(SKKN 2022) ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức

Lí do chọn đề tàiĐối với người giáo viên đặc biệt là giáo viên ở trường chuyên ngoài nhiệm vụtrang bị cho các em học sinh những kiến thức nền tảng để giải quyết các bài toán cơbản, chúng

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm

3 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với người giáo viên đặc biệt là giáo viên ở trường chuyên ngoài nhiệm vụtrang bị cho các em học sinh những kiến thức nền tảng để giải quyết các bài toán cơbản, chúng tôi còn tham gia giảng dạy, bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi Vì vậyviệc học tập, trau dồi các chuyên đề nâng cao cũng là một nhiệm vụ quan trọng

Nội dung Bất đẳng thức là một trong các nội dung thường xuất hiện trong đềthi vào 10, đề thi học sinh giỏi môn Toán, đề thi đại học, đề thi THPT quốc gia và ởnhiều mức độ khác nhau Bên cạnh đó lại có nhiều phương pháp giải mới không phảihọc sinh nào cũng có điều kiện tiếp cận Với các em học sinh khối 12, sau khi đượchọc các tính chất giải tích của hàm số, các em sẽ có một công cụ cơ bản và có tínhtương lai để chứng minh bất đẳng thức hay các bài toán max-min

Nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục trong nhà trường phổ thông, và góp phầntừng bước nâng cao chất lượng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của trường

chuyên, tôi biên soạn chuyên đề: “Ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương phápgiúp học sinh tiếp cận và có nền tảng kiến thức cơ bản để xử lí bài toán bất đẳngthức, rèn luyện khả năng suy nghĩ độc lập, tìm tòi, và phát hiện vấn đề

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các lớp chuyên Toán, cácđội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Bất đẳng thức, Giải tích, Phươngpháp dạy học môn Toán có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm

Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của các lớp chuyên Toán 10, 11, 12 nóichung và đội tuyển HSG môn Toán nói riêng, phần bất đẳng thức ở Trường THPTchuyên Lam Sơn.

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi

và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần bất đẳng thức vàodạy các lớp chuyên Toán 10, 11, 12 và đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPTchuyên Lam Sơn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Định lí về tính đơn điệu của hàm số: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm trên

khoảng ( ; )a b và f x′( )>0 trên ( ; )a b thì f x( ) đồng biến trên khoảng đó

2 Các bất đẳng thức cơ bản như Cauchy, AM-GM, Cauchy-Schwarz,

3 Các kiến thức cơ bản về hàm số ở Chương I SGK cơ bản Toán 12

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Học sinh các lớp chuyên và đội tuyển thường gặp khó khăn khi gặp bài toán bấtđẳng thức Các tài liệu chưa đưa ra hệ thống các bài tập, phương pháp hiệu quả đểgiải bài toán đa thức

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng pháthiện và giải quyết vấn đề Đưa ra các phân tích tư duy, tại sao và thế nào, cách nghĩchung nhất để phát hiện lời giải

- Luôn hướng dẫn học sinh dùng tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới

- Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thựchiện giải toán

- Luôn linh hoạt trong giải toán, kết hợp thành thục giữa các phương pháp

- Nêu ra một số phương pháp chung để giải bài toán đa thức với hệ thống bài tập

và các ví dụ mẫu mực

Sau đây là phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm

Phần I SỬ DỤNG HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi THPTQG, HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSGkhu vực và Quốc tế có thể coi là những bài toán hay và khó.Cùng với BĐT AM-GM,BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen thì sử dụng hàm số cũng là mộtphần kiến thức quan trọng trong nhiều bài toán đại số cũng như BĐT Nó thực sự làmột công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phươngpháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các BĐT thông thường

I.1 Bất đẳng thức một biến số

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x>0

ta có

3 sin 6

( ) 1 cos , ( ) sin , ( ) 1 cos

Suy ra f x′( )≥ f′(0) 0= ⇒ f x( ) đồng biến trên [0;+∞)

Do đó( ) (0) 0, 0

ta có sin x x<

(2)

Từ (1) và (2) ta có đpcm

[ln ( )f x ] (b x)lna x

b x

′+

Bài 4: Chứng minh rằng nếu

f x > f = x  π

Bài 6: Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên ¡ và thỏa mãn điều

kiện f (cotx) =sin 2x+cos 2 ,x ∀ ∈x (0;π)

cot sin 2 cos 2 , 0;

I.2 Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số

Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm thì điều quantrọng nhất là chúng ta đưa được về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó

Bài 7: Chứng minh rằng

(x− +3 5)( y− +3 5)( z− +3 5) ≥0

Nhân các BĐT trên ta được

5 5 15

128

P=

và

383 165 5max

, suy ra

T = a + b + c + abc

Do vai trò của a b c, , bình đẳng nên không

giảm tổng quát ta có thể giả sử 0 a b c< ≤ ≤

Từ a b c+ + =3 và a b c+ > , suy ra

31

Ta có f c′( ) =3c2−3c

, nên f c( ) đồng biến trên

31;

T ≥ f c ≥ f =

.Đồng thời T = ⇔ =13 c 1

Với giả thiết 0 a b c< ≤ ≤

và a b c+ + =3 và (3) suy ra1

a b= =

, tức là tam giác ABC đều

Bài 14: Cho x y z, , là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y x z≥ , ≥

Tìm GTNN của biểu thức

Áp dụng (*) với x y, thuộc đoạn [1; 4] và x y x z≥ , ≥

Đặt

[ ], 1;2

2

t P

ax − +x bx−

Theo định lý Viete ta có

4 3

13

Phần II GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

II.1 Phương pháp xét phần tử cực biên

Nội dung của phương pháp này dựa trên tính chất sau đây của hàm số bậc nhất

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Phương pháp này còn hiệu quả trong một số trường hợp bất đẳng thức đối xứng ba biến có tổng không đổi như trong ví dụ sau:

Bài 18 Cho x,y,z >0

và x y z+ + =1

Chứng minh rằng

72

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Một ví dụ khác tương tự như sau:

Bài 19 Cho x,y,z >0

Từ đó cũng suy ra được điều phải chứng minh

II.2 Phương pháp tiếp tuyến

Bài 20 Cho a,b,c,d >0

và thỏa mãn a b c d+ + + =1

Chứng minh rằng ( 3 3 3 3) ( 2 2 2 2) 1

Để giải bài này ta cần tới bất đẳng thức phụ:

và suy ra điều phải chứng minh

Vấn đề phát sinh trong ví dụ mở đầu này đó là sự xuất hiện của biểu thức

8

x−

Đa phần học sinh khi được giới thiệu cách làm như trên đều có chung một thắc mắc là

làm thế nào để tìm được biểu thức

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( )

tại điểm có hoành

Trở lại với ví dụ mở đầu, ta luôn có hàm số f x( ) =6x3−x2

, tại điểm

13

.Cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có

, tại điểm mà dấu

bằng xảy ra, tức là tại x=1

, viết được phương trình tiếp tuyến là

964

Do đó

c ab

−

≤

−

Từ đó cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh

Bài 23 Cho a,b,c>0

, chứng minh bất đẳng thức

94

x =

, viết được

phương trình tiếp tuyến là

18 34

Từ đó cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh

Bài 24 Cho a,b,c>0

Chứng minh rằng:

Từ đó thu được điều phải chứng minh.

II.3 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số bậc ba

Cho ba số thực bất kì, đặt

p= + +a b c

x= +

Trong đó( ) (2 )

1 1 21

Vì t ≠0

nên để hàm số có 3 nghiệm a,b,c (nhiều nhất chỉ được hai nghiệm trùng

nhau) thì điều kiện là f CD ≥0

Và dẫn đến điều phải chứng minh.

Bài 26 Cho a,b,c≥0

−

Áp dụng định lý 3 ta có

( ) ( ) ( )

1

t t

Toán học tuổi trẻ hay các kì thi HSG có thể giải bằng phương pháp trên, trong khinếu giải bằng phương pháp khác thì khó khăn hơn nhiều!

3 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN,

ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG

Là giáo viên đã dạy chuyên Toán nhiều năm và hiện đang dạy lớp 11 chuyênToán, tác giả đã nhận thấy những kết quả rất tích cực sau khi triển khai sáng kiếnkinh nghiệm cho các lớp chuyên Toán và các em trong đội tuyển HSG trường

Trước hết, các em đã có được những kiến thức rất cơ bản, cách tiếp cận bài toán

đa thức và có thể làm được ngay trong đề thi hay bài tập nâng cao

Trước khi áp dụng sáng kiến này: các em chưa có kĩ năng dùng giải tích để

chứng minh bất đẳng thức, lúng túng khi gặp chọn các hàm số để giải quyết vấn đề

Sau khi áp dụng sáng kiến: các em đã có phương pháp giải, biết chọn hàm số để

xử lí Trong các bài kiểm tra học kì của các khóa chuyên Toán 2021,2019-2022, bài toán bất đẳng thức ở mức độ vận dụng các em lớp chuyên toánT1, T2 đều làm được và có đáp án đúng

2017-2020,2018-Trong kì thi HSG quốc gia lớp 12 năm học 2019-2020 và 2020-2021, 100%(10/10) các em đều đạt giải Riêng năm học 2020-2021 có 1 giải nhất, 7 giải nhì, 2giải ba quốc gia môn Toán! Kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia-VMO 2022 dành cho khối

11 và 12 đội tuyển nhà trường đạt 03 giải nhì, 02 giải ba, 02 giải KK, và có 1 em được chọn đi thi Toán quốc tế IMO.

Sáng kiến này với hệ thống bài tập cũng là một tài liệu để các em tra cứu và tựluyện Giáo viên nên cho các em làm hết tất cả các bài tập, xem kĩ các bài tập mẫu.Các bài tập này giúp các em biết vận dụng cao hơn, tư duy sâu hơn, phát triển kĩ nănggiải Toán Các bài tập thậm chí rất có ích cho các em khi làm trắc nghiệm

4 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận

Phần Bất đẳng thức trong chương trình toán học phổ thông là phần khó, và luôn

là thách thức trong các kì thi HSG Khi các em học sinh vượt qua được bài này là cógiải chính thức Phần này ở đầu chương trình lớp 12 các em còn gặp lại nhiều trongcác bài toán khảo sát hàm số, vốn kiến thức về bất đẳng thức vững vàng sẽ giúp íchcho các em khi học cao lên ở chương trình Đại học

Trên đây là một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trongphần bất đẳng thức ở Trường THPT chuyên Lam Sơn của người viết Trong phạm vi

đề tài này, tác giả cũng chỉ mới đưa ra một số ít phương pháp điển hình và dạng bàitập về nội dung trên Rất mong các bạn đồng nghiệp, người đọc góp ý kiến, bổ sung

để có cách dạy và khai thác thể loại này một cách tốt nhất và hiệu quả cao nhất

4.2 Kiến nghị

Sở GD và ĐT luôn ủng hộ và tạo điều kiện để các giáo viên được gặp gỡ, giaolưu, rút kinh nghiệm và có thêm nhiều sáng kiến hay trong giảng dạy môn Toán vàtrao đổi chuyên đề

* * *Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2022

Bùi Văn Bình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đề thi Olympic vùng Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ môn Toán các năm từ 2010đến 2018

2 Đề thi đề nghị Olympic vùng Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ môn Toán các năm

từ 2010 đến 2018

3 Báo Toán Học và Tuổi Trẻ

4 Đề thi học sinh giỏi môn Toán của các nước từ 1990 đến 2018

5 Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán các năm từ 1990 đến 2018

6 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia môn Toán các năm từ 1990 đến 2018

7 Tài liệu mạng: www.http://math.vn

www.http://mathscopre.org.vnwww.http://diendantoanhoc.orghttp://violet.vn

http://k2pi.net

Mẫu 1 (2)

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Bùi Văn Bình

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán, Trường THPT chuyên Lam Sơn,

Cấp đánh giá xếp

loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Bài toán giới hạn dãy số Ngành GD tỉnh;