(SKKN 2022) rèn luyện kĩ năng sử dụng phương trình đặc trưng vào giải các một số dạng toán về phương trình và giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit cho học sinh lớp 12

Chủ đề phương trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số Mũ - Logarit là nội dung quan trọng và khó đối với học sinh, các câu hỏi dạng này cũng đượckhai thác khá nhiều trong các đề

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Giải bài tập Toán là phần quan trọng, không thể thiếu trong môn Toán học,làm bài tập không những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức màđồng thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh Bài tập giải phương trình

và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất là những bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiềutrong các đề thi ở mức độ cao Tuy nhiên các nội dung lí thuyết phần này trong

hệ thống SGK phổ thông được trình bày khá đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp

12, và không phân loại dạng toán, phương pháp Điều này gây khó khăn rấtnhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán và phương pháp giảitoán cho học sinh

Chính vì vậy, bản thân tôi luôn luôn trăn trở, hết sức quan tâm đầu tư, suynghĩ để làm sao có được phương pháp giảng dạy chủ đề này phải đơn giản, giảmbớt khó khăn và tính trừu tượng, đưa vấn đề khó trở về với những phần kiếnthức đã biết, gần gũi

Chủ đề phương trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số Mũ - Logarit

là nội dung quan trọng và khó đối với học sinh, các câu hỏi dạng này cũng đượckhai thác khá nhiều trong các đề thi, kiểm tra thể hiện ở mức vận dụng thấp vàvận dụng cao; đặc biệt trong đề thi tốt nghiếp THPT môn Toán thi ở hình thứctrắc nghiệm thời gian dành cho mỗi câu trả lời chỉ khoảng 2 phút thì các bài toáncực trị của biểu thức ít được đề cập thì bài toán về phương trình, bất phươngtrình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số Mũ và Logarit luôn được xem làphương án thay thế hợp lý trong việc phát hiện tính sáng tạo trong giải toán chohọc sinh

Từ năm 2017 đến nay và các năm tiếp theo Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chứcthi môn Toán dưới hình thức trắc nghiệm khách quan nên việc trang bị cho họcsinh các kiến thức, kĩ năng để giải bài toán về phương trình và GTLN – GTNNcủa hàm số Mũ - Logarit (bài toán vận dụng, vận dụng cao) trong thời gian ngắnmột cách chính xác và không phạm sai lầm cũng rất quan trọng

Từ những lý do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Rèn luyện kĩ năng sử dụng phương trình đặc trưng vào giải các một số dạng toán

về phương trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit cho học sinh lớp 12”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng các phương pháp phương trình và giá trị lớn nhất – nhỏ nhất củahàm số Mũ - Logarit và rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong việc giải quyết cácdạng toán về nhằm hoàn thành bài thi trắc nghiệm khách quan môn Toán đạt kếtquả cao

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Xây dựng các phương pháp, phân loại các dạng bài toán phương trình vàgiá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số Mũ – Logarit bằng cách sử dụng hàm đặctrưng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu định tính, định lượng và thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến

- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số f đồng biến trên K nếu x x1 2 K x, 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2

Hàm số f nghịch biến trên K nếu x x1 2 K x, 1 x2  f x( ) 1  f x( ) 2 [1]

- Nhận xét:

Cho f (x) xác định trên K, ta có: Với x1x2 K;f(x1 ) f(x2 )  x1 x2

2.1.2 Phương pháp chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến

- Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số y  f (x) trên K ta dựa vào 2 phươngpháp sau:

* Phương pháp 1: Dùng định nghĩa [1]

+ Lấy x1 ,x2 K,x1 x2, lập tỉ số

1 2

1

2 ) ( ) (

x x

x f x f A

Định lí : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng D

a) Nếu f x '  0 với mọi x D thì hàm số đồng biến trên khoảng D

b) Nếu f x '  0 với mọi x D thì hàm số nghịch biến trên khoảng D

c) Nếu f x '  0 với mọi x D thì hàm số không đổi trên khoảng D

2.1.3 Tư duy hàm số về phương trình

Định lí 1: Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tụctrên D thì số nghiệm của f x  k trên D không nhiều hơn một và

f x f y khi và chỉ khi x y với mọi x y, thuộc D

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a)=k và f đồng

1Trong trang này: Mục 2.1.1 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [1]

- Mục 2.1.2 tác giả tham khảo có bổ sung từ TLTK [1], [2]

biến trên D nên

* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm

* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm

Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm

Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số

y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên

D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a)

Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến

*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm

*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm

Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm

Định lí 3: Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tụctrên k khoảng rời nhau thì phương trình f x  có nhiều nhất k nghiệm   0

Chứng minh:

Theo Định lí 1, trên mỗi khoảng phương trình f x  có nhiều nhất 1 nghiệm  0nên trên k khoảng rời nhau phương trình f x  có nhiều nhất k nghiệm.  0

2.1.4 Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình

Dạng 1: “Khảo sát trực tiếp hàm số của phương trình”

Bài toán: Giải phương trình : “h(x) = g(x)” (1)

Bước giải toán:

Bước 1: Biến đổi (1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x) trên D

Bước2: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số f x( ) trên D để suy ra số nghiệm tối

đa của phương trình (2)

Bước 3: Chỉ ra đủ số nghiệm cần thiết và kết luận cho phương trình (1)

Dạng 2: “Khảo sát hàm đặc trưng của phương trình”

Bài toán: Giải phương trình : “h(x) = g(x)” (1)

Bước giải toán:

Bước 1: Biến đổi (1) về dạng f u x   f v x  

Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng f t( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

Bước 3: Kết luận: (1) u(x) = v(x).

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.2.2 Khó khăn:

Do đây là một nội dung khó, lại xuất hiện trong các đề thi với tư cách là câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn Vì vậy gây chohọc sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt qua.Thậm chí một phần lớn học sinh xác định bỏ luôn phần này, không để ý rènluyện

Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khốilượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phânbiệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bàitoán

Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưathực sự chú trọng đến tư duy phương pháp Do đó hiệu quả học và giải toánchưa cao Việc vận dụng tư duy hàm số vào giải phương trình, hệ phương trìnhcòn mang nặng tính cảm tính, thử nghiệm, chưa có đường lối rõ ràng, các dấuhiệu nhận biết không định hướng nên chưa tự tin khi vận dụng giải toán

2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1.Mục tiêu của giải pháp

Đưa ra được nội dung phương pháp hàm số, các dấu hiệu nhận biết một hệ

phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số và các kĩ thuật “ép hàm đặc

trưng” khi giải hệ phương trình

2 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp

2 3.2.1 GP1: Tư duy hàm số giải hệ phương trình

Có nhiều cách khác nhau để phân loại tư duy hàm số trong giải hệ phương trình, nhưng tựu chung lại có thể chia thành 4 dạng cơ bản như sau:

Dạng 1 Một phương trình trong hệ thu được phép thế bằng phương

Dạng 4 Sử dụng tư duy hàm số trong quá trình trung gian giải toán hệ

phương trình ( Tư duy hàm số xuất hiện sau các phép ẩn phụ,biến đổi, đánh giá …)

3Trong trang này: Mục 2.2; 2.3.1; 2.3.2.1 do tác giả viết

2.3.2.2 GP2: Giải các hệ thường gặp bằng phương pháp hàm số.

Một số hệ phương trình thường gặp khi giải theo phương pháp truyền thống sẽ gặp khó khăn hoặc không giải được thì nhờ tư duy hàm số có thể giải quyết nhanh chóng Đây là một bổ sung hiệu quả, toàn diện cho học sinh về tư duy giải hệ phương trình.

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :

2 2

1 3

1 3

y x

Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 quen thuộc đối với học sinh.

Tuy nhiên định hướng giải bằng phép trừ 2 vế tương ứng các phương trình trong

hệ để thu được nhân tử x y là không giải được Do đó tư duy hàm số khi nhìnthấy vai trò bình đẳng của các ẩn giúp ta xử lí trọn vẹn bài toán này

x x

đổi mà không nghĩ đến vai trò bình đẳng trong tư duy hàm số Phương trình thuđược sau phép thế , học sinh có thể giải bằng phương pháp liên hợp không hoàntoàn nhưng cuối cũng vẫn phải dùng tư duy hàm số mới giải quyết được.

Sau quá trình giải toán ví dụ 1, học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm số

là ngắn gọn và dễ thực hành hơn cả Điều đó phản ánh ưu điểm của tư duy hàm

số đối với bài toán này

Tư duy: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 quen thuộc đối với học sinh.

Tuy nhiên định hướng giải bằng phép ẩn phụ S  x y P xy;  là khó khăn vìphép biến đổi dài Phép bình phương cũng sẽ gặp khó khăn vì số bậc tăngnhanh Tư duy hàm số giúp ta giải nhanh bài toán này

Lời giải

Điều kiện : 1

1

x y

Trường hợp 1: x 3 y 3 Nhận thấy x y 3 thỏa mãn hệ đã cho.

Trường hợp 2: x 3 y3

Khi đó: f x   f y   f  3  f  3 12 pt(*) vô nghiệm nên hpt vô nghiệm.Trường hợp 3: x 3 y3

Khi đó: f x   f y   f  3  f  3 12 pt(*) vô nghiệm nên hpt vô nghiệm

Kết luận: Hệ pt có nghiệm duy nhất 3

3

x y

Lời giải bài toán ấn tượng khi sáng tạo được: “phép cộng hàm số và ép hàm đặc trưng”

Tư duy: Đây là hệ phương trình hoán vị vòng quanh quen thuộc đối với học

sinh Hệ giải được bằng phương pháp hàm số khi các hàm đặc trưng hoặc đồngbiến hoặc nghịch biến trên toàn miền khảo sát nghiệm

Lời giải

y z

z x

Xét x0 y0, tương tự x0 y0 Lập luận như trên ta được: x0 y0 z0

Ta chỉ xét x y z  Giải pt f x  g x  ta có nghiệm duy nhất x 4

Vậy nghiệm của hệ: 4;4;4

Nhận xét

Bài toán này học sinh đã được học tư duy hàm số nên đội tuyển Toán THPTHoằng Hóa 3, năm học 2014 - 2015 đều giải trọn ven

6Trong trang này: Ví dụ 3 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [3]

2.3.2.3 GP3: Xây dựng các dấu hiệu nhận biết một hệ phương trình có

thể giải được bằng phương pháp hàm số.

Việc chỉ ra các dấu hiệu đặc trưng để học sinh nhận biết một hệ phương trình

có thể giải được theo tư duy hàm số là một điều cần thiết Các dấu hiệu đặc

trưng được thông qua các ví dụ cụ thể đã được tiến hành với các quá trình giải toán của học sinh như sau:

Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập được ẩn số

Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có thể độc lập được ẩn số,

do đó ta có thể sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình một ẩn này

(Vì hàm số g t( ) t3 t2 t đồng biến trên khoảng 0; )

KL: Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: 1; 0,5 , 3;3,5   

Nhận xét

Đây là một bài toán hay và học sinh thực hành bài toán này đã rèn luyện đượcnhiều kĩ năng khi giải hệ phương trình bằng tư duy hàm số

Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có sự tương tự của hai nhóm ẩn số

Đây là dấu hiệu thường gặp khi giải hệ phương trình theo tư duy hàm số.

Ví dụ 5 Giải hệ pt :

2

3 3

Hàm số ( ) 2f t  t t t đồng biến trên 0; nên: 2 x y x y    x2y

Thế vào phương trình còn lại, ta được: 3 y  1 2(2y 1)3 (3)

Đặt 3 y 2t 1, phương trình (3) trở thành hệ:

3 3

(2 1)(2 1)

Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép thế

Đây là một đặc trưng khá hay, nó là thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp cho việc giải một bài toán Không có phương pháp vạn năng để giải mọi bài toán, vì vậy cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống các phương pháp giải toán để giải quyết một bài toán.

4 3 x x 1 7 3 x x  2    hay pt(3) vô nghiệm

Vậy, hệ có nghiệm duy nhất 1 13;2 13 6

2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” trong giải hệ phương trình

Khi giải hệ phương trình nếu một phương trình có dạng hàm đặc trưng, mà hàm

đặc trưng lại luôn đồng biến (hoặc nghịch biến trên một khoảng cùng chứa u v,

) thì chúng ta thu ngay được phép thế u v , và chuyển việc giải hệ về giải phương trình một ẩn Tuy nhiên có một số hệ mà : việc xuất hiện hàm đặc trưng chưa có ngay, hàm đặc trưng trên nhiều khoảng, hàm đặc trưng chưa chịu

đồng biến, nghịch biến chúng ta phải “ép” nó thành hàm đặc trưng chính

quy để giải toán.

Sau đây là một số kĩ thuật cơ bản

Kĩ thuật 1: ÉP hàm đặc trưng về từng khoảng đồng biến (nghịch biến).

Mục đích: Bằng đánh giá điều kiện kéo theo từ phương trình còn lại của hệ hoặc đánh giá về dấu để u, v nằm cùng một khoảng mà hàm đặc trưng đồng biến hoặc nghịch biến

  đang đổi dấu theo t

Hàm f t này nghịch biến trên   A   và đồng biến trên 1;  B    ;1

Vấn đề : Ta phải dùng pt(2) để ÉP cho x 1,y vào cùng mỗi tập A, B

  , suy ra ta ÉP được x 1,y vào B

Nói tóm lại: Ta “ép hàm đặc trưng” về từng khoảng đồng biến B hoặc nghịch

biến A

Lời giải

Từ suy luận trên dẫn tới phép thế: y x 1, và ta thu được phương trình:

Tư duy: Phương trình đầu tiên của hệ phương trình có thể độc lập được ẩn số,

do đó ta có thể sử dụng tư duy hàm số để giải phương trình một ẩn này

9Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo và trình bày

Ví dụ 7 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả

Hàm số ( )h t  t 4ln(t3) trên 3; nghịch biến trên khoảng A   3;1 và

đồng biến trên khoảng B   1; 

Vấn đề : Ta phải ÉP cho x y, vào cùng mỗi tập A, B

Hay để ép x y, vào cùng mỗi tập A, B, học sinh dùng phản chứng như sau:

Giả sử x 1  y 1 0 suy ra x 1 y hoặc y 1 x, mà hai trường hợp nàyđều dẫn đến phương trình (4) vô nghiệm

10Trong trang này: Nội dung phương pháp, các kĩ thuật là do tác giả sáng tạo vàtrình bày

Ví dụ 8 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [4]

Kĩ thuật 2: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng cách xét dấu cho biến

Mục đích: Hệ phương trình “có phương trình gần dạng hàm đặc trưng” nhưng

vì dấu của u,v chưa xác định nên hàm đặc trưng chưa xuất hiện Bằng đánh giá kéo theo từ hai phương trình, ta sẽ chỉ ra được dấu của u,v, từ đó thu được hàm đặc trưng.

Nói tóm lại: Ta ÉP được y 0 nên có hàm đặc trưng : f t  t t2  1 1

Từ suy luận trên dẫn tới phép thế: y 3

Kĩ thuật 3: ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng qua phép giải toán trung gian

Mục đích: Hệ phương trình chưa có phương trình nào dạng hàm đặc trưng nhưng bằng các phép giải toán ( phép thế, đặt ẩn phụ,thêm bớt biểu thức ) sẽ làm xuất hiện hàm đặc trưng.

Ví dụ 9 tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải của tác giả

Tư duy: Hệ này có x, y độc lập nên khả năng biến đổi để có hàm đặc trưng

Nhận thấy Pt(1) tăng bậc cho y bằng ẩn phụ: b3 y2  y b 3 2

Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng ẨN PHỤ.

Hệ phương trình này,học sinh cảm giác khó khăn, cảm giác khó xử lí Tuy nhiên

tư duy hàm số sau phép ẩn phụ đã giải quyết bài toán nhẹ nhàng

Tư duy: Hệ này có khả năng biến đổi để có hàm đặc trưng vì VT(2) có dạng

với f t   t t2 4 là hàm đồng biến trên 

Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hiện hàm đặc trưng bằng RÚT ẨN VÀ THẾ

Ví dụ 10, ví dụ 11, ví dụ 12 do tác giả đề xuất và giải toán

Tư duy: Hệ này có dáng dấp của hệ đánh giá và dùng hàm nối Tuy nhiên hàm

nối ở đây có dạng hàm đặc trưng

Khử xy từ hệ ta thu được phương trình: