(SKKN 2022) sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ – hình học lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ – HÌNH HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ –

HÌNH HỌC LỚP 10

Người thực hiện: Thịnh Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2022

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp thực hiện 4

2.3.1 Các kết quả cơ bản của tích vô hướng của hai vectơ 4

2.3.2 Một số ví dụ về việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên qua tới tích vô hướng của hai vectơ ……… 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 14

2.4.1 Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm…… ……… …… …14

2.4.2 Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm……… ….15

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học là một trong những môn học khó, học sinh muốn học tốt cầnphải hiểu được bản chất của các vấn đề, biết được định hướng khai thác các tínhchất đặc trưng của bài toán để vận dụng giải các bài tập Mặt khác bài tập toánrất đa dạng và phong phú, trong phân phối chương trình số tiết ôn tập lại khôngnhiều so với nhu cầu luyện tập các dạng bài tập cho học sinh Chính vì thế, giáoviên khi giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiếtmột cách tốt nhất, hiệu quả nhất nhằm giúp các em có định hướng trong việcgiải bài tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết sẽ tạo chohọc sinh có cảm giác mình đã giải được bài toán, tạo cho học sinh niềm say mê,

sự hứng thú và yêu thích môn học

Trong chương trình Hình học - lớp 10, chuyên đề về vectơ là mộtchuyên đề mới và tương đối khó với học sinh Các em thường không có đượchướng tiếp cận các bài toán về vectơ để tìm ra định hướng giải, và nhất là đốivới các bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ Ngoài ra trong các

đề thi học sinh giỏi, thi khảo sát kiến thức cuối năm lớp 10 thì các bài toánliên quan tới tích vô hướng của hai vectơ cũng là bài toán ở mức độ vận dụnghoặc vận dụng cao Gặp những câu hỏi liên quan đến chủ đề này học sinhthường lúng túng trong việc tìm ra cách tính tích vô hướng hai vectơ hoặc cácbài toán liên quan Bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ thường

có hai hướng giải quyết; một là sửa dụng định nghĩa của tích vô hướng; hai là

sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ Tuy nhiên đối vớihướng giải quyết thứ hai thì học sinh chỉ hay dùng trong các bài toán đã chosẵn trong hệ tọa độ, và làm theo cách này thì học sinh cảm thấy việc tìm racách giải bài toán dễ dàng hơn Giúp học sinh trong việc chuyển từ bài toántính tích vô hướng của hai vectơ theo định nghĩa sang bài toán sử dụng biểuthức tọa độ là một trong những phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất giúp họcsinh tự tìm tòi và sáng tạo trong việc giải các bài tập liên quan tới vấn đề này

Qua thực tế 15 năm giảng dạy ở trường trung học phổ thông tôi đã tìmtòi và nghiên cứu phương pháp tọa độ hóa để giải các bài toán liên quan tớitích vô hướng của hai vectơ, việc chuyển sang hệ tọa độ nhằm giúp học sinhgiải được các bài tập khó liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ trong quátrình ôn tập cuối năm Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên

cứu là: “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ – Hình Học lớp 10”

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ – Hình Học lớp 10” tập trung nghiên cứu

một số kỹ năng chuyển bài toán sang hệ tọa độ nhằm tìm ra định hướng giảimột số bài toán về tích vô hướng của hai vectơ và một số bài toán liên quantrong chương trình hình học lớp 10 THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1.4.1 Nghiên cứu lí luận.

-Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ cách chuyển bài toán sang bài toánđược cho trong hệ tọa độ nhằm áp dụng để giải các dạng bài tập liên quan tớitích vô hướng của hai vectơ nói riêng và bài tập toán nói chung

1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn.

- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa và tìm hiểu chương trình hình học lớp 10THPT, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng bài

tập có liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ Từ đó xác định cách chuyểnbài toán sang bài toán cho trong hệ tọa độ và sử dụng các kiến thức trong hệ tọa

độ trong mặt phẳng để vận dụng giải các bài tập nhanh và chính xác nhất

- Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đề tài “Sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ – Hình Học lớp 10” đã đưa ra một số phân

tích, định hướng và cách nhìn mới trong việc sửa dụng phương pháp tọa độhóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ

- Từ các phân tích định hướng này giúp các em học sinh có thể phân loại vàđưa ra phương pháp giải phù hợp để giải một số dạng bài tập thường gặp vềtích vô hướng của hai vectơ trong các đề thi cuối học kỳ và các kỳ thi học sinhgiỏi lớp 10

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Việc dạy học toán trong nhà trường phổ thông không chỉ giúp học sinh hiểuđược sâu sắc và đầy đủ các kiến thức toán học phổ thông mà còn giúp các em vậndụng các kiến thức đó giải quyết nhiệm vụ của bài tập toán Để đạt được điều đó,học sinh phải có những định hướng đúng đắn nhất trong việc giải toán Kỹ năng biếnđổi giả thiết để tìm ra định hướng giải toán là thước đo độ sâu sắc và vững vàngnhững kiến thức toán mà học sinh đã được học

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các khối lớp trong trường tôi nhận thấy việc định hướng tìm ra lời giải của học sinh ,đặc biệt là học sinh lớp 10 còn tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viêngiảng dạy, đặc biệt việc giải các bài toán khó còn rất hạn chế Khi gặp một dạngbài tập toán học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích, phân loại dạngbài tập và sử dụng kiến thức liên quan để giải quyết bài toán đó Các tài liệutham khảo hiện có thường chỉ giải một số bài tập cụ thể, vì vậy học sinh không

áp dụng được cho các dạng bài tập ở dạng tương tự Các năm gần đây, để phânloại học sinh khá giỏi, trong các đề thi thường xuyên xuất hiện một số câu hỏikhó liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ và có thể dùng phương pháp tọa

độ hóa để giải Khi gặp những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụngnhiều kỹ năng biến đổi vectơ, mà đây là kỹ năng mà học sinh lớp 10 còn chưađược thành thạo và vận dụng chưa linh hoạt Tuy nhiên nếu sửa dụng biểuthức tọa độ thì học sinh sẽ đưa ra được định hướng và cách giải nhanh và chính

xác Xuất phát từ thực trạng đó tôi đã viết đề tài “Sử dụng phương pháp tọa

độ hóa để giải một số bài toán liên quan tới tích vô hướng của hai vectơ – Hình Học lớp 10” nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về dạng toán

này, phân loại và đưa ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập,giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng để giải quyết được các câu hỏi ởmức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi cuối kỳ và thi học sinh giỏicũng như kỳ thi TN THPT quốc gia

Ox Oy vuông góc với nhau tại điểm O , và xác định được tọa độ các điểm liên

quan tới bài toán trên hệ tọa độ Oxy.

Kết quả 2: Tọa độ của các vectơ a b a b k b ;  ;

Cho hai véctơ ax y1; 1;bx y2; 2 khi đó :

Ví dụ 1.[9]: Cho ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng d đi qua điểm

D và song song với AC Điểm M di chuyển trên đường thẳng d Tìm giá trị

Phân tích bài toán:

+) Vấn đề khó của bài toán này là cách giải bằng các phép biến đổi vectơ

+) Khi sửa dụng phương pháp tọa độ hóa thì vấn đề nên chọn hệ tọa độ Oxy sao cho việc tìm tọa độ các điểm và phương trình đường thẳng AC nhanh nhất.

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Khi đó ta có A0;0 ; B0; ;a C a a D a  ; ;  ;0

Đường thẳng d đi qua điểm D

và song song với AC có phương trình y x a 

Do điểm M thuộc đường thẳng d nên gọi tọa độ điểm M là M x x a ;  

Đẳng thức xảy ra khi x a hay điểm M D.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

T MA  MB MC 

bằng 3 2 a

Ví dụ 2.[9]: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a , M là điểm di

động trên đường thẳng AC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

+) Đối với bài tập này trước hết ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho phương trình đường thẳng AC đơn giản nhất

+) Khi đó ta sử dụng các phép toán về tọa độ vectơ và tọa độ điểm để tính giá trị

biểu thức T

+) Kết hợp với phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất để giải quyết bài toán

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

hay điểm M là trung điểm của AC.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T MA MB MC  3MA MB MC 

Phân tích bài toán:

+) Đây là bài toán tương tự như ví dụ 1; ví dụ 2, vì vậy giáo viên có thể để học

sinh tự định hướng trong việc chọn hệ tọa độ Oxy thích hợp.

+) Sau đó yêu cầu học sinh nhận xét về kết quả nếu như ta thay đổi việc chọn hệtọa độ, và phân tích cách chọn hệ tọa độ tối ưu trong mỗi trường hợp

Bài giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Khi đó ta có A0;0 ; B a2 ;0 ; C a a , phương trình đường thẳng BC là2 ; 

Đẳng thức xảy ra khi y  hay điểm 0 M B

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T MA  2MB 3MC

bằng 4 a

Ví dụ 4.[9]: Cho hai điểm ;A B sao cho AB4a Với điểm M tùy ý, tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức T 3MA2 MB2

Phân tích bài toán:

+) Đây là bài toán mà giả thiết cho rất đơn giản; chính vì vậy việc chọn hệ tọa

độ có vai trò quyết định trong bài toán này

+) Khi đó ta chọn hệ tọa độ sao cho việc xác định tọa độ hai điểm ;A B được

đơn giản nhất

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Khi đó ta có A0;0 ; B a4 ;0 Gọi tọa độ điểm M là M x y  ; 

Phân tích bài toán:

+) Đây là một ví dụ khó, giáo viên phải định hướng cho học sinh trước hết phảitìm quỹ tích điểm M

+) Ví dụ này giải bằng phương pháp tọa độ hóa thì học sinh dễ hơn trong việcđịnh hướng cách giải

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

nên điểm I nằm ngoài đường tròn  C Do đó MD lớn nhất

khi 3 điểm ; ;M K D thẳng hàng và điểm K thuộc đoạn MD

Ví dụ 6.[9]: Cho tam giác ABC có BC a  Biết rằng tập hợp điểm M sao cho

2MB MB MC a  

là một đường tròn Tìm bán kính của đường tròn đó

Phân tích bài toán:

+) Đây là một ví dụ hay xuất hiện trong các câu hỏi trắc nghiệm, vì vậy phươngpháp tọa độ hóa sẽ ưu việt hơn khi thời gian định hướng tìm ra lời giải được rútngắn hơn

Bài giải: Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Khi đó ta có B0;0 ; C a ;0 Gọi tọa độ điểm M là M x y  ; 

Phân tích bài toán:

+) Đây là một ví dụ khó, khó ở vấn đề khai thác được giả thiết CB CD . 6

c d c

c c

Vậy tọa độ điểm ;C D là C3;2 ; D1;0  CD 2 2

Ví dụ 8.[9]: Cho hình thang vuông ABCD đường cao AD h , cạnh đáy

,

tuyến AM của tam giác ABC

Phân tích bài toán:

+) Đây là ví dụ tương tự ví dụ 7; vì vậy giáo viên có thể yêu cầu học sinh tự tìmtòi và đưa ra cách giải cho bài toán

+) Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất tích vô hướng của hai vectơ

để khai thác giả thiết hai đường thẳng vuông góc

Bài giải:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

Ví dụ 9.[9]: Cho tứ giác IAJB có các góc , A B vuông, IA IB M là điểm bất

kỳ trên đường thẳng IJ Chứng minh rằng:

Phân tích bài toán:

+) Đây là một bài toán tương đối khó, nếu sử dụng phương pháp vectơ theo địnhnghĩa thì rất phức tạp

+) Đối với bài toán này ngoài việc chọn hệ tọa độ thích hợp, giáo viên còn cungcấp cho học sinh thêm một kỹ năng chuẩn hóa bài toán (một kỹ năng rất quantrọng trong các bài toán trắc nghiệm)

Bài giải: Không mất tính tổng quát, giả sử IJ  2

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

D

Khi đó ta có I1;0 ; J1;0

Gọi tọa độ các điểm M x M;0 ; A x y A; A;B x y  B; B

Do các góc ,A B vuông suy ra điểm ; A B thuộc đường tròn tâm O và bán kính

Dấu bằng xảy ra khi điểm M trùng với điểm J

Chứng minh trương tự ta cũng có được .

Ví dụ 10.[9]: Cho hình vuông ABCD ; E là trung điểm của AB , F là điểm sao

Phân tích bài toán:

+) Đây là một ví dụ tương tự ví dụ 9, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn

hệ tọa độ và chuẩn hóa cạnh của hình vuông, giúp cho việc tính toán trở nên dễdàng hơn

+) Ý tưởng chuẩn hóa thường gặp trong các bài toán mà đáp số không phụ thuộcvào độ dài cạnh của hình vuông (như: xác định vị trí điểm; tính số đo góc…)

Bài giải: Không mất tính tổng quát, giả sử cạnh của hình vuông bằng 1.

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ:

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Khi áp dụng đề tài này trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường trunghọc phổ thông Hoằng Hoá 4, tôi thấy học sinh nắm bắt và vận dụng rất nhanhphương pháp tọa độ hóa, vận dụng linh hoạt các kiến thức về tọa độ vectơ và tọa

độ điểm để áp dụng vào các bài toán liên qua tới tích vô hướng của hai vectơ.Ngoài ra học sinh còn vận dụng phương pháp tọa độ hóa để giải một số bài toánhình học phẳng

Kết quả những năm trực tiếp giảng dạy chương trình Hình học lớp 10 cụ thể nhưsau:

2.4.1.Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.

* Kết quả đạt được trong năm học 2019 - 2020 như sau:

- Kết quả tổng kết cuối năm của lớp giảng dạy

2.4.2.Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm.

* Kết quả đạt được trong năm học 2020-2021 như sau:

- Kết quả tổng kết cuối năm của các lớp giảng dạy

Lớp Sĩ số Kết quả học tập môn Toán

3.2 Kiến nghị

Đề tài có thể phát triển và bổ sung thêm về ứng dụng của phương pháp tọa

độ hóa để giải các bài toán về hình học phẳng, và mở rộng cho phương pháp tọa

độ hóa hình học không gian trong chương trình toán học phổ thông trong nhữngnăm tiếp theo

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nêntôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót Tôi rất mong được

sự nhận xét và góp ý chân thành của hội đồng khoa học ngành, các đồng chíđồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA

HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 21 tháng 05 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Thịnh Thị Hồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học 10 (Trần Văn Hạo).

[2] Sách bài tập Hình Học 10 (Nguyễn Mộng Hy).

[3] Tài liệu chuyên toán Hình Học 10 (Đoàn Quỳnh).

[4] Tài liệu chuyên toán bài tập Hình học 10 (Đoàn Quỳnh).

[5] Rèn luyện luyện tư duy qua việc giải bài tập toán (Nguyễn Thái Hòe)

[6] Sáng tạo toán học (G.POLYA).

[7] Toán học và những suy luận có lý (G.POLYA).

[8] Giải bài toán như thế nào (G.POLYA).

[9] Các đề thi cuối kỳ và các đề khi khảo sát chất lượng lớp 10 của các trường

THPT và các Sở GD & ĐT

CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN

2019-2020

“Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài toán liên quan tới lũy thừa và lôgarit – Giải tích lớp 12”

2088/QĐ-SGDĐT ngày 22/12/2020

Xếp loại: C