(SKKN 2022) sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh bất đẳng thức trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 10

Vì vậy để khắc phục các hạn chế trên của học sinh, và bồi dưỡng khả năng tư duycho học sinh khá giỏi, qua đó nâng cao chất lượng mũi nhọn cho nhà trường tôi đã - Giúp giáo viên có định h

Khi thực hiện giảng dạy bài ”Bất đẳng thức” trong chương trình đại số 10 và dạybồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy: Chủ đề bất đẳng thức tương đối khó đối vớimọi đối tượng học sinh Sự nhận thức học sinh thể hiện khá rõ:

- Học sinh lúng túng không có định hướng khi gặp bài toán chứng minh bất đẳngthức

- Khả năng phân tích dữ kiện, tổng hợp các kiến thức liên quan đến bài toán cònhạn chế

- Chưa có kỹ năng vận dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các bất đẳngthức cổ điển để kiến tạo ra tri thức tổng hợp từ đó vận dụng vào giải bài tập

- Từ các bất đẳng thức đã chứng minh chưa biết phân tích xây dựng thành các bàitoán mới

Vì vậy để khắc phục các hạn chế trên của học sinh, và bồi dưỡng khả năng tư duycho học sinh khá giỏi, qua đó nâng cao chất lượng mũi nhọn cho nhà trường tôi đã

- Giúp giáo viên có định hướng tốt khi giảng dạy chủ đề bất đẳng thức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu sư phạm có liên quan đến bài toán sử dụng bất đẳng thứcCôsi để chứng minh bất đẳng thức

- Nghiên cứu phương pháp dạy học từ đó tìm ra phương pháp phù hợp, để học sinhhọc đạt kết quả cao nhất trong quá trình dạy nội dung sáng kiến

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện mục đích nhiệm vụ của đề tài trong quá trình nghiên cứu tôi đã sửdụng các phương pháp sau:

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn.(lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

- Phương pháp thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1.Cở sở lý luận

a) Bất đẳng thức cô si: Cho 2 số không âm a b, : a b 2 ab

Dấu bằng xảy ra khi a b

Tổng quát: Cho 2n số a a1, , ,2 a n không âm:

Trước khi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này, đa số học sinh rất sợ phầnbất đẳng thức gần như các em thường bỏ qua phần này, một phần là cũng do đối vớimột bài toán chứng minh bất đẳng thức, có rất nhiều phương pháp vận dụng chứngminh, các phương pháp giải đa dạng, một số tài liệu đưa ra cách giải mang tính thủthuật, không tự nhiên làm cho học sinh không có cách nhìn bao quát về chứng minhbất đẳng thức Dẫn đến không có định hướng tư duy khi làm các bài tập phần này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Rèn luyện kĩ năng tách thêm bớt số hạng, thêm bớt biểu thức khi sử dụng bất đẳng thức cô si

Sử dụng bất đẳng thức Côsi được coi là công cụ hữu hiệu để chứng minh bấtđẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tuy nhiên để áp dụngthành công BĐT Cô si vào giải toán một kĩ năng không thể thiếu là: chọn bộ số,tách số hạng, thêm bớt số hạng, thêm bớt biểu thức Để rèn luyện kĩ năng này chohọc sinh tôi đã chọn hệ thống ví dụ đa dạng, mỗi ví dụ giải nhiều cách khác nhau.Thông qua các cách giải giúp học sinh nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khácnhau, từ đó rèn luyện kĩ năng cho học sinh đồng thời giúp học sinh chủ động lĩnh

hội tri thức Từ đó tạo niềm tin trong quá trình chinh phục các dạng Toán khó

Ví dụ 1 Cho 3 số không âm ; ;x y z : x5 y5  z5 3

a) Chứng minh rằng: x2y2 z2 3

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 101y101 z101

Nhận xét:

- Vai trò của ; ;x y z bình đẳng nên dấu bằng khi x y z 

- Cần đánh giá x5 thông qua x2 nên sử dụng bất đẳng thức cô si cho 5 số:

Dấu bằng xảy ra khi x y z   1

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x101 + y101 + z101

Nhận xét:

- Vai trò của ; ;x y z bình đẳng nên dấu bằng khi x y z 

- Chọn số hạng sao cho khi sử dụng bất đẳng thức côsi cho các số hạng đó đánhgiá được x101 qua x5.

Dấu bằng xảy ra khi x y z   1

Từ ví dụ trên giáo viên tổng kết để học sinh phát hiện bài toán tổng quát.

Tổng quát 1: Cho 3 số không âm ; ;x y z : x n  y n  z n an

a) Tìm giá trị lớn nhất của P x k  y k z k n k (  )

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x m  y m z m (m n )

Tổng quát 2: Mở rộng cho n biết.

Cho m số không âm x x1, , ,2 x thỏa mãn: m 1n 2n n  0

m

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c :

32

- Giáo viên hướng dẫn học sinh làm nhiều cách nhằm rèn luyện kĩ năng phân tích ,

so sánh, tổng hợp, xét tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa

Cách 1 Thêm bớt hằng số

Từ ví dụ trên giáo viên hướng dẫn định hướng mở rộng bài toán.

a) Mở rộng theo hướng tăng số biến:

Bài toán 1: Cho n số dương a 1 .a n. Đặt S = a 1 + +a n

s a s a  s a  n

b) Mở rộng bài toán theo hướng tăng bậc của biến:

Bài toán 2: Cho 3 số dương a,b,c chứng minh rằng:

Nhận xét: Khi dấu bằng xảy ra thì

Dấu bằng xảy ra khi a b c 

Ví dụ 4 Cho các số dương ; ;x y z thỏa mãn x y z   9

Nhận xét:

- Vai trò , ,x y z bình đẳng do đó dấu bằng xảy ra khi x y z 

- Ta cần đánh giá để xuất hiện biểu thức xy yz xz x y z  ;  

- Tử số chứa x3  nên cần đánh giá xuất hiện y3 x y

x y

x y xy

Dấu bằng xảy ra khix y z   3

2.3.2 Phát triển bài toán đã chứng minh thành các bài toán mới.

Với mục tiêu không chỉ dừng lại ở việc chứng minh một bất đẳng thức cụ thể.Từcác bất đẳng thức đã chứng minh tôi hướng dẫn học sinh phát triển thành các bấtđẳng thức mới qua đó phát triển tư duy sáng tạo và thúc đẩy học tập tự chủ cho họcsinh

Phát triển ví dụ 3: Cho 3 số dươnga b c, , sao cho ab bc ac   3

Tăng số biến lên n ta được bài toán:

Cho n số không âm: x1; x2; .;xn sao cho x1x2+ +xn-1xn=1 ĐặtS=x1+x2+ xn

Chứng minh rằng:

3

1

1 1

n i

Tăng số bậc lên n, số biến lên m biến, biểu thức dưới mẫu có thể thay ở dạngtích của các biểu thức đối xứng của các biến

Cho m số không âm: x1; x2; ;xm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Hướng 3.1 Đặt

1

11

a x

y xy yz xz c

21

m m m

m m m

m

m m m

Hướng 5: Kết hợp với các bất đẳng thức cổ điển để tạo ra các bất đẳng thức mới.

Hướng 5.1 Mở rộng theo hướng khai thác phạm vi của biến tăng số biến

Xuất phát từ dữ kiện ta có: (x - 1)(y - 1)  0  xy  x + y -1

 xyzt xzt yzt zt   xyzt zt xyt xyz xyt yzt xzt xyz      

xyzt x  y  z t   xyz xyt  yzt xzt

Bằng cách tương tự ta có thể mở rộng cho n biến x1, x2, xn ta có BĐT

Tổng quát: Nếu x1, x2, xn là các số thực không âm thì

1 1

Hướng 6:

-Tôi hướng dẫn học sinh xuất phát từ bất đẳng thức đã có, kết hợp việc lựa chọn bộ

số thích hợp để sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, từ đó tạo ra nhiều bất đẳngthức mới Từ đó giúp học sinh có cách nhìn linh hoạt trong việc sử dụng bất đẳngthức Côsi và Bunhiacopxki

b) Hướng 6.2: Xuất phát từ biểu thức:

Hướng 7 : Khai thác bài toán trên theo hướng lượng giác hóa

Nhận xét : - Chương trình lớp 10 các em đã học về biến đối lượng giác Vì vậy

việc định hướng học sinh vận dụng kiến thức lượng giác vào giải các bài toán bấtđẳng thức là rất cần thiết, giúp học sinh có cách phân tích bài toán đa dạng, đồngthời học sinh thấy được sự liên kết logic của các nội dung, các chương học trongchương trình Toán

2



Từ đó ta có bài toán 7.1: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: xy + yz + xz = 1.

3 3 )

Hướng 7.4: Thay đổi dữ kiện xy yz xz  1 bằng dữ kiện x y z xyz  

Đặt xt anA; y tan ; B z tan ; ì: tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanCC V ta suy ra A,B,C là

ba góc trong tam giác

m m m

Nhận xét: - Từ sự dẫn dắt trên học sinh có thể khai thác và tìm thêm nhiều bài

toán mới, đồng thời giúp học sinh có thể nhìn bài toán một cách đa dạng hơn

- Trên đây tôi hướng dẫn học sinh dựa trên mối liên hệ logic của toán học phát triểnbài toán cụ thể thành các bài toán khác nhau, từ đó rèn luyện học sinh đức tính luônchủ động, tích cực trong việc tiếp thu tri thức Từ đó phát triển tư duy sáng tạo chohọc sinh

b) Phát triển bài toán trên thành các bài toán mới

Bài 2 : Cho ba số dương x, y, z thõa mãn xyz = 1

b) Phát triển bài toán trên thành các bài toán mới

2.4 Hiệu quả đạt được

- Đề tài được nghiên cứu và thực hiện giảng dạy trong hai năm 2020- 2021;2021- 2022 Trong một số tiết chữa bài tập và một số tiết bồi dưỡng học sinh khágiỏi khối 10

- Đối tượng thực nghiệm là học sinh các lớp 2021),10A1(2021-2022) của nhà trường

10A2(2020-2021),10A3(2020 Sau khi giảng dạy tôi tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu của học sinh kết quảthu được như sau : 10A2(2020-2021),(chưa triển khai sáng kiến này),10A3(2020-2021),10A1(2021-2022)(đã triển khai sáng kiến này)

- Rèn luyện khả năng phân tích tổng hợp, tư duy trừu tượng hóa, khái quáthóa, phán đoán logic cho học sinh.

3.2 Kiến nghị

- Trong khuôn khổ một sáng kiến tôi chỉ đề xuất một vài hướng giải quyết bài toán,

vì vậy theo định hướng này giáo viên phải tiếp tục đào sâu nghiên cứu để xây dựngnhiều bài tập tương tự để dạy cho học sinh đạt kết quả cao

- Duy trì phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm nhằm nâng cao chấtlượng dạy và học

- Rất mong được sự góp ý từ các thầy cô giáo và hội đồng khoa học của SởGD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến này được hoàn thiện, thuận lợi cho việc bồidưỡng học sinh giỏi và ôn thi tốt nghiệp THPT

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2022.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Thị Hiền