(SKKN 2022) rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT nông cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian

Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần hình học không gian tôi đã pháthiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào,phương pháp nào, không có kĩ năng trình

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Hình học không gian chiếm vai trò quan trọng trong chương trình ToánTHPT Nội dung phần hình học không gian được trình bày trong chương trìnhhình học 11 Qua nhiều lần thay đổi cách thức thi song hình học không gian lànội dung luôn xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay

là thi TN THPT Quốc gia

Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần hình học không gian tôi đã pháthiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trong việc lựa chọn cách giải nào,phương pháp nào, không có kĩ năng trình bày bài, rất hay sai lầm “ngộ nhận”trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững lýthuyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vội vàng đưa ra lời giải Bài toán về “góc”trong hình học không gian là nội dung trọng tâm Học bài toán về “góc” giúphọc sinh phát triển tư duy logic, phát triển trí tuệ và tính sáng tạo, rèn luyện kĩnăng tính toán, ứng dụng trong thực tế

Từ kinh nghiệm giảng dạy các bài toán góc trong sách giáo khoa hình học 11

và các bài toán trong các đề thi tuyển sinh THPT quốc gia và tìm hiểu cách giảimột số bài tập “góc” tôi đã rút ra các phương pháp phù hợp để giải các bài toán

“góc” trong hình học không gian

Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có

hệ thống bài toán về “góc” trong hình học không gian để có thể học tập tốt hơn

Vì vậy tôi chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 3 thông qua bài toán về góc trong hình học không gian” với

mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến thức cơ bản và nâng cao từ đóđưa ra một số kỹ năng giúp học sinh giải bài toán nhanh hơn, chặt chẽ hơn bằngkiến thức cơ bản đã học góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự tự tincho học sinh trong các kỳ thi

Tài liệu cũng có thể giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên môn và nâng caokhả năng của bản thân Do đó trình bày mỗi bài toán, tôi đều theo trình tự: Ýtưởng – Lời giải – Kinh nghiệm, với mong muốn có một cái nhìn sâu sắc hơn vềcách tư duy và kinh nghiệm giải toán

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán, hạn chế sai lầm trong

bài làm Từ đó cung cấp, bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thiTHPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Sáng kiến được nghiên cứu đối với các bài toán về “góc” thuộc phần hìnhhọc không gian trong chương trình hình học lớp 11 và được áp dụng đối với họcsinh lớp 11B2, 11B9 năm học 2020 – 2021 và lớp 11C2, 11C9 năm học 2021-

2022 Trong phạm vi sáng kiến, tôi chỉ đưa ra một số ví dụ điển hình cho một sốbài toán về “góc” để phân tích, chỉ ra các hướng tiếp cận và giải toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11;

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Các định nghĩa

*Góc giữa hai đường thẳng trong không gian:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng

thì ta nói rằng gócgiữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )α

bằng

0

90

.Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( )α

a a

 ⊥



2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi TN THPT Quốcgia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán về góc phần hìnhhọc không gian thường hay xuất hiện, với mục đích của nhà giáo dục dành chonhững học sinh có học lực khá, giỏi Qua nhiều năm giảng dạy Toán lớp 11 phần

“góc” trong không gian tôi đã phát hiện ra có nhiều học sinh rất lúng túng trongviệc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào, không có kĩ năng trình vẽ hình,bày bài, rất hay sai lầm “ngộ nhận” trong việc giải dẫn đến kết quả sai Nguyênnhân là do các em chưa nắm vững lý thuyết, chưa phân tích kỹ đề bài đã vộivàng đưa ra lời giải Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễuhọc sinh càng dễ mắc sai lầm Do đó, rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải một

số bài toán về “góc” trong không gian là một yêu cầu cần thiết

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (haynhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đóyêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán về

“góc” trong không gian

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thứccủa học sinh

- Trong mỗi bài toán về “góc” trong không gian đều yêu cầu học sinh thựchiện phân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bàitoán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể:

2.3.1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

2.3.1.1 TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH.

b Các ví dụ.

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có AB CD= =2a

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC AD, và MN =a 3

Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD

(AB CD, ) ( = MI NI, ) =MIN

(các bạn thấy rõ điều này qua ví dụ vừa rồi)

Ví dụ 2 Cho tứ diện ABCD đều có cạnh đáy bằng a, M là trung điểm của CD.Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BM

Giải:

Dựng góc.

Gọi N là trung điểm của AD ⇒MN

là đường trungbình của tam giác ADC ⇒MN AC//

.Khi đó ta có ( AC BM, ) (= MN BM, )

.Xét tam giác BMN có :

uuur uuuur

Ví dụ 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA a= 3

Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA

Giải:

Gọi M là trung điểm CD, Gọi E =BD∩AM

, suyra

Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,

suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD)

Ta có:

2 2

a

AO=

,

10 2

GE =

,

11 3

Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM

= 2 BM Tính góc giữa hai đường thẳng CM và OA.

(OA CM, ) ( = MH CM, ) =CMH

.Đặt OB x=

nên AC ⊥(BDF) ⇒ AC ⊥BF

Vậy (·AC BF, ) = 90 0

Ví dụ 6 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB a=

.Hai mặt phẳng (SAB)

cắt nhau theo giao

tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

nên SA⊥(ABCD)

.Dựng AK ⊥SB

là trung điểm của các cạnh AB BC, Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng

là trung điểm H của OD, SH =2a

uuur uuuur

Ví dụ 2 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ′ ′ ′

có cạnh bên 2a , góc tạo bởi A B′

Ta có (A B ABC′ ,( )) (= A B AB′ , ) = ·ABA′ = 60 0

Trong∆v A AB′

có:

2 tan

Ví dụ 3 Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác cân có

Giải

Phân tích: Nhận thấy ở đây CM và AK là hai đường thẳng không đồng phẳng và viẹc dựng góc trong bài toán này khó khăn do đó ta nghĩ đến việc tính góc giữa hai đường thẳng bằng phương pháp tích vô hướng.

a AK

2.3.1.3 TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA

a Phương pháp

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng AB CD, :

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với

là trung điểm H của OD, SH =2a

Ví dụ 4 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ′ ′ ′

có cạnh bên 2a , góc tạo bởi A B′

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

có mặt đáy là tam giác đều cạnh

0

60

Gọi ϕ

là góc giữa hai đường thẳngAC và BB′

Vậy cosin góc giữa hai đường thẳng SC và

AD

bằng

3 4

2.3.2 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.

2.3.2.1 TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH.

là gócgiữa hai đường thẳng d và d′

*Cách 2:Dựa vào quan hệ vuông góc.

Gọi ( )γ

là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )α

.Giả sử ∆ ⊥( )α

Khi đó ta có: sin( )γ = cos ,(d ∆)

Gọi E F, lần lượt là trung điểm của SO OC,

Vì hình chóp SABCD đều, Olà tâm của đáy ABCDnên SO⊥(ABCD)

.Lại có ABCD là hình vuông nên BD⊥ AC

Do đó : Hình chiếu của MN lên mặt phẳng (SAC)

là EF Nên góc giữa MN và mặt phẳng (SAC)

là góc giữa MN và EF bằng góc ·NIF

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên BD a= 2

là đường trung bình của tam giác ODC ⇒

2 4

Tứ giác MNEF là hình bình hành nên hai đường chéo MN, EF cắt nhau tại

trung điểm Icủa mỗi đường

4

a FN

a FI

.Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC)

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng SB SC, Tính cosincủa góc giữa SD và

mặt phẳng ( AHK)

Giải:

Phân tích: Nhận thấy rằng ở đây ta có thể làm trực tiếp tuy nhiên cách làm

đó dài vì thế ta nghĩ đến cách làm gián tiếp cách 2.

Ta có góc giữa SC và ( ABCD)

bằng góc ·

0 45

.Tam giác SBC vuông tại B:

2.3.2.2 TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA.

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

có mặt đáy là tam giác đều cạnh

0

60

Tính góc giữa hai đường thẳngA C′

ϕβ

là góc tạo bởi ∆

và ( )α

b Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ·

0 60

Gọi H là trung điểm của CD

Ta có tam giác ACD đều cạnh bằng a nên

3 2

(ABCD)

Tam giác ACD đều cạnh bằng a nên

2 3 4

Khi đó

1 cos

5

ACD SCD

S S

ACM

a

.3

14

O ACM ACM

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với đáy và SA a=

Cách 2: Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa.

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên SB SC,

Ta chứng minh được AH ⊥(SBC AK); ⊥(SCD)

.Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (SCD)

bằng góc giữa hai đường thẳng AH AK,

Tam giác SAB và SAD vuông cân tại A có SA a=

2 2

a

Nên H K, là trung điểm của SB SD,

0 60

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (AEF)

3 sin 60

3

a AD

ASD

Vậy cosin góc giữa hai mặt phẳng (AEF)

và (ABC)

bằng

21 7

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

có mặt đáy là tam giác đều cạnh

0

60

Tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC B′ ′)

Xét tam giác KEB vuông tại K và ·

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên

SA vuông góc với đáy và SA a=

Ví dụ 3 Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

có mặt đáy là tam giác đều cạnh

0

60

Tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC B′ ′)

( ) ( )

5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoànthiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạynhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh

Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đãhứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học

lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bịđộng, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ đó nâng cao đượcchất lượng giáo dục trong nhà trường Đây là tiền đề để phụ huynh học sinhcũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà

3 Kết luận – Kiến nghị.

3.1 Kết luận

Hình học không gian là một nội dung khó nên học sinh dễ buông xuôi,không chịu đầu tư, học hỏi Qua quá trình giảng dạy, tôi đã nắm bắt được một sốdạng toán ở nội dung này mà học sinh thường hay mắc khi thực hiện làm các bàitập Từ đó phân tích và khắc sâu cho học sinh trong quá trình giảng dạy, giúpcác em nhanh chóng tìm ra các phương án giải quyết các bài tập được giao

Với các kết quả đối chiếu ở trên cho thấy những kinh nghiệm nêu ra cũng

đã bước đầu có hiệu quả Do đó, tôi tổng hợp, trình bày lại với mong muốn đẩymạnh phong trào thi đua học tập sôi nổi, góp phần nâng cao hơn nữa kết quả họctập bộ môn và kết quả học tập, rèn luyện của học sinh

Trong năm học này tôi tiếp tục tìm tòi, thu thập thêm những ví dụ, nhữngdạng toán khác và bổ sung để sáng kiến ngày hoàn thiện hơn

Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp mộtphần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh ứng dụng và khaithác tốt các bài toán về “góc” trong không gian Đồng thời hình thành khả năng

tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm, từ đó tạo hứng thú chocác em khi học toán Tuy nhiên do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độbản thân còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồngkhoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp

3.2 Kiến nghị

- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học ;

Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn

- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các

buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinhnghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biếnrộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 12 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình, không sao chép nội dung củangười khác

Mạc Lương Thao

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Châu Văn Điệp và nhóm tác giả, Công phá toán 2, Nxb ĐHQG Hà

Nội

[2] Đoàn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học

2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam

[3] Kiselev, Hình học không gian, Nxb Quốc gia Hà Nội

[4] Lê Hoành Phò, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [5] Nguyễn Bá Tuấn, Tuyển tập đề thi và phương pháp giải nhanh toán

trắc nghiệm, ĐHQG Hà Nội.

[6] Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán hình học 11, Nxb ĐH sư phạm.

[7] Trần Phương, Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 2, Nxb ĐH

Quốc Gia Hà Nội