(SKKN 2022) Khai thác một số dạng bài tập về hàm hợp nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 12

MỤC LỤCSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOÀNG LỆ KHA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM HỢP NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12 N

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOÀNG LỆ KHA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HÀM HỢP NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 12

Người thực hiện: Cù Thị Hà Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực ( môn ): Toán

THANH HÓA NĂM 2022

1 MỞ ĐẦU….….……… …… …… 3

1.1 Lý do chọn đề tài……… 3

1.2 Mục đích nghiên cứu……….…… 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…… 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… ………… 3

1.5 Những điểm mới của sáng kiến ……….……… 4

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……… ……… 4

2.1 Cơ sở lí luận 4

2.2 Thực trạng vấn đề……… ……… … 4

2.3 Các giải pháp thực hiện……… ……… ……… 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến………… ……… 29

3 KẾT LUẬN……… ……….……… 29

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng phân công dạy lớp 12

và ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia Chính vì vậy ngoài việc giúp các

em nắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng cho các em ôn thi THPT quốcgia là nhiệm vụ quan trọng

Trong các đề thi THPT quốc gia trong những năm năm gần đây, các bài toánliên quan đến hàm hợp thường là ở dạng thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao Chính

vì vậy nếu học sinh không được ôn luyện một cách hệ thống thường lúng túng và mấtnhiều thời gian để tìm ra lời giải

Từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia cùng với

kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘ Khai thác một số dạng bài tập về hàm hợp nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 12’’ Hi vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp dạy

học hiệu quả hơn, giúp các em học sinh xử lí tốt các bài toán liên quan đến hàm hợp

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số phươngpháp và kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán về hàm hợp ởmức độ thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao, tránh tình trạng khi các em gặpphải các bài toán này thường làm phức tạp vấn đề làm mất nhiều thời gian haykhông giải được Với hình thức thi trắc nghiệm đối với môn toán thì áp lực thờigian là một vấn đề, đòi hỏi học sinh có cách giải quyết nhanh các bài tập Hy vọng

đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìnlinh hoạt và chủ động khi gặp các bài toán về hàm hợp

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh thực hiện nội dung này học sinh lớp 12

Đối tượng nghiên cứu : các phép toán tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, tính đơnđiệu và dấu của đạo hàm, điều kiện đủ để hàm số có cực trị, qui tắc tìm giá trị lớnnhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu các tài liệu liên quan như sách giáokhoa, sách bài tập, sách tham khảo về toán trắc nghiệm liên quan đến hàm số

Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu về việc vận dụng các phương pháp dạyhọc tích cực ở một số trường phổ thông

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm trong tổ bộmôn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12A7, 12A10trường THPT Hoàng Lệ Kha

1.5 Những điểm mới của sáng kiến.

 Việc sử dụng các kiến thức liên quan đến hàm số để xét tính đơn điệu, tìm cựctrị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hợp

 Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinh

 Bồi dưỡng phương pháp tự học

 Rèn luyện kỹ năng lý thuyết vào thực tiễn

 Tác động đến tình cảm, đem lại niền vui, hứng thú học tập cho học sinh

Trong đó hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinh được xem là chủ đạo, chi phối đến các hướng còn lại

2.2 Thực trạng vấn đề.

Giải các bài tập liên quan đến hàm hợp là những dạng bài tập mới và khó đối vớihọc sinh đặc biệt đối với học sinh đại trà Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầunhư học sinh đều mất nhiều thời gian tìm ra phương pháp giải và tính toán Chính vìvậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, thuận lợi để giảiquyết bài toán một cách nhanh chóng

2.3 Các giải pháp thực hiện.

Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh nhận dạng được bài tập

và sau đó giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán về hàm hợp, trước hếtgiáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về tính đơn điệu, cực trị của hàm

số, cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, trên mộtđoạn Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh vận dụng

Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số dạng bài tập xét tính đơn điệu, tìm cựctrị, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2.3.1 Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan.

 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

   

+ Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K

Định lý về điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

+ Nếu f x  0,  x K và f x  0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số fđồng biến trên K

+ Nếu f x  0,  x K và f x  0 chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f

nghịch biến trên K

 Cực trị của hàm số

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0K Ta nói:

+ x là điểm cực tiểu của hàm số 0 f nếu tồn tại một khoảng a b chứa ;  x sao cho0

a b;  Kvà f x   f x 0 , x a b;   \ x0 Khi đó f x được gọi là giá trị cực 0tiểu của hàm số f

+ x là điểm cực đại của hàm số 0 f nếu tồn tại một khoảng a b chứa ;  x sao cho0

a b;  Kvà f x   f x 0 , x a b;   \ x0 Khi đó f x được gọi là giá trị cực 0đại của hàm số f

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểmcực trị phải là một điểm trong tập hợp K

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) củahàm số

+ Nếu x là điểm cực trị của hàm số thì điểm 0 x f x0;  0  được gọi là điểm cực trị của

đồ thị hàm số f

 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa Cho hàm số y f x  xác định trên tập D.

+ Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x  trên D nếu:

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

o Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Bước 1: Hàm số đã cho y f x  xác định và liên tục trên đoạn a b ; 

Tìm các điểm x x1, , ,2 x trên khoảng n a b , tại đó ;  f x  0 hoặc f x  không xácđịnh

Bước 3: Tính Ax alim ( )  f x , Bx blim ( )  f x , ( )f x , ( ) i f  i

Bước 4: So sánh các giá trị tính được và kết luận M max ( )( ; )a b f x , mmin ( )( ; )a b f x

+ Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất(nhỏ nhất)

+ Nếu y f x  đồng biến trên a b thì ;   

 Sự tương giao của hai đồ thị.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số yf x  và y g x   là nghiệmcủa phương trình f x  g x  (1) Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đồ thịhàm số

 Tính chất đổi dấu của biểu thức.

Gọi  là nghiệm của phương trình f x  Khi đó  0

Nếu  là nghiệm bội bậc chẵn thì f x không đổi dấu khi đi qua   

Nếu  là nghiệm bội bậc lẻ thì f x đổi dấu khi đi qua   

2.3.2 Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải.

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g x( )f u x    khi biết bảng xétdấu hoặc đồ thị của hàm số f x  .

 Các bước giải:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x( )f u x   

Bước 2: Dựa vào đồ thị của hoặc bảng xét dấu của hàm số f x  suy ra số nghiệm của phương trình g x  0

Bước 3: Lập bảng biến thiên cuả hàm số g x( )f u x   suy ra số cực trị

 Các ví dụ áp dụng.

Ví dụ 1: Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm   f x  như sau:

Hàm số yf x 2 2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 2;1 B 4; 3  C 0;1 D  2; 1 

Lời giải Chọn D

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên  có đồ thị hàm f x  nhưhình vẽ bên Hỏi hàm số y f x 2  1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A 1;0 B 0;1 C   ;0 D 0; 

Lời giải Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên chọn đáp án B

Ví dụ 3: Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x  x x2  9 x 42 Khi đó hàm

số yf x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 3; B  3;0 C   ; 3 D 2;2

Lời giải Chọn C

Ta có y  f x 2  x2 x x4 2  9 x2  42 2x x5  3 x3 x 2 2 x22.Cho y  0 x3 hoặc x 2 hoặc x 0 hoặc x 2 hoặc x 3

Ta có bảng xét dấu của y

Ví dụ 4: Cho hàm số yf x  có đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ

Hàm số      

212

     

212

Tìm cực trị của hàm số g x( )f u x    khi biết bảng xét dấu hoặc đồ thị của hàm số

 

g x

 Các bước giải:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x( )f u x   

Bước 2: Dựa vào đồ thị của hoặc bảng bảng xét dấu của hàm số g x  suy ra

số nghiệm của phương trình g x  0

Bước 3: Dựa vào số nghiệm của phương trình g x  0hoặc lập bảng biến thiên cuả hàm số g x( )f u x   suy ra số cực trị

Dựa vào đồ thị ta có yf x( ) cắt đường thẳng y 5 tại duy nhất một điểm Suy ra

Quan sát đồ thị, nhận thấy đồ thị hàm số f x( )x3 ax2bx c đi qua các điểm

11

11

x x

x x

* Cách xét dấu g x  : chọn x  2 1; ta có: g 2  0 g x    0 x 1;,

từ đó suy ra dấu của g x  trên các khoảng còn lại.

Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.

trình đa thức g x  0 PT g x  0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số đã cho có 7 điểm cực trị.

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x  là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x  như sau

2

1 51

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hợp

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g x( )f u x    khi biết bảngxét dấu của f x  hoặc đồ thị của hàm số f x 

 Các bước giải:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x( )f u x   .

Bước 2: Dựa vào đồ thị của hoặc bảng xét dấu của hàm số f x  suy ra số nghiệm của phương trình g x  0

Bước 3: Lập bảng biến thiên cuả hàm số g x( )f u x    suy ra giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Ví dụ áp dụng.

Giá trị lớn nhất của hàm số     1 3

13

Ta có: g x  f x   x2 1 f x  x2 1  0 f x  x2  1 (*)

Từ đồ thị ta cáo bảng xét dấu

Ví dụ 3: Cho hàm số f x Biết hàm số   y f x  có đồ thị như hình bên Trênđoạn 4;3 , hàm số g x  2f x   1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A x  0 4 B x  0 1 C x  0 3 D x  0 3

Lời giải Chọn B

Ta có g x  2f x   2 1  x 2 f x   1 x

Vẽ đường thẳng y 1 x trên cùng hệ trục chứa đồ thị y f x 

Dựa vào hình vẽ ta có g x  0 f x   1 x

413

x x x

Vậy hàm số g x  2f x   1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất tại x 0 1

A Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) B Hàm số nghịch biến trên

khoảng (0;4)

C Hàm số đạt cực đại tại x 0 D Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

1

x 

Bài 3 Cho hàm số f x Hàm số   yf x  có đồ thị như hình bên

Hỏi hàm số g x  f 2x2  x6x2  3x đồng biến trên khoảng nào dướiđây?

Bài 5 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau 

Hàm số y  f x  3 3 f x  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Bài 8 Cho hàm số yf x liên tục có đạo hàm trên  Biết hàm số f x có đồ' 

thị cho như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc 2019;2019

Bài 13 Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên  và bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số y 3 (f  x4 4x2  6) 2 x6  3x4 12x2 có tất cả bao nhiêu điểmcực tiểu?

Bài 14 Cho hàm số yf x( )có bảng biến thiên như hình vẽ

Xét hàm số y g x ( )f x  420182019 Số điểm cực trị của hàm số( )

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

Năm học 2021-2022 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp :12A7, 12A10 Trong hai lớp đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệtcác em rất có hứng thú học và giải toán Tuy nhiên khi gặp các bài toán về hàm hợp ởmức vận dụng các em rất lúng túng từ khâu tính đạo hàm, tìm nghiệm của đạo hàm

và xét dấu đạo hàm Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mình tại các lớpdạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan Hoạt động học tập của họcsinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng được vào giải toán Một

số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm ở các đề thi và sách thamkhảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức

Kết quả kiểm tra:

Lớp Điểm yếu Điểm TB Điểm khá Điểm giỏi

Số bài % Số bài % Số bài % Số bài %

3.2 Kiến nghị.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếusót Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng,

bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Cù Thị Hà

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12; tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (chủ biên); Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo Dục năm 2008

2 Chuyên đề bám sát đề thi THPTQG hàm số, đồ thị và ứng dụng; tác giả Lê Hồ Quí; Nguyễn Tài Chung; NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2021

3 Hàm số đạo hàm và ứng dụng; tác giả Lê Hồng Đức; Đỗ Hoàng Hà; Lê Hoàng Nam; Đoàn Minh Châu; Đào Thị Ngọc Hà; NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội

4 Trọng tâm kiến thức và bài tập giải tích tự luận và trắc nghiệm 12; tác giả Phan Huy Khải; NXB Giáo Dục; xuất bản năm 2008

5 Nguồn khác: Internet

1