(SKKN 2022) Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán xét tính đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Toán học lớp 12, bài toán về hàm số giữ một vai trò quantrọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đâyvới các mức độ

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 3

2.3.2 Hướng dẫn học sinh tiếp cận các quy tắc tìm các khoảng đơn

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Toán học lớp 12, bài toán về hàm số giữ một vai trò quantrọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đâyvới các mức độ khác nhau từ dễ đến khó Đối với các bài toán về xét tính đơn điệucủa hàm ẩn, hàm hợp, hàm có dấu giá trị tuyệt đối khó còn đòi hỏi học sinh phải

có tư duy tốt, nên đối với học sinh đại trà thường để mất điểm trong các kì thi Đốivới học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này Tuy nhiên cách giải còn rời rạc,làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian

Tính đơn điệu của hàm số là một nội dung thường xuyên xuất hiện trong các

đề thi tốt nghiệp THPT Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu củahàm số có những nội dung hay, khó và thường liên quan đến đồ thị hàm ẩn khibiết đồ thị hoặc bảng xét dấu đạo hàm Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự

tư duy nhiều hơn từ học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong nhữngphần kiến thức quan trọng của học sinh thi tốt nghiệp THPT Trong các đề thichính thức và thử nghiệm của Bộ, bài toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số và các

bài toán liên quan đến hàm ẩn thường nằm ở mức độ kiến thức vận dụng và vận

dụng cao, là bài toán dành cho học sinh khá, giỏi lấy điểm 8, 9, 10.

Cái khó ở bài toán này được đa phần các thầy cô giáo khi giảng dạy đều nhậnxét nó nằm ở ba yếu tố: yếu tố thứ nhất là đề bài được cho biết bởi đồ thị hoặcbảng biến thiên của hàm số yf x ( ), nếu học sinh không nắm chắc kiến thức sẽrất dễ sai lầm sang hàm số yf x( ); yếu tố thứ hai là sử dụng các tư duy tính đạohàm hàm hợp, tư duy xét dấu, tư duy đồ thị hàm số, dặc biệt là tư duy hàm số códấu giá trị tuyệt đối đây là những tư duy khó đối với học sinh phổ thông; yếu tốthứ ba, bài toán đòi hỏi sự biến đổi phức tạp không phụ thuộc biến số dễ gây saisót, nhầm lẫn trong tính toán cho học sinh

Kì thi tốt nghiệp THPT năm học 2021 – 2022 đang đến gần,với mong muốn

có thể cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy đượcđiểm tối đa các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số, đặc biệt là hàm số ẩn,hàm hợp hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối … từ đó các em cũng có thể giải quyếtmột cách dễ dàng các bài toán hàm số liên quan đến tìm số cực trị, tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất…

Từ những lý do trên cùng với ý tưởng, giải pháp mà bản thân đã rất tâm đắc

tự rút ra trong quá trình thực tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia (nay là TN

THPT), tôi đã quyết định chọn đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải

nhanh một số bài toán xét tính đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối’’ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của bản thân trong năm

học 2021 – 2022 và hy vọng thông qua đề tài này cung cấp cho học sinh cái nhìntổng quan hơn về phương pháp giải để từ đó có định hướng tốt tìm ra lời giải

nhanh các bài toán về hàm số ẩn Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhậnxét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen và thành thạo với loại toán tìm khoảng đơn điệu của hàm số yf x  liên quan đến hàm ẩn, hàm hợp, hàm có dấu giá trị tuyệt đối … một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất

- Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn học sinh khôngcòn cảm thấy sợ hay lo lắng khi gặp bài toán về hàm số ẩn, hàm hợp, hàm cógiá trị tuyệt đối Từ đó giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán khó liênquan đến như tìm cực trị, GTLN,NN…

Qua đó rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Kiến thức về đạo hàm của hàm số hợp và quy tắc xét dấu đạo hàm

- Kiến thức về so sánh nghiệm của phương trình

- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

- Kiến thức liên quan đến các phép đối xứng, phép tịnh tiến đồ thị

- Học sinh lớp 12B, 12E năm học 2021 – 2022 trường THPT Nga Sơn

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảosát thực tế dạy học phần xét tính đơn điệu của hàm số và các bài toán liên quan ởtrường THPT Nga Sơn để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng cácphương pháp tìm các khoảng đơn điệu của hàm ẩn, hàm số hợp, hàm số có giá trịtuyệt đối trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáokhoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và

Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình và tài liệu về dạy học theo định hướngphát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN

2

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai tròthiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tươngthích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng của người giáo viên

Với mục đích giúp học sinh xử lí tốt các bài toán xét tính đơn điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong bài viết của mình, tôi đề cập đến ba loại toán như sau:

Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số yf x ,y f x  ,yf x 

Loại 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x  f u x   ,g x  f u x  

Loại 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x f u x   v x 

và hàm số g x   f u x  v x 

2.2 THỰC TRẠNG

Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách: giải nhanh một số bài toán xét tính đơn

điệu của hàm ẩn, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối là rất cần thiết

vì các lí do sau:

Thứ nhất, học sinh trường THPT Nga Sơn có điểm đầu vào còn thấp, gia đình cóđiều kiện kinh tế còn khó khăn dẫn đến khả năng tư duy của học sinh còn chậmảnh hưởng rất nhiều đến việc tiếp thu kiến thức đặc biệt là những vùng kiến thứckhó

Thứ hai, trong sách giáo khoa giải tích lớp 12 chỉ đề cập đến các kiến thức về hàm số yf x  thông thường, cụ thể mà không đề cập đến các hàm số hợp, tuy nhiên trong khi các đề thi tốt nghiệp THPT gần đây thì thường xuyên xuất hiện những bài toán về hàm số hợp Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy và ôn thi giáo viên cần định hướng giúp học sinh tìm tòi,nghiên cứu để các em có thể đưa racác phương pháp phù hợp cho từng dạng toán về xét tính đơn điệu của hàm số Từ

đó giúp học sinh có thể tự xử lí được các bài toán tương tự và làm nền tảng cốt lõi

để giải quyết các bài toán về hàm số trong quá trình học tập cũng như khi đi thi Thứ ba, môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất nhờ vào việc sử dụng các kết quả đã được đúc kết và rút ra ở phần phương pháp, từ đó tiết kiệm thời gian

Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi đưa ra ba loại toán mà

trong quá trình giảng dạy thường gặp và một số bài tập tự luyện Mong rằng bài

viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các em

có một tài liệu hữu ích trong quá trình học tập, đồng thời cùng trao đổi, học hỏi với các đồng nghiệp

2.3 GIẢI PHÁP

2.3.1 Hệ thống các kiến thức liên quan:

a) Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số

Cho hàm số yf x( )có đạo hàm trên K

a Nếu f x ( ) 0,   x K và f x ( ) 0  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồngbiến trên K

b Nếu f x ( ) 0,   x K và f x ( ) 0  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịchbiến trên K

c) Đạo hàm của hàm số hợp

+ Hàm số hợp: Giả sử u g x ( ) là hàm số của x, xác định trên khoảng a b;  vàlấy giá trị trên khoảng c d; ; hàm số yf u  là hàm số của u xác định trên c d; 

và lấy giá trị trên  Khi đó ta lập một hàm số yf u( )  f g x   xác định trên

a b;  và lấy giá trị trên  Ta gọi hàm y f g x   là hàm hợp của hàm số

ythì hàm hợp y f g x   có đạo hàm tại x là: y x y u u  x

+ Đạo hàm của hàm số có dấu giá trị tuyệt đối: 2 2

+ Hàm số yf x a(  ) là tịnh tiến  C theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

+ Hàm số yf x a(  ) là tịnh tiến  C theo phương của Ox qua phải a đơn vị

+ Hàm số yf x  có đồ thị bằng cách: Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm bênphải Oy và bỏ phần đồ thị  C nằm bên trái Oy; Lấy đối xứng phần đồ thị  C nằmbên phải Oy qua Oy Hàm số y f x  có đồ thị bằng cách: Giữ nguyên phần đồthị  C nằm trên Ox và bỏ phần đồ thị  C nằm dưới Ox; Lấy đối xứng phần đồ thị

 C nằm bên bên dưới Ox qua Ox

e) Sự tương giao của các đồ thị

Giả sử hàm số yf x có đồ thị là  C1 và hàm số y g x  có đồ thị là C2.Khi đó hoành độ giao điểm (nếu có) của hai đồ thị  C1 và C2 là nghiệm củaphương trình f x g x ; Giả sử x x0 , , 1 là các nghiệm của phương trình thì tọa độcác giao điểm của  C1 và C2 là M x f x0 ( ; ( )), 0 0 M x f x1 ( ; ( )), 1 1

* Sự tương giao giữa đồ thị hàm số yf x  và trục hoành: Hoành độ giao điểmcủa đồ thị hàm số yf x  với trục hoành là nghiệm của phương trình f x   0

2.3.2 Hướng dẫn học sinh tiếp cận các quy tắc tìm các khoảng đơn điệu của hàm số, hàm hợp, hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Đặt vấn đề với các câu hỏi sau:

Câu hỏi 1: Nêu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số yf x ?

* Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số yf x  là:

+ Bước 1: Tìm tập xác định.

+ Bước 2: Tính đạo hàm f x ( ) Tìm các điểm x i i  1, 2,3, ,nmà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

+ Bước 3: Sắp xếp các điểm x itheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

+ Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Câu hỏi 2: Nêu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y f x  , yf x  khi

biết đồ thị (bảng xét dấu) của hàm số yf x ?

Câu hỏi 3: Phát biểu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số hợp?

Từ đó yêu cầu học sinh tìm các khoảng đơn điệu của một số hàm số yf x .Qua đó hình thành các “thói quen” trong giải toán

2.3.3 Hướng dẫn học sinh cách giải quyết nhanh một số loại toán

Loại 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số yf x , y f x   1

Và yf x   2 khi biết đồ thị hoặc bảng xét dấu của hàm số yf x ( )

Phương pháp:

Bước 1: Tìm nghiệm x i i  1, 2, ,ncủa phương trình f x   0 (là các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số yf x ( ) với trục hoành)

Bước 2: Xét dấu f x 

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số, suy ra kết quả tương ứng

Đối với hàm số (1) và (2) ta thực hiện xong các bước trên rồi sử dụng phép biến đổi đồ thị hàm số.

yf x như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng

 1;1

B Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng 1; 2

C Hàm số yf x  đồng biến trên khoảng  2;1

D Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng

Ta chọn đáp án A

Nhận xét : Qua 2 ví dụ trên ta thấy khi học nắm vững được phương pháp thì sẽ

dễ dàng giải quyết được bài toán mà không bị lúng túng thậm chí nhầm lẫn giữa

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x  u x f u x     .

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x  .

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x  , g x u x f u x      .

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến  g x  0; (Hàm số g x  nghịch biến

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x  Hàm số yf x ( ) có đồ thị như hình bên Hàm số

Ví dụ 2: Cho hàm số f x , bảng xét dấu của f x  như sau:

Hàm số yf 5 2  x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

4 3 2

8

Ví dụ 1,2 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số [4]

Ví dụ 3: Cho hàm số f x ( ) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số yf x 2  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số yf x 2  2xnghịch biến trênkhoảng  2; 1   Ta chọn D.

Chú ý: Cách xét dấu g x ( ):

Chọn giá trị x   0  1; 1   2 x2  2x  0 g (0) f (0) 0  ( dựa theo bảng xét dấu của hàm f x ( )) Suy ra g x ( ) 0    x  1; 1   2, sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “ lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của g x ( ) trên các khoảng còn lại

Ví dụ 4: Cho hàm số f x( ), đồ thị hàm số yf x( )như hình vẽ dưới đây

Hàm số yf  3  xđồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Từ bảng xét dấu ta thây hàm số yf  3  xđồng biến trên khoảng  1;2 

Ví dụ 5: Cho hàm số yf x  Biết rằng hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ

x x x x

  0

g x 

0 3 2 1

x x x x

, 3; Vậy hàm số yf 3  x2 đồng biến trên khoảng  1;0

Ví dụ 6: Cho hàm số y f x  Biết đồ thị hàm số y f x  như hình vẽ sau

Hàm số g x  f 2x 3x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Từ bảng trên ta có hàm số g x  f 2x 3x2 đồng biến trên khoảng ;1

Loại 3: * Bài toán tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x( ) f u x   v x( )

khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm sốyf x ( )

Phương pháp:

Cách 1:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x     v x .

Bước 2: Sử dụng đồ thị của f x , lập bảng xét dấu của g x  .

Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của

hàm số.

Cách 2:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x    v x .

Bước 2: Hàm số g x  đồng biến  g x  0; (Hàm số g x  nghịch biến

g x

Bước 3: Giải bất phương trình  * (dựa vào đồ thị hàm số yf x  ) từ

đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Cách 3: (Trắc nghiệm)

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , g x u x f u x     v x .

Ví dụ 4,5,6 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số [5]

Bước 3: Hàm số g x  đồng biến trên K  g x    0, x K ; (Hàm số

 

g x nghịch biến trên K  g x    0, x K ) (*)

Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g x  để loại

các phương án sai.

* Bài toán tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x  f u x  h x 

Bước 1: Xét tính đơn điệu cảu hàm số f u x   h x 

Bước 2: Sử dụng phương pháp biến đổi đồ thị hàm số có dấu giá trị tuyệt

đối để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x 

Ví dụ 1: Cho hàm số f x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 2 nên loại hai phương án B.

Ví dụ 2 : Cho hàm số f x  Hàm số yf x'  có đồ thị như hình bên Hàm số

   1 2   2 

g x f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?

14