(SKKN 2022) SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHANH KHI GIẢNG DẠY BÀI TOÁN GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 12 ÔN THI TNTHPTQG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT HÀM RỒNG -------SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHANH KHI GIẢNG DẠY BÀI TOÁN GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHANH KHI GIẢNG DẠY BÀI TOÁN GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG

GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 12 ÔN THI TNTHPTQG

Người thực hiện: Nguyễn Bích Thuỷ

Chức vụ: Phó Hiệu trưởng SKKN (thuộc lĩnh vực môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2022

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề ……… 4

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân và đồng nghiệp….……… …….… 19

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 19

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

- Trong những năm gần gần đây, Bộ giáo dục và đào tạo đã sử dụng hình thức trắc nghiệm trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với môn Toán với số lượng 50 câu hỏi, thời gian làm bài là 90 phút Đối với hình thức trắc nghiệm khách quan thì khó khăn lớn nhất là học sinh bị áp lực thời gian bởi học sinh phải vận dụng

cả kiến thức và kĩ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian tương đối ngắn Nhiều dạng Toán mới xuất hiện, buộc người học phải có tư duy sáng tạo mới có thể hoàn thành tốt bài thi trong thời gian quy định, trong đó có bài toán tính góc hai mặt phẳng trong hình học không gian Tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian luôn là một dạng toán trong tất cả các đề thi đại học của học sinh phổ thông, kể cả học sinh khá giỏi Trong đề thi TNTHPT, kỳ thi kiểm tra năng lực và đánh giá tư duy và đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành, bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng luôn xuất hiện Mặc dù đa phần các bài tập đều quy

về phương pháp tính góc truyền thống là góc giữa hai đường lần lượt vuông với hai mặt phẳng, hoặc đi tìm giao tuyến của hai mặt phẳng tuy nhiên với thời gian giải quyết đề thi trắc nghiệm như hiện nay, việc sử dụng các công thức tính nhanh giúp học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời gian Chính vì vậy, tôi chọn đề tài

“SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHANH KHI GIẢNG DẠY BÀI TOÁN GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG

GIAN CHO HỌC SINH KHỐI 12 ÔN THI TNTHPTQG”

làm đề tài nghiên cứu của mình

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng và ghi nhớ các công thức tính nhanh góc giữa 2 mặt phẳng từ

đó vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán trắc nghiệm, nhằm giúp học sinh tiết kiệm thời gian làm bài, đạt hiệu quả cao trong kì thi TNTHPT , kỳ thi đánh giá năng lực, tư duy

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 12 các lớp C3,C5,C10 khóa 2019-2022

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bài toán tổng quát

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Kiến thức cơ bản

 Định nghĩa : Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng    P ; Q . Ta cần dựng mặt phẳng vuông góc với d.

 Lấy Amp Q  , dựng AB mp P B P .

 Vẽ BH vuông góc với d thì AH vuông góc d

Vậy ·AHB  0    90 0 là góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q .

Hình 1

2.2.Thực trạng vấn đề cần giải quyết

- Trong quá trình giảng dạy khả năng học hình không gian của học sinh còn chưa tốt Đa số học sinh khi gặp bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng là lúng túng, không làm được hoặc có làm thì mất nhiều thời gian Trong khi đó trong các đề thi THPT của những năm gần đây luôn xuất hiện câu tính góc giữa đường, mặt phẳng Do vậy học sinh rất lo ngại và tỏ ra sợ hãi trước những bài toán này

- Học sinh ít chú ý đến các tính chất cơ bản của hình học không gian, không nắm

rõ mục tiêu, bản chất của các phương pháp tính góc giữa từ hai mặt phẳng Do

đó các em mất nhiều thời gian làm bài mà hiệu quả lại không cao

- Việc học quá nhiều môn gây cho các em học sinh cảm giác chán nản, không tập trung trong học tập Các hình thức dạy học truyền thống làm hạn chế sự phát triển kỹ năng sống toàn diện ở học sinh, học sinh giảm hứng thú và thiếu sự say

mê trong học tập nói chung và môn Toán nói riêng

2.3.Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết

- Thông qua việc xây dựng, giải quyết một số bài toán tổng quát, các mô hình quen thuộc, giúp học sinh rút ra cách nhận diện bài toán khó, quy lạ về quen để nắm được cách xử lý sao cho gọn gàng, tránh dài dòng lê thê, mất thời gian

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

 Phương pháp giải:

Tính góc giữa hai mặt bên SAC

và SBC.

 Cách 1: Tính góc giữa 2

đường thẳng a và b lần lượt

vuông góc với mặt phẳng

SAC và SBC.

 Cách 2: Dựng đường cao

 .

SH  ABC Lấy điểm M bất

kỳ thuộc AC, dựng MNHC.

Lại có: MN SH MN SHCMN SC.

Dựng MK SCSCMKN  ·SAC ; SBC ·MK KN, .

 Cách 3: Dựa vào hình vẽ trên ta có    

 

;

;

d A SBC

d A SC

 

 Như vậy: Ngoài cách dựng và tính thông thường ta hoàn toàn có thể đưa bài toán trở về bài toán khoảng cách trong không gian

 Cách 4:

·   

1

1 2

2

2 sin

: 3

,

SAC

a SC

S S

S S

a

SAC SBC









 





 



Suy ra :

2 2 2

2 2

 Cách 5:: Sử dụng định lý hình chiếu vuông góc

Định lý : Gọi S là diện tích của đa giác  trong mặt phẳng  P và S' là diện tích hình chiếu H' của  trên mặt phẳng  P' thì S' Scos ,  trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng  P và  P'

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO

3

a

AB  SB  a SO,  Tìm số đo của

góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

 Lời giải: Gọi M là trung điểm của SA.

Tam giác SAB cân tại B suy ra BM SA  1

Tam giác SAD cân tại D suy ra DM SA  2

Từ    1 , 2 suy ra SABMD  ·SAB ; SAD BMD· .

Tam giác SBO vuông tại O, có

3

.

OA AB OB  a SA SO OA  a

Suy ra SA BD mà

 SA    BD

Vậy ·SAB ; SAD  ·BMD 90 0 Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC. có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, đáy

ABC là tam giác vuông tại B có AB a BC a ,  3. Biết 2,

2

a

SA tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC.

A 30 0 B 45 0 C 60 0 D 90 0

 Lời giải:

Cách 1: Dựng hình và tính toán, chuẩn hóa

1.

a

Dựng BH  ACBH SACBH SC.

Dựng HK SCHKBSC

   

·SBC ; SAC  ·HKB.

Ta có: AC AB2 BC2  2. Khi đó:

·



2

Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC bằng 60 0 Chọn C.

Cách 2: ·        

 

; sin ;

;

d A SBC SAB SBC

d A SC

 , dựng AESB AF, SC.

3

d A SBC AE

d A SC

Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết

 ,

SA ABCD tính độ dài đoạn thẳng SA để góc giữa mặt phẳng SBC và SCD

bằng 60 0

A SA a B SA a 3. C SA 2a 3. D SA 2 a

 Lời giải:

Ta có: BD AC BD SAC BD SC.

BD SA





Kẻ BI SCSCBID.

Vậy ·     ·  0

SBC SCD  BI ID 

Dễ thấy · 1 · .

2

OI SC

BIO BID









 Trường hợp 1: BID·  60 0 BIO·  30 0

IO

(OI là cạnh góc vuông, OC là cạnh huyền của tam giác vuông OIC)

 Trường hợp 2: BID·  120 0  ·BIO 60 0

6

IO

Mặt khác: sin· 3 tan· 1

OI

OC

·

 Cách 2:

 

 

;

sin

;

d B SCD

d B SC

  , đặt SA x , chuẩn hóa a  1 SB SA2 AB2  x2  1

1

AB CD d B SCD d A SCD

,

CBSA CB ABCBSB do đó  ;  2. 2 2 22 1

d B SC



2

CALC

x x



Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông SA 3ABvà

SA ABCD Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC Giá trị cos 

bằng

A 1.

2

 Lời giải: Cách 1: Ta có CDSAD.

Vẽ AN SD tại N  ANSCD.

Tương tự vẽ AM SB tại M AM SBC

·AM AN, .



  Giả sử AB  1 SA 3.

Ta cóSB SD  2

2

2



4

BD  SB  SB  SB 

3 2

4

MN

1

AM AN

Chọn B.

 Cách 2: ABCD là hình vuông nên ACBD tại tâm O.

Mặt khác BDSABDSACBDSC

Dựng OH SCSCBHD, ta tính góc ·BHD, dễ thấy BHD·  2BHO· .

BD

OB  SAC vuông tại

3 2 6

A SC

A

 

5

d A SC

d A SC

BHO

3

OB

OH

 Cách 3: Bạn đọc xem lại ví dụ 3 ta có:    

 

2 2

sin

d B SCD x x



Trong đó AB 1 và SA x , áp dụng với 3 sin 15 cos 1.

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD a  cạnh bên SAABCD. Biết SA a 3, tính cosin góc giữa hai

mặt phẳng SBC và SCD.

A cos 2.

4

4

4

4

 

 Lời giải: Chuẩn hóa

a SB SA AB 

Áp dụng công thức ta có:

 

     

 

sin

d B SCD d A SCD

d B SC d B SC

4

2

4



Ví dụ 6: [Đề THPT QG 2018] Cho hình lập phương ABCD A B C D     có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A B C D    và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO 2MI. Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng MC D  và MAB

bằng

A 6 13.

85

 Lời giải: Do AB C D// ' ' nên giao tuyến

của MAB và MC D' ' là đường thẳng d

qua M và song song với AB.Các tam

giác MAB MC D, ' ' cân tại M. Gọi H K,

lần lượt là trung điểm của AB và C D' '.

Ta có: MH AB d' ' //// MHK d

MK C D d





Ta tính cosin góc HMK· .

Đặt AB  6 OI  3,OM  2,MI  1







MH MK

85

MAB MC D

Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác đều cạnh a SA, ABC. Trên

cạnh SA lấy điểm M sao cho diện tích tam giác MBC bằng 2 3.

2

a Tính góc giữa

A 30 0 B 60 0 C 45 0 D 75 0

 Lời giải: Ta có: 2 3.

4

ABC

a

Gọi  ·MBC ; ABC 

Do ABC là hình chiếu của tam giác MBC trên mặt

phẳng ABC nên

2

0 2

3 1 4

2 3 2

ABC MBC

a S

      

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh 2 ,a SAABCD.

Gọi N là trung điểm của SA, mặt phẳng NCD cắt khối chóp theo một thiết diện có diện tích S  2a2 3. Tính góc giữa mf NDCvà mặt phẳng ABCD.

A 30 0 B 60 0 C 45 0 D 75 0

 Lời giải: Đặt  ·NCD ; ABCD .

Do CD/ /ABNCD cắt SAB theo thiết diện

/ /

NM ABMN là đường trung bình của tam

giác SAB. Khi đó thiết diện là tứ giác MNDC.

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng

ABCD thìHlà trung điểm của AB và

2 2

.2 3 2

AHCD

Do tứ giác HADC là hình chiếu của tứ giác MNDC trên mặt phẳng ABCD

2 2

2

2 3

AHCD

NMCD



    Do đó   30 0 Chọn A.

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABC. có SA a và vuông góc với đáy, tam giác ABC

vuông cân đỉnh A và AB AC a  Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB SC, Tính cosin góc giữa AMN và ABC.

A 1 .

3 3

 Lời giải:

Gọi E F, lần lượt là trung điểm của AB và AC

Ta có: SAMN.cos  SAEF,

trong đó 1 . 1.

AEF

S  AE AF  Chứng minh được:

AMN

2

AM AN MN 

Do đó

2

AEF AMN

S



Ví dụ 10: Cho hình chóp tam giác S ABC. có SA a SB ,  2 ,a SC 3a,

· 60 , o · 90 , o · 120 o

ASB BSC CSA Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng SAB và

A 1

3 B 2

3 C 1

3 D 6

3

 Lời giải:

Rõ ràng bài toán này nếu làm theo phương phán thông thường rất khó tính được góc giữa hai mặt phẳng Áp dụng công thức tính nhanh thể tích

3

1 cos cos cos 2.cos cos cos

a

2

SB a, 1 1 .2 3

SAB

2

1

2 3 1 3 2

SBC

S S  a a  a .

Thay vào công thức tính nhanh ta được:

2 2 2

1 2

2 2

V

2

1 9.4. 1 2

3



Ví dụ 11. Cho hình chóp S ABCD. , có đáy ABCD là hình bình hành.

SA ABCD AB 3,AD 4,BAD·  120 , o SA 2 3 Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm SD AD BC, , Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và MNP

 Lời giải:

Ta có //   // 

//

MN SD

NP CD





 .Suy ra  ·MNP , SBC   ·SCD , SBC .

Tính nhanh theo tứ diện S BCD.

2 2

4 .

S BCD SBC SCD

SC V

.

.3.4 2 3 6

S BCD BCD

3 4 2.3.4 13

2

AC     , SC2    12 13 25 SC 5

Tam giác SBC có BC 4,SC 5,SB 21 S2SBC  75

Tam giác SCD có CD 3,SC 5,SD 28 S2SCD  54

Thay vào công thức tính nhanh ta được:

2 2 2

1 2

2 2

V

2 2

S BCD SBC SCD

SC V

BC CD SBCBCD SDC 

, AD BC,  60 Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ABC và ADC

A 14

8 D 2 43

43

 Lời giải:

Ta có SD BC,   SD DH,   60 o.Dựng SH BCD H, BCD.

 

BC SB

BC SH





Vì HBCD là hình chữ nhật, SDH·  60 o SH HD 3 3 3 

Ta có SD BC,   SD DH,   60 o 1 6 3

3

SBCD BCD

V  S AH  , HC2  25,AC2  52,

4

SBC

Tam giác SCD có CD 4,SC 52,SD  6 S2SDC  144

4 .144

4

Suy ra

2

3 13 2 13

    

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm khóa học 2016-2019, việc xác định, tính góc giữa hai mặt phẳng tốn rất nhiều thời gian, đặc biệt học sinh làm bài toán trắc nghiệm hiệu quả không cao

Lớp TổngSố bài 8.0 – 10.0SL % 6,5 – 7,9SL % 5.0 – 6.4SL % 3.5 – 4.9SL % 0.0 – 3.4SL %

12C10 55 0 0 15 30 25 50 15 20 0 0 Tổng 160 Trên Khá 38 chiếm 23,75% Dưới Khá 122 chiếm76,25%

Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm khóa học 2019-2022 tôi thu được kết quả rất khả quan

Lớp TổngSố bài 8.0 – 10.0SL % 6,5 – 7,9SL % 5.0 – 6.4SL % 3.5 – 4.9SL % 0.0 – 3.4SL %

Tổng 160 Trên Khá 134 chiếm 83,75% Dưới Khá 26 chiếm16,25% Kết quả chung

Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy khối 12

và luyện thi đại học trong ba năm gần đây Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày một cách khái quát về lý thuyết tổng quan cũng như phương pháp cần nhớ nhanh về ghép trục cho hàm số hợp Với cách trình bày như trên, tôi đã cố gắng giới thiệu một cách cụ thể từng dạng và thông qua các ví dụ minh họa phần nào giúp các thầy cô giáo và các em học sinh tham khảo để có thể giải quyết tốt các bài toán thuộc loại này trong các đề thi Đại học, cao đẳng và đề thi Học sinh giỏi các tỉnh thành Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo tổ Toán trường Trung Học Phổ Thông Hàm Rồng- Thanh Hóa

đã đóng góp những ý kiến quý báu trong các buổi sinh hoạt chuyên đề

3.2 Kiến nghị

Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thông qua việc chấm sáng kiến kinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biến rộng rãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng triển khai áp dụng hiệu quả Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” của sở để các giáo viên toàn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi

Đối với trường THPT Hàm Rồng : Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựa chọn cần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ Cần có những bản lưu trong thư viện để giáo viên và học sinh tham khảo

Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, những hạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sáng kiến hơn nữa

Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc

áp dụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình Phản hồi những mặt tích cực những mặt hạn chế của sáng kiến

Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học

Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoàn thiện hơn nữa

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 04 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết SKKN

Nguyễn Bích Thuỷ