(SKKN 2022) khắc phục những sai lầm thường gặp trong bài toán trắc nghiệm về hàm số cho học sinh lớp 12 trường thpt quảng xương 1

Page 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG

Page 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1

Người thực hiện: Trương Thị Hương

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

Page 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN 52.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề 6

3 Kết luận, kiến nghị

1 MỞ ĐẦU.

1.1.Lí do chọn đề tài:

Toán học là một môn khoa học cơ bản và quan trọng đối với chương trình phổthông Những năm gần đây, trong kỳ thi THPT Quốc Gia và năm nay 2022 là kỳ thiTốt nghiệp THPT, Bộ Giáo dục đã chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm ở bộ môn toán Vì vậy việc giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài trắc nghiệm sao cho đạt tốc độ nhanh, chính xác và đồng thời giúp học sinh phải hiểu được bản chất toán học của bài toán là điều vô cùng cần thiết

Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia những năm gần đây, phần ứng dụng của đạo hàm là một phần chiếm nhiều câu hỏi trong đề thi và cũng là một phần rất quantrọng trong chương trình toán THPT

Trong Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 chương trình chuẩn, chương 1 “Ứngdụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” chỉ có phần lý thuyết cơ bản,các ví dụ và bài tập dạng tự luận Lượng bài tập trắc nghiệm rất ít nằm ở phần ôntập cuối chương, không có hướng dẫn giải toán trắc nghiệm cho học sinh Đặc biệt,học sinh mới được rèn luyện ít và giáo viên cũng mới hình thành cách hướng dẫncho học sinh giải bài tập trắc nghiệm chứ chưa rút ra được những sai lầm thườnggặp khi làm bài tập trắc nghiệm ở phần này

Trong quá trình dạy học sinh ôn thi Đại học cho học sinh ở phần này, tôi đã nhận thấy một số sai lầm các em học sinh thường gặp và rút ra được một số kinh nghiệm nhằm khắc phục cho các em một số sai lầm khi làm bài tập trắc nghiệm về ứng dụng của đạo hàm để giải bài toán liên quan đến hàm số Với những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài trong sáng kiến kinh nghiệm của mình là:

“ Khắc phục những sai lầm thường gặp trong bài toán trắc nghiệm về hàm số cho học sinh lớp 12 trường THPT Quảng xương 1”

Tôi trình bày trong bản sáng kiến kinh nghiệm này mong các đồng chí, đồngnghiệp cùng tham khảo và đóng góp ý kiến cho tôi để tôi hoàn thiện đề tài này,giúp cho việc dạy học môn toán có hiệu quả hơn Đồng thời giúp các em có kết quảtốt nhất trong kì thi Tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh Đại Học

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích cơ bản của đề tài là: Phát hiện những sai lầm thường gặp của họcsinh khi giải toán trắc nghiệm về hàm số phần Ứng dụng của đạo hàm trongchương trình giải tích lớp 12 Từ đó khắc phục cho học sinh tránh những sai lầm,giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và nắm được bản chất toán học củanhững dạng toán về hàm số

1.3 Đối tượng nghiên cứu :

- Hệ thống các bài tập trắc nghiệm về ứng dụng của hàm số chương 1 giải tíchlớp 12 mà học sinh thường gặp sai lầm

- Học sinh ôn thi THPT quốc gia.

1.4 Phương pháp nghiên cứu :

1 Tìm hiểu bằng cách đọc, nghiên cứu tài liệu về bài tập trắc nghiệm phầnhàm số

- Thu thập các tư liệu có liên quan đến đề tài: Sách giáo khoa giải tích 12chương trình chuẩn, sách về hàm số, các sách tham khảo về trắc nghiệm toán học,báo tuổi trẻ, tham gia các nhóm giải đề, làm đề, giao lưu kiến thức toán học vớigiáo viên toàn quốc trên các trang mạng…

2 Phương pháp điều tra sư phạm

- Điều tra trực tiếp bằng cách dự giờ phỏng vấn

- Điều tra gián tiếp bằng cách sử dụng phiếu điều tra

3 Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp giảng dạy Toán học của đồngnghiệp thông qua các buổi họp chuyên đề, dự giờ thăm lớp

4 Lấy kinh nghiệm thực tế từ việc giảng dạy bài tập trắc nghiệm phần ứngdụng đạo hàm của hàm số cho các khóa học ôn thi Đại học

Áp dụng sáng kiến vào dạy học thực tế từ đó thu thập thông tin để điềuchỉnh cho phù hợp

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.Cơ sở lý luận:

Nội dung kiến thức cơ bản sách giáo khoa và sách giáo viên giải tích lớp 12 chương trình chuẩn, tham khảo sách: Sai lầm thường gặpvà các sáng tạo khi giải toán của Trần Phương.

I.Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:

1 Định nghĩa

Cho hàm số y=f x( ) xác định trên K với K là một khoảng

+) Hàm số y=f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu:

"x x1 , 2 Î K x, 1 <x2 Þ f x( ) 1 <f x( ) 2

+) Hàm số y=f x( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu:

"x x1 , 2 Î K x, 1 <x2 Þ f x( ) 1 >f x( ) 2

+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

2 Định lý Giả sử hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng K

• Nếu f x¢ >( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

• Nếu f x¢ <( ) 0với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K

• Nếu f x¢( )=0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) không đổi trên K

Định lý mở rộng:

Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên khoảng K.

+) Nếu f x¢ ³( ) 0, " Îx K và f x¢ =( ) 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

( )

y=f x đồng biến trên khoảng K

+) Nếu f x¢ £( ) 0, " Îx K và f x¢ =( ) 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

( )

y=f x nghịch biến trên khoảng K

3 Lưu ý:

+) Nếu hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b và f x'( )>0, " Îx ( ; )a b thì ta nói hàm

số đồng biến trên đoạn [ ; ].a b

+) Nếu hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b và f x'( )<0, " Îx (a; )b thì ta nói hàm

số nghịch biến trên đoạn [ ; ].a b

+) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng

Khi đó f x( )0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số .

b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a b; )chứa điểm x0 sao cho (a b Ì; ) D và f x( )>f x( )0 với mọi xÎ (a b; \) { }x0

Khi đó f x( )0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

1 Định nghĩa: Cho hàm số yf x( ) xác định trên miền D.

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên D nếu: 0 0

( ) , , ( )

Đường thẳng x x được gọi là đường TCĐ  0

(hay TCĐ) của đồ thị hàm số yf x  nếu thỏa mãn ít nhất

một trong các điều kiện sau:

b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Cho hàm số yf x  có xác định trên một khoảng vô hạn

là khoảng có một trong các dạng ( ,a  ); (   , )a ; (    , )

Đường thẳng y y được gọi là đường TCN (hay TCN) của 0

đồ thị nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Ứng dụng đạo hàm trong bài toán về hàm số là một trong những nội dung quantrọng chương trình toán lớp12 và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Bàitoán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là phần thể hiện rõ việc nắm kiến

thức một cách hệ thống bao quát và cũng là phần thể hiện được kĩ năng nhận dạng

và tính toán nhanh nhạy, kĩ năng tổng hợp kiến thức của học sinh khi thực hiện giảiquyết vấn đề

Vì vậy, câu hỏi trắc nghiệm về hàm số thoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếuhọc sinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì dễ bị nhầm lẫn hoặc thời giangiải quyết vấn đề lâu, mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh, và tiêutốn thời gian dành cho những câu trắc nghiệm khác

Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở lớp 12T6 tôi trực tiếp giảng dạynăm học 2021- 2022 trường THPT Quảng Xương 1, kết quả như sau:

Năm Lớp Sĩ số Số học sinh trả

lời chính xác

Số học sinh trả lời chínhxác trong 30s – 1p

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Phát hiện những sai lầm thường gặp và cách khắc phục:

Trong mỗi câu hỏi trắc nghiệm có bốn phương án, một phương án đúng và ba phương án nhiễu Ba phương án nhiễu là ba phương án dễ gây nhầm lẫn cho học sinh Vì vậy ta cần khắc phục cho học sinh những nhầm lẫn thường gặp, tránh chọnphương án nhiễu Trong giới hạn của bài này tôi xin trình bày cách khắc phục một

số sai lầm thường gặp nhất của học sinh khi giải toán trắc nghiêm phần hàm số chương 1 giải tích lớp 12 chương trình chuẩn

Trước hết các em cần nắm vững kiến thức cơ bản Khi làm bài phải đọc kỹ đề bài Khi dạy học, các em dễ nhầm lẫn thì giáo viên phải chỉ rõ những điểm dễ nhầm

và cách khắc phục để học sinh rút kinh nghiệm

Cụ thể:

I Hàm số đồng biến, nghịch biến:

1 Sai lầm khi không nắm vững điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đồng biến(nghịch biến) trên một khoảng

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên K Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Nếu hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng K thì f x¢ > " Î( ) 0, x K.

B Nếu f x¢ < " Î( ) 0, x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K .

C Nếu f x¢ ³( ) 0, " Îx K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K.

D Nếu f x¢ ³( ) 0, " Îx K và f x¢( )=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồngbiến trên K

Lời giải sai:

Học sinh dễ chọn đáp án A đúng vì nhầm với điều kiện cần hoặc có thể nhầm chọn

C đúng vì không để ý đến điều kiện kèm theo của định lý mở rộng

Lời giải đúng: Theo định lí mở rộng thì Chọn C

1 Sai lầm khi kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến do không nắm vững định nghĩa

Ví dụ 2: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (- 2;+¥) và (- ¥ -; 2 )

B Hàm số đã cho đồng biến trên (- ¥ -; 1) (È - 1;2 )

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (- ¥ -; 1)và (- 1;2 )

D Hàm số đã cho đồng biến trên (- 2;2)

Lời giải sai: Học sinh có thể nhầm chọn đáp án A do chọn tập giá trị của hàm số

hoặc chọn đáp án B do học sinh không phân biệt được đồng biến trên tập hợp củahai khoảng và đồng biến trên mỗi khoảng

Lời giải đúng: Chọn đáp án C vì hàm số đồng biến trong mỗi khoảng (- ¥ -; 1)và

( - 1;2 )

2 Sai lầm khi giải bài toán chứa tham số vì xét thiếu trường hợp:

Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y=(m2 - 1)x3 + (m- 1 )x2 - x+ 4

nghịch biến trên khoảng (- ¥ +¥; )?

A 0. B 1. C 2. D 3.

Lời giải sai: Khi giải bài này học sinh thường quên xét trường hợp (m -2 1)= 0

Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ +¥; ) Û y¢£0," Î ¡x (y¢=0 có hữu hạnnghiệm)

Lời giải đúng TH1: m=1. Ta có y=- +x 4 là phương trình của một đường thẳng

có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ¡ Do đó nhận m=1.

TH2: m=- 1. Ta có y=- 2x2- x+ 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm

số không thể nghịch biến trên ¡ Do đó loại m=- 1.

TH3: m¹ ±1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ +¥; ) Û y¢£0," Î ¡x (y¢=0

Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m=0 hoặc m=1. Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hàm số y x= 4- 2(m- 1)x2+ -m 2 với m là tham số thực Tìm tất cả cácgiá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )1;3

-Học sinh không xét trường hợp m- £1 0 mà chỉ xét

Dựa vào bảng biến tiên, ta có YCBT Û m- £ Û 1 1 m£ ¾¾¾ 2 m> 1 ® < £ 1 m 2 Chọn B.

Lời giải đúng Đạo hàm: ( ) ( )

-• Nếu m- £ Û 1 0 m£ ¾¾ 1 ®y¢= 0 có một nghiệm x =0 và y¢ đổi dấu từ '' '' - sang '' '' +

khi qua điểm x = ¾¾0 ®hàm số đồng biến trên khoảng (0;+¥) nên đồng biến trênkhoảng ( )1;3 Vậy m£1 thỏa mãn

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến tiên, ta có YCBT Û m- £ Û 1 1 m£ ¾¾¾ 2 m> 1 ® < £ 1 m 2

Hợp hai trường hợp ta được m£2. Chọn D.

II Cực trị:

1.Sai lầm vì không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị

Ví dụ 5: Cho khoảng (a b; ) chứa điểm x0 , hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a b; )(có thể trừ điểm x0) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Nếu f x( ) không có đạo hàm tại x0 thì f x( ) không đạt cực trị tại x0

B Nếu f x¢( )0 =0 thì f x( ) đạt cực trị tại điểm x0

C Nếu f x¢( )0 = 0 và f x¢¢( )0 = 0 thì f x( ) không đạt cực trị tại điểm x0

D Nếu f x¢( )0 =0 và f x¢¢( )0 ¹ 0 thì f x( ) đạt cực trị tại điểm x0

Lời giải sai Ở dạng này học sinh thường sai lầm chọn A hoặc B hoặc C Chọn A

hoặc B vì học sinh thường chỉ để ý điều kiện cần để đạt cực trị tại x0 là f x¢( )0 = 0

Chọn C vì không chú ý quy tắc 2

Lời giải đúng: Chọn D (theo định lí SGK) Các mệnh đề còn lại sai vì:

A sai, ví dụ hàm y= x không có đạo hàm tại x =0 nhưng đạt cực tiểu tại x =0.

B thiếu điều kiện f x¢( ) đổi dấu khi qua x0

C sai, ví dụ hàm y x= 4 có

( ) ( )

f f

Học sinh sai lầm ở chỗ không xét điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị là đạo hàmphải đổi dấu qua nghiệm của nó.

1 Sai lầm khi giải bài toán chứa tham số không xét hết trường hợp

Ví dụ 8: Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số

A (- ¥;1.] B (- ¥ ;0) ( )È 0;1 C (- ¥;0) (È 0;1.] D (- ¥;1 )Lời giải sai

Ta có y¢=mx2+ 2x+ 1. Để hàm số có cực trị Û y¢= 0 có hai nghiệm phân biệt

Nếu m=0 thì y x= + +x 2017: Hàm bậc hai luôn có cực trị.

Khi m¹ 0, ta có y¢=mx2+ 2x+ 1. Để hàm số có cực trị Û y¢= 0 có hai nghiệm phânbiệt

1 Ngộ nhận về kết quả tổng quát khi mới biết một số trường hợp riêng:

Ở phần này, để tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số phân thức, khilàm trắc nghiệm học sinh thường làm nhanh bằng cách tìm nghiệm của mẫu nhưng lại quên một số điều kiện nên dẫn đến kết quả sai

Ví dụ 9: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1

2 1

x y

x 

1 2

x 

1 2

y 

1 2

1 2

x 

Học sinh có thể nhẩm nghiệm của mẫu và suy ra phương trình đường tiệm cậnđứng từ ví dụ trên nhưng có những trường hợp không đúng như vậy

Ví dụ 10: Đồ thị hàm số 2

7

x y

x x

-= + - có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

4

x x y

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 2 đường TCĐ Chọn C.

Sai lầm: Học sinh nhẩm nhanh bằng cách tìm nghiệm của mấu nhưng trường hợp x =2cũng là nghiệm của tử nên không phải là đường tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường TCN và 1 đường TCĐ Chọn B.

Tuy nhiên có những trường hợp x0 vừa là nghiệm của mẫu, vừa là nghiệm của tử nhưng x=x0vẫn là đường tiệm cận đứng.

Ví dụ 12: Đồ thị hàm số

2 2

16 16

x y

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường TCĐ Chọn C.

Nếu học sinh giải theo phương pháp nhẩm nhanh thì lưu ý cho học sinh phải rút gọn biểu thức tối giản nhất: •

Phân tích sai lầm: Do không nhớ phần tìm giới hạn chứa căn, khi khai căn bậc

chẵn không xét dấu của x

IV Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 14: Cho hàm số f x( ) xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

định do học sinh không nắm vững điều kiện điểm tới hạn là tại đó đạo hàm triệttiêu hoặc có thể không xác định.

Đáp án đúng

Chọn A.

Ví dụ 15: Gía trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số 2

sin 1 sin sin 1

x y

2 ( )

t t

Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là −

1

3 khi: sinx = -2, điều

này không xảy ra

Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho

nó dẫn đến bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới 2

1 ( )

Đặt t = sinx, điều kiện    1 t 1.

Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số 2

1 ( )

Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn 1;1 lần

lượt là 0 (khi và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0)

1 Khi tìm phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước,

chỉ sử dụng điều kiện cần nên không loại trường hợp trùng nhau.

Phân tích sai lầm: Do học sinh chỉ sử dụng điều kiện cần để tiếp tuyến có phương

trình:y ax b  song song với đường thẳng: y a x b '  ' là có cùng hệ số góc a a '.Khi làm trắc nghiệm, từ điều kiệna a 'tìm được số nghiệm của phương trình vàvội vàng kết luận số hoành độ tiếp điểm suy ra số tiếp tuyến luôn mà không để ýđến điều kiện:b b ' Vậy nên không loại trường hợp tiếp tuyến trùng với đườngthẳng cho trước

Ví dụ 16: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

27 2



x y

x song song với trục hoànhlà: