(SKKN 2022) MỘT SỐ GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH YẾU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – YẾU Người th

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – YẾU

Người thực hiện: Lê Mai

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

II NỘI DUNG 1

1 Cơ sở lý luận 2

2 Thực trạng 2

3 Một số giải pháp thực hiện………2

3.1 Giải pháp 1………

2 3.2 Giải pháp 2

4 3.3 Giải pháp 3……… 9

3.4 Giải pháp 4……… 10

3.5 Giải pháp 5……… 12

III KẾT LUẬN CHƯƠNG 14

1 Kết luận nghiên cứu 15

2 Kết luận chung 15

DANH MỤC

PHỤ LỤC………

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thực tiễn dạy học giải tích 12 cho thấy, chủ đề Nguyên hàm – Tích phân

là nội dung kiến thức khó đối với nhiều học sinh Đây cũng là chủ đề chiếm mộtphần quan trọng trong kỳ thi THPT quốc gia, gây nhiều khó khăn trong dạy vàhọc Học sinh lại quen với kiểu tư duy xuôi( Như bài toán tìm đạo hàm của hàmsố) nên khi phải tìm bài toán ngược( Tìm nguyên hàm) gây trở ngại ngay mớiđầu tiếp cận và nội dung này còn có nhiều công thức khó nhớ, khó thuộc

Làm thế nào để tạo niềm tin hứng thú cho học sinh khi học, đặc biệt là đốitượng học sinh trung bình - yếu, để các em không chỉ tiếp cận được mà còn biết

áp dụng tốt các bài toán về tìm nguyên hàm, tích phân của một số hàm sốthường gặp bằng bảng nguyên hàm, hai phương pháp cơ bản như đổi biến số,nguyên hàm tích phân từng phần,…Và cao hơn nữa là các em cảm thấy hứngkhởi, tự tìm tòi, khám phá, kết nối giữa giả thiết và kết luận, giữa bài toán chưabiết cách giải và bài toán đã có cách giải, linh hoạt giải quyết các bài toán vậndụng như các bài toán tìm nguyên hàm, tích phân có chứa hàm ẩn, Tôi đã luôntrăn trở, mò mẫm, tìm tòi hướng giải quyết cho vấn đề từ thấp đến cao và mạnh

dạn chọn đề tài: “ Một số giải pháp bồi dưỡng năng lực giải toán Nguyên hàm

- Tích phân cho học sinh trung bình – yếu”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh THPT

- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng toán trong chương trình phổthông

3 Đối tượng nghiên cứu

HS lớp 12A2 và lớp 12A7 năm học 2020 -2021

4 Phương pháp nghiên cứu:

* Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các loại tài liệu về lí luận và phương

pháp giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí, Giáo dục học, có liên quanđến đề tài như năng lực, năng lực toán học,

* Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua tài liệu, quan sát

thực trạng dạy học của giáo viên và học sinh

* Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính

khả thi và hiệu quả của đề tài

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận:

- Dựa trên các kiến thức về khái niệm, định nghĩa, định lí và các côngthức được chứng minh hoặc được thừa nhận trong chương trình toán trung họcphổ thông.

- Dựa trên đặc điểm phát triển năng lực nói chung và năng lực toán nóiriêng

2 Thực trạng:

* Nguyên nhân khách quan:

Chất lượng đầu vào thấp, việc lĩnh hội kiến thức cơ bản đối với các emcòn vất vả Bên cạnh đó, gia đình chủ yếu là thuần nông, điều kiện còn khókhăn, nhiều gia đình phải đi làm ăn xa, việc quan tâm đến học tập của con emcòn hạn chế nên ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt, chưa xác địnhđược động cơ học tập

* Nguyên nhân chủ quan:

- Nội dung Nguyên hàm – Tích phân có nhiều khái niệm mới, công thứcmới, có tính trừu tượng cao, khó nhớ, khó thuộc, cần kết hợp linh hoạt các thaotác tư duy như tư duy logic, phân tích, tổng hợp, tư duy ngược,

- Các dạng toán trong SGK chưa nhiều, chỉ mới dừng lại ở các bài toánđơn giản, vận dụng định nghĩa, định lý máy móc, không phân loại các bài toánthành từng dạng để giải quyết

- Đây là nội dung mà học sinh cảm thấy khó, rất hay mắc sai lầm khi ápdụng các công thức giải bài tập

Ví dụ: Tìm hàm số F x  sao cho F x'   f x( ) biết:

a F x x b F x  x? Có bao nhiêu hàm số F x  thỏa mãn

 

F x  f x , chúng có quan hệ với nhau thế nào (Các nguyên hàm sai khác hằng

Yêu cầu học sinh nêu bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, hàm hợp tương

ứng tôi lật ngược vấn đề: Nếu biết đạo hàm của một hàm số, có thể tìm được

hàm số gốc của đạo hàm đó không (Từ đạo hàm suy ngược ra nguyên hàm)? Có

bao nhiêu hàm số thỏa mãn, chúng có quan hệ với nhau thế nào? Từng bước

hoàn thiện bảng các nguyên hàm cơ bản  Nguyên hàm của hàm số hợp tương

F  ?

Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ

1 Có f x( ) t f x( ) 3 2

0

d 1

x x I

Đối với dạng đổi biến số, dấu hiệu chung:

Nếu hàm số chứa căn  đặt tcăn

Nếu hàm số chứa mẫu  đặt tmẫu

Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao  đặt tbiểu thức chứa lũy thừa bậc

cao

Cụ thể: Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Đối với dạng Nguyên hàm – Tích phân từng phần: Thì cần hướng dẫn HS

cách đặt u ?,dv như thế nào Có thể liệt kê các dạng thường gặp như:?

1 p x  ln ax b dx   u lnax b 

Thay vì phải học thuộc, nhớ các dạng thường gặp cách đặt u ?,dv ,?

tôi giúp các em cách nhớ dễ dàng thông qua câu : Nhất lốc – Nhì đa – Tam

lượng – Tứ mũ để chỉ thứ tự ưu tiên đặt u trong biểu thức dưới dấu nguyên

hàm Thông qua các ví dụ cụ thể yêu cầu các em xác định cách đặt u ?, dv?như thế nào

Bằng phương pháp nguyên hàm từng phần hãy nêu cách đặt u ?, dv?

là hợp lý ?

2 2

1.Tính cos xdx

2 Tính  1 sin xsin2xsin3x dx,

Đối với Nguyên hàm – Tích phân dạng phân thức

Cho x 0: thay vào  * ta được: A 1.

Cho x  1: thay vào  * ta được: C   1

Vậy

2

2 1

Đối với nguyên hàm, tích phân hàm ẩn : Đây là dạng vận dụng, vận

dụng cao có nhiều tài liệu tham khảo phân dạng và rèn luyện Bài tập loại nàykhó, đa dạng, tôi xin trình bày một hướng giải quyết nhỏ trong một số bài toán

có mặt trong các đề thi những năm gần đây mà HS dễ tiếp cận thay vì phải nhớcông thức dài dòng khó nhớ như sau :

Bước 1 : Cô lập cụm f x f x ,'( ), ( ) f n( )x hoặc biểu thức chứa ( ) f x sang một vế

(Nếu ở dạng phân thức thì f x phải ở tử).'( )

Bước 2 : Lấy nguyên hàm hai vế hoặc tích phân hai vế ( Tùy yêu cầu bài toán)

Ví dụ 1 : Cho ( ) f x xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên  1;4 thỏa

Để tính được f  4 ta phải xác định được ( )f x ?.

Yêu cầu HS biến đổi thực hiện bước 1 được :

Hướng 2 : Bài toán yêu cầu tính f  4 đã cho  1 3

2

f  nghĩ ngay đến lấy tích phân hai vế :

¢ ¥ là phân số tối giản Tính b a ?

Đến bài toán này nhiều HS đã biết thực hiện được việc cô lập: ' 

3.3 Giải pháp 3: Khắc phục sai lầm của học sinh

Trong quá trình dạy học phần này tôi phát hiện ra một số lỗi học sinhthường mắc phải như:

- Không nắm vững định nghĩa

- Hiểu sai bản chất các công thức tính nguyên hàm cơ bản, nhầm lẫn giữa

các công thức, thậm chí còn tự sáng tác ra công thức dẫn đến áp dụng giải sai bài toán

- Đổi biến số nhưng không tính vi phân cho biến mới

- Áp dụng không đúng phương pháp nguyên hàm từng phần

- Thậm chí còn sai sót do kỹ năng tính toán, sử dụng máy tính còn chưa

thành tạo,

Để khắc phục những lỗi mà học sinh hay mắc tôi lồng ghép cả trong quátrình giảng dạy khi học sinh tiếp cận kiến thức mới và khi rèn luyện giải bài tập,dưới nhiều hình thức như: Yêu cầu nắm được kiến thức trọng tâm, phân tích -nhận xét – đánh giá sai lầm trong lời giải bài toán của bạn, cách khắc phục đốivới từng lỗi Cụ thể như sau:

* Yêu cầu nắm được định nghĩa nguyên hàm – tích phân Giúp học sinh xácđịnh điều kiện để có hàm sốF x  là nguyên hàm của hàm số f x trên K là gì?Khi nào sử dụng được công thức Newton – Leibniz   ( ) ( ) ( )

b

b a a

2

0 0

y x



 không xác định tại x  1  0; 2 nên không liên tục

trên  0; 2 Do đó không sử dụng được công thức Newton – Leibniz

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ( ) (1 ) x

số f x( ) xex trên ¡ Từ đó tìm nguyên hàm của hàm số ( )  1 x

g x  x e ?

Khi tìm nguyên hàm của hàm số ( )  1 x

g x  x e học sinh làm như sau:

g x dx x e dx  xe dx  e dx     x e C   e C xe

Nguyên nhân sai: HS đã áp dụng đúng bài toán và tính chất nhưng các em

đã viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm dẫn đến sai kết quả

* Yêu cầu HS nắm được và học thuộc( Từ việc hiểu, xây dựng và ápdụng) bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản – nguyên hàm hàm số hợp tươngứng, nguyên hàm của hàm số hợp tương ứng thường gặp với u ax b  Tạo thóiquen khi mới học toán nguyên hàm là kiểm tra công thức lấy đạo hàm củanguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho không? Đặc biệt đối với bàitoán tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của I sin 2xdx, J cos 2xdx,

Lời giải sai: I sin 2xdx 2cos 2x C , J cos xdx2   2sin 2x C

Ví dụ 4: Tính tích phân

8 0

Nguyên nhân sai:

HS vận dụng công thức nguyên hàm cơ bản 1

Nguyên nhân sai: Thay vì vận dụng công thức tích phân từng phần HS lại tự

sáng tác ra công thức tích phân của một tích

Lời giải đúng:

1 0

Xuất phát từ sự đổi mới trong quá trình kiểm tra, đánh giá năng lực họcsinh và sự thay đổi từ hình thức thi Tự luận sang Trắc nghiệm khách quan đòihỏi học sinh không chỉ cần có nền kiến thức rộng mà còn sâu, cần có kỹ năngtính toán nhanh, chính xác đồng thời phải kết hợp linh hoạt các thao tác tư duynhư so sánh, phân tích, tổng hợp, phán đoán, điều này thường hạn chế ở cáchọc sinh trung bình khá trở xuống Tuy nhiên, nếu có sự hỗ trợ của máy tínhcầm tay để giải toán trắc nghiệm giúp các em tự tin lựa chọn đáp án đúng, tiếtkiệm tối đa thời gian mang lại hiệu quả thiết thực trong bài thi.

Sử dụng máy tính giải toán về nguyên hàm - tích phân được chia thànhcác dạng như sau: Giải toán về nguyên hàm, giải toán về tích phân và ứng dụngcủa tích phân Trong đó giải toán về tích phân và ứng dụng của tích phân họcsinh dễ thực hiện bằng máy tính và cho kết quả nhanh, chính xác

* Dạng: Tính tích phân ( )

b

a

f x dx

 ( Trong đó các đáp án bài cho đều là số

vô tỷ như căn thức, số e, số )

+) Nhập tích phân trên vào máy tính

+) Nhấn CALC và nhập vào biến A từng giá trị của các phương án đáp

án cho rồi nhấn phím dấu bằng, nếu được kết quả bằng 0 thì chọn phương án đó

Ví dụ : Trong các tích phân sau tích phân nào có giá trị bằng 5503 ?

12500

x x  dx



+) Nhập tích phân vào máy tính

+) Nhấn CALC máy hỏi A? B? Ta lần lượt nhập vào cho cặp (A, B) từng

bộ (2;2), (1;1 ), (1;2 ), (2;1 ) tương ứng với các phương án rồi nhấn dấu bằng,

phương án nào cho kết quả bằng 0 là đáp án đúng Chọn D

* Đối với tích phân của hàm số lượng giác phải kiểm tra máy tính để ở

chế độ Radian và chú ý cách nhập hàm lượng giác mũ như nhập sin x2 phải nhập

A.24 3 1   B.24 3 1   C 3 1 4  D 3 1 4 

* Thậm chí có những câu hỏi hạn chế máy tính nhưng cần nắm vững tính

chất cơ bản kết hợp chức năng của máy tính chúng ta vẫn giải quyết bài toánnhư: Cho tích phân

5 1

3.5 Giải pháp 5: Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng thấp – Vận dụng cao( Dựa trên các câu hỏi có trong các đề thi THPT quốc gia của những năm trước)

Phù hợp với năng lực học sinh là điều rất quan trọng, tôi tham khảo tàiliệu trên mạng, dựa theo chuẩn kiến thức, yêu cầu cần đạt và các câu hỏi cótrong đề thi THPT quốc gia biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quantheo các mức độ

MỨC ĐỘ 1 : NHẬN BIẾT

Mục tiêu: Giúp HS làm quen với khái niệm nguyên hàm, thuộc và vận

dụng được bảng nguyên hàm cơ bản, bảng nguyên hàm mở rộng vào các bài toán.

Mục tiêu: Sau khi thành thạo dạng toán sử dụng bảng nguyên hàm cơ

bản và mở rộng để tìm nguyên hàm của hàm số, HS sẽ vận dụng các phương pháp đổi biến, nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của các hàm số phức tạp hơn Làm tốt các dạng bài tập này, HS sẽ đạt được mốc 6,5 đến 7 trong các

MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG

Mục tiêu: Sau khi HS biết vận dụng các phương pháp đổi biến, phương

pháp nguyên hàm, tích phân từng phần để làm các bài toán phức tạp hơn thì HS

sẽ tiếp tục vận dụng kiến thức giải quyết các bài toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn.Ở loại này, tôi chia đối tượng HS để bồi dưỡng, thực hiện phân dạng, rèn luyện giải toán theo các dạng( như cách làm ở biện pháp 2)đồng thời giải quyết những bài toán không có dạng.

f x

x

Biết rằng f   3 f  3  và 0 1 1 2

III KẾT LUẬN CHƯƠNG

1 Kết quả nghiên cứu

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có trình độ tương đương nhau Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra và thu được kết quả như sau:

lượng

Biện pháp 1: Kính thích hứng thú của học sinh, tạo dấu ấn, điểm nhấn về

mối quan hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm, HS dễ hiểu, dễ suy luận khi thiết lậpcông thức lồng phát triển tư duy hàm cho HS

Biện pháp 2: HS không còn bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán thường gặp,

biết nhận dạng, biết qui lạ về quen, không chỉ làm tốt các bài toán có sẵn dạng

mà còn linh hoạt giải quyết các bài toán khác

Biện pháp 3: HS biết sửa chữa và tránh những lỗi thường gặp Đặc biệt,

khi phân tích lời giải sai đã khắc họa sâu trong tư duy của các em về lời giảiđúng, tính chất và lỗi sai cần tránh

Biện pháp 4: Vận dụng biện pháp này mang lại kết quả nhanh, chính xác,

tiết kiệm được thời gian

Biện pháp 5: Việc phân bậc kiến thức đã tạo môi trường học tập, HS nào

cũng được hoạt động theo năng lực của mình Khi GV điều hành có thể tuần tựnâng cao yêu cầu và cũng có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần thiết đã manglại hiệu quả cao trong giảng dạy

Trong quá trình giảng dạy tôi áp dụng linh hoạt các biện pháp, nhận thấy

đã gây được hứng thú học tập cho HS, các em tỏ ra tự tin, chắc chắn, hiểu bàikhi kiểm tra nội dung kiến thức phần này

Với thực tế giảng dạy bộ môn Toán ở trường phổ thông gần 20 năm, tôiluôn tìm tòi, mò mẫm, học hỏi đồng nghiệp, thử nghiệm giảng dạy nhằm nângcao chất lượng giáo dục bộ môn Toán nói chung và dạy học phần nguyên hàmtích phân nói riêng

Song, dù đã cố gắng nhưng không tránh khỏi những thiếu sót Rất mongđược quý thầy cô góp ý, bổ sung để nội dung được hoàn thiện và mang lại hiệuquả cao trong dạy học

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là nội dung củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Lê Mai

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG

ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT

Họ và tên tác giả: Lê Mai

Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Đông Sơn 2

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại

Sở GD&ĐT

Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại 1.

Một số biện pháp nhằm nâng

cao chất lượng trong dạy học

giải bài tập lượng giác

Sở GD&ĐT C 2008 – 2009

2

Phát triển năng lực khái quát

hóa cho học sinh thông qua

khai thác các bài toán

Sở GD&ĐT B 2009 – 2010

3

Phát huy năng lực huy động

kiến thức cho học sinh trong

dạy học giải bài tập hình học

không gian

Sở GD&ĐT C 2010 – 2011

4

Dạy học giải bài tập SGK

hình học 10 theo quan điểm

hoạt động (Nhằm bồi dưỡng

năng lực giải toán cho học

sinh trung bình – yếu)

Sở GD&ĐT C 2011 – 2012

5

Phát huy năng lực huy động

kiến thức trung gian, nhằm

bồi dưỡng các tư duy trí tuệ

cho học sinh thông qua dạy

Rèn năng lực giải toán cho

học sinh lớp 11 thông qua dạy

học chủ đề Tổ hợp - Xác suất

Sở GD&ĐT B 2019-2020

8 Một số giải pháp giáo dục Sở GD&ĐT C 2020-2021