(SKKN 2022) giúp học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 1 giải bài toán tính thể tích khối đa diện thông qua ứng dụng của tỉ số thể tích

Lý do chọn đề tài: - Bài toán tính thể tích khối đa diện đa phần học sinh đều lúng túng do quên kiến thức hình học không gian lớp 11.. - Thường xuyên có trong đề thi đại học với mức độ

MỤC LỤC

1 Mở đầu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 4 2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 5

3 Kết luận, kiến nghị

1 – MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

- Bài toán tính thể tích khối đa diện đa phần học sinh đều lúng túng do quên kiến thức hình học không gian lớp 11

- Thường xuyên có trong đề thi đại học với mức độ vận dụng cao

Vì vậy tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là “ Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Quảng Xương 1 giải bài toán tính thể tích khối đa diện thông qua ứng dụng của tỉ số thể tích ”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Học sinh nắm được cách tính thể tích khối đa diện thông qua tỉ số thể tích Ngoài ra còn giúp học sinh phân dạng được các bài tập, mối liên hệ giữa bài tập này với bài tập kia

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các khối đa diện : Khối chóp, khối tứ diện, khối lăng trụ, khối hộp

- Đề tài được áp dụng trong chương trình hình học cơ bản lớp 12, học sinh ôn thi học sinh giỏi , học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ra trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:

i) Phương pháp nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy

- Nghiên cứu một số quan điểm , tư tưởng sáng tạo

2i) Phương pháp nghiên cứu theo phân loại các dạng bài tập

- Nghiên cứu các bài toán gốc và phát triển các bài toán gốc

- Nghiên cứu các bài toán có cấu trúc tương tự

2 – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Để thực hiện đề tài, cần dựa trên những kiến thức cơ bản:

i Tỉ số diện tích của hai tam giác





 . .

OMN

APQ

S OP OQ

2i Tỉ số thể tích của khối chóp

A Công thức tỉ số thể tích của hình chóp tam giác



.

.

S MNP

S ABC

Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác, do đó

trong nhiều trường hợp ta cầnhoạt phân chia hình chóp đã

cho thành nhiều hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng

B Một số trường hợp đặc biệt

Nếu A B C D1 1 1 1  ABCD và SA1 SB1 SC1 SD1 

k

SA SB SC SD thì 1 1 1 1  3

.

S A B C D

S ABCD

V

k V

Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác

3i Tỉ số thể tích của khối lăng trụ

A Lăng trụ tam giác

Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V  4 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ,

  5

V là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ Khi đó:

 4 

3

V

V

 5 2

3

Ví dụ: ' '  ; ' ' 2

A B BC A B ABC

B Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác

Gọi V1, V2 và V lần lượt là thể tích phần trên, phần dưới và lăng trụ Giả sử

 ,  , 

Khi đó: 2    .

3

m n p

Khi MA N', C thì  1,  0

AA CC

4i Khối hộp

A Tỉ số thể tích của khối hộp

Gọi V là thể tích khối hộp, V  4 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp Khi đó:

  4

V (hai đường chéo của hai mặt phẳng song song) 

3

V

  4

V (trường hợp còn lại) 

6

V

Ví dụ: ' '  , ' ' ' 

A C BD A C D D

B Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau)



  







 2

'

2 '

DM

x

x y DD

BP

y BB

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

i) Thuận lợi.

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện đề tài

- Được sự động viên của BGH, nhận được sự động viên và đóng góp ý kiến của đồng nghiệp

2i) Khó khăn.

- Đa số học sinh yếu hình học không gian hoặc là quên kiến thức hình học không gian lớp 11, quên kiến thức hình học phẳng.Học sinh có tư tưởng sợ và ngại học phần này

- Giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy đối với các bài toán tính thể tích khối

đa diện thông qua tỉ số thể tích

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12T3,12T4 là hai lớp trọng điểm chọn HS khá giỏi tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2021 - 2022 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:

Năm Lớp Tỉ lệ%Sĩ số Số học sinh làmđược bài tập

Số học sinh lúng túng không làm được bài tập

2021 - 2022

Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết có hệ thống trên cơ sở kiến thức trong SGK các dạng toán về tính thể tích khối đa diện thông qua tỉ số thể tích Song song với việc cung cấp tri thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán , phát triển tư duy cho học sinh đặc biệt là tư duy sáng tạo để trên cơ sở đó học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức hình học khác của lớp 12

M

O

C

A

D

B

S

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

Với vị trí của người trực tiếp dạy ôn thi ĐH-CĐ và ôn thi học sinh mũi nhọn tôi đã tiến hành song song các giải pháp:

1.Chọn phương pháp tiếp cận để giải từng bài

2 Áp dụng vào các bài tập cụ thể, phân tích cách giải

3 Luyện bài tập từ bài toán gốc và phát triển các bài toán tương tự đến nâng cao

4 Ôn lại kiến thức về hình học không gian lớp 11, kiến thức hình học phẳng

5 Áp dụng vào việc ra đề thi và kiểm tra chất lượng cho HS

2.3.1 Dạng 1: Ứng dụng tỉ số thể tích trong khối chóp, khối tứ diện

Ví dụ 1:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của

CD và I là giao điểm của AC và BM Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM

và S.ABCD

Phân tích tìm hướng giải

B1: Do hai khối chóp S.ICM và S.ABCD

Có chung đường cao nên tìm tỉ số

.

ISCM

B SCM

V

V thông qua tỉ số diện tích

B2:Tìm tỉ số .

.

B SCM

D SBC

V V

B2:Tìm tỉ số .

.

D SBC

S ABCD

V V

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do đó

Vậy

.

1 12

ISCM

S ABCD

V

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S ABCD. Gọi A, B, C, D theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC,

SD Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D     và S ABCD.

A 1

2

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta có .

.

1

8

S A B D

S ABD

.

1 16

S A B D

S ABCD

V V

  

Và .

.

1

8

S B D C

S BDC

.

1 16

S B D C

S ABCD

V V

  

Suy ra .

1 1 1

16 1

6 8

S A B D S B D C

S ABCD S ABCD

.

1 8

S A B C D

S ABCD

V V

   

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S ABCD. đáy là hình bình hành Gọi M N, lần lượt là trung điểm của

,

.

S BMPN

S ABCD

V

V bằng:

A .

.

1 16

S BMPN

S ABCD

V

V  B .

.

1 6

S BMPN

S ABCD

V

V  C .

.

1 12

S BMPN

S ABCD

V

V  D .

.

1 8

S BMPN

S ABCD

V

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có M N, là trung điểm của SA SC, nên 1

2

Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho SOD ta có :

Cách 2: Kẻ OH BP// , ta có O là trung điểm của BD nên H là trung điểm của PD

Ta có OH IP// mà I là trung điểm của SO nên P là trung điểm của SH Suy ra SP PH HD 1

3

SP SD

Theo công thức tỉ số thể tích ta có : . .

.

S BMPN S BMP

S ABCD S BAD

V  V SA SD   

Ví dụ 4:

(HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M N, lần lượt

là trung điểm AB CD, Gọi V V1 , 2 lần lượt là thể tích của MNBC và MNDA Tính tỉ lệ

1 2

V V

V



3

Hướng dẫn giải Chọn B

Vì M N, lần lượt là trung điểm AB CD, nên ta có:

 ,   ,  ;  ,    ,  

d A MCD d B MCD d C NAB d D NAB , do đó:

.

B MCD

V

.

A MCD

V V V V  

2

V V

V V





Ví dụ 5:

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K,M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SB, ( )  là mặt phẳng qua K song song với AC và

AM Mặt phẳng ( )  chia khối chóp S ABCD. thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số

1

2

V

V

A 1

2

7 25

V

2

5 11

V

2

7 17

V

2

9 23

V

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi V là thể tích khối chóp S ABCD. ; I H, lần lượt là trung điểm SC SM,

Do ( )  / / (ACM) nên ( )  cắt (SAD), (SBD), (SCD) lần lượt tại KL HP IJ, ,

cùng song song với OM

Ta có .

.

3 3 3 27

4 2 2 16

B HQP

B SAC

V BH BQ BP

V = BS BA BC = = Suy ra

.

.

.

1 1 1 1

2 2 2 8

A KQL

A SBD

V AK AQ AL

A KQL A SBD

Tương tự: C.IPJ

1 16

Do đó 2

=ççè - - ÷÷ø = 1

9 32

Vậy tỉ số 1

2

9 23

V

Ví dụ 6:

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng MNI

chia khối chóp S ABCD. thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7

13 lần phần còn lại Tính tỉ số IA

k

IS?

A 1

4

Hướng dẫn giải Chọn B

Hình 2 Hình 1

I K

E

Q

P

N M

D A

S

S I

P

E

H

Mặt phẳng MNI cắt khối chóp theo thiết diện như hình 1 Đặt V S ABCD V

ABCD

S

S



,

1 ,

d I ABCD IA k

SA k

d S ABCD   

.

.

,

,

I APM

S ABCD ABCD

d I ABCD



Mà SAPM SNCQ I APM. K NCQ 8 1

k

k



Kẻ IH/ /SD (H SD ) như hình 2 Ta có :

1



3 :

3 1



3 1 ,

d E ABCD ED k

SD k

d S ABCD



9 8

PQD

ABCD

S

S



.

E PQD

E PQD

S ABCD

k

2.3.2 Dạng 2: Ứng dụng tỉ số thể tích trong khối lăng trụ, khối hộp

Ví dụ 7:

Cho lăng trụ ABC A B C   , M là trung điểm CC Mặt phẳng ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số 1

2

V

V

A 1

2 D 25

Hướng dẫn giải

1

V là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là 1

1 3

V V  S MC

2

V là thể tích khối đa diện còn lại

V V    V S CC S CC S CC

Khi đó ta có tỉ số

1 2

V



Ví dụ 8:

Cho lăng trụ ABC A B C    Trên các cạnh AA BB ,  lần lượt lấy các điểm E F, sao cho

AA kA E BB  kB F Mặt phẳng C EF  chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp C A B FE   có thể tích V1 và khối đa diện ABCEFC có thể tích V2 Biết rằng 1

2

2 , 7

V

V  tìm k.

A k 4 B k 3 C k 1 D k 2

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

.

.

.

1

1

;

2

1 3

A B FE ABB A

C A B FE

C ABB A

C A B FE

ABCEFC

AA kA E

BB kB F

k V

k

k

   

  

  

  



  

  





Ví dụ 9:

Cho hình lăng trụABC A B C ' ' 'có thể tích là V Gọi Mlà trung điểm BB', điểm N

thuộc cạnh CC'sao cho CN= 2 'C N Tính thể tích khối chóp A BCMN. theo V

A .

7 12

A BCMN

V

7 18

A BCMN

V

3

A BCMN

V

.

5 18

A BCMN

V

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách 1:

B' A'

C'

B

C

A

Ta có: '

( ',( )).

Theo công thức tỷ số thể tích: .

'

1 ' 2

B MAC

B B AC

V

1

( , ') 3 2

( , ') 2

BMC

NMC

BM d C BB S

S NC d M CC

D

D

.

1

Cách 2:

h

C'

C

Gọi h k, lần lượt là độ dài đường cao của hình lăng trụABC A B C ' ' 'và hình chóp A BCMN. , S là diện tích tam giác ABC

Þ độ dài đường cao của hình chóp M ABC. là:

2

h

1

MABC

V = S= (1)

Mặt khác: 1 . 1

3

SD = SD (vì 2 tam giác MNC và BCM có cùng chiều cao và

4 3

Từ (1) và (2) ta có: .

Ví dụ 10:

(Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D    

có thể tích bằng 2110 Biết A M MA; DN  3ND; CP 2PC Mặt phẳng MNP

chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A 7385

18 B 5275

12 C 8440

9 D 5275

6

Hướng dẫn giải

Ta có: .

.

MNPQ A B C D ABCD A B C D

   

   

      

2110

nho MNPQ A B C D ABCD A B C D

V V     V      

Ví dụ 11:

B

C

D

A

A

D

B

C

M

N

P

B

C

D

A

A

D

B

C

M

N

Q

P

(THPT Thạch Thanh 2 - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật

.

ABCD A B C D    có thể tích bằng 2110 Biết A M MA, DN  3ND, CP 2C P như hình vẽ Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

A 5275

6 B 8440

9 C 7385

12

Hướng dẫn giải

Gọi Q là giao điểm của mặt phẳng MNP với BB

Giả sử A M x

AA





 , C P y

CC





 , D N z

DD





 , B Q t

BB





 Khi đó x y z t  

.

A B D MQN

A B D ABD

V

  

  

 

A B D MQN

A B C D ABCD

V

  

   

 

.

C B D PQN

C B D CBD

V

  

  

 

C B D PQN

A B C D ABCD

V

  

   

 

.

1 2

MNPQ A D C B ABCD A D C B

V

x y V

   

   

.

1 2

MNPQ A D C B

ABCD A D C B

   

   

1 1 1

2 2 3

   

5 12



D.

.

MNPQ A D C B ABC A D C B

V     V    

2.3.3 Bài tập tự luyện.

Câu 1:Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện của tứ diện CMR: 1 2 3 4

1

r

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD. đáy là hình bình hành có thể tích bằng V Lấy điểm B , Dlần lượt là trung điểm của cạnh SBvà SD Mặt phẳng qua AB D 

cắt cạnh SCtại C Khi đó thể tích khối chóp S AB C D   bằng

A

3

V

3

V

3

6

V

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MA MB                                            0

và              NC               2ND

Mặt phẳng  P chứa

MN và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V Tính V

18

216

216

108

V 

Câu 4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA 2a Gọi B D; lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB SD, Mặt phẳng AB D  cắt cạnh SC tại C Tính thể tích của khối chóp S AB C D   

A 3

3

a

45

a

2

a

4

a

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a và SA

vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho

2

SN  ND Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN

A 1 3

12

6

V  a C 1 3

8

V  a D 1 3

36

V  a

Câu 6: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 Gọi M , N , P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD Tính theo V thể tích của khối

tứ diện MNPQ

A 2017

9 B 4034

81 C 8068

27 D 2017

27

Câu 7: Cho hình chóp SABCDcó đáyABCD là hình bình hành Gọi Mlà trung điểm

SB Nlà điểm thuộc cạnh SC sao cho SN  2CN , P là điểm thuộc cạnh SD sao cho

3

SP DP Mặt phẳng MNP cắt SA tại Q. Biết khối chóp SMNPQ có thể tích bằng

1 Khối đa diện ABCD QMNP. có thể tích bằng

A 97 B 175 C 4 D 145

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác S ABCD. Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác

lệ 1

2

V

V

A 278 B 1681 C 8

19 D 1675

Câu 9: Cho hình hộp ABCD A B C D     có thể tích bằng V Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A C , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP

A 1

48V C 5

48V D 1

6V

Câu 10: (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể tích bằng

2018 Gọi M là trung điểm AA ; N P, lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BB,

CC sao cho BN 2B N , CP 3C P Tính thể tích khối đa diện ABC MNP.

A 32288

27 B 40360

27 C 4036

3 D 23207

18

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

- Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia giảng dạy lớp

12T3,12T4 ôn luyện HS mũi nhọn và ôn thi đại học.Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin ,biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê yêu thích môn toán ,mở ra cho học sinh cách nhìn

nhận ,vận dụng,linh hoạt ,sáng tạo các kiến thức đã học , tạo nền tảng cho học sinh

tự học , tự nghiên cứu Kết quả khi thực hiện đề tài như sau:

Năm

Học

Lớp Sĩ số

Tỉ lệ

Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài

Số học sinh làm được bài tập

Số học sinh lúng túng không làm được bài tập

Số học sinh làm được bài tập

Số học sinh lúng túng không làm được bài tập

2021-2022