(SKKN 2022) Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để giải và biện luận một số dạng toán về phương trình, bất phương trình

SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f x    ĐỂ GIẢI VÀBIỆN LUẬN MỘT SỐ DẠNG TOÁN Việc dạy học và tổ chức thi theo hình thức tự luận chuyển sang hình thức thi trắcnghiệm, đã tạ

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 22.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 22.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2

Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm y f x  để biện

luận nghiệm bất phương trình

2

Loại 1: Bài toán cho bảng biến thiên của hàm sốy f x . 2Loại 2: Bài toán cho đồ thị hàm số y f x  7Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm y f x  để biện

luận nghiệm phương trình

9

Loại 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số y f x  9Loại 2: Tìm ra hàm số y f x  dưới dạng tường minh 12Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số y f x  để biện luận

bất phương trình

14

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được Hội đồng chấm sáng

kiến kinh nghiệm cấp ngành xếp loại từ C trở lên

21

SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f x    ĐỂ GIẢI VÀ

BIỆN LUẬN MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Việc dạy học và tổ chức thi theo hình thức tự luận chuyển sang hình thức thi trắcnghiệm, đã tạo ra nhiều thay đổi trong quá trình giảng dạy và học tập Với việc ra đềthi trắc nghiệm sẽ có rất nhiều dạng toán mới phát sinh, nhiều kiểu câu hỏi mới lạ…

Nó luôn đặt ra yêu cầu cho mỗi giáo viên phải tìm hiểu, rèn luyện, tìm ra phương ántối ưu cho việc giảng dạy để đạt hiệu quả tối ưu trong việc truyền tải kiến thức chohọc sinh cũng như kỹ năng làm các bài thi trắc nghiệm

Trong chương trình toán THPT thì chương hàm số là một chương trọng tâm, chứa sốlượng câu hỏi trong ma trận đề lớn Chương hàm số chứa rất nhiều kiến thức quantrọng, chiếm phần lớn số lượng tiết dạy theo phân phối chương trình chung Mỗinăm, có rất nhiều câu hỏi hay, lạ phải sử dụng kiến thức trong chương hàm số để thựchiện

Năm 2019 bộ GD&ĐT đã ra đề thi minh họa cho kỳ thi THPT quốc gia nhằm địnhhướng cho giáo viên, học sinh cách ôn tập hợp lý Đề minh họa môn Toán năm nay

đã giới thiệu một số dạng toán, cách ra đề mới dựa trên bản chất là ứng dụng tính đơnđiệu của hàm số Nếu vẫn tập trung vào những phương pháp cũ, học sinh sẽ gặpnhiều khó khăn trong quá trình giải toán, cũng như rơi vào các phương án nhiễu của

đề ra

Với những lí do trên, tôi quyết định chọn đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị

hàm số y f x  để giải và biện luận một số dạng toán về phương trình, bất

phương trình”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu ứng dụng của tính đơn điệu hàm số trong việc giải các bài toán vềphương trình, bất phương trình

- Đưa ra phương pháp giải hợp lý cho các bài toán, dạng toán cụ thể

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán giải phương trình, bất phương trình khi cho trước đồ thị hàm số

 

y f x , y f x  .

1.4 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm

- Tìm hiểu sâu tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số y f x , y f x  .

Kết hợp yêu cầu bài toán để sử dụng tính đơn điệu hàm số một cách hợp lý nhất

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến ứng dụng tính đơn điệu hàm số, các đề thi thửTHPT quốc gia năm 2019 từ đó đưa ra hướng giải quyết cho các bài toán dạng này

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong đề thi THPT Quốc gia của các năm bài toán giải phương trình, bất phươngtrình hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trongnhững bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa,các tính chất của hàm số, các phương pháp biến đổi tương đương và hệ quả Nhiều

em học sinh còn bỡ ngỡ, gặp khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết cho bàitoán Nếu các bài toán được phân dạng, sắp xếp theo một quy tắc nhất định, thì các

em dễ tiếp cận hơn và sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán dạng này trong đềthi sắp tới Do vậy, tôi viết đề tài nhằm đưa ra hướng tiếp cận mới đối với các bàitoán giải phương trình, bất phương, phương pháp giải các dạng toán lạ, độ khó caovừa xuất hiện sau khi có đề minh họa của bộ giáo dục đào tạo Đồng thời khai thác,phát triển các bài toán ứng dụng, dựa trên các bài toán ở đề minh họa và các đề thi thửTHPT Quốc gia

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi học đến lớp 12, học sinh khá – giỏi về cơ bản đã tiếp cận với bảng biến thiên –

đồ thị hàm số y f x  , tuy nhiên khi làm gặp bài toán có sự tham gia của đồ thị haybảng biến thiên của hàm số y f x  thì đa số các em sẽ bở ngỡ, lạ lẫm Mặt khácdạng toán bày thường đi cùng với loại bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự ápdụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất của hàm số, các phương pháp biến đổitương đương và hệ quả Nếu các bài toán được phân dạng, sắp xếp theo một quy tắcnhất định, thì các em dễ tiếp cận hơn và sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toándạng này trong đề thi sắp tới

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Tôi viết đề tài nhằm đưa ra hướng tiếp cận mới đối với các bài toán giải phươngtrình, bất phương trình thông qua đồ thị hàm y f x , đây dạng toán mới lạ với

cách cho giả thiết mới có độ khó cao vừa xuất hiện sau khi có đề minh họa của bộgiáo dục đào tạo Đồng thời khai thác, phát triển các bài toán ứng dụng, đưa ra cáchướng dự đoán trong đề thi THPT quốc gia dựa trên các bài toán ở đề minh họa

Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm y f x  để biện luận nghiệm bất

phương trình

Loại 1: Bài toán cho bảng biến thiên của hàm số y f x .

Ví dụ 1. [ĐỀ MINH HỌA BGD NĂM 2019] Cho hàm số y f x  Hàm số

 

y f x có bảng biến thiên như sau

2

Bất phương trình f x    ex m đúng với mọi x  1;1 khi và chỉ khi

Nhận xét: Đây là dạng toán hàm ẩn khá lạ mắt, lần đầu xuất hiện trong đề minh họa

năm 2019 của bộ giáo dục đào tạo Nhìn vào đề ra rất nhiều em sẽ bối rối trong việcđịnh hướng phương pháp giải bài toán Trước đó thường xuất hiện các bài toán sửdụng bảng biến thiên của hàm y f x  để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm

số, chưa từng sử dụng bảng biến thiên để biện luận bất phương trình Về mặt bảnchất, đây là một hướng phát triển mới của người ra đề trong việc ứng dụng phươngpháp hàm số trong giải phương trình Bài toán là sử dụng bảng biến thiên, đồ thịhàm số y f x  để xét sự đơn điệu của hàm số trên một khoảng nào đó, từ đó đưa

ra các kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng xác định

Bước 1: Cô lập m chuyển bài toán về dạng f x  m f u x;     m; f x  m   , 

Bước 2: Tùy theo yêu cầu cụ thể của từng bài toán mà kết luận max ;    ,

Nhận xét: Qua ví dụ này ta thấy hai bài toán gần như tương tự nhau nhưng khi cho

ra kết quả lại trái ngược, dẫn đến rối loạn trong lập luận của các em học sinh Câuhỏi lớn nhất được đặt ra là: Khi nào thì dùng dấu “”? khi nào thì dùng “” ? Trảlời được câu hỏi này sẽ giúp học sinh tháo gỡ khó khăn, vướng mắc trong loạt toánnày, cũng như các bài toán phát triển, biến tướng của nó

Đối với các lớp bài toán kiểu trên ta dùng phương pháp hàm số với lưu ý rằng:Xét bất phương trình f x  m đúng với mọi x a b,

+) Trường hợp f x  đơn điệu ( f x  không đổi dấu) trên  a b, và hàm f x  liêntục trên  a b, thì yêu cầu bài toán trở thành max ,  

a b f x m (bản chất là f x  đạt giátrị lớn nhất tại điểm x0  a b, ).

+) Trường hợp f x  đạt giá trị lớn nhất tại điểm x0  a b, thì yêu cầu bài toán trở

Ví dụ 3.Cho hàm sốy f x  Hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình f x   2 cosx 3m đúng với mọi 0;

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình f x   2 cosx 3m đúng với mọi 0;

Nhận xét: Mở rộng bài toán trên, ta hoàn toàn có thể áp dụng phương pháp đối với

các bất phương trình f u x    m f u x;      f m  hay với bài toán có dấu    ; ; 

Bài tập tương tự

Câu 1. [SGD ĐÀ NẴNG 2019] Cho hàm số y f x  Hàm số y f x  có bảngbiến thiên như hình

Bất phương trình x f x.   mx 1 nghiệm đúng với mọi x1;2019 khi

y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên

Tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 2   1 3

Câu 3. [CỤM TP VŨNG TÀU 2019] Cho hàm số y f x( ). Hàm số y f x ( ) có

bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f x( )  x2  e m đúng với mọi x  3,0 khi và chỉ khi:

Câu 5. Cho hàm số y f x  Có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Bất phương trình f x   ex2  2xm đúng  x  0;2 khi chỉ khi

6

Loại 2: Bài toán cho đồ thị hàm số y f x  .

ĐỀ 101] Cho hàm số f x  , hàm số y f x  liên tục trên

¡ và có đồ thị như hình vẽ bên Bất phương trình

Suy ra hàm số g x  nghịch biến trên khoảng  0;2 Do đó  *  m g 0  f  0

Nhận xét: So với đề minh họa thì bài toán trong đề thi thật chỉ khác ở cách cho giả

thiết từ bảng biến thiên sang cho đồ thị hàm y f x  Nhưng về mặt bản chất bài

toán, và phương pháp làm không thay đổi Học sinh dựa vào đồ thị để nhận xét tínhđơn điệu của hàm số g x   f x  x trên khoảng  0;2 rồi từ đó đưa ra kết luận củabài toán

Tuy nhiên, bài toán sẽ khó khăn hơn nếu giả thiết bài toán cho đồ thị hàm y f x 

nhưng quá trình làm bài lại cần tới tính đơn điệu của hàm số

 

 

y f u x , y f u x   g x .

Ví dụ 2. [CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC 2019 –

LẦN 5] Cho hàm số f x  liên tục trên ¡ Hàm số y f x  có đồ

thị như hình vẽ Bất phương trình f 2sinx  2sin 2x m đúng với

mọi x 0;  khi và chỉ khi

Ta có bảng biến thiên sau:

Bất phương trình 3f x  x3  3x2 m đúng với mọi x  1;3 khi và chỉ khi

Câu 4. Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đồ thị như

hình vẽ Tập hợp tất cả các giá trị của m để bất phương trình

biện luận nghiệm phương trình

Loại 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số y f x 

f  Hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình

bên Với m 0;3 số nghiệm thực của phương trình f x 2   3 m

(mlà tham số thực) là

Nhận xét: Bản chất của bài toán là từ đồ thị hàm số y f x  và

các giả thiết liên quan ta lập được BBT của hàm số f x  từ đó

biện luận phương trình f x  m f x,   g m  …

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị của hàm số y f x ta có bảng biến thiên sau:

Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số y f x  .

Bước 2: Biện luận số nghiệm của phương trình f x  m là số giao điểm của đồ thị

hàm số y f x  và đường thẳng y m

Ví dụ 2.Cho hàm sốy f x  Hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Phương trình f x( ) cos  x 2m 0 có nghiệm x o 2;3 khi và chỉ khi

A 1  2 1 1  3 1

10

C 1  2 1 1  3 1

Lời giải Chọn C

Ta có: 2m f x   cos x Xét hàm số g x   f x   cos x x,   2;3

Ta có g x   f x    sin x

Do    2;3  1;4 nên từ bảng biến thiên ta thấy f x     0, x  2;3

Mặt khác x 2; 3  x2 ; 3    sin x 0 Vậyg x     0, x  2;3

Bảng biến thiên của hàm số g x 

Từ bảng biến thiên ta có g 2  2m g (3)  f(2) cos 2    2m f(3) cos3  

Nhận xét: Mấu chốt của các bài toán dạng này thường là áp dụng các giả thiết phụ để

kết hợp với đồ thị hàm y f x  lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y f x 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1. Cho đồ thị hàm số y f x  xác định và có

đạo hàm trên ¡ Hàm số y f x  có đồ thị như

hình vẽ Số nghiệm nhiều nhất của phương trình

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi hàm số y f x  dưới dạng tường minh, tính y f x .

Bước 2: Sử dụng các giả thiết của bài toán, giải phương trình, tìm các tham số của

hàm y f x .

Bước 3: Giải phương trình f x  m

Ví dụ 1. [CỤM 8 CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG 2019] Cho hàm số

15 3

x x x

hàm số y f x  đối xứng qua đường thẳng x 1 như hình

dưới đây Biết phương trình f x   1 m có nghiệm x  1;1

khi và chỉ khi m a b; Khi đó a b bằng

y f x  bằng cách tịnh tiến (C) sang trái 1 đơn vị Khi đó (C’) đối xứng qua trục

Oy và do nó là đồ thị hàm đa thức bậc 4, nên (C’) là đồ thị hàm số trùng phương

12

dạng y ax 4 bx2 c Ta có (C’) lần lượt đi qua các điểm 0; 1   ;  2; 3 ;    1; 3 nên

lập hệ giải ra ta được y x  4 3x2  1

Suy ra f x'(    1) x4 3x2  1 từ đó   5 3

1 5

x

f x    x x C Lại có f  1  0 nên C 0.Vậy   5 3

nghịch biến trên đoạn   1;1

Do đó phương trình f x   1 m có nghiệm x  1;1 khi và chỉ khi m g    1 ;g 1 

Nhận xét: Đối với các bài toán dạng này, chỉ cần linh hoạt sử dụng các giả thiết để

tìm ra dạng tường minh của hàm số y f x  thì ta sẽ giải quyết được vấn đề.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Câu 1. Cho hàm số h x  mx4 nx3 px2 qx m n p q, , , ¡ .Hàm

số y h x   có đồ thị như hình vẽ bên Có tất cả bao nhiêu giá

trị nguyên của m để phương trình h x  m2 m có hai ngiệm

vẽ, đạt cực trị tại điểm O 0;0 và cắt truc hoành tại A 3;0

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên  5;5 để phương

trình f x2 2x m  e có bốn nghiệm phân biệt.

Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số y f x  để biện luận bất phương

trình

Loại 1: Không chứa tham số m

Phương pháp giải:

Bước 1: Chuyển bất phương trình về f x( ) g x( ) 1 vế và lập bảng biến thiên

Bước 2: Dựa vào bảng biến thiến của hàm số y f x'( ) và xét dấu của hàm số'( )

y f x g x đồng biến(nghịch biến) trên K

2) Nếu hàm số y f x( ) đồng biến(nghịch biến) trên K thì:

+ Hàm số y n f x( ) đồng biến(nghịch biến) trên K

+ Hàm số y 1( )

f x

+ Hàm số y f x( )nghịch biến(đồng biến) trên K.

Nhìn vào đồ thị dễ dàng thấy những điểm có hoành độ lớn

hơn hoặc bằng  1 đều có tung độ lớn hơn hoặc bằng  2

Chọn đáp án B

Ví dụ 2.Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đồ thị như

hình vẽ Hãy tìm tập nghiệm S của bất phương trình

Ta có bất phương trình f x     x 1 0 f x   x 1 nên nếu

vẽ đường thẳng  :y x 1 trên cùng hệ trục với đồ thị hàm

số y f x  thì tập nghiệm S của bất phương trình đã cho là

14

tập hợp hoành độ các điểm sao cho đồ thị hàm số y f x  nằm phía trên đường

 có bao nhiêu nghiệm

nguyên thuộc đoạn 6;8

Câu 2. Cho hố số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Số các nghiệm nguyên của bất phương trình

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ BBT suy ra m min 1;3h x  m 10



Ví dụ 2. [SGD HÀ NỘI 2019] Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình f x   1 1 m có nghiệm

+) Một số bài toán có dạng f u x   thì ta đặt t u x ( ), xác định điều kiện của biến t.

Biến đổi f u x  m thành f t ) m sau đó làm tương tự như các bước ở trên.

+) Có nhiều bài toán, việc cô lập m rất khó khăn, để

thực hiện được việc đó cần phối hợp nhiều kiến thức

chuyên sâu như định lí viet đảo, bất đẳng thức, xét

hàm…

Ví dụ 3.Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đồ

thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên âm lớn

16

hơn  50 của tham số m để bất phương trình  3    3  

f x  f x m  f x  m luônđúng trên đoạn  1;4?

Câu 1. [SỞ PHÚ THỌ 2019] Cho hàm số y f x  liên tục

trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ Tổng tất cả giá trị nguyên của

y f x có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình x2  1 f x  m có nghiệm trên khoảng  1;2 khi và chỉ khi

Câu 4. [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2019 – LẦN 2] Cho hàm số y f x 

có đồ thị như hình bên Có bao nhiêu số nguyên m để bất

2.4 Hiệu quả thực hiện

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2020-2021 Tiến hành giảng dạy ngoại khóa

và lồng vào các tiết dạy các nội dung theo đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị

hàm số y f x  để giải và biện luận phương trình, bất phương trình”.

Đề tài này đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các

em học lực từ trung bình khá trở lên Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằmmục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho họcsinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tínhđúng đắn của Giả thuyết khoa học

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Quảng Xương 4

+ Lớp 12A (40 học sinh) không áp dụng sáng kiến

+ Lớp 12B (47 học sinh) áp dụng sáng kiến

Thực nghiệm được tiến hành trong tiết học theo yêu cầu về chủ đề ôn tập tổng quan

về hàm số và đồ thị (sau khi học xong chương 2, môn Giải tích 12 Sau khi dạy thựcnghiệm, Tôi cho học sinh làm bài kiểm tra Sau đây là nội dung đề kiểm tra:

Đề kiểm tra khảo sát 45 phút Bài 1. Cho hàm số y f x   x3  3x2  2 có đồ thị như hình vẽ

Tìm tập nghiệm của bất phương trình f x   2.

Bài 2. Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

18