Trong đó , bài toán về ứng dụng củatích phân để tính diện tích hình phẳng trong đề thi của các kỳ thi TN THPT của Bộgiáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau,
Trang 11 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Mỗi một nội dung trong chương trình Toán phổ thông đều có vai trò rất quantrọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong dạy học mônToán, phương pháp tư duy của học sinh phần lớn được hình thành và được rèn luyệntrong quá trình giải toán, thông qua hoạt động này học sinh hoạt động tích cực để tìmtòi, khám phá và chiếm lĩnh tri thức mới Là giáo viên dạy Toán, việc hướng dẫn vàrèn luyện cho học sinh biết cách chuyển từ bài toán mới về những bài toán quenthuộc, bài toán “khó” trở về bài toán “dễ”, biết cách “xử lí” các tình huống có vấn đề
về các tình huống đơn giản là điều rất cần thiết và thiết thực, nó là yếu tố then chốt đểnăng cao chất lượng môn toán trong kì thi tốt nghiệp THPTQG của mỗi trường
Kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia hằng năm có ý nghĩa rất quantrọng với mỗi học sinh lớp 12, bởi kết quả của kì thi không những được sử dụng đểxét công nhận tốt nghiệp mà kết quả này còn được sử dụng để xét tuyển vào cáctrường đại học Trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia môn toán gồmnhiều mảng kiến thức, trải rộng ở nhiều chương Trong đó , bài toán về ứng dụng củatích phân để tính diện tích hình phẳng trong đề thi của các kỳ thi TN THPT của Bộgiáo dục và Đào tạo đã được đề cập, khai thác ở các mức độ khác nhau, các dạng tiếpcận khác nhau gây không ít khó khăn cho học sinh trong quá trình giải quyết bài toánnày Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mônToán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có cáccách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất
Với những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài:
“Nâng cao chất lượng môn toán trong kì thi tốt nghiệp THPTQG tại trường THPT Cẩm Thủy 1 bằng cách dạy học gợi mở hướng học sinh giải quyết lớp bài tập về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng’’ làm đề tài sáng kiến
kinh nghiệm của bản thân trong năm học 2021– 2022 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là phát triển năng lực tư duy của học sinh , quy
lạ về quen thông qua một lớp các bài toán về ứng tích phân để tính diện tích hìnhphẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số của hình vẽ nhằm rèn luyện các kỹ năng toánhọc và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và năng lực giải quyết các tình
Trang 2huống thực tiễn Năng lực sử dụng máy tính cầm tay casio.
- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học Kỹ năng vận dụng kiến thức về tích phân
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là lớp các bài toán về ứng dụng tích phân đểtính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số trong chương trình học lớp 12 đểrèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh, giúp họcsinh quy lạ về quen nhằm nâng cao chất lượng môn toán tại trường THPT Cẩm Thủy
1 trong kì thi tốt nghiệp THPTQG
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giảitích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập giải tích- Nâng cao và Cơ bản, tài liệuphân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực họcsinh, đề thi thử , đề minh họa và đề thi TN THPT của các năm
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thựcnghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Dưới sự lãnh đạo của Đảng, đất nước ta ngày một tiến nhanh trên con đườngđổi mới, hội nhập vào xu thế phát triển chung của thế giới Đảng ta chủ trương pháttriển trên tất cả mọi mặt, trong đó chú trọng vào việc đào tạo con người Đảng ta xácđịnh: Cùng với khoa học và công nghệ, giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầunhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài
Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò quantrọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng thíchứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết
Giúp học sinh có cái nhìn và phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng vào thực tế giảitoán, giúp các em có sự tự tin khi gặp dạng toán này đồng thời giúp học sinh pháttriển tư duy để nâng chất lượng môn toán trong kì thi tốt nghiệp THPTQG
2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Cẩm thủy 1 là một trường miền núi, có nhiều học sinh là con emdân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế
1
Trang 3còn khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quảhọc tập của các em.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy: Kỹ năng giải toán của học sinh cònchậm; khả năng phát hiện vấn đề nảy sinh trên cơ sở đã có, khả năng quy lạ về quencòn nhiều hạn chế Do đó học sinh gặp nhiều lúng túng, sai lầm khi gặp các bài toán
có sự thay đổi dạng Đặc biệt trong các năm dạy các lớp mũi nhọn có học sinh ôn thitốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia bản thân tôi thấy kể các học sinh giỏi cũng
có thể sai lầm các câu cơ bản nhất, các học sinh tốp sau của lớp thường khó tư duyđịnh hình các bài toán vận dụng và vận dụng cao các phần kiến thức trong đó có phầnứng dụng của tích phân
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Học sinh cần nắm chắc kiến thức cơ bản về ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích hình phẳng
Để học tốt được phần này học sinh cần nắm vững các kiến thức về tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
A, Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( trong đó hàm số
( ) : ( ) ( ) : : 0 , ( )
S f x x
( )H
1 2
( ) : ( ) ( ) : ( ) , ( )
Trang 42.3.2 Hướng dẫn học sinh phương pháp nhận dạng bài tập và vận dụng giải các bài tập liên quan.
2.3.2.1 Dạng bài tập cơ bản để học sinh nhận biết và làm quen:
Dạng 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số như hình vẽ Dựa vào các kiến thức về tích phân, ứng dụng của tích phân học sinh nhận dạng công thức tính diện tích hình phẳng.
Bài Tập 1.1: (Mã đề 102 để chính thức của bộ năm 2019) Cho hàm số
liên tục trên Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và (như hình vẽ bên)
( ) ( ) d
b a
Trang 5Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phân tích: Dạng này giáo viên hướng cho học sinh liên tưởng đến dạng một trong
phần tính diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng ( )H giới hạn bởi
S f x x
Tuy nhiên đối với dạng toán này khi phá dấu giá truyệt đối mà trên a b; giá trị hàm
số mang nhiều dấu ta cần tách tích phân ra thành các đoạn tương ứng với các phần hình phẳng và sử dụng tính chất: Ta có nếu hàm số y f x
liên tục trên đoạn a b;
Trang 6Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng giới hạn bởi các đường và gồm hai phần diện tích : Phần diện tích hình phẳng S1 giới hạn bởi các đường
và x 1 và phần diện tích hình phẳng S2 giới hạn bởi các đường
f x dx
Vậy ta có phương pháp giải như sau:
Giáo viên chú ý cho học sinh dạng toán này học sinh thường hay nhầm lẫn khi nhận dạng diện tích theo hình vẽ là diện tích của hình phẳng trên một đoạn bằng tích phân trên đoạn đó Hoặc tùy tiện bỏ trị tuyệt đối trong tích phân ra ngoài mà không cần biết dấu của tích phân như thế nào.
Các bài tập tương tự
Bài Tập 1.2 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , trong hình dướiđây (phần gạch sọc) có diện tích bằng
Trang 7A B
C D
Bài Tập 1.3 (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa - 2021) Cho đồ thị hàm số
Diện tích của hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) là
Trang 8Diện tích hình phẳng (phần tô đậm) được tính theo công thức nào sau đây?
A B
C D
Dạng 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số và y g x như hình vẽ
Dựa vào các kiến thức về tích phân, ứng dụng của tích phân học sinh nhận dạng
Giáo viên gợi cho học sinh nhận dạng dạng toán này thuộc dạng cơ bản thứ hai trong
phần ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi thì diện tích là
Tuy nhiên trong bài toán này học sinh cần biết cách phá trị tuyệt đối trong công thức
Do trên đoạn 1;2 hàm số y x22 nằm trên đồ thị hàm sốy x 2 2x2 nên trên
( ) : ( ) ( ) : ( ) , ( )
Trang 9tích hình phẳng gạch chéo trong hình bằng
Vì vậy học sinh có thể chọn nhanh đáp án A
Phần này giáo viên cần lưu ý học sinh tránh sai lầm mắc bẫy của người ra đề khi hàm số có phần đồ thị nằm trên sẽ được viết ở dưới nên học sinh không quan sát
kĩ dễ chọn nhầm hàm số dẫn đên sẽ ra đáp án sai lầm.
Áp dụng các bước tư duy giáo viên cho học sinh cũng cố bằng các bài tập tương tự:
Bài Tập 1.2 Đề Tham Khảo 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình
vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
Bài Tập 1.3 (Chuyên KHTN 2019) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong
hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
Trang 102.3.2.2 Giới thiệu bài toán với tư cách là một tình huống gợi vấn đề để cho vấn
đề trở nên hấp dẫn, tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh; từ
đó định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán.
Tình huống gợi vấn đề là tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý
luận hay thực tiễn mà họ cần thiết và có khả năng vượt qua nhưng không phải là ngay tức khắc làm được nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán mà phải trải qua quá trình tích cực suy nghĩ, đòi hỏi tính sáng tạo để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có
Bài toán đưa ra cần làm cho học sinh thấy rõ tuy chưa có ngay lời giải nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và các em học sinh tin rằng nếu tích cực suy nghĩ, vận động tích cực sáng tạo, tư duy thì sẽ giải quyết được
Dạng 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi hàm số như hình vẽ Dựa vào các kiến thức về tích phân, ứng dụng của tích phân học sinh nhận dạng công thức tính diện tích hình phẳng tuy nhiên phải dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa
về dạng 1 quen thuộc
Bài tập 3.1: ( Đề thi thử trường THPT Cẩm Thủy 1 năm 2021) Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần lần lượt bằng 12 và
Giá trị của
2 5 1
Phân Tích: Giáo viên gợi mở cho học sinh thấy sự khác biệt của dạng này với dạng
một Giúp học sinh tìm ra câu trả lời của câu hỏi : Vấn đề đặt ra là làm sao đưa dạng
Trang 11toán này về dạng một Đối với bài toán này chúng ta phải thêm một bước biến đổi
f mx n dx
về dạng
b a
f x dx
đến phần diện tích hình phẳng đề bài cho
+ Tách tích phân theo các khoảng trên đề bài Liên hệ với dạng 1 để tính tích phân qua diện tích.
Bài tập 3.2: ( Đề thi thử năm 2020-2021 sở giáo dục Phú Thọ) Cho hàm số
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên Biết rằng diện tích các phần lần
Trang 12A B C D
Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
f x x
4 1
Trang 13Bài tập 4.1: Mã 101 2018) Cho hai hàm số và
Biết rằng đồ thị hàm số và cắtnhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là ; ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳnggiới hạn bởi đồ thị đã cho có diện tích bằng
Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
Đối với dạng toán này giáo viên gợi mở cho học sinh trả lời câu hỏi: Để tính diện tíchhình phẳng trong bài ta cần phải tìm yếu tố nào trước: Dĩ nhiên là tìm hàm số đề bài cho Tuy nhiên đây là dạng toán khá khó trong các kì thi tốt nghiệp THPTQG đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp về hàm số, tích phân Biết nhận dạng nhanh và
có kĩ năng tính toán nhanh và chính xác Khi dạy dạng này giáo viên cần hướng dẫn
từ từ và cẩn thận cho học sinh, tránh làm cho học sinh sợ khi gặp dạng tương tự
- Thường dạng này chúng ta cần dựa vào phương trình hoành độ giao điểm và quan sát hoành độ giao điểm trên hình vẽ để tìm mối liên hệ giữa chúng
5
9
Trang 14có 3 nghiệm lần lượt là ; ; nên suy ra
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng
Hoặc đối với dạng này học sinh có thể quan sát hình vẽ và hệ số acủa bậc cao
nhất mà phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số có thể có thiết lập dựa vào thông tin của hình vẽ, sử dụng hệ số tự do tìm hệ số a mà không cần tìm công thức của từng hàm số
Trang 15Qua các ví dụ trên, GV định hướng cho học sinh tìm lời giải, chốt phương pháp cho dạng toán 4:
Cách 1: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm.
+ Dựa vào hoành độ điểm cắt trên hình để thế vào phương trình hoành độ giao điểm giải hệ tìm các hàm số
+ Tính diện tích qua tích phân theo các dạng cơ bản.
Nhận xét: Việc rèn luyện giải toán có tính chất quan trọng, nhưng việc rèn
luyện khả năng tìm phương pháp, lời giải của bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện giải toán Do vậy, khi dạy học sinh giải toán, giáo viên ngoài việc cung cấp lời giải của bài toán, cần dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tư duy tìm ra con đường hợp lý để giải toán.Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, học sinh cần phải suy nghĩ để vận dụng những kiến thức nào, cần xem xét đến mối liên hệ nào để tìm ra lời giải của bài toán
Bài tập 4.2: (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Cho hàm số xác định
và liên tục trên đoạn Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồthị hàm số và đường parabol lần lượt là
m n p
Trang 16Bài tập 4.3: (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số và
có đồ thị trong hình bên dưới
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng
5
dx x g S S S dx x
37 6
9 2
15
Trang 17Phương trình hoành độ giao điểm:
Phân tích đưa ra lời giải và lựa chọn đáp án:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và là
Do đồ thị hàm số và cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là
Trang 18có sự thay đổi nhưng phương pháp thì không thay đổi, chỉ cần tinh ý học sinh có thể
sử dụng cho các bài toán của các năm tiếp theo Kết quả trong các kỳ thi thử TNTHPT mà các em tham gia thi, các em đều giải quyết được nhanh gọn và chính xácđáp ứng nhu cầu thi trắc nghiệm của kỳ thi TN THPT
- Khi thực hiện giảng dạy trên lớp, các lớp thực nghiệm là 12A2 ; 12A5 và cáclớp đối chứng 12A3, 12A10 việc vận phương pháp, tổ chức tiết dạy và chất lượng có
sự khác nhau rõ rệt Các lớp thực nghiệm có ưu thế hơn hẳn trong việc tổ chức cáchoạt động và đạt hiệu quả cao
Kết quả điểm kiểm tra:
Kết quả chấm bài kiểm tra ôn tập phần này của học sinh có sự chênh lệch, thểhiện qua bảng số liệu sau:
BẢNG TỔNG HỢP ĐIỂM KIỂM TRA CỦA HS
b d a
Trang 19Thể hiện kết quả trên bằng biểu đồ sau:
Biểu đồ : KẾT QUẢ ĐIỂM KIỂM TRA CỦA HAI NHÓM LỚP
- So sánh kết quả, nhận xét
Từ bảng số liệu và biểu đồ trên ta thấy:
Lớp đối chứng: Tỉ lệ học sinh có điểm yếu khá cao (25%), tỉ lệ HS đạt điểm
trung bình trở lên là 55,2% nhưng điểm khá thấp, chỉ đạt 19,8% trong đó không họcsinh đạt điểm giỏi
Nhóm thực nghiệm Nhóm Đối chứng
Trang 20Lớp thực nghiệm: Tỉ lệ HS có điểm yếu thấp (5,4%), tỉ lệ HS đạt điểm trung
bình trở lên là 94,6%, trong đó tỉ lệ điểm khá, giỏi rất cao (45,0% điểm khá và 15,1%điểm giỏi)
Từ kết quả so sánh trên cho thấy việc chia dạng các phần kiến thức trong ôn thiTốt nghiệp THPTQG là rất cần thiết và hiệu quả Tùy từng nhóm đối tượng để trongquá trình ôn luyện giáo viên chọn dạy đến dạng nào và cách tiếp cận nào là hợp lí
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
- Qua quá trình áp dụng vào thực tế dạy lớp 12, đề tài này đã giúp cho các emthêm tự tin và say mê trong việc giải các bài toán về tích phân đặc biệt là phát hiện xuhướng mới của câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về ứng dụng của tíchphân trong đề thi TN THPT các năm gần đây
- Trong phạm vi một SKKN về một dạng toán rộng và nhiều hướng phát triểnnên tôi chỉ tập trung vào khai thác bốn dạng toán, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tài liệu,học hỏi đồng nghiệp để mở rộng dạng toán hoàn thiện hơn nữa cho đề tài này
- Trên đây là kinh nghiệm thực tế qua quá trình giảng dạy nhiều năm tôi rút racho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan Do kinh nghiệm chưanhiều cộng với hạn chế về thời gian và những yếu tố khách quan đưa lại; khả năngcủa bản thân cũng có hạn nên tôi cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất địnhtrong việc thực hiện và trình bày SKKN của mình Rất mong được Hội đồng Khoahọc ngành Giáo dục tỉnh Thanh hoá quan tâm giúp đỡ để tôi rút kinh nghiệm và thựchiện tốt hơn công tác viết SKKN trong những năm học tiếp theo
Xin chân thành cảm ơn!
19
