SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 RÈN LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY QUY LẠ VỀ QUEN THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH LỚP 10 RÈN
LUYỆN THAO TÁC TƯ DUY QUY LẠ VỀ QUEN
THÔNG QUA GIẢI CÁC BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC
Người thực hiện: Trần Thái Sơn Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2022
Trang 2Mục lục
1.Mở đầu……….3
1.1.Lí do chọn đề tài……… 3
1.2.Mục đích nghiên cứu……….3
1.3.Đối tượng nghiên cứu………4
1.4.Phương pháp nghiên cứu………4
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……… 4
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 4
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………5
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề……… 5
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục , với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………17
3.Kết luận và kiến nghị………18
-Kết luận……… 18
-Kiến nghị……… 19
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài:
Giải bài tập toán là hoạt động chủ yếu khi học tập môn Toán ở trường phổ thông Thực tiễn giảng dạy cho thấy, trong quá trình phát hiện và tìm lời giải các bài toán, học sinh thường phải tiến hành biến đổi bài toán đó thông qua việc liên hệ đến các kiến thức lý thuyết, các bài toán có liên quan Sự liên hệ này hình thành trên cơ sở
so sánh, đối chiếu các dữ kiện, điều kiện của bài toán đã cho với các kiến thức lý thuyết, các bài toán mà các em đã biết trước đó
Đứng trước một bài toán, nếu học sinh có khả năng quy lạ về quen tốt, có thểliên hệ đến nhiều khái niệm, định lý, quy tắc, bài toán phụ đã biết sẽ giúp biến đổicác dữ kiện đã cho về gần gũi hơn với kiến thức của bản thân và giải quyết đượcbài toán đó Ngược lại, đối với những học sinh khả năng liên hệ còn yếu hoặc dokiến thức hạn chế sẽ khó khăn cho các em khi chỉ liên hệ được ít khái niệm, mệnh
đề, định lý, quy tắc, bài toán phụ và như vậy việc định hướng giải bài toán khókhăn hơn thậm chí bế tắc
Nhằm thay đổi cách học cho các em học sinh khi bước vào môi trường
THPT, giúp các em tìm thấy niềm vui khi học Toán cũng như phát huy tính tích cực, chủ động, tự tìm tòi, tự khám phá, mở rộng kiến thức; sau quá trình dài học hỏi, rút kinh nghiệm, tôi đã tổng kết “Một số giải pháp giúp học sinh lớp 10 rèn
luyện thao tác tư duy quy lạ về quen thông qua giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác” Đề tài sẽ phân tích một số bài toán theo các thao tác của tư duy, đặc biệt là quy lạ về quen, làm nền cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh theo hướng mới Hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các giáo viên cũng như học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập
1.2.Mục đích nghiên cứu:
Đề tài này đưa ra một số biện pháp nhằm rèn luyện phương pháp tư duy quy lạ
về quen cho học sinh lớp 10 qua giải các bài toán hệ thức lượng trong tam giác, xahơn là giúp các em định hướng, dự đoán, tìm tòi lời giải khi đứng trước một bài toánkhông quen thuộc
Trang 41.3.Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các hệ thức lượng trong tam giác-ChươngII-Hình học 10 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của họcsinh
1.4 Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
+ Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu tập thông tin: Điều tra, khảo sátthực tế việc dạy học phần các hệ thức lượng trong tam giác ở trường THPT YênĐịnh 2
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết dựa trên mối liên hệ giữacác hệ thức lượng giác trong tam giác, giữa các hệ thức lượng giác với hình họcvéctơ từ đó giúp học sinh chuyển đổi từ bài toán lạ về bài toán quen
+ Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên các lớpthực nghiệm và đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Mỗi chủ đề của Toán học đều được xây dựng từ một hệ thống kiến thức cơbản, từ những kiến thức cơ bản này học sinh phải biết xâu chuỗi, liên hệ, phân tích,tổng hợp để có thể giải quyết được những vấn đề hóc búa hơn
Quy lạ về quen là một thao tác tư duy quan trọng trong quá trình học toán, nógiúp cho một bài toán phức tạp có thể được giải quyết trên nền tảng những bài toán
cơ bản quen thuộc
Rèn luyện thành thục loại tư duy này sẽ giúp cho học sinh sau này có thể “dĩbất biến, ứng vạn biến” trước các vấn đề của cuộc sống
Các bài toán về hệ thức lượng trong tam giác là một nội dung trọng tâm tronghình học 10, nó là phần ứng dụng lí thú của hình học véctơ mà học sinh mới đượctiếp cận, thông qua các bài toán hệ thức lượng trong tam giác sẽ vừa giúp học sinhrèn luyện tốt tư duy quy lạ về quen, vừa giúp các em củng cố kiến thức về hình họcvéctơ
Trang 52.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm :
Thực trạng một bộ phận không nhỏ học sinh có cách học thụ động, trông chờhoàn toàn từ thầy cô, một phần do bị cuốn vào guồng quay tiếp thu kiến thức mới
và hoàn thành lượng lớn bài tập của giáo viên, một phần do cách truyền thụ củagiáo viên chưa hoàn toàn kích thích sự tò mò, tự tìm tòi, mở rộng kiến thức của họcsinh
Các hệ thức lượng trong tam giác là chủ đề quan trọng, lí thú và có nhiều ứngdụng thực tế của hình học 10 tuy nhiên nhiều học sinh còn gặp khó khăn trong việcchiếm lĩnh kiến thức của chủ đề này
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Giải pháp 1: Trong quá trình dạy học, giáo viên hướng dẫn, tổ chức cho học sinh
thể hiện một kiến thức dưới nhiều dạng khác nhau để tạo nên sự thuận lợi nhất cho các em khi huy động kiến thức giải quyết bài toán mới.
Ví dụ 1 Định lý cosin trong SGK hình học lớp 10 cho ta mối quan hệ giữa các
cạnh và góc trong một tam giác qua các công thức:
- Tính độ dài của một cạnh khi biết hai cạnh kia và góc xen giữa hai cạnh đó
- Tính góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh, chẳng hạn cosA =
2 2 2
2
b c a bc
Trang 6- Chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến độ dài các cạnh và độ lớn góc trongmột tam giác
Các ứng dụng này có thể được thể hiện dưới các công thức, chẳng hạn
Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng các số a ,b ,c cũng là 2 2 2
ba cạnh của một tam giác nào đó
Giả thiết bài toán nói về điều kiện các góc của tam giác ABC đồng thời kết
luận của bài toán cần chứng minh tổng hai số trong ba số a ,b ,c lớn hơn số còn 2 2 2
lại, tức là b 2 c 2 a 2 và hai bất đẳng thức tương tự Điều này gợi ý cho ta sử dụng
cách viết (1a) để giải Thật vậy, vì tam giác ABC nhọn nên cosA >0
b c a 0 b 2 c 2 a 2 Tương tự với hai bất đẳng thức còn lại suy ra
2 2 2
a ,b ,c là ba cạnh của một tam giác nào đó.
Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
minh tam giác ABC đều.
Phương trình thứ nhất của hệ cho ta mối liên hệ giữa các cạnh nhưng có chứa
cả lũy thừa bậc ba, bình phương Biến đổi ta có a 2 =b 2 +c 2 – bc
12
cos A
(dùng(1a)) Phương trình thứ hai lại gợi cho ta dùng (1a) để chỉ ra b = c Từ đó có được kếtluận
Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC Chứng minh
Trang 7Bài toán 1.4: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có
2(acosA + bcosB + cos c C ) a + b + c
Bài toán này yêu cầu cao hơn các bài toán trước đó bởi nó gắn với việcchứng minh một bất đẳng thức Tuy nhiên nếu liên hệ được đến các dạng khác nhau
của định lý côsin thì ta có định hướng: nhận thấy vai trò của acos A, bcos B,
Cộng theo vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được điều phải chứng minh
Giải pháp 2 : Xây dựng chuỗi các bài toán tăng dần độ khó xuất phát từ kiến thức
lý thuyết học sinh đã được học Chuỗi các bài toán này không những khắc sâu được lý thuyết mà còn rèn luyện được cho các em thao tác tư duy quy lạ về quen
Trang 8Giáo viên đặt vấn đề nhằm tạo ra tình
huống cho học sinh suy nghĩ: Khi G không còn là trọng tâm tam giác ABC, mà G là
một điểm bất kỳ thì kết quả sẽ như thế nào?
Gợi ý cho học sinh đặc biệt hóa điểm G, bằng cách cho G I, với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Liệu có thể dùng cách tương tự để giải không?
Lời giải sẽ biến đổi như thế nào?
Chính các câu hỏi và gợi ý của giáo viên gợi tò mò cho học sinh trong quátrình đi tìm lời giải và đề xuất bài toán mới Học sinh tích cực suy nghĩ, các emcũng thử vận dụng cách giải vừa được hướng dẫn để tìm lời giải
Kẻ CE//IA, CF//IB, ta có:
IC = IE + IF
F
E G
M A
Trang 9Vậy khi G I ta có bài toán nào?
Bài toán 2.2: Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, BC = a, AC = b và tâm I
đường tròn nội tiếp tam giác đó Chứng minh rằng: aIA bIB cIC 0
Tổng quát với điểm M bất kì nằm trong tam giác ABC Giáo viên có thể gợi ý như sau: Bằng cách tương tự như trên ta dựng hình bình hành GECF nhận MC làm đường chéo, trong đó ME và MF lần lượt thuộc các đường thẳng AM, BM như các
ABC, ta có: S MA S MB S MC a b c 0
Bài toán 2.3: Cho tam giác ABC và M là một
điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác.
Chứng minh rằng: S MA S MB S MC a b c 0
trong đó S a , S b , S c lần lượt là diện tích của các
tam giác MBC, MCA, MAB.
F
E A
M
Trang 10Chính cách gợi ý, dẫn dắt của giáo viên hướng học sinh tích cực suy nghĩ đểtìm lời giải đáp cho các câu hỏi Có thể học sinh không thể đưa ra ngay câu trả lờinhưng đó sẽ là đề tài để các em trao đổi, thảo luận với nhau mà thông qua đó sẽnắm vững hơn các kiến thức thuộc chuỗi các bài toán này
Giải pháp 3: Tạo cho HS thói quen nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau
Trong quá trình tìm định hướng giải bài toán thì học sinh không chỉ nhìn bàitoán từ một góc độ mà phải xem xét từ nhiều phía, không chấp nhận một cách quenthuộc hoặc duy nhất Từ đó luôn tìm tòi đề xuất được nhiều cách giải khác nhaucho một bài toán Tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp cho học sinh có cái nhìntoàn diện, biết hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng và phương phápgiải toán một cách chắc chắn, mềm dẻo linh hoạt
Ví dụ 3: (Bài 7, trang 70 SGK hình học 10 nâng cao)
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến
kẻ từ B và C vuông góc với nhau là: b2 + c2 = 5a2 (1)
Phân tích: Điều kiện hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau tương
đương với một trong các điều kiện sau:
- tam giác GBC vuông tại G
- tam giác GBN vuông tại G;
- tam giác GCM vuông tại G
- Chuyển đổi sang ngôn ngữ
(G là trọng tâm tam giác ABC, E, M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB)
Từ việc phân tích bài toán theo các khía cạnh khác nhau như trên ta có các lời giảisau:
Lời giải 1:
Trang 11Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB.
G là trọng tâm của tam giác ABC.
2 c b a a
Trang 12 b2 c2 5a2 (đpcm)
Lời giải 4:
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
Hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau
Gọi E là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC.
Hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau
a
(đpcm)Cũng chính nhờ rèn luyện khả năng nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độkhác nhau học sinh hình thành thói quen nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cáchtoàn diện Từ đó đứng trước một bài toán học sinh nhìn nhận theo nhiều hướngkhác nhau, dưới “con mắt” đại số, hình học, giải tích…và có thể đưa ra được nhiềulời giải từ các hướng khác nhau đó
Giải pháp 4: Tranh thủ mọi cơ hội cho học sinh thực hiện các hoạt động trí tuệ
như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá và các thao tác tư duy như so sánh, xét tính tương tự, quy lạ về quen
Trang 13Thông tin cần thiết cho việc giải bài toán hầu hết còn ở dạng tiềm ẩn, chonên, việc lý giải thông qua các thao tác tư duy giúp tìm ra mối liên hệ giữa tập hợpcác điều kiện tường minh hay tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán
Ví dụ 4 : Từ bài toán: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:
MA2 + MB2 +MC2 = 3MG2 + GA2+ GB2 + GC2 (1)
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho MA2 + MB2 +MC2 = k2, k là một số cho trước
Đây là bài toán trong SGK Hình học lớp 10, phần lớn học sinh dễ dàng giảiđược bài toán này nhờ kiến thức vectơ Bằng các hoạt động, giáo viên hướng dẫnhọc sinh đặc biệt hoá bài toán trong các trường hợp sau ta sẽ có được bài toán mới:
Hoạt động 1: Đặc biệt hoá điểm M đối với công thức (1).
- Cho điểm M trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp ABC ta có kết quả như thế nào?
- Từ đó cho học sinh phát biểu bài toán mới.
“Gọi G và O lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh rằng: GA2+ GB2 + GC2 = 3(R2 – OG2)”
Hoạt động 2: Đặc biệt hoá điểm M để đại lượng T = MA2 + MB2 +MC2 lớnnhất, nhỏ nhất
- Đại lượng T = MA 2 + MB 2 +MC 2 lớn nhất, nhỏ nhất khi nào?
Học sinh đưa ra câu trả lời:
Ta có MG2 = OM2 + OG2 – 2OM.OG.cos ( là góc giữa OM và OG, G
O) Suy ra:
+ MG lớn nhất khi và chỉ khi cos = -1 = 1800 M là giao điểm của tia GO với đường tròn (O).
+ MG bé nhất khi và chỉ khi cos = 1 = 00 M là giao điểm của tia
OG với đường tròn (O)
- Tìm M trên một cạnh của tam giác ABC ( chẳng hạn trên cạnh BC) để T bé nhất?
Trang 14Trả lời:
M là hình chiếu của G lên BC.
- Tìm M trên đường thẳng d bất kì để T bé nhất?
Trả lời:
M là hình chiếu của G trên d
Hoạt động 3: Đặc biệt hoá tam giác ABC.
- Cho ABC đều cạnh a, G là trọng tâm, khi đó với mọi điểm M công thức (1) viết lại như thế nào?
Trả lời:
Do ABC đều nên GA = GB = GC =
33
a Do đó: MA2 +
MB2 +MC2 = 2a2 = 6R2
Hoạt động 4: Khái quát hoá bài toán.
- Nếu ta thay đổi giả thiết tam giác thành tứ giác ABCD ta sẽ có các kết quả như thế nào?
- Hãy khái quát bài toán cho n điểm A 1 , A 2 , A 3 ,…, A n ?
Trả lời:
Trong mặt phẳng cho hệ n điểm A1, A2, A3,…, An :
a CMR tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn: GA GA 1 2 GA n 0 Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ n điểm
b Chứng minh rằng với mọi điểm M ta luôn có:
MA MA MA nMG GA GA GA
Trang 15Như vậy xuất phát từ một bài toán đơn giản, bằng cách tổ chức các hoạtđộng đặc biệt hoá, khái quát hoá đã thu được một kết quả khá thú vị
Giải pháp 5: Hướng dẫn học sinh đề xuất và chứng minh các bài toán mới xuất
phát từ các bài toán quen thuộc đã biết, đã chứng minh từ đó góp phần phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh
Ví dụ 5: Khi dạy về chủ đề hệ thức lượng trong tam giác, giáo viên cũng có thể
hướng dẫn học sinh đề xuất và chứng minh các bài toán mới, chẳng hạn: xuất phát
.2
Như vậy ta có bài toán:
Bài toán 5.1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có
b2 c2 a2 4S 2 2bc (1)
Đẳng thức xảy ra khi sinA = cosA tanA = 1 A = 450
Đến đây ta có thể cho ra bài toán:
Bài toán 5.2: Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện b2 c2 a2 4S 2 2bc
Trang 16Ví dụ 6: Ở ví dụ 3 ta có thể khai thác để kiến tạo bài toán mới Ví dụ 3 liên quan
đến các yếu tố trong tam giác, vì vậy ta liên hệ giữa công thức (1) với các côngthức quen thuộc về các yếu tố trong tam giác cho ta các kết quả sau :
Trang 17
2
2cosA= a
Trang 18(1) OH2 9R2 6a2 (11) Như vậy, qua việc khai thác kiến thức cơ bản từ SGK sẽ tạo được cho học sinhhứng thú, tích cực tư duy sáng tạo Toán học Đồng thời giúp học sinh nắm vững, vậndụng linh hoạt kiến thức cơ bản đã học vào nghiên cứu phát triển bài toán hoặc vậndụng linh hoạt vào giải toán sẽ tạo cho học sinh có thói quen tự nghiên cứu, pháthiện, giải quyết vấn đề
2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Thông qua việc đưa ra một lớp các bài toán hệ thức lượng trong tam giácđồng thời nêu các dạng bài tập thường gặp yêu cầu học sinh nhớ và biết cách ápdụng vào những bài toán cụ thể tôi thấy học sinh thoải mái hơn, hứng thú học tậphơn, kết quả kiểm tra tốt hơn rõ rệt
