(SKKN 2022) Kỹ thuật xử lí nhanh các bài toán liên quan đến môđun số phức bằng công cụ hình học góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề Số phức trong chương trình môn Toán THPT

Trong thực tiễn qua trình dạy học và ôn thi THPT QG, nay là kỳ thi tốtnghiệp THPT, khi dạy chủ đề Số phức, tôi thường tâm đắc với việc hướng cho họcsinh nhìn số phức dưới con mắt hình họ

Trong thực tiễn qua trình dạy học và ôn thi THPT QG, nay là kỳ thi tốtnghiệp THPT, khi dạy chủ đề Số phức, tôi thường tâm đắc với việc hướng cho họcsinh nhìn số phức dưới con mắt hình học đối dạng toán liên quan đến biểu diễnhình học và cực trị của số phức Những kỹ thuật này tôi thường xuyên áp dụng đểgiảng dạy cho các lớp ban KHTN giúp giúp các em có thêm hứng thú, tư tin khigặp các vấn đề, các dạng toán khó về số phức xuất hiện trong đề thi, điều này giúpcác em giải quyết vấn đề nhanh hơn và góp phần nâng cao chất lượng dạy học vàkết quả thi TN THPT của bộ môn.

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy, tôi đã quyết định

chọn đề tài: “Kỹ thuật xử lí nhanh các bài toán liên quan đến môđun số phức bằng công cụ hình học góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề Số phức trong chương trình môn Toán THPT’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản

thân trong năm học 2021–2022 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét

và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo mộttài liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi lớp 12 trong nhà trường cóthêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán về sốphức trong đề thi Tốt nghiệp THPT cũng như các đề thi ĐGNL và ĐGTD tuyểnsinh đầu vào của các trường Đại học năm 2022, sau đó là khuyến khích các emdựa vào những điều đã đã học được để sáng tạo ra những bài tập hay trong nộidung chương trình, qua đó giúp các em phát triển tư duy logic, tổng hợp các phần,các chương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi và bàitập ở mức độ vận dụng trong các đề thi nêu trên

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào nội dung: Lớp cácbài toán có mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Số phức

a Định nghĩa: Cho số phứczcó dạng: z a bi  với a b  , , trong đó a

gọi là phần thực củaz,b gọi là phần ảo của z, i gọi là đơn vị ảo thỏa mãn 2

1

i 

b Biểu diễn hình học của số phức

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi số phức z a bi a b  ; ,   được biểu diễnbởi điểm M a b( ; ) Ngược lại, mỗi điểm M a b( ; ) biểu diễn duy nhất một số phức là

z a bi 

Nhận xét:

+) Nếu z z1 , 2 có các điểm biểu diễn lần lượt là M M1 , 2 thì M M1 2 z1  z2

2.1.2 Mối liên hệ giữa số phức và các yếu tố hình học phẳng (nhìn số phức dưới con mắt hình học)

(1) M x y ;  là điểm biểu diễn hình học của số phức z x yi với ( ,x y R )trên mặt phẳng tọa độ thì z OM

(2) Cho I là điểm biểu diễn số phức z0, số phức z thay đổi thỏa mãn

(4) Nếu điểm biểu diễn của hai số phức z z1 , 2 là A B, thì

  với M là trung điểm đoạn AB.

(5) Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z1 , 2 là A B, Số phức z thay đổithỏa mãn z z 1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là trung trực củađoạn AB

(6) Cho điểm biểu diễn của hai số phức z z1 , 2 là A B, Số phức z thay đổithỏa mãn z z 1  z z2 thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là một đườngthẳng

(7) Cho hai số phức z z1, 2 không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A B, Một số phức z thay đổi thỏa mãn z z 1  z z 2  a 0 Khi đó

+ Nếu z1  z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip nhận,

A B làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng a

+ Nếu z1  z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm

Qua trao đổi với các thầy cô giáo trong bộ môn toán nhà trường, tôi nhậnthấy việc các thầy cô vẫn đang còn dạy các em tìm lời giải cho các bài toán: Tìm

mô đun của số phức, tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức theo phương phápbiến đổi trực tiếp rồi dùng phương pháp hàm số hoặc dùng bất đẳng thức để đánhgiá Vì vậy, tôi nhận thấy với cách làm như vậy sẽ đưa học sinh vào một số thửthách trong việc làm bài thi Tốt nghiệp THPT hoặc bài thi ĐGNL, ĐGTD nhưsau:

Một là, thời gian các em dành để tìm ra đáp số của bài toán mất nhiều thời

gian

Hai là, một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định

hướng tìm lời giải Ngược lại, những em có hướng giải quyết bài toán thì không

đủ thời gian để tìm lời giải nên dẫn đến tình huống đoán mò

Từ thực tế đó, đòi hỏi cần có cách tư duy bài toán theo cách giải toán trắcnghiệm, trong đó việc khai thác tối đa tính trực quan của việc biểu diễn số phức

bằng hình học việc giải toán là việc làm rất cần thiết trong việc ôn tập và ôn thitrong giai đoạn hiện nay.

2.3 Giải pháp thực hiện

Trong quá trình dạy học ôn thi THPT trong 4 năm gần đây, qua nghiên cứu

đề thi chính thức của Bộ giáo dục và đào tạo năm 2018, 2019, 2020, 2021 và thamkhảo năm 2022 của Bộ GD&ĐT cũng như một số đề thi ĐGNL, ĐGTD, tôihướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp hình học để tìm lời giải cho một số bàitoán vận dụng cao về tìm giá trị môđun số phức hoặc tìm GTLN, GTNN của môđun số phức sau:

Giải pháp 1 Kỹ thuật xử lí nhanh bài toán về tìm tập hợp điểm biểu diễn

số phức liên quan đến đường tròn.

Cần tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w thỏa mãn điều kiện chotrước, ta biến đổi thành w (a bi ) r, để suy ra tập hợp là đường tròn

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn x 22 y 12  8. Chọn A.

Ví dụ 1.2 Cho số phức z thỏa mãn z  2 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tậphợp điểm M biểu diễn số phức w 1 2i z  3 là một đường tròn có bán kính r

Ví dụ 1.4 Cho z z1 , 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3  i  5,đồng thời z1  z2  8 Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z  1 z2 trongmặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình dạng 2 2 2

(x a )  (y b ) r Tính giá trị của biểu thức T  (a b r )

Hướng dẫn

Gọi A B M, , là các điểm biểu diễn của z z w1 ; ; 2

Khi đó A B, thuộc đường tròn ( ) :C

Ví dụ 1.5 Gọi z1, z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z  1 2i  5 và

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z1, B là

điểm biểu diễn của số phức z2

Theo giả thiết z1, z2 là hai trong các số phức

thỏa mãn z  1 2i  5 nên A và B thuộc

đường tròn tâm I1; 2   bán kính r 5

Mặt khác z1  z2   8 AB 8

Gọi M là trung điểm của AB suy ra M là điểm

biểu diễn của số phức 1 2

Ví dụ 2.1 Cho số phức z thỏa mãn z 2 3  i  1 Giá trị lớn nhất của z  1 i là

r  , nên z OM có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất khi M

là giao điểm của đường thẳng OI với đường tròn nên hiệu

Gọi M là điểm biểu diễn số phức 2z Biến đổi z 3 4  i   2 2z 6 8  i   4

M thuộc đường tròn ( )C tâm I(6; 8),  R 4. Xét điểm A ( 1;1) thì 2z  1 i AM

và lớn nhất khi AM  R AI   4 130 Chọn D.

Ví dụ 2.4 Cho số phức z thỏa mãn z 3  2 z và min 3 2 2

2

z  i  a b Tính a b

A 1 B 2 2 C 1

2 D 4

3

            Gọi M là điểm biểu diễn

số phức z thì quỹ tích M là đường tròn tâm I ( 3;0), bán kính R 3 2 Đặt3

Cách 1 (Hình học tọa độ)

Gọi M z  M x y ;  thì M thuộc đường tròn (C), tâm I(3; 4), R = 5 và ta có:

T  x y  x  y  x y  d x y  T  Để T lớn nhất thì d tiếp xúc với đường tròn (C), khi đó 4;2 5 1 2;1

2 20

tại M Khi đó  ,  9 2 3 2 10

5 10

Giả sử M biểu diễn z x yi, x y  ,

Ví dụ 2.9 Cho các số phức z thỏa mãn 2z  5 4i  2z  3 4i Giá trị nhỏ nhấtcủa z  1 4i  z  1 i là

Hướng dẫn Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, từ 2z  5 4i  2z  3 4i

      suy ra được quỹ tích điểm M là đường thẳng

 d :x 4y  2 0 Đặt A 1;4 , B1;1 thì A B, nằm về cùng một phía với đườngthẳng  d Điểm A  ' 3; 4  là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng  d Khi đó z  1 4i  z  1 i MA MB MA MB A B  '   '  41 Chọn C.

Nhận xét: Ví dụ 2.9 so với Ví dụ 2.8 hoàn toàn gống nhau ở phần giả thiết, chỉ

khác một chút ở biểu thức z  1 4i  z  1 i (VD 2.8) được thay bởi

z  i  z  i (VD 2.9) nhưng việc tính toán đã phức tạp hơn khi hai điểm A,

B nằm về hai phía của đường thẳng (d).

Ví dụ 2.10 Xét số phức z thỏa mãn z  2 i  z 4 7  i  6 2 Gọi m,M lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1 i Tính P m M 

tích điểm M chính là đoạn thẳng AB Gọi I1; 1  

thì z   1 i IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra

hình chiếu của I lên đường thẳng AB nằm trong

đoạn AB

y

x

2 8

3 -3 O

F1

F2

H

M

- Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điềukiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng Điều kiện kiểunày chủ yếu dựa vào tính chất: điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

2

(

0 2

2

2 2

+) Gọi A( 2 ;  6 ) ;B(  2 ; 2 ) là các giao điểm

của đường thẳng 2xy 2  0 và đường tròn

25 ) 1 ( )

20 40 5 3 25

5 10

Ví dụ 3.1 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1   5 2i  2và z2   1 6i  3 Gọi a,

b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 Khi đó a2 b2 bằng

Phân tích: Bài toán cho M và N thuộc hai đường tròn Cần xét min, max của đoạn

MN.

Gọi M là điểm biểu diễn z1  OM

là vectơ biểu diễn z1;N là điểm biểu diễn 3z1

với A0, 5   biểu diễn số phức u  5i.max

cùng thuộc đương tròn tâm O, bán kính R = 1 Gọi A, B biểu diễn các số z z1 , 2 thì

từ z1  z2  1 suy ra OAB là tam giác đều Không giảm tổng quát chọn

Ký hiệu Pz12 z22, giải sử M biểu diễn z, A, B

biểu diễn z z1 , 2 và I3;4 là tâm đường tròn Gọi H

là trung điểm AB Ta có AB 1,OI  5 và:

B

O I

Nhận xét: Đôi khi ta xem như Elip (thay đổi) hoặc đường tròn (thay đổi) và nhìn

nhận theo cách mở rộng xem như elip ảo hay đường tròn ảo để giải toán nhanh hơn

Ví dụ 3.5 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z 1 3, z 2 5, z1 z2  10 Tìmgiá trị lớn nhất của 2z1 z2  3

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z z1  z z 2  4

K

M

Rõ ràng ta có T MP MQ  2R nhỏ nhất khi P, Q thuộc các đoạn MI, MK và do

tính đối xứng nên Tmin = 2MK Vậy

 

2

2 min

A  ; B4;7 lần lượt là hai điểm

biểu diễn hai số phức  2 i, 4 7i Ta

Gọi N là điểm biểu diễn số phức  z2 và I2;1 là điểm biểu diễn số phức 2 i

Ta có IN 1 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức  z2 là đường tròn  C cóphương trình: x 22 y 12  1

Do d I AB  ,  2 2 1  , suy ra AB không cắt đường tròn

Gọi K là hình chiếu của I2;1 lên AB Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB.Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn  C

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M O0;0 , M20;2 5 , M12 5;0 Hay

Có PAM MN A M MN A N A N 0 A I IN  0 A I R  với N0 là mộttrong hai giao điểm của A I với đường tròn  C , N0 ở giữa I và A. Khi đó, M0 làgiao điểm của A I và d Vậy biểu thức PAM MN đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A I R  và bằng 85 2  Chọn D.

Giải pháp 4: Kỹ thuật xử lí nhanh bài toán môđun số phức có liên quan đến số phức có điểm biểu diễn đường elip.

- Cho hai số phức z z1, 2 không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm F F1 , 2 Một

số phức z thay đổi thỏa mãn z z 1  z z 2  a 0 Khi đó

+ Nếu z1  z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip nhận

Khi đó IMmax IA IA 'a và IMmin IB IB 'b

+ Nếu z1  z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng F F1 2

Ví dụ 4.1 Cho số phức z thỏa mãn z 2  i  z 4 3  i  10 Gọi M m, lần lượt làgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z 3i Tính T M2 m2

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z, F1 15;0 , F2 15;0

Giả thiết z 15  z 15   8 MF1 MF2   8 2a nên M thuộc elip có phương

Thế z w i  vào giả thiết ta có w  1 2i  w  2 2i  5 (1)

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w và F1 (1; 2), ( 2;2)  F2  biểu diễn các số

1 1 2 , 2 2 2

z   i z   i khi đó từ (1) ta có MF1 MF2  5 Mà ta có

F F   MF F

Bởi vậy wmax  OMmax  OM OF2  2 2 Chọn C.

Nhận xét: Nếu MF1 MF2 F F1 2 thì ta vẫn đưa về Elip và giải bình thường Tuy nhiên bài toán cho trường hợp đặc biệt nên ta cũng xem xét để giải nhanh hơn

Ví dụ 4.4 Cho z   thỏa mãn z 2 3  i  z   2 i 4 5 Tìm giá trị lớn nhất của

quỹ tích M là một Elip Nhận xét rằng F1 là trung

điểm của KF2 và ta cần tính độ dài lớn nhất của KM,

khi đó vị trí cần tìm tại D, mà sao cho

M

Điểm M chạy trên một elip ảo (trục lớn 2m thay đổi) Vị

trí của M tại H, sao cho

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

- Qua thực tế giảng dạy đối với học sinh lớp 12 tại trường THPT Triệu Sơn

3 trong nhiều năm học, đặc biệt là từ năm học 2016-2017 bắt đầu hình thức thi trắcnghiệm, tôi đã áp dụng đề tài này giúp các em học sinh cảm thấy tự tin và say mêhơn trong việc học toán và có thêm công cụ giải nhanh các dạng toán trong đề thi.Kết quả trong các kỳ thi THPT QG (nay là TN THPT) mà các em tham gia thi, các

em đều giải quyết được nhanh gọn và chính xác đáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệmcủa kỳ thi Tôi thấy các em đã tự tin và có hứng thú hơn trong học tập, có tinh thầntìm tòi học hỏi đối với các dạng toán khó

K

I M

H

- Đề tài được báo cáo dạng chuyên đề trong sinh hoạt chuyên môn của tổToán trường THPT Triệu Sơn 3 và được các thầy cô góp ý cũng như đánh giá caođược dùng làm tài liệu chuyên môn của tổ và áp dụng vào giảng dạy ôn thi TNTHPT các năm 2020, 2021 và 2022.

- Từ năm học 2018-2019, tôi liên tục tham gia giảng dạy từ 1-2 lớp (trong đóluôn có ít nhất một lớp mũi nhọn ban KHTN) và kết quả đã cùng với tổ chuyênmôn nâng cao thành tích về điểm trung bình môn toán trong kỳ thi TN THPT cácnăm 2019, 2020 và 2021 góp phần đáng kể vào việc nâng cao thành tích của nhàtrường về điểm trung bình trong kỳ thi TN THPT, cụ thể:

+ Năm 2019: Nhà trường có điểm trung bình xếp thứ 8 trong tỉnh, môn Toán

có điểm trung bình xếp thứ 29 trong tỉnh.

+ Năm 2020: Nhà trường có điểm trung bình vươn lên xếp thứ 4 trong tỉnh

(sau THPT chuyên Lam Sơn, THPT Hàm Rồng và THPT Bỉm Sơn), môn Toán có

điểm trung bình là 7,35 (tổng số thí sinh dự thi là 336) và vươn lên xếp thứ 09 trong tỉnh (tăng 20 bậc), xếp thứ Nhất trong khối trường THPT huyện Triệu Sơn + Năm 2021: Nhà trường có điểm trung bình tiếp tục giữ ổn định xếp thứ 6 trong tỉnh, môn Toán có điểm trung bình là 7,17 (tổng số thí sinh dự thi là 330) và

giữ ổn ở vị trí tốp đầu của tỉnh góp phần không nhỏ vào thành tích xếp hạng thứ 6toàn tỉnh của nhà trường

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua quá trình áp dụng vào thực tế giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 3

từ năm học 2018 - 2019, bản thân tôi nhận thấy đã có những kết quả rất khả quan,tạo sự tự tin cho các em trong khi học và giải toán

Trong phạm vi một SKKN nên tôi mới chỉ quan tâm đến một số chủ đề nhỏ

và hướng xây dựng các ví dụ mang tính chất gợi mở, phân hóa theo trình tự từ dễđến khó, từ đơn lẻ đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp tạo điều kiện phát triểnnăng lực tư duy, khả năng sáng tạo và phù hợp với nhiều đối tượng học sinh Tôithiết nghĩ với cách xây dựng và thực hiện như trên ta có thể mở rộng sang các chủ

đề khác, nội dung khác của chương trình môn Toán Đó là các hướng tiếp theo màtôi sẽ nghiên cứu trong thời gian tới

Đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục bổ sung và hoàn thiệndần trong những năm học tới Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý

vị và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn, được áp dụng nhiều hơn vàđạt hiệu quả cao hơn trong giảng dạy

3.2 Kiến nghị

Trên đây là một số sáng kiến và kinh nghiệm của tôi đã thực hiện tại đơn vịtrong các năm học vừa qua Rất mong đề tài này tiếp tục được xem xét, mở rộnghơn nữa để áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích và say

mê học Toán hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, trong nhàtrường và các em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng 05 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của