cầu cao đối với học sinh lớp 12 mà các em phải biết và qua đây cũng cho thấy các em cần biết linh hoạt trong việc ứng dụng phương pháp khảo sát hàm số bằng đạo hàm

Giải:

a) (x2 +4x -12)(x2 +12x+20) = m 4 3 2

16 56 64 240

Xét hàm số f(x) = x4 +16x3 +56x2 – 64x – 240

Tập xác định: ¡

Sự biến thiên: f ’(x) = 4x3 +48x2 +112x – 64 = 4.(x+4).(x2 +8x – 4)

f ’(x) = 0⇔

4 2 5 4

4 2 5

x x x

 = − −



= −



 = − +



f ’(x) > 0 với x∈ − −( 4 2 5; 4 − ∪ − +) ( 4 2 5; +∞) : Hàm số đồng biến.

f ’(x) < 0 với x∈(−∞ − − ; 4 2 5) (∪ − − + 4; 4 2 5): Hàm số nghịch biến.

Bảng biến thiên:

x -∞ -4-2 5 -4 -4+2 5 +