Các bài toán về nghiệm nguyên của phương trình và bất phương trình mũ và logarit là bài toán vận dụng – vận dụng cao trong nội dung trong kì thi tốt nghiệp THPTQG.. Thực tế lâu nay học s
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU….….……… …… 2
1.1 Lý do chọn đề tài……… 2
1.2 Mục đích nghiên cứu……….…… 2
1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…… 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu……… …….2
1.5 Những điểm mới của sáng kiến ……….……….3
2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ……… …3
2.1 Cơ sở lí luận 3
2.2 Thực trạng vấn đề……… ……… … 3
2.3 Các giải pháp thực hiện……… ……… … 3
2.4 Hiệu quả của sáng kiến………… ……… 20
3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….……… ……….……… 21
3.1 Kết luận……… 21
3.2 Kiến nghị………21
Trang 21 MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Nền giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới Một trong các nội dung đổi mới đó là thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia Đối với bộ môn Toán, từ năm 2017 thay hình thức thi
tự luận được tiến hành lâu nay bằng hình thức thi trắc nghiệm Hình thức này là mới đối với thầy và trò, nhưng đã được các nước phát triển trên thế giới áp dụng lâu nay Cùng với sự thay đổi hình thức thi thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình thức và nội dung Trong đề thi không còn nhiều câu hỏi hóc búa, đòi hỏi phải suy luận và tính toán dài dòng, nhưng bên cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới không quá khó nhưng yêu cầu học sinh khi học phải hiểu đầy đủ và cặn kẽ các vấn đề
Các bài toán về nghiệm nguyên của phương trình và bất phương trình mũ
và logarit là bài toán vận dụng – vận dụng cao trong nội dung trong kì thi tốt nghiệp THPTQG Ngoài các bài toán cơ bản ở mức độ nhận biết và thông hiểu
ta cũng thường gặp các bài toán kết hợp nhiều kiến thức và kỹ năng phức tạp Thực tế lâu nay học sinh thường gặp những bài toán hỏi về đếm số nghiệm nguyên phương trình và bất phương mũ và logarit phức tạp và khó xử lý nên khi gặp các bài toán dạng này học sinh thường có tâm lí e ngại, bối rối vì không biết dùng phương pháp nào để giải
Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán nghiệm nguyên của phương trình, bất phương trình mũ và logarit nhằm rèn luyện và phát triển tư duy” Để giúp học sinh không còn bị
lúng túng khi gặp các câu hỏi như vậy, dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán Đồng thời tạo được sự hứng thú, phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12
- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán về nghiệm nguyên của phương trình
và bất phương trình mũ và logarit
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ thông, mạng internet,
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông
Trang 3- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
1.5 Những điểm mới của sáng kiến.
- Tuyển chọn một số bài toán đặc biệt về tìm số nghiệm nguyên của phương trình mũ và logarit
- Đưa ra một số bài tập để học sinh tự luyện
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1 Cơ sở lí luận.
- Các phương trình cơ bản của phương trình, bất phương trình mũ và logarit,
phương trình hàm đặc trưng
- Các tính chất của của số nguyên, kiến thức về hàm số, bảng biến thiên, phương trình , bất phương trình [1]
2.2 Thực trạng vấn đề.
Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập cho hàm số tường minh, tương ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương pháp giải rõ ràng, một số bài các
em còn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính Casio Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập hỏi về tiệm cận có chứa tham số, chỉ cho bảng biến thiên hoặc đồ thị Khi gặp những bài tập này đa số học sinh thường lúng túng trong quá trình tìm lời giải, các em không biết phải xử lý như thế nào hay phải sử dụng phương pháp giải cho phù hợp, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy
2.3 Các giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản
- Đưa ra một hệ thống ví dụ và bài tập trắc nghiệm khách quan tăng dần
từ dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho các em làm quen dần với dạng bài tập này Dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh
2.3.1 Các bài toán thường gặp.
Dạng 1 Sử dụng hàm đặc trưng
Ví dụ 1: [3] Có tất cả bao nhiêu cặp số a b; với a b, là các số nguyên dương thỏa mãn:
3
Lời giải
Với a b, là các số nguyên dương, ta có:
Trang 4 3 2 2
3
3 3
3 2 2
log a b a b log 3 a b ab 3 a b ab 1
Xét hàm số: f t log 3t t trên 0;
ln 3
t
nên hàm số f t đồng biến trên 0;
Khi đó, phương trình 1 trở thành :
2 2
0 *
3 0
a b
Do a b , * nên phương trình * vô nghiệm Suy ra: a b 3
Mà a b, là các số nguyên dương nên
*
2
1
a a
b b
Vậy có hai cặp số a b; thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 2: [3] Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực
2022
y thỏa mãn log 9 3 y 3 3x x 3y?
Lời giải
Điều kiện: 9 3 0 1
3
Ta có: log 9 3 y 3 3x x 3y log 9 3 y 3 3y 3xx
log 3y 1 3y 1 log 3x 3x
Xét hàm số f t log3t t , với t 1
Ta có 1 1 0, 1
ln 3
t
, do đó hàm số f t đồng biến trên 1;
Trang 5Vậy f 3y 1f 3x 3y 1 3x 3 3x 1
y
Lại có y 2022 nên 3y 6066 3x 1 6066 3x 6067
Vì x nguyên dương nên x 1; 2;3;4;5;6;7 Vậy có 7giá trị x thỏa mãn
Ví dụ 3 [3] Gọi S là tập hợp các số nguyên x thỏa mãn
4yx log yx 2log x 1 2 x log x Có bao nhiêu giá trị nguyên của y để tập hợp S có nhiều nhất 32 phần tử?
Lời giải
Điều kiện: x 0 và y 0
Bất phương trình tương đương với:
2 6
2 6
4yx log yx 1 2 x log x 2log x
4yx log yx 2 2 x log x 2log x 1
l g 2
6
4yx log 4yx 2 x log x 1
2
2
2
4yx log 4yx 2 x log 2x
f 4yx6 f 2log22x 1
Xét hàm đặc trưng f t t log , 2t t 0
Ta có 1 1 0
ln 2
f t
t
với t 0 nên hàm số f t đồng biến trên 0;
Khi đó ta được:
2 log 2 6
(1) 4yx 2 x 2 log 2 y 6log 2x log 222 x log2 y log22x 4 log2 x 1 g x( )
Ta có ( ) 2 log 2 4 2 log 2 2
2
g x x x (nhận)
Trang 6Để tập S có nhiều nhất 32 phần tử thì 4
2
log y 4 0 y 2 0 y 16 Vậy có 16 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 4 [3] Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn các điều kiện
0 x 2020 và log (2 2 x 2) x 3y 8y?
Lời giải
*) Do 0 x 2020 nên log (2 2 x 2) luôn có nghĩa
Ta có log (2 2 x 2) x 3y 8y
3 2
log (x 1) x 1 3y 2 y
2 log ( 1) 3 2
log (x 1) 2 x 3y 2 y
*) Xét hàm số ( ) 2t
f t t Tập xác định D và f t ( ) 1 2 ln 2 t f t ( ) 0 t
Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên
Phương trình (1) có dạng: f log ( 2 x 1) f 3y log ( 2 x 1) 3 y
3
x
8
Ta có 0 x 2020 nên 1 x 1 2021 suy ra 0 log ( 8 x 1) log 2021 8
Lại có log 2021 3,66 8 nên nếu y thì y 0;1; 2;3
Vì x 2 3y 1 nên ứng với 1 giá trị của y nguyên thì tồn tại duy nhất 1 giá trị x nguyên
Vậy có 4 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán
Trang 7Ví dụ 5 [3] Cho 0 x 2020 và log (9 9 18) 2 9y
x x y Có bao nhiêu cặp số
( ; )x y nguyên thỏa mãn các điều kiện trên?
Lời giải
Do 0 x 2020 nên log (9 3 x 18) luôn có nghĩa
Ta có log (9 9 18) 2 9y
x x y log (3 2) 2 2 23y
3 log ( 2) 2 3
log (x 2) 3 x 2y 3 y
Xét hàm số f t( ) t 3t
Tập xác định D và ( ) 1 3 ln 3t
f t f t ( ) 0 t Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên Do đó (1) log ( 3 x 2) 2 y x 2 3 2y
Ta có 0 x 2020 nên 2 x 2 2022 suy ra 2
2 3 y 2022
log 2 log 2022
Vậy có 3 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (1;7), (2;79),
(3; 277)
Ví dụ 6: [3] Có bao nhiêu số nguyên dương b sao cho ứng với mỗi b, có đúng 3 giá trị nguyên dương a thỏa mãn log2 2 2 1
a
a
a
a b ab
Lời giải
Vì a 0 b 0 Với b 0, ta có:
2
a
a
ab
Dễ thấy hàm số g t log 2t t đồng biến trên 0; nên
a
a
Xét hàm số 2 , 0;
a
có .2 ln 2 22 ; 0 1
ln 2
a
a
Trang 8Để 2 có nghiệm thì 1 2,88
ln 2
b f
Để có đúng 3 giá trị nguyên a thỏa mãn 2 thì có hai trường hợp xảy ra
TH1:
3 1
b
TH2:
1
37 5
5
vô nghiệm
các giá trị b thỏa mãn yêu cầu bài toán là 11 5
3 b có đúng một số nguyên b thỏa mãn yêu cầu bài toán
Dạng 2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và tính chất nghiệm nguyên
Ví dụ 7: [3] Gọi S là tập các số nguyên y sao cho với mỗi y S có đúng 10 số nguyên x thoả mãn 2
3
2y x log ( )
x y
Tính tổng các phần tử thuộc S
Lời giải
Điều kiện: x y2
3 ( ) 2y x log ( )
(coi y là tham số), ta thấy f x nghịch biến trên khoảng y2 ; và lim 2 , lim
x
nên tồn tại 2
x y
sao cho f x 0 0 Từ đó ta được 2
0 ( ) 0
f x y x x .
Theo bài ra có đúng 10 số nguyên
2
2
x
2
2
10
3 11 3
2 log 11 0
y y
y y
Trang 92 3 2
2 3
10 log (log 10) 0
11 log (log 11) 0
2,86 3,86 4,01 3,01
y y y
4;3
y
Ví dụ 8: [3] Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất bốn số nguyên b 10;10 thỏa mãn 2
5a b b a
Lời giải
Ta có 2 4 26 5 2 4 4 26. 1 0 *
5
5
5
Xét hàm số 5 2 4 4 26. 1
có tập xác định , và
4
5
a
Suy ra: f b đồng biến trên
Ta có: *
2
*
2
Do đó b 2 a2 là số nguyên lớn nhất để * đúng
Theo đề: tồn tại ít nhất bốn số nguyên b 10;10 , ta xét:
b a b a b a b a
và b b b b 1 , , , 2 3 4 9; 8; 7; ;8;9
b a a mà a nên a 0; 1; 2
Vậy có 5 giá trị nguyên a thỏa mãn đề bài
Ví dụ 9: [3] Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất ba
số nguyên b 8;8 thỏa mãn 2
5a b 2b a 25
Lời giải
a
Trang 10Xét hàm số 2 . 1 25. 1 5 2
a a
f b
, với b 8;8, có
1 . 2 .ln2 25. 1 .ln1 0, 8;8
a
hàm số f b nghịch biến trên khoảng 8;8
BBT
Để bất phương trình có ít nhất 3 nghiệm nguyên b 8;8 thì 8; chứa ít nhất
3 số nguyên 5 f 5 0 5a2 5 2 a 5 25 0
Sử dụng máy tính cầm tay ta được các giá trị nguyên của a là 2; 1;0;1;2 Vậy
có tất cả 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 10: [3] Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi a, tồn tại ít nhất 7
số nguyên b 0;10thỏa mãn log 5b2 16 log 3b 13 a log 7a 3 4?
Lời giải
Ta có log 5b2 16 log 3b 13 a log 7a 3 4
f b b b a a , điều kiện b 0
ln 3
16 ln 5
b
f b
b b
do b 0nên f b 0 nên hàm số đồng biến trên 0;10
suy ra f 1 f 2 f 3 f 9 do vậy để có ít nhất 7 giá trị bnguyên thuộc
0;10 thì f 3 0 log 13 3 a log 7a 3 1 0 *
Đặt g a log 13 3 a log 7a 3 1, a3;13 bất phương trình trở thành g a 0
0
g a
Trang 11Mặt khác g 4 0 bất phương trình * trở thành g a g 4 suy raa 4 mà
3;13
a , a nguyên nên a 4 Vậy có duy nhất một giá trị nguyên a 4 thỏa mãn bài toán
Ví dụ 11: [3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a a 0 thỏa mãn
2022
2022 2022
a a
a
Lời giải
Ta có
2022
2022 2022
a a
a
2022
a
2022
2022
a
a
a
Xét hàm số
1
x
Ta có
4 1
0
x
x
x
'
y
2
4 ln4 4 1 ln 4 1
1
0
x
.
y
x
, x 0
Nên yf x là hàm giảm trên 0;
Do đó f a f 2022,a 0 khi 0 a 2022 Vậy có 2022 giá tị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 12: [3] Có bao nhiêu cặp số thực dương ( ; )x y thỏa mãn log y4 là số nguyên dương, log 3x 2 log 4 y và 2x3 y2 2022 3?
Lời giải
Trang 12Đặt t log 4 y(t * ) suy ra 4t
3
Xét hàm số f t( ) 2.33 6t 42t
trên
'(t) 6.3t .ln 3 2.4 ln 4 0,t
Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên
Ta lại có f(8) 2022 3 f(9) và t * Do đó, (1) t 8 t 1; 2; ;8 và mỗi giá trị t cho ta một cặp ( ; )x y Vậy có 8 cặp số thực dương ( ; )x y thỏa ycbt
Ví dụ 13: [3] Có bao nhiêu số nguyên a sao cho ứng với mỗi số a, tồn tại ít nhất 3 số nguyên b 7;7 thỏa mãn: 2
5a b 4b a 124
Lời giải
2
a b
b a
Xét hàm số: 4 124.5 5 2 4 .ln4 124.5 ln 5 0
b
Vì hàm số f b nghịch biến trên khoảng từ 7;7 nên để tồn tại ít nhất 3 số nguyên b thỏa f b 0 thì f 4 0 5a2 4 4 4 a 124
Với a , ta xét hai trường hợp
TH1: a 4 a 4 0 0 4 a 4 1
Suy ra 2 4 2
5
5a 124 a 4 log 124 7
Do a nên a 2; 1;0;1;2
Lại có 5 a 625.5 a 4 5 a 4 624.5 a 4 4 a 4 624 4 a 4 124, a 4
hợp này không xảy ra
Vậy có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 14: [3] Có bao nhiêu số nguyên y sao cho ứng với mỗi số nguyên y, có tối đa 100 số nguyên x thỏa mãn
5
3y- x³ log x+y
Lời giải
Trang 13Điều kiện: 2
x>- y
Xét hàm số ( ) 2 ( 2)
5
3 - log
( )
2
2
1
.ln 5
+
f x
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên ta có tập nghiệm của bất phương trình là ( 2
0
;
y x ù
- ú Để có tối đa 100 số nguyên x thì f(- y2 + 101)< 0 Û 2y2 + -y 202 3 - log 101 5 < 0
10 y 9
Vậy có 20 giá trị nguyên của y
Ví dụ 15: [3] Có bao nhiêu số nguyên a 11 sao cho ứng với mỗi a tồn tại ít nhất 6 số nguyên b 0; 8 thỏa mãn
Lời giải
Xét hàm f b log 4b2 12 log 3b 7 log 3a 3 log 5a 19 7 trên
0; 8
7 ln 3
12 ln 4
b
b b
0; 8
Trang 14Suy ra f 1 f 2 f 7 , do đó để có ít nhất 6 số nguyên b 0; 8 ta cần
Xét hàm g a log 3a 3 log 5a 19 3 trên 3;11 có
suy ra hàm g a đồng biến trên
3;11
và có g 6 0, mặt khác 1 g a g 6 a 6, do đó a 6,7,8,9,10
2.3.2 Bài tập áp dụng
Câu 1: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn 0 x 2022, y 2 và
2
2
x x xyx xy x ?
Câu 2: Với x là số nguyên dương và y là số thực Có tất cả bao nhiêu cặp số
x y; thỏa mãn ln 1 x 2y 2y 3x 10
Câu 3: Cho x là số thực, y là số nguyên thỏa mãn x2 3y2 2xy y 2x 0 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 3 2
2
y
P x x e y x x bằng
ln a d
(với a b c d, , , là các số nguyên dương; a
b và d
c là hai phân số tối giản) Giá trị a b c d bằng
Câu 4: Có bao nhiêu số nguyên a 10;10 sao cho ứng với mỗi a tồn tại ít nhất 5 số nguyên b thỏa mãn
2 2
Câu 5: Có bao nhiêu số nguyên a, sao cho ứng với mỗi số a tồn tại ít nhất 4 số nguyên b 12;12 thỏa mãn: 4 3
4a b 3a b 256
