(SKKN 2022) rèn LUYỆN kỹ NĂNG GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẩn dưới dấu căn ở lớp 1o

Lí do chọn đề tài Cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học, kích thích ham muốn học hỏi tìm tòi khám phá trong học tập và áp dụng vào trong thự

I MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích nâng cao chất lượng dạy học, kích thích ham muốn học hỏi tìm tòi khám phá trong học tập và áp dụng vào trong thực tế cuộc sống, việc hướng dẫn học sinh Trung Tâm GDNN-GDTX Thọ Xuân nói riêng và học sinh nói chung để giải nhanh phương trình là việc làm cần thiết trong dạy học

Dạy học theo hướng đổi mới là học sinh làm trung tâm, giáo viên chủ đạo; các em học sinh tự giác tích cực tìm hiểu và lĩnh hội kiến thức

Số lượng công thức và dạng toán học trong hệ thống môn Toán ở cấp THPT và GDTX là rất lớn đối với năng lực của học sinh GDTX Vì vậy giáo viên truyền thụ kiến thức cho học sinh phải làm cho học sinh thấy được dạng toán nào là cơ bản, giáo viên có vai trò để học sinh thấy được học sinh cần nắm được đâu là bài toán cơ bản, khi học sinh gặp một bài tập khó thì bài toán đó cái gốc ban đầu là từ đâu, tư đó phát triển tư duy sáng tạo của học sinh, đối với dạng toán phương trình vô tỷ, dạng cơ bản là f x( )g x( )(1),

sau khi đặt điều kiện cho hai vế không âm, bình phương hai vế của phương trình, sẽ dẫn đến các phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn, phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đều biến đổi về phương trình dạng (1)

Trong quá trình dạy Toán ở cấp GDTX nói chung, dạy toán đại số lớp 10 nói riêng, tôi cố gắng truyền thụ kiến thức Toán một cách đơn giản nhất cho học sinh, trong đó cố gắng tránh sự áp đặt và truyền thụ máy móc, hướng dẫn học sinh thuộc và nhớ công thức toán mà giảm tối đa phương pháp học thuộc lòng Học sinh không cần nhớ nhiều dạng toán, mà từ dạng toán này ta cần biết biến đổi về bài toán gốc ban đầu của nó, bài toán cơ bản nào mà ta cần hướng đến, làm sao để học sinh thấy thú vị khi giải các bài toán dù khó, nhưng khi hiểu được nguyên tắc cơ bản của nó thì bài toán trở nên đơn giản

Riêng chương II đại số lớp 10 (ban cơ bản) là một chương rất thuận lợi cho việc dạy và học theo xu hướng trên Đã nhiều năm, tôi thực hiện theo cách này Nay ghi lại gọi là chút kinh nghiệm, giải bày cùng đồng nghiệp và quí bạn đọc Đề tài được gọi tên là:

“RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI

DẤU CĂN Ở LỚP 1O”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

a Mục tiêu:

Giáo viên làm nỗi bật được vấn đề là phương trình chứa ẩn dưới dấu căn luôn biến đổi về dạng gốc, bài toán cơ bản, để học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức chương phương trình một cách đơn giản, nhanh chóng và đầy đủ

Dạy - học bảo đảm nội dung kiến thức cần truyền thụ của chương, sau đó học sinh

sẽ lĩnh hội được dạng bài tập khó

b Nhiệm vụ:

Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ dạy học và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp cho học sinh hình thành tư duy lôgic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ từ phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và giải được một cách dễ dàng

Giải quyết được một số dạng bài tập phương trình chứa ẩn dưới dấu căn, mà với phương pháp giải chỉ cần đến kiến thức lớp 10 là giải quyết được mà chưa cần đến kiến thức lớp 12 Tức là học sinh tự tìm ra cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản đã được học, ở phần này có những phương pháp cần đến kiến thức lớp 12, tuy nhiên các dạng toán đều giải được với kiến thức đã học ở lớp 10

Trong bài viết này, tôi trình bày chi tiết và đầy đủ các cách giải một bài toán, sau

đó tôi trình bày theo phương pháp mà tôi lựa chọn và có các bài toán giải theo phương pháp đó được tôi trình bày một cách chi tiết, sau đó có bài tập được giải bằng phương pháp đã nêu

Đề tài được sử dụng phù hợp để bồi dưỡng cho học sinh khối 10 có học lực khá trở lên

Bài viết có ba phần chính:

1 Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bằng phương pháp đổi biến không hoàn toàn

2 Giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai bằng phương pháp nhẩm nghiệm nguyên, sau

đó đưa về phương trình tích

3 Phương trình chứa ba căn bậc hai, trong đó có một căn bậc hai là tích của hai căn bậc hai còn lại

1.3 Đối tượng nghiên cứu :

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

1.4 Phạm vi nghiên cứu : Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 1.5 Phương pháp nghiên cứu :

a Nghiên cứu lý thuyết:

Cơ sở để tìm hiểu chương phương trình trong Toán lớp 10 là đại số cao cấp

Tìm hiểu phương pháp dạy học, chuẩn kiến thức kỹ năng môn toán ở trường phổ thông, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Toán lớp 10, Sách giáo viên đại số 10, Sách giáo khoa Đại số 10

b Nghiên cứu thực tế:

-Thông qua học sinh làm được bài thi trong các kỳ thi khảo sát chất lượng, thi học kỳ -Thăm dò ý kiến học sinh và đồng nghiệp

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận

- Các kiến thức không phức tạp, dễ tiếp thu, kiến thức gắn liền với phương trình đại số mà học sinh đã được học ở các lớp dưới, ở đây chỉ thông qua các phép biến đổi tương đương

để giải các phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, căn bậc ba

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua thực tế giảng dạy ở Trung tâm, tôi thấy rằng khi học sinh giải một bài toán nào đó thì các em thường gặp phải một số vấn đề khó khăn sau:

Thứ nhất là: Vẫn còn một số lượng lớn các học sinh nắm được phương pháp giải

toán nhưng yếu về kỹ năng tính toán Nên khi giải các bài toán sẽ cho kết quả sai, hoặc các em phải mất rất nhiều thời gian thì mới hoàn thành bài giải.

Thứ hai là: Đa phần học sinh yếu về khả năng phân tích, định hướng tìm lời giải

cho bài toán Vì thế khi đứng trước một bài toán mới các em rất lúng túng trong việc tìm hướng giải cho bài toán đó.

Bảng 1: Kết quả khảo sát thực trạng chất lượng bài kiểm tra giữa kỳ I năm học khi chưa áp dụng sang kiến:

Năm

bình

Những khó khăn kể trên đối với học sinh sẽ được tháo gỡ nếu học sinh biết sử dụng máy tính cầm tay trong quá trình giải toán, đặc biệt với hình thức thi trắc nghiệm khách quan Chỉ cần học sinh hiểu được máy tính sẽ giúp mình tìm được gì từ yêu cầu của bài toán đã cho Đó chính là điều mà tôi mong muốn trình bày trong đề tài này.

2 3 CÁC GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP :

2 3.1 Nội dung giải pháp: Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.

Dạng 1: Giải phương trình dạng: f x( )g x( )(1)

Cách giải 1: ( Sử dụng PT hệ quả)

 ĐK: f x( ) 0

 Bình phương hai vế PT (1) ta có PT hệ quả: f(x)=g2(x), ( giải tìm x= ?)

 Thế vào PT (1) xem có thảo mãn hay không

 Kết luận nghiệm của PT 1).

Cách giải 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương)

2

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )

g x







*Lưu ý: Khi g(x) < 0  PT (1) vô nghiệm.

Bài 1( Cơ bản): Giải các phương trình sau:

Giải:

a) Cách 1: ( Sử dụng pt hệ quả)

 ĐK: 2x-4   0 x 2

 Bình phương 2 vế PT đã cho ta được: 2x-4=4 2x   8 x 4

 Thế x=4 vào PT đã cho thỏa mãn

 Vậy PT có nghiệm x=4.

Cách 2: Vì 2 0 hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau:

 2x  4 2 2x   4 4 x 4

 Vậy PT có nghiệm x=4.

b) Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)

 ĐK: 3x    15 0 x 5

 PT(b)3x-15=93x=24x=8

 Ta thấy x=8 thỏa mãn điều kiện nhưng thế vào PT (b) không thỏa mãn

 Vậy PT (b) vô nghiệm.

Cách 2: ( Chỉ cần để ý -3<0) nên PT (b) vô nghiệm.

c) Cách 1: ( Sử dụng pt hệ quả)

 Ta có: 2x2 1 0, x R 

 Bình phương 2 vế pt đã cho ta được:

2

x

x





              

 Thế x=0 và x=-2 vào PT đã cho chỉ có x=0 thỏa mãn

 Vậy PT có nghiệm x=0.

Cách 2: ( Sử dụng PT trình tương đương)

 Ta có:

2

1

2

x

x





 Vậy PT có nghiệm x=0

Bài 2: Tập nghiệm của phương trình là:

A B C D

Đáp án: D

Bài 3: Tập nghiệm của phương trình là:

A B C D

Đáp án: B

Bài 3( nâng cao): Giải phương trình sau:

x   x x (2)

Giải: Phương pháp 1:

Phương trình (2)  

2

2 2

4 3 0

x x

   



     

2 7

2 7

8 10 23 4 0

x x

  





   





2 7

2 7

x

x

  





  



2 7

2 7

1 4

5 29 2

x x

x x x

  



  







  

 









 





Vậy: S=

5 29 1;

2

  là nghiệm của phương trình

Phương pháp 2:

Sử dụng máy tính ta sẽ tìm được một nghiệm nguyên

1

x  Khi đó ta thực hiện như sau: x2   4x 3 (x 1)x 5 2

Phương trình (1) được viết như sau: x   5 2 x 1 x5(1)

Đk: x 5

(1) 1  1  5

5 2

x

x



 

1 1

5 (2)

5 2

x

x x

 





  



Giải phương trình (2): Đặt 2

0 5

5

t





     



Phương trình (2) có dạng:

2 1

10

2 t

  t3 2t210 21 0t 

3

1 29 2

t t

 





 



So sánh với điều kiện:

1 29 2

t 

Với

1 29

2

t 

ta có:

5 29 2

x 

Vậy: S=

1;

2



Phương pháp 3: Đk: x 5

Phương trình (1)  2

Đặt: y 2 x5  2

2

y





    



Ta có hệ phương trình:

2

2

0

y

 

   





2

2

3 0

y

x y x y







   

    





2

2

3 2

y x

y x y

   









   





  





 







5 29 2 1

x x





 

 



Vậy: S=

1;

2

Nhận xét thông qua các phương pháp giải của bài toán 2 như sau:

Phương pháp 1: Dạng cơ bản quen thuộc đối với học sinh, học sinh theo phương pháp 1,

tuy nhiên sau khi bình phương hai vế của phương trình sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, nếu nghiệm vô tỷ, rất khó khăn khi giải

Phương pháp 2: Sau khi sử dụng máy tính tìm được nghiệm nguyên ta có thể giải bài

toán 1 trên bằng cách đưa về phương trình tích, phương pháp 2 là một cách khá hay, tôi sẽ trình bày ở dạng toán 2

Phương pháp 3: Sau khi đặt ẩn phụ một cách thích hợp ta chuyển bài toán phương trình

chứa căn bậc thành hệ phương trình đối xứng loại hai, tuy nhiên việc chuyển về hệ phương trình đối xứng loại 2 nhiều bài toán đưa về hệ khá phức tạp

Dạng 2: Dạng nhiều căn bậc hai:

( ) ( ) ( ) (1)

f x  g x  h x

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện cho các căn có nghĩa:

 

 

 

0 0 0

f x

g x

h x













Chuyển vế cho các vế không âm, sau đó thực hiện phép biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế của phương trình đưa về dạng cơ bản f x( )g x( ) đã biết cách giải.

Dạng toán phương trình (1) nếu f x g x h x( ); ( ); ( ) là hàm số bậc hai chúng ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về dạng (1) với f x g x h x( ); ( ); ( ) là hàm số bậc nhất khi đó sẽ được giải bằng phương pháp trên

Bài toán 1: Giải phương trình:

1 8 3 1

x   x (1)

Giải: Đk:

1 3

x 

Phương trình (1)  x 1 3x 1 8

 2

31

8 2

128 960 0

x

x

 





So sánh với điều kiện: Vậy x = 8 là nghiệm của phương trình

Bài toán 2: Giải phương trình

2

2x  1 x    3 4 x (1)

Giải:

Phương pháp 1: Đk:

1 4

2  x Phương trình (1)  2x1 x2  3 7 5x  x 1

Vậy: Tập nghiệm của phương trình là: S 1

Phương pháp 2: Đk:

1 2

x

Sử dụng máy tính ta tìm được một nghiệm nguyên x = 1 Khi đó chúng ta thực hiện như sau: 4 – x = -(x - 1) + 3

Phương trình (1) được viết lại như sau:

2x  1 x      3 (x 1) 3

Sau đó số 3 được tách một cách hợp lý sao cho sau khi nhân lượng liên hợp phương trình đưa được về phương trình tích có nghiệm x = 1

x x

2

1

1 0

x

x





Đk:

1

2

x

phương trình (2) vô nghiệm

Vậy: x1 là nghiệm của phương trình

Nhận xét thông qua hai phương pháp giải như sau: Ở dạng 2, tôi sẽ trình bày phương

pháp giải phương trình chứa nhiều căn bằng cách sử dụng máy tính tìm nghiệm nguyên sau đó đưa được về phương trình tích, những bài toán này sẽ có nhiều cách giải, tuy nhiên với cách giải này sẽ cho chúng ta giải một số bài toán dạng chứa nhiều căn bậc hai mà giải theo phương pháp 2 sẽ giải được đơn giản, tôi trình bày một số bài toán mà cách giải bằng cách nhẩm nghiệm nguyên sau đó nhân lượng liên hợp và đưa được về phương trình tích

Bài toán 3: Giải phương trình

x    x x  (1)

Giải: TXĐ:

Phương trình (1)  x2 12 x2  5 3x 5

Với x2 là nghiệm phương trình: 3x 5 3(x 2) 1

2 12 4 3 2 5 3 6

x

2 2

2

x





Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy: x2 là nghiệm của phương trình

Bài toán 4: Giải phương trình:

2

x   x x  x (1)

Giải: Đk: 4 x 6

Sử dụng máy tính ta được x5là nghiệm của phương trình, khi đó:

2

2x 13x  17 (x 5)(2x 3) 2 Phương trình (1) được biến đổi như sau:

4 6 ( 5)(2 3) 2

x    x x x 

 x  4 1 6   x 1 (x 5)(2x3)

5

(2 3) 0

x

x









Ta có: 1 1 (2 3) 0  4;6

Vậy nghiệm của phương trình là x5

Bài toán 5: Giải phương trình:

2

3x 1 5x 4 3x  x 3(1)

Giải: Đk:

1 3

x 

Sử dụng máy tính ta được x1

và x0

là nghiệm của phương trình Khi đó ta biến đổi:

3x   x 3 3(x   x) 2x 3

Phương trình (1)  3x   1 (x 1) 5x   4 (x 2) 3(x2x)

2 0

  





Ta có:

3

Vậy nghiệm của phương trình làx0 và x1

Bài toán 6: Giải phương trình:

4x 1 9x  4 3 3x (1)

Giải: Đk:

1 4

x 

Ta có x = 0 là nghiệm của phương trình

Phương trình (1)  4x  1 1 9x   4 2 3x

3 0

x

0

3 0

4 1 1 9 4 2

x









Ta có:

3 0

4

4x 1 1 9x 4 2   x

Vậy nghiệm của phương trình là: x0

Dạng 3: Phương trình chứa ba căn bậc hai trong đó có một căn bậc hai là tích của hai căn

bậc hai còn lại, ở dạng toán này chúng ta có các cách giải khác nhau, ở dạng bài tập này

tôi trình bày theo nhiều cách giải sau đó sẽ đưa ra cách giải mà thông thường học sinh thường lựa chọn và đưa ra nhận xét để nhận dạng bài tập dạng này:

Dạng: f x   h x   f x h x( ) ( ) g x( ) (1)

Đặt: t f x   h x  khi đó ta biểu thị căn bậc hai còn lại theo t, phương trình (1) sẽ

đưa về phương trình bậc hai theot, sau khi giải đượct, sẽ quay lại cách đặt giải ẩn x.

Bài toán 1: Giải phương trình:

2

2

1 3 2

Giải:

Cách 1: Đk:   1 x 3

Đặt: t x 1 3x t ; 2; 2 2   2 3 2  x x 2  t2 4

(1) 

2

4

2 2 3 2

  

Phương trình (1) có dạng:

2 4

2

t

t 2 t2 2t 2 0

        t3 2t 4 0  t 2

Với t2 ta có: x 1 3 x 2

 2 3 2  x x 2  0

1 3

x x

 



  

Vậy: Tập nghiệm của phương trình là: S  1;3

Cách 2: Đặt: 1 0  2 2 

0

x b

   



  



2 2 4

a b

  

Phương trình trở thành:

2

1 a b

a b 



4

2 2ab

a b



2 2 4

2 2

a b

2( ) 4 0

2

a b

  

Ta có:  2 3 2  x x 2  0

1 3

x x

 



  

Vậy: Tập nghiệm của phương trình là: S  1;3

Nhận xét thông qua hai cách giải như sau: Với cách giải 1, sau khi đặt ẩn phụ, phải tìm

điều kiện của ẩn phụ với bài toán phức tạp học sinh khối 10 chưa làm được, đối với bài toán có chứa tham số giải theo cách 1 là hợp lý, cách 2, phương trình một ẩn, sau khi đặt

ẩn phụ ta chuyển phương trình có hai ẩn , tuy nhiên ẩn này dễ dàng biễu diễn qua ẩn kia

mà không cần tìm điều kiện của ẩn phụ phức tạp, từ một phương trình chứa ba căn bậc hai sau khi đặt ẩn phụ đưa bài toán về giải phương trình chứa hai căn bậc hai, sau đó biến đổi tương đương về phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn Vì vậy tôi sẽ trình bày giải cụ thể một số phương trình dạng này theo cách 2 như sau:

Bài toán 2: Giải phương trình:

2

3x  2 x  1 4x  9 2 3x   5x 2 (1)

Giải: ĐK:

3 1

2

x

 

Đặt:





  

    a2 b2 3 4x

Phương trình (1) có dạng: a b a  2   b2 3 9 2ab

 2

( ) 6 0

3 2

a b

a b

 



   

Với a b 3 Ta có : 3x 2 x 1 3

3x 5x 2 6 2x

3

2

29 34 0

x

x





 Vậy phương của trình là: x2

Bài toán 3: Giải phương trình:

2

2x  3 x    1 3x 16 2 2x   5x 3 (1)

Giải: Đk: x 1 Đặt:





  



2 2 4 3

    Phương trình (1) có dạng: a b a     2 b2 4 16 2ab

 2

( ) 20 0

5 4

a b

a b

 



   

+ Với a b 5

Ta có: 2x 3 x 1 5

2

2 2x 5x 3 21 3x

7

146 417 0

x





 7

73 4 307

73 4 307

x

x x





 



2.3.2 Kết quả thực nghiệm

Bảng 2: Sau khi áp dụng sáng kiến và tiến hành kiểm tra, chấm bài tôi thu được kết quả so sánh như bảng sau:

- Khi chưa áp dụng sang kiến:

Năm

bình

12, 4