(SKKN 2022) khai thác bài tập số 7 trang 49, sách giáo khoa hình học 12 chương trình cơ bản để tạo hứng thú học toán và phát triển năng lực cho học sinh

Trong thực tế giảng dạy môn Hình học lớp 12 ta thấy: Có nhiều bài toánxác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện tưởng như rất khórất phức tạp nhưng trên cở sở vận dụn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Nội dung Trang

1.Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung nghiên cứu 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.1.1 Một số công thức thường gặp trong hình phẳng 3

2.1.2.Một số kiến thức về mặt cầu 4

2.1.3 Một số phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ 4

2.1.4 Một số công thức tính thể tích khối đa diện 5

2.1.5 Khái niệm tứ diện gần đều 5

2.2 Thực trạng của đề tài 6

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề 7

2.3.1 Bài toán mở đầu 7

2.3.2 Khai thác bài toán 7

2.3.2.1 Đặc biệt hóa 7

2.3.2.2 Khai thác và phát triển bài toán 8

2.3.2.2.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 8

2.3.2.2.2 Hình lăng trụ đứng 14

2.3.2.2.3 Hình tứ diện gần đều 16

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 18

3 Kết luận, kiến nghị 19

3.1 Kết luận 19

3.2 Kiến nghị 19

Tài liệu tham khảo……… 20

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Đối với mỗi giáo viên, việc khai thác tài liệu để phục vục giảng dạy là một

việc làm thường xuyên nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học Trong cáchọc liệu phục vụ giảng dạy và học tập thì sách giáo khoa là một trong những họcliệu quan trọng nhất Các bài tập trong sách giáo nói chung và sách giáo khoamôn toán nói riêng thường được chọn lọc rất cô đọng ở mỗi dạng toán và ẩnchứa trong đó nhiều nội dung quan trọng mà càng suy ngẫm càng thấy hay, càngkhám phá cho ta thêm nhiều vấn đề mới, từ đó thêm được công cụ để giải quyếtcác dạng toán liên quan khác một cách gọn gàng hơn, tinh tế hơn Bài tập 7 ởtrang 25, sách giáo khoa hình học 12 chương II là một ví dụ điển hình cho việckhai thác và phát triển một bài toán trong sách giáo khoa để khơi dậy trí tò mò,khám phá của học góp phần nâng cao kiến thức, phát triển năng lực cho sinh

Trong thực tế giảng dạy môn Hình học lớp 12 ta thấy: Có nhiều bài toánxác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện tưởng như rất khórất phức tạp nhưng trên cở sở vận dụng kiến thức “ khai thác” được ở bài toán

cơ bản thì ta nhanh chóng giải quyết bài toán rất “đẹp” một cách bất ngờ Đặcbiệt các kiến thức này rất phù hợp với cách làm những dạng toán thi trắcnghiệm trong kỳ thi THPT Quốc gia những năm 2017, 2018, 2019 hay kì thi Tốtnghiệp THPT các năm 2020, 2021 và 2022 này

Chính vì vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Khai

thác bài tập số 7 trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản

để tạo hứng thú học toán và phát triển năng lực cho học sinh”, với mục đích

giúp học sinh lớp 12 biết cách khai thác, tìm tòi, phát triển một bài toán cơ bảntrong sách giáo khoa để vận dụng vào giải các bài toán khó hơn, phức tạp hơnnhằm tạo hứng thú học toán đồng thời phát triển năng lực cho học sinh Đặc biệt

đề tài này góp phần giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳthi Trung học phổ thông Quốc gia trước đây hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung họcphổ thông hiện nay cũng như như kỳ thi đánh giá năng lực của một số trườngĐại học của nước ta

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác bài tập số 7 trang 49, Sáchgiáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để giải các dạng toán như: Xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một khối đa diện.Từ đó rènluyện cách nhìn đa chiều của học sinh về một bài toán, một công thức hay mộttính chất của toán học, góp phần nâng cao nhãn quan toán học cho học sinh

Từ đó góp phần cải thiện, nâng cao chất lượng dạy học môn toán ởtrường Trung học phổ thông Đồng thời cũng giúp học sinh ôn luyện tốt kiến

kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường Đại học của nước ta.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tàilà:

- Nghiên cứu cách khai thác, phát triển một bài tập trong sách giáo khoa

- Các bài tập về xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đadiện trong chương trình toán Trung học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phươngpháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:

-Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung

đề tài

-Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo Dự giờ, trao đổi ý kiếnvới đồng nghiệp về nội dung Thể tích khối đa diện

-Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

-Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông quacác tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Cơ sở lý luận

Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết

hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo

nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân

lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn

mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán

về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triểnnguồn nhân lực

Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thểhiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúcđẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm

vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học

môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải.

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đínhgiúp cho học sinh lớp 12 biết khai thác, phát triển một bài toán cơ bản trong sáchgiáo khoa từ đó học sinh có thêm kiến thức giải các dạng bài tập: Xác định tâm

và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện; tính thể thích khối đa diệnnhằm tạo hứng thú học toán và phát triển năng lực cho học sinh Đặc biệt cóthể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung họcphổ thông Quốc gia trước đây hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông cũngnhư kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường Đại học của nước ta hiện nay

Để khai thác bài tập số 7 trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chươngtrình cơ bản học sinh cần nắm vững kiến thức như “Các hệ thức lượng trongtam giác” học ở cấp 2 và ở môn Hình học lớp 10; kiến thức ở các chương I,chương II trong sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục ViệtNam năm 2009 như sau:

2.1.1 Một số công thức thường gặp trong hình phẳng

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH:

Hệ thức lượng trong tam giác bất kì

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c AB c BC a CA b ,  ,  

; ;

a b c

m m m lần lượt là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với BC CA AB; ; ;

bán kính đường tròn ngoại tiếp R, nội tiếp r, nửa chu vi p.

+ Định lý hàm cosin: a2  b c2 2 2 cosbc A;

2 2 2 2 cos

b  c a  ac B;

+ Từ định lý sin suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính:

2sin 2sin 2sin

n





với a là độ

dài của đa giác đều đó

+ Độ dài trung tuyến:

Diện tích hình vuông: S a2 với a là độ dài cạnh hình vuông.

Diện tích hình chữ nhật S ab với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật Diện tích hình thang có độ dài đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là m, n và độ dài đường cao là h:  

1 2

S m n h

2.1.2 Một số kiến thức về mặt cầu

a) Tập hợp những điểm M

trong không gian cách điểm O cố định một

khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là

mặt cầu tâm O bán kính r Kí hiệu S(O; r).

b)  Mặt cầu được gọi là nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện.

 Mặt cầu được gọi là ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình

đa diện đều nằm trên mặt cầu

c) Cho mặt cầu S(O; r):

Phương pháp 1: (Dựa vào định nghĩa) Tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh

của hình chóp hoặc hình lăng trụ.

Để tìm điểm các đều tất cả các đỉnh của khối đa diện, ta có thể vận dụng một trong những tính chất và kỹ thuật sau:

 Tính chất các đường trung trực

 Tính chất đường trung tuyến

 Các đường tương ứng cùa hai tam giác bằng nhau

 Tính chất các đường chéo của hình hộp chữ nhật

Phương pháp 2: Phát hiện các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một

đường tròn ngoại tiếp đa giác

đáy(đi qua O và vuông góc

với mặt phẳng chứa đa giác

A

trực của một cạnh bên (hoặc đường trung trực d của một cạnh bên) Khi đó giao điểm I của mặt phẳng trung trực ( ) (hoặc đường trung trực d) của một cạnh bên

và đường thẳng chính là tâm của mặt cầu ngoại hình chóp ấy [3]

2.1.4 Một số công thức tính thể tích khối đa diện

Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c là V abc

Thể tích khối lăng trụ H có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là V B h.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là

1 3

V  Bh

.[2]

2.1.5 Khái niệm tứ diện gần đều

Tứ diện gần đều ABCD là tứ diện có

Trước khi áp dụng đề tài tôi đã khảo sát các lớp mà mình giảng dạy về dạng toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, tác giả thấy rằng học sinh làm bài kết quả thấp Cụ thể như sau:

- Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm ở lớp 12A3)

- Năm học 2020 -2021 (kiểm nghiệm ở lớp 12C2)

Kết quả học sinh Tổng số

Kết quả Giỏi Khá Trung bình Yếu, kém

Qua số liệu ở các bảng trên tôi thấy rằng tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình

và yếu kém cao, tỉ lệ học sinh đạt khá giỏi còn thấp, chứng tỏ rằng đa số họcsinh vẫn còn gặp khó khăn trong việc giải các dạng toán liên quan đến việc xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề

2.3.1 Bài toán mở đầu

Ta xét bài toán sau:

Bài toán (Bài 7 câu a, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản,

trang 49) Cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có

nhau tại trung điểm của mỗi đường nên

nếu ta gọi I là trung điểm của AC’ thì

IA= = IB = IC =ID = IA’ = IB’ =IC’

=ID’ Tức là điểm I cách đều 8 đỉnh của

R a

b) Hình lập phương nội tiếp mặt cầu bán kính R có cạnh là

2 3 3

a R

Nhận xét

a) Ta nhận thấy rằng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ cũng chính là trung điểm của các đoạn thẳng AC’, A’ C, BD’, B’D và OO’.

O'

O

D'

D I

C B

A

C' B'

A'

A C A A AC A A AB AD a b c

b) Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cũng chính là mặt

cầu ngoại tiếp các hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ACD.A’C’D’ và cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’ ABCD và các tứ diện A’ABD, A’ABC,

A’BCD, A’ ACD, A’ D’DC’, A’B’BC’, ACB’D’.

2.3.2.2 Khai thác và phát triển bài toán

Từ bài toán mở đầu đối tượng hình là hình hộp chữ nhật ta đã biết cách xácđịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó, ta đặt câu hỏilà: Liệu các đối tượng hình khác các xác định tâm và tính bán kính có thể làmtương tự hay không? Sau đây ta sẽ khai thác với ba đối tượng đó là: Hình chóp

có cạnh bên vuông góc với đáy, hình lăng trụ đứng, và hình tứ diện gần đều

2.3.2.2.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Dấu hiệu khai thác 1: Trong bài toán mở đầu hình chóp A’ ABCD có đáy

ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên A’A vuông góc với đáy, mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp A’ ABCD cũng

chính là mặt cầu ngoại tiếp

hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ từ đó ta có

bài toán sau:

Bài toán 1.1 Cho hình chóp

S.ABCD có đáy ABCD là hình

chữ nhật và cạnh bên SA vuông

góc với mặt phẳng đáy

(ABCD) Xác định tâm và tính

bán kính của mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABCD theo

SA, AB, AD.

Kết quả khai thác 1.1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung điểm của đoạn SC và có bán kính là

D

C B

S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a

và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD.

A

5 2

a

R 

B

17 2

a

R 

C.

13 2

a

R 

D R6a [4]

Hướng dẫn: Theo kết quả khai thác 1.1 ở trên ta có Mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp có tâm I là trung điểm của đoạn SC và có bán kính là

A R3a B

3 4

a

R 

C.

3 2

a

R 

D R2a [5]

Hướng dẫn: Ta thấy rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ cũng chính

là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên theo kết quả của

bài toán mở đầu ta có

Dấu hiệu khai thác 2: Trong bài toán mở đầu, hình chóp A’.ABD có đáy

ABD là tam giác vuông tại B, cạnh bên A’A vuông góc với đáy, và mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp A’.ABD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ nên ta có bài toán sau:

Bài toán 1.2 Cho hình chóp

S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại B và cạnh bên SA vuông góc với

mặt phẳng đáy (ABC) Xác định tâm I

và tính bán kính R của mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABC theo SA, AB,

I S

C

B

Kết quả khai thác 1.2 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung điểm

Ví dụ 3 (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2019-2020, Sở GD & ĐT Thái

Bình) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA5,AB3,BC4.Tính diện tích S

của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A S100 B

100 9

S 

C.

100 3

S 

D S50 

[6]

Hướng dẫn: Theo kết quả 1.2 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là

Dấu hiệu khai thác 3:Trong bài toán mở đầu, hình chóp A’.ABC có đáy

ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên A’A vuông góc với đáy, và mặt cầu hình

chóp A’.ABC cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

ABCD.A’B’C’D’ nên ta có bài toán sau:

Bài toán 1.3 Cho hình chóp

S.ABC có đáy ABC là tam giác

vuông tại A và cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABC) Xác định tâm I và tính

bán kính R của mặt cầu ngoại

tiếp hình chóp S.ABC theo SA,

I

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA a AB b AC c ,  ,  Mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r bằng

Ví dụ 5 (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2016-2017, Sở GD & ĐT Phú

Thọ) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, biết các cạnh OA,

OB, OC đôi một vuông góc và OA a OB a ,  3,OC2a 3

A 2a3 B 6 a 3 C.8 a 3 D

3 32 3

a



[7]

Hướng dẫn: Vì tứ diện OABC có các

cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên

theo kết quả 1.3 ta có bán kính mặt cầu

Bình luận Ở bài này ta có thể xác định tâm và tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình tứ diện OABC (xem tứ diện OABC là hình chóp đỉnh A đáy là

A

C O

B

Bước 1 Xác định tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC (J

chính là trung điểm của cạnh huyền BC).

Bước 2 Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC.

Bước 3 Xác định mặt phẳng( )

là mặt phẳng trung trực của cạnh OA.

Khi đó giao điểm I của mặt phẳng ( )

và đường thẳng chính là tâm của

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bán

Nhận xét: So sánh hai cách giải này rõ ràng cách giải sử dụng kết quả 1.3

là kết quả của việc khai thác Bài toán mở đầu ngắn gọn hơn nhiều so với cách

giải “truyền thống” ba bước nêu trên

Dấu hiệu khai thác 1.4 Trong các bài toán 1.1 và 1.2 ta thấy đáy của các

hình chóp đều là các đa giác nội tiếp được một đường tròn Do đó ta sẽ tổng quát

hóa hai bài toán này ta được bài toán sau:

Bài toán 1.4 Cho hình chóp S A A A , có đáy là đa giác nội tiếp được 1 2 n

đường tròn bán kính r và cạnh bên SA vuông góc với đáy Xác định tâm I và1

tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S A A A 1 2 n

Kết quả khai thác 1.4 Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác

B