(SKKN 2022) ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán

Dựa vào tínhđơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng đồng biến ,nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số.. Trong những năm gần đây thì tính đơnđiệu

Tính đơn điệu của hàm số lớp 12 là một cách nhìn bao quát và sâu rộng của hàm số

so với cách nghiên cứu hàm số đồng biến, nghịch biến của lớp 10, 11 Dựa vào tínhđơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng đồng biến ,nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số Trong những năm gần đây thì tính đơnđiệu của hàm số trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính biến thiên và vẽ đồthị hàm số là phần học sinh đặc biệt quan tâm để đạt kết quả tốt kỳ thi tốt nghiệp THPTQuốc gia

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các phương trình không mẫu mực, phươngtrình bậc cao, phương trình chứa căn thức là những bài toán khó đối với học sinhphổ thông Khi giải các bài toán này nếu áp dụng các phép biến đổi thông thường họcsinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải toán Vì thế mà học sinh không làm đượcbài ,hoặc rất dài dòng trong các lời giải, mất nhiều thời gian có thể dẫn đến kết quả saihoặc bế tắc trong quá trình hoàn thành lời giải bài toán Khi đó việc “Ứng dụng tínhđơn điệu của hàm số “ là một công cụ rất hay, rất nhanh gọn để giải quyết bài toán nóitrên, đặc biệt là bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K, tìmkhoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) Đặc biệt việcứng dụng tính đơn điệu để giải các bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trênmột tập K,tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)giúp cho các bài toán đó trở nên một cách nhẹ nhàng,dễ áp dụng và bài toán được giảinhanh chóng

Vì vậy, tôi xin mạo muội viết lại đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN”, nhằm hỗ trợ cho học sinh có thêm một

tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn trong giải bài toán nâng cao, nhẹ nhàng hơntrong quá trình học toán cũng như ôn thi trong các kì thi THPT quốc gia, để phần nàogiúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tíchcực hơn đối với dạng toán này

Thêm một tài liệu để các giáo viên giảng dạy cho các em trong các kỳ thi, trong quátrình bồi dưỡng thêm cho các em trên lớp

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Trong số các bài toán cơ bản là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến thì các học sinh

trung bình có thể làm được còn một số bài toán có tính chất tư duy như bài toán vậndụng tìm giá m thoả mãn một số yếu tố thì học sinh thường thụ động trong việc tiếpcận bài toán, không chú trọng đến bản chất chất của bài toán ấy, một phần vì học sinhngại bài toán khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướngdẫn cho học sinh

Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết các bài toántính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạydạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được, tôi mạnh dạn nêu ra đề tài

“ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN’’ để giúp học sinh

và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn trong học tập và trong giảng dạy

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tính đơn điệu của hàm số và các bài toán ứngdụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trênmột tập K, tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)trong chương trình Toán THPT mà trọng tâm là trong kì thi Đại học, Cao đẳng, THPTQuốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thông tin

- Phân tích, rút kinh nghiệm qua bài toán tính đơn điệu hàm số qua các đề thi Đạihọc, Cao đẳng, THPT Quốc gia

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

+ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì '( ) 0, f x    x K

+ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì '( ) 0, f x    x K

2.1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f x( ) có đạo hàm trên

khoảng K.

+ Nếu '( ) 0, f x    thì hàm số đồng biến trên khoảng K x K

+ Nếu '( ) 0, f x    thì hàm số nghịch biến trên khoảng K x K

+ Nếu '( ) 0, f x    thì hàm số không đổi trên tập K x K

● Chú ý :

+ Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết

“ Hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số( )

y f x liên tục trên đoạn  a b và có đạo hàm '( ) 0,; f x    trên khoảng x K  a b;thì hàm số đồng biến trên đoạn  a b ;

+ Nếu '( ) 0,f x    ( hoặc '( ) 0,x K f x    ) và '( ) 0x K f x  tại một số hữu hạn

điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).

2.1.2 KỸ NĂNG

2.1.2.1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức P(x)

không xác định

Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2.1.2.2 Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định

cx d





 thì : + Hàm số nghịch biến trên  a b;    y' 0, x ( ; )a b

+ Hàm số đồng biến trên  a b;    y' 0, x ( ; )a b .

- Đối với hàm phân thức

2

ax bx c y

dx e



 thì+ Hàm số nghịch biến trên  a b;    y' 0, x ( ; )a b .

b)

0( ) 0,

Trong quá trình giảng dạy và công tác ở trường tôi nhận thấy đa phần các em học sinh có ý thức học tập tốt, ngoan ngoãn

2.2.2 Khó khăn

Trường THPT Hoằng Hóa 4 đóng trên địa bàn vùng nông thôn khó khăn về kinh

tế, chất lượng đầu vào còn thấp ,đặc biệt là môn toán Việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình

▪ Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài các em thường thụ động trong

việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi giải toán

▪ Kết quả khảo sát ở một số lớp: 12A7, 12A10 trong phần giải bài tập toán về phần

sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ có khoảng 50% - 60% học sinh hứng thú với bài toán này

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

Trong quá trình giảng dạy trên lớp, sau khi các em học xong tính đơn điệu của hàm sốtôi thực hiện ôn tập cho các em theo từng chủ đề Ví dụ như khi giải phương trình, bất

phương và hệ bất phương trình, các em giải quyết các bài toán bằng các phương pháp

đã biết ở lớp 10, lớp 11 rất khó khăn, nhiều em không làm được hoặc không đi đến kếtluận cuối cùng Khi đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên ,dùng đạo hàm hay phươngpháp hàm số để giải các bài toán trên thì việc giải bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn.Trong lớp các em cũng hăng say hơn trong việc học tập môn toán

Trong phần này chúng tôi sẽ đề cập đến các bài toán về ứng dụng sự biến thiên củahàm số để giải quyết một số bài toán

2.3.1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị

① Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng

Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng

Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng

Nếu thì hàm số không đổi trên khoảng

② Hình dáng đồ thị

Nếu hàm số đồng biến trên thì từ trái sang phải đồ thị đi lên.

Nếu hàm số nghịch biến trên thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.

Câu 1 (Mã 101 - 2018) Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( 1;0) B (;0) C (1;) D (0;1)

Lời giải Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

 0;1   ; 1

A 2;0 . B ;0 .

C 2;2 . D  0;2

Lời giải

Xét đáp án A, trên khoảng 2;0 đồ thị hướng đi

xuống là hàm số nghịch biến nên chọn

Xét đáp án B, trên khoảng ;0 đồ thị có đoạn hướng đi lên là hàm số

đồng biến và có đoạn hướng xuống là hàm số đồng nghịch biến nên loại.xét đáp án C, trên khoảng 2;2 đồ thị có hướng đi xuống là hàm số nghịch

biến và có đoạn hướng đi lên là hàm số đồng biến nên loại

Xét đáp án D, trên khoảng  0;2 đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến

 Bước 2 Tính đạo hàm y f x( ). Tìm các điểm x i, (i1,2,3, , )n mà tại

đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

 Bước 3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

 Bước 4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào

bảng biến thiên

Câu 1 (Đề Tham Khảo - 2017) Cho hàm số

21

x y x





 Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1

D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

B Hàm số nghịch biến trên khoảng

1

;13

 

D Hàm số đồng biến trên khoảng

1

;13

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

1

;13

 

Chọn B

Câu 4 (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y x 4 2x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2

B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng 1;0, 1;  ; hàm số nghịch

biến trên các khoảng   , ; 1  0;1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

 ; 2

Chọn A

Câu 5 (Mã 123 - 2017) Hàm số 2

21

y x

Câu 6 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y  2x2  Mệnh đề nào dưới đây đúng?1

A Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 

B Hàm số đồng biến trên khoảng ;0

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1

2.3.3 Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.

Câu 1 (Đề Tham Khảo Lần 2 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao

Lời giải

Ta có f x( )x2 2mx 4

Hàm số đã cho đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi f x( ) 0,  ¡x (Dấu ‘=’

xảy ra tại hữu hạn điểm)

Câu 2 (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y   x3 mx2 4m9x5, với m là tham

số Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng

 ; 

Lời giải Chọn D

 có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 3 (Đề Tham Khảo - 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số

y m  x  m x  x nghịch biến trên khoảng   ; 

Lời giải Chọn C

TH1: m Ta có: 1 y   là phương trình của một đường thẳng có hệ sốx 4góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên ¡ Do đó nhận m 1

TH2: m  Ta có: 1 y  2x2   là phương trình của một đường Parabolx 4

nên hàm số không thể nghịch biến trên ¡ Do đó loại m  1

TH3: m  Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng 1  ; 

11

21

2

m a

m m

m m

Vậy có 2 giá trị nguyên cần tìm

Câu 4 (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

hàm số

2

4

x m y

44

m y

Do đó có 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 5 (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

hàm số

4

mx y

m m

m m

 



2.3.4 Bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K

Câu 1 (Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số

4

mx y

Tập xác định D ¡ \ m .

Ta có

2 2

4'

m y

Do m Z   m  1;0 Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Câu 2 (Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Tập xác định D R \ 3 m

Ta có 2

'( 3 )

m y

m m

Câu 3 (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm

số y x 3 3x2  (4 m x) đồng biến trên khoảng (2; là)

A (;1] B (;4] C (;1) D.(;4)

Lời giải Chọn B

Ta có

Ta xét hàm số g x( ) 3 x2 6x4

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra m thỏa yêu cầu bài toán.4

Vậy: ( thì hàm số đồng biến trên khoảng(2; );4] 

Câu 4 (Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm

số y  x3 6x2 (4m9)x nghịch biến trên khoảng( ; 1)4   là

cos (tan )

m y

 



Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta có m   , suy ra các giá trị nguyên âm của tham số m là4

Câu 7 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của

Ta có '( ) 0f x  có một nghiệm đơn là x   , do đó nếu (*) không nhận11

x  là nghiệm thì '( )f x đổi dấu qua x  Do đó để ( )1 f x đồng biến trên

R thì '( ) 0;f x    hay(*) nhận x R x  làm nghiệm (bậc lẻ).1

Suy ra 4m2 2m20 0

Vậy tổng các giá trị của m là

12

Câu 8 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để

hàm số

cos 3'

cos

x y

A 2; B 2;1 C  ; 2 D  1;3

Lời giải Chọn B

Cách 1:

Ta thấy '( ) 0f x  với

(1;4)1

x x





  

 nên ( )f x nghịch biến trên  1;4 và   ; 1

suy ra ( )g x   đồng biến trên( 4; 1)f( x)   và 1; Khi đó (2 ) f  đồngx

biến biến trên khoảng ( 2;1) và 3;

Câu 1 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho hàm số f x có bảng xét dấu 

đạo hàm như sau:

Hàm số y 2 1f   x x2  1 x nghịch biến trên những khoảng nào dưới

Nhận thấy 2

1 01

2.3.7 Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác

Câu 1 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f x  có đạo

hàm liên tục trên R Biết hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Gọi S là

tập hợp các giá trị nguyên m  5;5 để hàm số g x   f x m   nghịch

biến trên khoảng  1;2 Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

Lời giải

Ta có g x   f x m   Vì y f x  liên tục trên R nên g x   f x m  

cũng liên tục trên R Căn cứ vào đồ thị hàm số y  f x  ta thấy

Câu 2 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số y  f x 

có đạo hàm trên ¡ và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y  f x 34x m  nghịch biến trên

khoảng 1;1 ?

Lời giải Chọn C

Đặt t x 3 4x m  t 3x2  nên 4 t đồng biến trên 1;1 và

PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

3.1 Kết luận.

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng,

Nhà nước coi giáo dục là quốc sách hàng đầu thì việc đổi mới phương pháp giảng dạyđược Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách cóhiệu quả Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằmnâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảngdạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phầnnâng cao chất lượng giáo dục Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cựctrong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệmphục vụ cho việc dạy và học Từ những nhận thức đó, tôi đã chọn một số đề tài thiếtthực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nângcao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinhnhững ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn

Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một phần rất nhỏ nó là kinh nghiệm bản thântiếp thu và tích lũy được qua quá trình dạy và học Vì vậy sự phát hiện những ưu nhượcđiểm chưa được đầy đủ và sâu sắc Mong rằng qua báo cáo sáng kiến kinh nghiệm nàycác đồng nghiệp cho tôi thêm những ý kiến và phản hồi những ưu, nhược điểm củacách dạy nội dung này

3.2 Những kiến nghị và đề xuất

● Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệthống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán Đề tài này có thể đượcnghiên cứu ở mức độ cao hơn đó là sử dụng tính đơn diệu của hàm số để giảiphương trình, hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức

● Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tậptoán trong sách giáo khoa đồng thời phát triển và nhân rộng những bài toán có ứngdụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh vàgiáo viên

Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và

áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích

Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến, phêbình, phản hồi của các đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!