(SKKN 2022) một số dạng toán nguyên hàm, tích phân hàm ẩn

Xuất phát từ những lí do trên và trong quá trình giảng dạy môn Toán ởlớp 12, ôn thi TN THPT tại trường THPT Bá Thước, với mong muốn nâng caochất lượng giảng dạy giúp các em học sinh đạt

Phần 1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong xu thế đổi mới của đất nước nhằm phục vụ cho mục tiêu côngnghiệp hóa, hiện đại hóa, đổi mới giáo dục là một trong những mục tiêu hàngđầu Một trong những nội dung của đổi mới giáo dục là đổi mới kiểm tra đánhgiá Năm 2017 là năm đầu tiên Bộ GD & ĐT tổ chức thi THPT QG (nay là TNTHPT) môn Toán theo hình thức trắc nghiệm Trong đề thi môn Toán chínhthức có 50 câu trắc nghiệm khách quan, thí sinh làm bài trong thời gian 90 phút

Trong đề thi THPT QG trước đây, hay nay là đề thi TN THPT các câu hỏi

về số phức tương đối quan trọng, học sinh dễ tích lũy được điểm số Tuy nhiêntrong các câu hỏi về số phức, câu hỏi về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liênquan đến môđun của số phức tương đối khó, thường xuyên xuất hiện ở các câuthuộc mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao trong đề thi Do đó dạng toán nàythường làm cho học sinh mất điểm đối với những học sinh học lực khá trởxuống và gây ra rất nhiều khó khăn ngay cả cho những học sinh học lực giỏi

Đây là một dạng toán mới và khó, học sinh tiếp cận nó chủ yếu qua việc

tự học, tự tìm hiểu hoặc có sự hướng dẫn của giáo viên, sách giáo khoa hiệnhành không đề cập đến Hiện nay các tài liệu tham khảo về dạng bài tập này còn

ít cả về đầu sách và dạng bài tập, sự đầu tư về nội dung của nó còn khiêm tốn.Việc có một tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia các dạng một cách khoa học

là một nhu cầu cấp thiết đối với cả giáo viên và học sinh

Xuất phát từ những lí do trên và trong quá trình giảng dạy môn Toán ởlớp 12, ôn thi TN THPT tại trường THPT Bá Thước, với mong muốn nâng caochất lượng giảng dạy giúp các em học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi, nên tôiviết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn luyện một số phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến môđun của số phức cho học sinh khối 12 trường THPT Bá Thước”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Tạo ra sự hứng thú trong học tập, thay đổi cách tư duy của học sinh vềcác bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến môđun của sốphức Từ đó giúp học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi TN THPT

- Trao đổi chuyên môn cùng các đồng nghiệp trong tổ bộ môn, góp phầnnâng cao kết quả môn học của bộ môn Toán

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Sử dụng các phương pháp: phương pháp đại số, phương pháp hình học đểgiải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến môđun của sốphức thông qua các dạng toán đã xuất hiện trong các đề thi tham khảo, đề thichính thức của Bộ GD&ĐT, đề thi thử của các trường và các bài toán sưu tầmqua mạng internet

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Các tài liệu về lí luận dạy học, phương pháp và kĩ thuật dạy học theohướng phát triển năng lực bộ môn Toán

- Nghiên cứu thực trạng dạy học môn Toán ở trường THPT Bá Thước.

- Đưa ra hệ thống các ví dụ về các dạng toán thường gặp trong các đề thi

TN THPT

- Dự giờ đồng nghiệp

- Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung “Rènluyện một số phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtliên quan đến môđun của số phức cho học sinh khối 12 trường THPT BáThước”

- So sánh kết quả đạt được của học sinh khi chưa áp dụng đề tài và sau khi

áp dụng đề tài

Phần 2 NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổthông Tuy nhiên, nó là môn học khó đòi hỏi người học phải có sự nỗ lực rất lớn

để chiếm lĩnh kiến thức cho mình Phải có cái nhìn tổng thể, có kỹ năng khaithác bài toán

Trong các đề thi THPT Quốc gia, hay giờ đây là TN THPT các câu hỏi về

số phức nói chung và câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đếnmôđun của số phức chiếm một vị trí quan trọng, hay và cuốn hút người học

Sau đây là một số kiến thức cơ bản liên quan:

- Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M a b trên mặt phẳng Oxy ; 

Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu z

8 Căn bậc hai của số thực âm

Cho số thực âm a Hai căn bậc hai của a là  a i a i

.

9 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai az2bz c 0, , ,a b c,a0

a



.  Khi   , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 0 1,2 2

b z

a

  



.  Khi   , phương trình có hai nghiệm phức phân biệt ( là hai số phức 0

2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

2.2.1 Thực trạng chung.

- Đối với giáo viên: Năm 2017 là năm đầu tiên đề thi THPT QG môn

toán chuyển từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm Với hình thức thi nàyđòi hỏi giáo viên phải thay đổi cách tiếp cận kiến thức, cách truyền đạt cho họcsinh Tuy nhiên một bộ phận giáo viên còn gặp khó khăn trong việc thay đổicách tiếp cận, cách dạy theo tinh thần đổi mới, chưa thực sự quyết tâm tìm tòi,nghiên cứu cách dạy để làm toán trắc nghiệm

- Đối với học sinh: Hình thức thi trắc nghiệm đã thực hiện trong 5 năm,

tuy nhiên các em học sinh vẫn chưa tiếp cận hết được với các dạng bài tập theohình thức trắc nghiệm bởi số lượng nhiều và phạm vi kiểm tra rất rộng, hơn nữacách làm các bài toán theo hình thức trắc nghiệm đôi lúc có sự khác biệt so vớicách làm các bài toán theo hình thức tự luận Cộng thêm cách tư duy, tiếp cậnbài toán trắc nghiệm ít có sự thay đổi khiến các em gặp nhiều khó khăn

2.2.2 Thực trạng của trường THPT Bá Thước

Với đặc điểm là một trường đóng trên địa bàn một huyện miền núi, chấtlượng tuyển sinh đầu vào thấp, tính tự giác trong học tập của học sinh chưa caonên việc dạy và học của giáo viên và học sinh gặp rất nhiều khó khăn Đặc biệtđối với nội dung câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đếnmôđun của số phức là một câu hỏi ở mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao nên sốhọc sinh quan tâm đến câu hỏi này và quyết tâm để giải được nó tương đối ít,khi giải còn gặp rất nhiều khó khăn Kết quả thi TN THPT của môn Toán cònthấp so với mặt bằng chung của tỉnh

2.3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Để khắc phục những khó khăn trên nhằm nâng cao chất lượng dạy học,bên cạnh việc tiến hành nghiêm túc các giờ học theo đúng quy định của chươngtrình, tôi đã thay đổi mạnh mẽ cách dạy và truyền thụ kiến thức tới học sinh phùhợp với chương trình đổi mới giáo dục Vì thời lượng dành cho phần này còn ít,nên ứng với mỗi phần ngoài bài tập trên lớp tôi ra thêm bài tập để các em về nhànghiên cứu tìm lời giải Sau đó bố trí thời gian thích hợp để sửa chữa, giúp các

em tìm được lời giải tối ưu, nhấn mạnh các vấn đề cần lưu ý ở mỗi bài, mỗidạng toán Sau đây tôi xin đưa ra một số giải pháp nhằm giúp học sinh nâng cao

kỹ năng giải một số câu hỏi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đếnmôđun của số phức

2.3.1 Phương pháp đại số

Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z , biết số

phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước ta thực hiện các bước sau:

- Gọi z x yi  , từ điều kiện K rút ra mối liên hệ y theo x (hoặc x theo

y );

- Thay y theo x ( hoặc x theo y ) vào biểu thức z  x2 y2 ;

- Sử dụng các cách tìm GTLN, GTNN như: khảo sát hàm số, sử dụng bấtđẳng thức cổ điển, sử dụng các bất đẳng thức về môđun số phức,

Các bất đẳng thức thường được sử dụng

+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ac bd  a2 b2 c2 d2,a b c d, , ,

Dấu bằng xảy ra  ad bc

Ví dụ 4 Cho số phức z thỏa mãn z 3  z3 8 Gọi ,M m lần lượt là giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z Khi đó M m bằng

x 

,4

5

y 

Chọn đáp án C.

Ví dụ 6 (Trích đề thi TN THPT lần 2 năm 2021) Xét các số phức ,z w thay

đổi thỏa mãn z w  và 3 z w 3 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z , biết số phức z

thỏa mãn điều kiện K cho trước ta thực hiện các bước sau:

- Tìm tập hợp  G các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện K

- Tìm điểm M  G sao cho khoảng cách OM có giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất) Khi đó ta tìm OM

Một số kết quả thường dùng:

- Nếu tập hợp các điểm biểu diễn M của số phức z trong mặt phẳng tọa

độ Oxy là đường thẳng  thì min z d O , 

O

OM ≥ OH = d(O, )

- Nếu tập hợp các điểm biểu diễn M của số phức z trong mặt phẳng tọa

độ Oxy là đường tròn  C có tâm I bán kính R thì

min z OI R , max z OI R

|OI-R| = OB ≤ |z|= OM ≤ OI+R = OA

M

O B

diễn hình học của số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y   Xét điểm1 0.(0;1)

A và (4;0)B thì P z i  z 4 MA MB Dễ thấy ,A B cùng phía với

đường thẳng y   nên MA MB1 0  nhỏ nhất bằng BA trong đó (0; 3) A  đối

xứng với A qua đường thẳng y  1 0

M' A

M I

Ví dụ 11 (Trích đề tham khảo năm 2017) Xét số phức z thỏa mãn

5 2 732

ED  nên ta có A thuộc đoạn thẳng ED

Gọi H là hình chiếu của N lên ED , ta có

Chọn đáp án B.

Ví dụ 12 (Trích đề tham khảo năm 2018) Xét số phức z a bi  a b  , 

thỏa mãn z 4 3 i  5 Tính P a b  khi z 1 3i  z  đạt giá trị lớn1 inhất

Lời giải

Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn của số

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z ; B là điểm biểu diễn số phức 1 z ; 2

C là điểm biểu diễn số phức w3z1z2; điểm M 0;5

Ví dụ 15 (Trích đề minh họa năm 2022) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức

Câu 2 Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4 i z , biết rằng số phức

z a bi  a b  có môđun nhỏ nhất Khi đó, giá trị ,  P a 2  b là



D

12



Đáp án A.

Câu 3 Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất1

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

D

310



Đáp án A.

2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.4.1 Kết quả thăm dò và thực nghiệm phương pháp

Qua hai năm học 2020 - 2021 ; 2021 - 2022 giáo viên và học sinh đã tiếnhành áp dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm vào việc dạy và học thông quanhiều hình thức trên lớp, ở nhà Kết quả học sinh đã có hứng thú hơn đối vớimôn học, say mê và nắm chắc kiến thức hơn, đặc biệt đối với câu hỏi về tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến môđun của số phức, số học sinh làmtốt tăng lên rõ rệt

Kết quả thu được rất tích cực, cụ thể như sau:

* Năm học: 2020 - 2021

Lớp chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%)

Lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%)

* Năm học: 2021 – 2022

Lớp chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Lớp Sĩ số Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%)

Lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Lớp sốSĩ Giỏi (%) Khá (%) Trung bình ( %) Yếu (%)

2.4.2 Đối với chất lượng giảng dạy và giáo dục học sinh

- Đối với học sinh

Qua quá trình giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT tại trường THPT BáThước, khả năng tiếp thu và vận dụng các phương pháp trên để giải các bài tậptìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức đã mang lại nhữngkết quả đáng mừng Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quảcao dần thể hiện điểm thi TN THPT ngày càng tăng Đa số học sinh tỏ ra tự tinkhi giải quyết các bài tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một

số phức khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu trong sáng kiếnkinh nghiệm

- Đối với giáo viên

+ Bản thân thông qua việc tìm hiểu đã nắm vững lí luận dạy học, từ đótriển khai các biện pháp vận dụng nguyên tắc phát huy tính tích cực của học sinhvào thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Bá Thước

+ Trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm thông qua thực tiễn giảng dạy ở đơn vịcho đồng nghiệp, đúc rút nhiều kinh nghiệm nhằm nâng cao hiệu quả môn Toán

ở trường phổ thông

2.4.3 Khả năng ứng dụng và triển khai của sáng kiến kinh nghiệm

- Có khả năng ứng dụng cho mọi đối tượng học sinh lớp 12 ở trườngTHPT

- Giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập nêu vấn đề để học sinh tự giảiquyết, từ đó các em nắm vững kiến thức và vận dụng vào giải bài tập Đặc biệtgiáo viên còn rèn luyện cho học sinh phương pháp nghiên cứu học tập độc lập

để các em có tư duy giải quyết vấn đề mới phát sinh

Phần 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN

Trong quá trình dạy học, đối với mỗi bài toán nói chung và bài toán sốphức nói riêng, nếu giáo viên biết tìm ra cơ sở lý thuyết, đưa ra phương phápgiải hợp lý và hướng dẫn học sinh vận dụng một cách linh hoạt thì sẽ tạo được

sự hứng thú học tập của học sinh Khi dạy học sinh giải các bài toán tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức yêu cầu học sinh tìm mối liên

hệ giữa các giả thiết của bài toán Giáo viên cần xây dựng một hệ thống bài tập

từ dễ đến khó để nâng cao khả năng tư duy và kỹ năng làm bài của học sinh

Là một giáo viên tôi xác định cho mình phải luôn tạo cho học sinh niềm hứng thú, say mê trong quá trình học tập; luôn cải tiến phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình

Sau một thời gian vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy một

số bài toán liên quan ở trường THPT Bá Thước, bản thân tôi đã nhận thấy rằngnhững kinh nghiệm này rất phù hợp với các bài toán tìm GTLN, GTNN liênquan đến môđun số phức và với những tiết dạy học theo hướng đổi mới Họcsinh có hứng thú học tập hơn, tích cực chủ động hơn trong học tập Tôi cũng hyvọng với việc áp dụng đề tài này học sinh sẽ đạt được kết quả cao trong các kỳthi tốt nghiệp THPT

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức rất đadạng Trong bài viết này tôi chỉ mới đưa ra một số ví dụ về bài toán hay gặptrong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử của các trường trên cả nước nên chưathể đầy đủ, chưa bao quát hết, với mong muốn giúp cho học sinh có định hướngtốt hơn khi gặp các bài toán này, tôi mong nhận được những góp ý chân thànhcủa đồng nghiệp để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

3.2 KIẾN NGHỊ

* Đối với Nhà trường

Nên có sự đầu tư khuyến khích giáo viên đổi mới phương pháp dạy họcdưới nhiều hình thức khác nhau

* Đối với giáo viên

-Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn,nghiệp vụ sư phạm, đổi mới phương pháp dạy học

-Phải luôn tìm tòi, sáng tạo để từng bước cải tiến phương pháp dạy học chophù hợp với từng tiết học, bài học với những đối tượng học sinh khác nhau.

-Phải thực sự tâm huyết, tận tình với công việc, yêu nghề, có tinh thầntrách nhiệm cao trước học sinh Chỉ thực sự yêu nghề, giáo viên mới vượt quanhững khó khăn, thực hiện tốt nhiệm vụ “trồng người” của mình

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 4 năm 2022Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của ngườikhác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Như Quân