(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh các bài toán góc trong không gian, nhằm nâng cao kết quả môn toán trong kỳ thi tốt nghiệp của trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN, NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ MÔN TOÁN TRONG KỲ THI TỐT NGHI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN,

NHẰM NÂNG CAO KẾT QUẢ MÔN TOÁN TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP, CỦA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

Người thực hiện: Mai Giáp Tý Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 22.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 4

Tài liệu tham khảo

Danh mục SKKN đã được xếp loại

2122

HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁC BÀI TOÁN GÓC TRONG KHÔNG GIAN, NHẰM NÂNG CAO

KẾT QUẢ MÔN TOÁN TRONG KỲ THI TỐT NGHIỆP, CỦA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Đối với mỗi giáo viên việc ôn thi tốt nghiệp là một nhiệm vụ quan trọng, để

có kết quả cao trong công tác ôn thi tốt nghiệp, ngoài việc tạo học sinh có nănglực, đam mê bộ môn học, người thầy còn phải có kiến thức tốt, kinh nghiệm ôntập và đặc biệt có những giải pháp hiệu quả nhằm khắc phục những khó khănvướng mắc của học sinh trong quá trình ôn luyện giúp học sinh giải quyết cácvấn đề khó bằng những phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả

Trong những năm vừa qua tôi được nhà trường tin tưởng, giao phụ trách ônluyên học sinh thi tốt nghiệp, tại các lớp chọn của trường bản thân cảm thấy rất

tự hào coi đây là động lực để tôi cố gắng phấn đấu và tìm tòi phương pháp hay

để giải bài tập khó nhằm nâng cao kết quả trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT( còn cótên là kỳ thi THPT quốc gia)

Năm học 2018-2019 đánh dấu mốc quan trọng trong cuộc đời dạy học củacủa tôi Đây là năm đầu tiên tôi có học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi THPTquốc gia môn Toán năm 2019, với 9 em học sinh đạt điểm 9 trở lên, với số điểmtrung bình của lớp là 8,3, đứng đầu huyện Nông cống

Năm học 2021-2022 tôi tiếp tục được nhà trường giao nhiệm vụ ôn thi Tốtnghiệp cho lớp 12B1 lớp chọn đầu của trường, với mong muốn đạt được nhữngthành tích cao nhất trong kỳ thi Tốt nghiệp năm 2022

Phần “ góc trong không gian ” là một phần có nhiều bài toán và bài toán liênquan trong đề thi Tốt nghiệp, nguồn tài liệu về phần này ở SGK tương đối ít,chưa cụ thể và đa dạng

Để ôn tập cho học sinh phần này, trong lần ôn tập năm học 2018-2019,

2019-2020, 2020-2021 và năm nay 2021-2022, tôi đã tìm tòi biên soạn lại, từ nhiềunguồn khác nhau, để ôn tập cho lớp mình phụ trách và thu được nhiều kết quảtốt đẹp

Để có được thành quả đó là cả một quá trình nghiên cứu, tìm tòi, đổi mớiphương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán khó bằngnhững cách làm đơn giản, nhanh gọn nhưng hiệu quả

Với thành ý muốn được chia sẻ với đồng nghiệp trong tỉnh về kinh nghiệmcủa bản thân, tôi xin mạnh dạn chia sẻ kinh nghiệm của mình bằng viết sáng

kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh các bài toán góc trong không gian, nhằm nâng cao kết quả môn Toán trong kỳ thi tốt nghiệp của trường THPT Nông Cống 3" với hi vọng sẽ giúp ích được cho những đồng nghiệp có tâm

huyết, có đam mê với công tác ôn thi tốt nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Đề tài đưa ra một số phương pháp giải bài tập , một số phân tích, hệ thốngcác bài tập về góc trong không gian, nhằm giải quyết các câu hỏi có liên quantrong đề thi tốt nghiệp quốc gia

- Đề tài chỉ ra tính hiệu quả để giải các bài toán góc trong không gian

- Đề tài cung cấp cho các đồng nghiệp một nguồn tư liệu cực kì bổ ích trongcông tác ôn thi tốt nghiệp môn Toán phần hình học không gian

- Đề tài giúp học sinh phát huy tối đa năng lực, tạo điều kiện để những họcsinh có năng lực đạt kết quả cao trong các kì thi tốt nghiệp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán góc trong không gian

- Một số bài tập về góc trong không gian và các vấn đề liên quan

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tự nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn

- Phương pháp thực nghiệm và đối chứng

- Phương pháp thống kê tổng hợp

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

1.5 Những điểm mới của SKKN

- Đưa ra những hướng dẫn, những phân tíc cụ thể về các bài toán góc trongkhông gian mà trong sách giáo khoa Toán 12 không có

- Đề tài gắn liền với thực tế đề thi tốt nghiệp quốc gia và đề thử tốt nghiệpcủa các trường trên toàn quốc

- Đề tài trình bày và giải quyết vấn đề thông qua việc giải các bài toán cụ thể

và được chia thành các dạng khác nhau

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Góc giữa hai véc tơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, cho ur và vr là hai vectơ khác 0.r Lấy một điểm A bất kì, gọi

B và C là hai điểm sao cho AB uuuur=r, ACuuur=vr.

Khi đó ta gọi góc ·BAC (0 °£ BAC· £ 180 °) là góc giữa hai vectơ ur và vr trong không gian, kí hiệu là (u vr r, )

2.1.2 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Định nghĩa

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng

a¢ và b¢ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

Cách 2 Tìm hai vec tơ chỉ phương u vr r, của hai đường thẳng a b,

Khi đó góc giữa hai đường thẳng a b, xác định bởi cos ,(a b) uv.

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng ( )a thì góc giữa d

và hình chiếu d¢ của nó trên ( )a gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng( )a . Khi d không vuông góc với ( )a và d cắt ( )a tại điểm O, ta lấy một điểm

A tùy ý trên d khác với điểm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( )a

và j là góc giữa d và ( )a thì ·AOH=j .

hoặc cosj = sinb.

Ta phải chọn điểm M trên d, mà có thể tính khoảng cách được đến mặt phẳng( )a Còn O là giao điểm của d và mặt phẳng ( )a , b là góc tạo bởi đường thẳng

d và đường thẳng D vuông góc với ( )a

Giả sử hai mặt phẳng ( )a và ( )b cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất

kỳ trên c ta dựng trong ( )a đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong ( )b

đường thẳng b vuông góc với c.

Người ta chứng minh được góc giữa hai mặt phẳng ( )a và ( )b là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Diện tích hình chiếu của một đa giác

Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng ( )a có diện tích S và H¢ là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng ( )b . Khi đó diện tích S¢ của H ¢ được tính theo công thức

.cos

S¢=S j

với j là góc giữa ( )a và ( )b

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong những năm vừa qua mặc dù kết quả thi tốt nghiệp môn Toán củatrường THPT Nông Cống 3 vẫn được duy trì ở tốp đầu trong toàn huyện vàđược các đồng nghiệp đánh giá cao Tuy nhiên số học sinh đạt điểm cao trong kìthi tốt nghiệp còn ít

Từ những thực tế trên với vai trò là người phụ trách công tác ôn thi tốtnghiệp môn toán tại các lớp chọn của nhà trường, tôi thiết nghĩ mĩnh phải chịu

trách nhiệm về những hạn chế trong công tác ôn thi tốt nghiệp của nhà trường.

Vì vậy trong những năm vừa qua tôi cùng các đồng nghiệp đã có những trao đổi

về phương pháp giảng dạy trong đó có việc giải quyết vấn đề về bài góc trongkhông gian, một vấn đề đưa vào thi tốt ngiệp trong những năm qua

Xuất phát từ cơ sở thực trạng trên, tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm của

mình sẽ là một đóng góp thiết thực cho việc ôn thi tốt nghiệp của bộ môn Toán

ở trường trung học phổ thông hiện nay nên tối quyết định lựa chọn đề tài này vớimột thành ý muốn chia sẻ kinh nghiệm tới các đồng nghiệp trong và ngoài nhàtrường với mong muốn nó có thể giúp các đồng nghiệp có thêm tư liệu và giảipháp nhằm nâng cao hiệu quả trong công tác ôn thi tốt nghiệp trong những nămtới

Đây là bài toán tìm góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Để giải bài toán thông thường ta có thể sử dụng định nghĩa đưa về tính góc giữahai đường trong mặt phẳng thông qua định lí cosin hoặc tính thông qua góc giữahai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng

Trong bài toán này nhận thấy các tam giác ABC SBC SAC, , đều là các tam giácđặc biệt biết độ dài các cạnh, nên ta dùng cách vectơ

Tóm tắt cách giải:

Gọi I là trung điểm của BC, vì SA SB SC a   và BC a 2 ta chứng minhđược hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với tâm I của đường trònngoại tiếp tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A nên I là trung điểm của BC.

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC  60 

Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâmcủa tam giác ABC, gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SCD, tính

Phân tích:

Đây là bài toán tìm góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Để giải bài toán thông thường ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc chú ý 2,3( phần lý thuyết)

Trong bài toán này nếu dùng định nghĩa việc tìm hình chiếu của SB lên mặtphẳng SDC phức tạp Theo giả thiết hình chiếu vuông góc O của điểm S lênmặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABC nên ta chọn cách giảitheo chú ý 2 ( cách 1) hoặc chú ý 3 ( cách 2)

Cách 1:

Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O và d//SB,

d cắt SD tại K Khi đó góc giữa SB và SCD chính là góc giữa OK và SCD.Mặt khác chứng minh được tứ diện S ABC. là tứ diện đều cạnh a, từ đó dựng được hình chiếu của OK trên mặt phẳng SDC là KH Tính được OH OK, , suy

ra sin 

Tóm tắt cách giải:

Cách 1:

Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O và d//SB,

d cắt SD tại K Khi đó góc giữa SB và SCD chính là góc giữa OK và SCD

Vì SO (ABCD), tam giác ABC đều cạnh a, SB a Suy ra tứ diện S ABC. là tứ diện đều cạnh a

Từ giả thiết ta có SMQ  SDC và giao tuyến của hai mặt phẳng là đường SC

Kẻ OH SC ta được hình chiếu của OK trên SCD là KH

● Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC Dựng đường thẳng d qua O và d//SB,

d cắt SD tại K Khi đó góc giữa SB và SCD chính là góc giữa OK và SCD

● Tứ diện S ABC. là tứ diện đều cạnh a nên ta tính được:

Đây là bài toán tìm góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Để giải bài toán thông thường ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc chú ý 2,3

Trong bài toán này dùng định nghĩa việc tìm hình chiếu của SD lên mặt phẳng

D C B

S

Gọi H M, lần lượt là trung điểm của AB SB, ; O là tâm của hình chữ nhật ABCD

Ta có MO SD//

Dễ thấy BC SAB  BC AM , mà SB AM nên AM SBC

Xét tam giác AMO, có: 3

AMO

  cân tại O

2 2

a MO

d O AM AMO

Đây là bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Nhận thấy hai mặt phẳng A BD'  và C BD'  có giao tuyến là đường thẳng BD,tachọn cách giải dùng định lý

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD Ta có các tam giác,

A BD C BD  cân tại A C ,  Suy ra A O BD C,  BD

Do đó A BD  , C BD   A O C O ,   Tính được A OC' ' 60  0

Tóm tắt cách giải:

+ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD

Ta có các tam giác A BD C BD ,  cân tại A C ,  Suy ra A O BD C,  BD

Góc giữa hai mặt phẳng A BD'  và C BD'  bằng góc giữa A O' và C O'

Đặt    ; ' x 6

AB x BC x AA  A OC' ' đều cạnh bằng x 2  A OC' ' 60  0

Lời giải chi tiết:

O

D'

C' A'

B'

D

C B

Vậy góc giữa hai mặt phẳng A BD'  và C BD'  bằng 60 0

Ví dụ 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác cân, với

ABAC a và góc BAC  120 , cạnh bên AA a Gọi I là trung điểm của CC Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I

A'

C B

A

Đây là bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Nhận thấy giả thiết cho lăng trụ đứng ABC A B C    nên hình chiếu của A I B, , trênmặt phẳng ABC lần lượt là A C B, , Ta chọn cách giải dùng công thức hìnhchiếu

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I, ta có S ABC S IB A .cos 

Tính được SABC,S AIB, từ đó suy ra cos.

Tóm tắt cách giải:

Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I là 

Ta có ABC là hình chiếu vuông góc của AB I trên mặt phẳng ABC

Do đó S ABC S IB A cos  Tính được 1 .



2 10 4

a

 1

A'

C B

Xét tam giác vuông IAC có IA IC2 AC2

2 2

4

a a

3 4

a a

a

 B I2  IB A vuông tại A

2



2 10 4

a

Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và AB I là 

Ta có ABC là hình chiếu vuông góc của AB I trên mặt phẳng ABC

Câu 1 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

AB a , AC a 3 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC, A H a 3 Gọi  là góc giữa hai đường thẳng A B và B C Tính cos 

E H

C

B

A

C' B'

Trong ABC, dựng HI AB.Trong SHI, dựng HJ SI

Ta có ABHI AB, SH  ABSHI SAB  SHI

SH AC a a a CK

tứ diện SABI Góc tạo bởi đường thẳng OO và mặt phẳng ABC bằng

A 60 B 30 C 90 D 45

Lời giải

d

O I

A

S

H K

Do ASB  90 nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI nằm trên đườngthẳng d đi qua trung điểm O của đoạn thẳng AB và d SAB  1

Trong mặt phẳng SCH kẻ IK SH tại K

Theo giả thiết SI ABC suy ra SI AB Từ SI AB và AB CH suy ra

 

AB SCH  ABIK Từ IK SH và ABIK ta có IKSAB  2

Từ  1 và  2 ta có IK d Bởi vậy OO';ABC d ABC;   IK ABC;  

Vì SCH  ABC nên IH là hình chiếu vuông góc của IK trên mặt phẳng

ABC Bởi vậy

 

IK ABC;  IK IH,  HIK HSI

Do tam giác ABC vuông tại C và SAB vuông tại S nên

2

AB

CO SO  Xét hai tam giác vuông CHO và SHO có CO SO , cạnh OH chung nên

Câu 5 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. với tất cả các cạnh bằng a Gọi G

là trọng tâm tam giác SCD Giá trị tan góc giữa AG và mặt phẳng ABCD bằng

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Khi đó SOABCD.

Gọi I là trung điểm của CD Ta tính được 3, 2 3

tan

17 34 6

a GQ GAQ

V AH

AH AK

Câu 7 Cho hình chóp S ABCD. có AB 5 3, BC 3 3, góc BAD BCD    90  ,

9

SA  và SA vuông góc với mặt đáy Biết thể tích của khối chóp S ABCD  66 3

, tính cotang của góc giữa mặt phẳng SBD và mặt đáy

Gọi H I K, , lần lượt là hình chiếu của A trên SM , của B trên SA và SP Khi đó

BI  SAM và BK SMP Do M là trung điểm AC nên ta có

 ,   ,  2

d A SM d C SM a

Mà AM  2a nên tam giác AHM vuông cân tại H

Lại có AM SAB nên tam giác SAM vuông cân tại A suy ra SA 2a Ta có

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thang vuông tại A và B Biết SA

vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA AB BC a AD   ,  2a Gọi M N,lần lượt là trung điểm của SB CD, Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC)

DAC   Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD, trong đó G

là trọng tâm tam giác BCD

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Đối với bản thân

Từ năm học 2018-2019 đến nay tôi được nhà trường phân công ôn thiTHPT quốc gia các lớp chọn của trường Tôi đã vận dụng những kinh nghiệm

mà mình tích lũy được để ôn tập và hướng dẫn học sinh thi THPT quốc gia (bâygiờ là kỳ thi tốt nghiệp THPT)

Bảng thống kê kết quả môn Toán do tôi trực tiếp giảng dạy

Kỳ thi Lớp Số điểm 9 trở lên Điểm TB Ghi chú

2.4.2 Hiệu quả ứng dụng vào thực tiễn các trường THPT trong tỉnh:

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Sau một thời gian nghiên cứu, hoàn thành đề tài và vận dụng vào dạy học.bản thân tôi khẳng định đề tài đã mang lại hiệu quả trong công tác ôn thi Tốtnghiệp THPT Học sinh sau khi được hướng dẫn, các em có thể làm tốt các bàitoán góc trong không gian vào trong các đề thi tốt nghiệp THPT những năm gầnđây Giúp trường THPT Nông Cống 3 duy trì được kết quả thi tốt nghiệp THPT

Mong muốn của tôi là được đóng góp một chút công sức cho giáo dụctỉnh nhà, cổ vũ phong trào ôn thi tốt nghiệp THPT của các trường THPT trongtỉnh, được chia sẻ cách làm của mình với đồng nghiệp trong và ngoài nhàtrường Đây cũng là dịp để bản thân tôi nhìn lại những gì mình đã làm để đạtđược thành công trong những năm qua Tôi hi vọng kinh nghiệm này sẽ giúp íchđược cho các đồng nghiệp trong công tác ôn thi tốt nghiệp THPT, để các đồng