(SKKN 2022) MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY HỌC SINH GIẢI PHƯƠNGTRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ở TRƯỜNG THPTNÔNG CỐNG 3

“MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ở TRƯỜNGbị lúng túng, ngỡ ngàng, không tìm được hướng giải.. Cùng với xu hướng của nhà trường l

MỤC LỤC

Trang

I MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

II NỘI DUNG 3

2.1 Cơ sở lí luận 4

2.2 Thực trạng của vấn đề

2.2.1 Về phía học sinh

2.2.2 Về sách giáo khoa

2.2.3 Về phía giáo viên

4 4 5 5 2.3 Các biện pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp 1

2.3.2 Giải pháp 2

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

3.2 Kiến nghị

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

5 5 7 18 18 19 21

Đề tài:

“MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY HỌC SINH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ở TRƯỜNG

bị lúng túng, ngỡ ngàng, không tìm được hướng giải

Thực tế cho thấy phương trình vô tỷ gây khó khăn khá nhiều cho học sinhnói chung và học sinh trường THPT Nông Cống 3 nói riêng Trong khi đóchương trình học của sách giáo khoa lại không đề cập đến các dạng phươngtrình này hoặc nếu có thì chỉ dừng lại ở mức độ quá đơn giản, không đáp ứngđược yêu cầu trong các kì thi

Vậy làm thế nào để có thể giúp các em học sinh lớp 10 tiếp cận với cácphương trình đó và dần đi đến giải được các phương trình đã nêu ở trên

Cùng với xu hướng của nhà trường là cho học sinh chọn ban chọn khối từnăm lớp 10 và kết hợp với khả năng của học sinh trường THPT Nông Cống 3,tôi muốn cung cấp, bổ sung thêm cho các em một cách giải những phương trình

vô tỷ bằng cách dùng ẩn phụ Đây là một cách giải đòi hỏi phải có tư duy chặtchẽ, lôgic và có hiệu quả cao

Ở đây tôi không tham vọng là các em có thể giải được hết các phươngtrình này tuy nhiên phần nào đó học sinh biết cách định hướng, nhận biết, để đặtđược ẩn phụ và giải được một số dạng tương đối đơn giản và thường gặp

Với mong muốn đó, tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các

kiến thức thành một đề tài: “Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh giải

phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ở trường THPT Nông Cống 3’’.

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này không ngoài mục đích giúp học sinh phát hiện được mối quan

hệ giữa các biểu thức trong phương trình, từ đó biết cách đặt ẩn phụ thích hợp đểđưa về giải các phương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc

Để đạt được điều này, trong sáng kiến kinh nghiệm của mình tôi xin trìnhbày :

a Những kiến thức cớ bản nhất về phương trình và hệ phương trình

b Hai dạng bài toán :

Dạng 1: Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt một ẩn phụ

Dạng 2: Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt nhiều ẩn phụ (hai, ba …ẩn) và đưa về giải hệ phương trình

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Trong quá trình giảng dạy các lớp 10 trường THPT Nông Cống 3, tôinhận thấy có nhiều em rất ham thích, tìm tòi các cách giải các phương trình Tuynhiên khi đối mặt với các phương trình vô tỷ thì các em đều gặp khó khăn,không định hướng được cách giải, một số ít cũng đã tìm được cách giải nhưnglời giải quá cồng kềnh, phức tạp Nếu biết đặt ẩn phụ một cách thích hợp đưa vềphương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc thì bài toán trở nên đơn giản hơnnhiều và cách giải cũng rõ ràng, chặt chẽ

Sáng kiến này tôi áp dụng cho học sinh lớp 10A2 trường THPT NôngCống 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Đề tài được hoàn thiện trên phương pháp thống kê tổng hợp, quan sát,phân tích nguyên nhân và phương pháp thực nghiệm sư phạm

II NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận:

Phương trình vô tỷ ở chương trình lớp 10 chủ yếu là các phương trìnhchứa căn bậc hai, căn bậc ba Với những phương trình chứa căn cơ bản, đơngiản thì hầu như học sinh đều đã nắm được cách giải Bên cạnh đó, các em còngặp nhiều phương trình vô tỷ mà không có phương pháp giải cụ thể, mẫu mực,những phương trình này thường được giải bằng cách đặt ẩn phụ Ẩn phụ ở đâyđược hiểu là ẩn khác với ẩn đã cho của bài toán, ẩn phụ được hiểu theo đúng từ

Bước 2: Tìm ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban đầu

Tuy nhiên cái khó của bài toán là đôi khi các mối liên hệ giữa các đạilượng tham gia trong phương trình không phải dễ thấy, có khi chúng lại “ẩnnấp” khá kín đáo làm cho người giải toán tưởng chừng là chúng không liên quan

gì với nhau Chính vì vậy đòi hỏi người làm toán phải có cách nhìn tinh tế, sángtạo, logic mới có thể tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố để đặt được ẩn phụ vàgiải phương trình

2.2 Thực trạng của đề tài :

2.2.1 Về phía học sinh.

Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán lớp 10, tôi nhận thấy, khi dạy vềgiải phương trình bậc nhất, bậc hai hoặc các phương trình quy về bậc nhất bậchai đơn giản, đây là những phương trình cơ bản, học sinh đều nắm được cáchgiải Tuy nhiên, khi gặp phương trình vô tỷ khác lạ trong phạm vi lớp 10 thì họcsinh bị bế tắc, không định hướng được cách giải Các phương trình dạng này,phần lớn là phức tạp và hầu như không được giải theo cách phổ thông mà ở mỗiphương trình các biểu thức có mối liên hệ đặc biệt, đòi hỏi học sinh phải pháthiện được và đặt ẩn phụ thích hợp để đưa về giải hệ phương trình quen thuôc

Thực tế chỉ có khoảng 6% - 10% học sinh biết cách giải theo cách đặt ẩnphụ đưa về phương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc để giải, hầu hết các

em không hề nghĩ bài toán sẽ được giải theo cách này và không định hướngđược cách giải

2.2.2 Về sách giáo khoa.

Sách giáo khoa chỉ đơn thuần đưa ra các ví dụ về giải các phương trìnhbậc hai, phương trình chứa căn bậc hai, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốiđơn giản Ngay cả các phương trình chứa căn bậc hai, chứa dấu giá trị tuyệt đối

cơ bản cũng không đề cập đến cách giải tổng quát, vì vậy học sinh gặp rất nhiềukhó khăn khi đối mặt với các phương trình vô tỷ

2.2.3 Về phía giáo viên.

Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian chuyển tải các nộidung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần

mở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến củađồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinhvới những giải pháp như sau:

2.3.1 Giải pháp 1: Trang bị cho học sinh các kiến thức cần thiết.

Giáo viên trang bị cho học sinh dưới dạng bảng hệ thống các kiến thức đểhọc dễ nhớ, dễ vận dụng

2.3.1.1 Các kiến thức cơ bản về giải phương trình, hệ phương trình.

2.3.1.2 Các kiến thức cơ bản về giải phương trình chứa căn bậc hai.

( )

(

x g x f x f x

g x

( )

(

x g x f x g x g x

f

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta cần đặt ẩn phụ để giải

2.3.1.3 Các hệ phương trình cơ bản.

- Muốn khử bớt ẩn ta dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

c Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

- Ta dùng phương pháp thế, từ phương trình bậc nhất ta tính ẩn này theo ẩnkia

- Thế vào phương trình còn lại, ta được phương trình một ẩn và tính được giátrị ẩn đó

- Suy ra giá trị ẩn còn lại

e Hệ đối xứng loại 2: cho hệ

( , ) 0( , ) 0

2.3.2.1 Dạng 1: Đặt một ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ.

a Bài toán 1 : Giải phương trình : 3 x2  4x  5 x2  4x 7 0 

Vậy phương trình có tập nghiệm : S = {2 ; 1  3 4}

c Bài toán 3 : Giải phương trình : 5x2  14x 9  x2  x 20  5 x 1

Để khắc phục điều đó, ta đi phân tích và phát hiện mối liên hệ giữa các biểu thức

có mặt trong hai vế của (*)

Mà dạng tổng quát của phương trình đó có dạng : aubvc uv

Khi đó do x 5 nên x 4  0, chia 2 vế của phương trình cho x 4ta được:

1 0

3 5

u

u u

u

+)

2

61 5

;

8  

 x x

2.3.2.2 Dạng 2: Đặt nhiều ẩn phụ và đưa về giải hệ phương trình nhiều ẩn.

a Bài toán 1: Giải hệ phương trình x2 3 10 x2 = 5 (1)

Nhận xét: Tổng của hai biểu thức dưới dấu căn không phụ thuộc vào x

(x 2 + 3 + 10 – x 2 = 0) nên bài toán được giải như sau

Giải

Điều kiện: 10 – x 2

0   10  x 10Đặt

2 2

Chú ý: Bài toán trên vẫn có thể giải theo cách bình phương hai vế, tuy nhiên

cách giải này không hiệu lực lắm vì lời giải phức tạp, học sinh phải bình phươnghai lần và đưa về giải phương trình bậc 4 (may mắn đây là phương trình trùngphương, học sinh đã biết cách giải) Như vậy nếu nhận biết được mối quan hệ

giữa các biểu thức trong phương trình và đặt ẩn phụ như đã trình bày ở trên, bàitoán trở nên rõ ràng và đơn giản hơn nhiều.

b Bài toán 2: Giải phương trình 3 x  9 = (x - 3)3 + 6 (1)

Chú ý: Rõ ràng bài toán này không thể giải theo cách lập phương hai vế Ta đặt

Từ công thức (*) ta có: u3 x 9 x 3  6 v 6  u3  6 v

Vậy phương trình (1) trở thành hệ:

3 3

66

Thay vào (*) ta được x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

c Bài toán 3: Giải phương trình 3 24x  12 x 6

Nhận xét: Lập phương của biểu thức thứ nhất cộng với bình phương của biểu

thức thứ hai là một số không đổi (không phụ thuộc vào x)

Trường hợp 2: 3

9 12 27 24 3 3

Trường hợp 3: 88

100 12 64 24 10 4

d Bài toán 4: Giải phương trình: 3 x7  x  (1)1

Hướng dẫn: Bài toán này tương tự bài toán 3

7 88

11

1

x u

x x

0(*)

01

11

2

x x

f Bài toán 6: Giải phương trình:

Mối liên hệ giữa hai ẩn cho bởi phương trình: u2 v2  2 (*)

Khi đó phương trình đã cho biến đổi được về dạng:

2 1 1

2 1 1

u v

x



6

5 11

x u

x x

5 0

u

x v

u v u v uv

x v

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = 5; x = 6; x = 7

h Bài toán 8: Giải phương trình

Từ phương trình hai của hệ ta có: uvu v  ztz t

Mặt khác uv 0 vì u; v 0 và u; v không đồng thời bằng 0 nên:

u vz t (*)

Từ phương trình thứ nhất của hệ và (*) ta suy ra: u = z

=> 8x 1 7x4

 x = 3 (thoả điều kiện u; v; z; t 0 )

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

k Bài toán 10: giải phương trình:

Từ phương trình đã cho ta thu được uvzt

Bằng cách quan sát các ẩn phụ , ta thấy mối liên hệ giữa chúng cho bởi phươngtrình:

Do uvzt  0 nên từ hệ trên ta thu được: u v z t

Nhận xét: Ở bài tập này mặc dù ta đã đặt 4 ẩn phụ để đưa về giải hệ phương

trình, nhưng việc giải hệ không trở nên phức tạp vì các ẩn có mối quan hệ đặcbiệt

có thể chuyển về giải hệ gồm một ẩn phụ u và ẩn còn lại vẫn là ẩn x Như từ bài

toán 11 đến bài toán 13 sau đây, các phương trình dạng này ít gặp hơn tuy nhiênnếu không nhận dạng được bài toán và phương pháp giải thì sẽ gặp khó khăn lớn

vì không có các phương pháp khác để giải

Để lập được hệ hai phương trình hai ẩn mà trong đó có một ẩn phụ u và ẩn còn lại vẫn là x từ phương trình đã cho f(x) = 0 (1)

ta tiến hành như sau: Biến đổi phương trình (1) về dạng:

l Bài toán 11: Giải phương trình:

x3 - 33 3x 2 = 2 (1)

3 3

3 2 3( )

3

2 2 3

u ux x u x u x

2

x x

Vậy nghiệm của phương trình là: S = {-1; 2}

m Bài toán 12: Giải phương trình:

x2  1 x  1 (1)

Giải

Cách 1: Điều kiện: 1   x 0 x 1

(1)  x   1 1 x2

Điều kiện có nghiệm: 1  x2      0 1 x 1

Vậy điều kiện để giải phương trình là:    1 x 1

1 1

1 5

1 5

2 2

x x

x x

1 (2) 1

Nhận xét: Cách giải 1 có vẻ phổ thông hơn nhưng rõ ràng kém hiệu lực vì nếu

thay phương trình (1) bởi phương trình: x2  x a a a,  1 thì phương trình bậc

4 hữu tỉ thu được có dạng: 4 2 2 2 0

n Bài toán 13:Giải phương trình:  22

trình trùng phương, hồi quy, phản thương) Cách giải duy nhất của bài tập này làdùng ẩn phụ đưa về hệ phương trình.

Ta đặt u5 x 2, khi đó từ (1) ta lại có: x5 u 2

Vậy ta được hệ:

2 2

5 5

Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảngdạy tại trường THPT Nông Cống 3.

Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toánlớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là mộtmảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 10, đượchọc sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình vô

tỉ Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có các em học sinh với mức họctrung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng

rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 10 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì

số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên tăng lên và cókết quả qua các bài kiểm tra thử như sau :

Năm

Tổngsố

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ

Sốlượng Tỷ lệ2021-

Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cánhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế,thiếu sót Vì vậy tôi rất mong được Hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệmgiảng dạy của Tôi ngày càng phong phú và hiệu quả hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

3.2 Kiến nghị :

Để thực hiện đề tài có hiệu quả tôi có kiến nghị sau:

- Đối với nhà trường:

Nhà trường cần khảo sát chất lượng đầu năm để xác định đối tượng họcsinh học yếu, học kém

Có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kém kịp thời

Nâng cao chất lượng đại trà của các khối lớp bằng các buổi học ngoàigiờ chính khóa và đặc biệt tăng cường các buổi phụ đạo cho học sinh yếu kém Tăng cường hơn nữa sự phối hợp giữa gia đình với nhà trường, giữa giáoviên bộ môn với giáo viên chủ nhiệm để tạo ra sức mạnh tổng hợp

Phát động các đợt thi đua học tập trong công tác Đoàn Tổ chức các câulạc bộ giúp nhau học tập…

- Đối với sở GD và ĐT:

Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tiễn, thiếtthực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo cần đượctập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT và tạo điều kiện cho giáo

viên, học sinh và phụ huynh được tham khảo

Sở GD&ĐT nên mở thêm các lớp tập huấn trao đổi, học tập kinh nghiệm lẫn nhau

để nâng cao trình độ chuyện môn nghiệp vụ của đội ngũ giáo viên

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 26 tháng 05 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác

Mai Đức Huy

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

+ Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất bản giáo dục

+ Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục

+ Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục

+ Các bài giảng luyện thi môn toán - Nhà xuất bản giáo dục

(TG: Phan Đức Chính - Vũ Dương Thụy - Đào Tam - Lê Thống Nhất)

+ Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải

+ Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản giáo dục

+ Các đề thi đại học các năm trước