(SKKN 2022) một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến mũ logarit

Trong các bài toán vềcực trị của hàm số, bài toán tìm số điểm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là một dạng toán hay và khó.. Vì vậy thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh mộ

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

0101010101

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 022.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 032.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 GP1: Từ tính chất của hàm số và các phép biến đổi đồ thị

2.3.4 Một số bài tập vận dụng và nâng cao

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,

đồng nghiệp và nhà trường

0303

07 0917

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay là tích cựchóa hoạt động học tập nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập,sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề vì một mục tiêuchung là phát triển học sinh toàn diện Đức – Trí – Thể - Mỹ

Cực trị của hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình mônToán lớp 12 nói riêng và chương trình phổ thông nói chung Đây là một nộidung thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT ở nhiều mức độ khác nhau,

từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng và vận dụng cao Trong các bài toán vềcực trị của hàm số, bài toán tìm số điểm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

là một dạng toán hay và khó Để giải được những bài toán dạng này học sinhphải nắm vững các tính chất cơ bản về hàm số chẵn, hàm số lẻ, các phép biếnđổi đồ thị Trong khi đó những vấn đề này không được đề cập nhiều trong sáchgiáo khoa hiện nay Điều này gây khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiếnthức , hình thành dạng toán và phương pháp giải toán cho học sinh Vì vậy thực

tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh một số kiến thức và suy luận cơ bản cũngnhư các kỹ năng thực hành giải các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trịtuyệt đối

Kỳ thi tốt nghiệp THPT hiện nay môn Toán đã được tổ chức dưới hìnhthức trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải tư duy để không chỉ tìm ra lời giải chínhxác mà còn phải nhanh nhất

Từ những lý do nêu trên tôi chọn đề tài ” Một số kinh nghiệm giúp học sinh định hướng và giải nhanh bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối” Để dạy thực nghiệm tai lớp 12A2 trường THPT Tĩnh gia

3 năm học 2021 – 2022 và thu được nhiều kết quả tích cực

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của đề tài hình thành cho học sinh phương pháp giảinhanh, chính xác các một số bài toán về tìm số điểm cực trị của hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng giảitoán cực trị hàm số và phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy và lập luận toán học ( Thông qua việc lập luận để đưa ra kếtluận về cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối)

- Năng lực giải quyết các vấn đề Toán học ( Thông qua việc sử dung các kiếnthức, kỹ năng toán học tương thích để giải các bài toán cực trị hàm số chứa giátrị tuyệt đối hay và khó)

- Năng lực giao tiếp toán học ( Thông qua trao đổi và tranh luận)

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán cực trị hàm số chứa dấugiá trị tuyệt đối và các phương pháp giải các bài toán đó để rèn luyện kỹ năng vàphát triển các năng lực Toán học cho học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáokhoa Đại số lớp 10, Giải tích lớp 12, các nguồn tài liệu Internet …

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảosát thực tế dạy học phần cực trị hàm số ở trường THPT Tĩnh Gia 3 cũng như khảnăng tiếp thu của học sinh về vấn đề này từ đó đưa ra phương pháp dạy học phùhợp nhằm nần cao hiệu quả và chất lượng dạy học.

- Phương pháp thống kê và xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trênlớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Một số quan điểm chỉ đạo.

Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện

và đào tạo đã khẳng định: “ Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và họctheo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động , sáng tạo và vận dụngkiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghinhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ

sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực.Chuyển từ học chủ yều trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng.” [7]

Trong việc giải bài tập Toán thì việc tìm ra định hướng, phương pháp giảitoán là vô cùng quan trọng Nó giup ta tìm được lời giải của một lớp các bàitoán Trong dạy học Giáo viên là người có vai trò định hướng, gợi mở, tổ chức

để học sinh thực hiện các hoạt động học tập và chiếm lĩnh tri thức một cách tíchcực Vì vậy việc trang bị phương pháp, tập trung vào dạy cách học, rèn luyện kỹnăng , phát triển các năng lực toán học cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọngcủa người Giáo viên

2.1.2 Một số căn cứ lý thuyết.

2.1.2.1 Một số tính chất cơ bản về đồ thị hàm số.

Định lí 1 [1]

 Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Định lí 2 [1]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho đồ thị ( )G của hàm số y=f x p q( ); ,

là hai sốdương tùy ý Khi đó:

 Tịnh tiến ( )G lên trên p đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x( ) p

 Tịnh tiến ( )G xuống dưới p đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x( ) p

 Tịnh tiến ( )G sang trái q đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x q(  )

 Tịnh tiến ( )G sang phải q đơn vị ta được đồ thị hàm số y f x q(  )

2.1.2.2 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 3 [2]

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng K(x0  h x; 0 h) và có đạo hàmtrên K hoặc trên K \ 0  , với h 0.

a) Nếu '( ) 0f x  trên khoảng (x0  h x; )0 và '( ) 0f x  trên khoảng ( ;x x0 0h)thì

0

x là một điểm cực đại của hàm số ( )f x

b) Nếu '( ) 0f x  trên khoảng (x0  h x; )0 và '( ) 0f x  trên khoảng ( ;x x0 0 h)

thì x0là một điểm cực tiểu của hàm số ( )f x

Đa số học sinh đều nắm vững những kiến thức cơ bản về cực trị của hàm

số và giải quyết được các câu hỏi nhận biết và thông hiểu trong đề thi tốt nghiệpTHPT của các năm trước

Các bài toán về cực trị hàm số mà đặc biệt là cực trị hàm số có chứa dấugiá trị tuyệt đối xuất hiện khá nhiều trong các đề thi Tốt nghiệp THPT hiện nay.Chính vì vậy học sinh cũng đã được tiếp cận nhiều trong quá trình học tập và rènluyện

2.2.2 Khó khăn.

Trường THPT Tĩnh Gia 3 có điểm tuyển sinh đầu vào còn thấp (đặc biệt

là môn Toán) so với mặt bằng chung Còn nhiều học sinh chưa thật sự chăm chỉ

trong học tập Ngoài nhiều em ở xa trường, điều kiện đi lại gặp khó khăn Chính

vì điều đó làm ảnh hưởng đến khả năng học tập của các em

Trong chương trình sách giáo khoa, việc đề cập đến cực trị của hàm sốchứa dấu giá trị tuyệt đối còn rất ít, nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giảiquyết các bài toán về vấn đề này

Qua việc kiểm tra, đánh giá và khảo sát các em tôi thu được một số nhận định:

- Việc áp dụng các tính chất cơ bản của hàm số như tính chẵn, lẻ,… Vàoviệc tìm cực trị hàm số của học sinh còn nhiều hạn chế

- Phần lớn học sinh còn chưa có định hướng giải cho từng dạng bài,chính vì vậy khi gặp các bài toán dạng này các em chưa biết phân loại để từ đótìm ra hướng giải tốt nhất

- Nhiều em chưa nắm vững các phép biến đổi đồ thị hàm số chính vì vậycác em gặp rất nhiều khó khăn khi tìm số điểm cực trị của hàm số chứa dấu giátrị tuyệt đối khi biết cực trị của hàm số đã cho ban đầu

- Khi gặp các bài toán tổng hợp về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệtđối các em chưa biết cách tư duy đề tìm hướng giải

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thựchiện một số giải pháp sau:

- Ôn tập và bổ sung một số kiến thức cơ bản về các phép biến đổi đồ thịhàm số Từ đó dẫn dắt học sinh đưa ra một số kết quả cơ bản về cực trị hàm sốthường sử dụng

- Hướng dẫn học sinh phân loại và giải nhanh một số bài toán về cực trịhàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Hướng dẫn học sinh phân tích và tìm lời giải bài toán tổng hợp, trong đó

có phân tích về tư duy tìm lời giải

- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng và nâng cao, hướng dẫn việc tựhọc, tự tìm hiểu

2.3.1 Giải pháp 1 Ôn tập và bổ sung một số kiến thức cơ bản về các phép biến đổi đồ thị hàm số Từ đó dẫn dắt học sinh đưa ra một số kết quả cơ bản về cực trị hàm số thường sử dụng.

Mục tiêu của giải pháp này là sử dụng các tính chất và các phép biến đổi

đồ thị để đưa ra các kết quả cơ bản nhất áp dụng vào việc giải các bài toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài toán 1 Tìm cực trị của các hàm số y =f x( )+p, y= f x( )- p,

y =f x q- y =f x q( + ).

Từ định lý 2 Kết luận

 Số điểm cực trị của hàm số y f x( )p bằng số điểm cực trị của hàm

số yf x( ) ( do việc tịnh tiến theo phương song song với trục Oy không làm thay đổi số điểm cực trị của đồ thị hàm số.)

 Số điểm cực trị của hàm số y f x p bằng số điểm cực trị của hàm(  )

số y f x( ).( do việc tịnh tiến theo phương song song với trục Ox không làm thay đổi số điểm cực trị của hàm số)

 Số điểm cực trị của hàm số yf ax b(  )c bằng số điểm cực trị của hàm số y f x( )

Dó đó đồ thị hàm số y | ( ) |f x được suy ra từ đồ thị hàm số y f x( ) như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số yf x( ) nằm trên trục Ox (do (1))

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số yf x( ) nằm phía dưới trục

hoành ( do (2)) [1]

Minh họa bằng đồ thị

Bước 2 Từ phép biến đổi đồ thị đưa ra một số kết luận về cực trị.

Kết luận

 Số điểm cực trị của hàm số y| ( ) |f x bằng tổng số điểm cực trị của hàm

số y f x( )và số nghiệm bội lẻ của phương trình ( ) 0 f x 

Ví dụ 1 Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

| 3 2 |

y x  x  m có 5 điểm cực trị là

Do đó đồ thị của hàm số yf x(| |) được suy ra từ đồ thị hàm số y f x( )nhưsau:

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x( ) nằm bên phải trục Oy (do (1)).

- Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị hàm số y f x( ) nằm bên phải trục

Oy ( do (3)) [1]

Minh họa bằng đồ thị

Bước 2 Từ phép biến đổi đồ thị đưa ra một số kết luận về cực trị.

 Trường hợp 2: Đồ thị của hàm số yf x( ) không cắt trục tung Khi đó

số điểm cực trị của hàm số yf x(| |)bằng hai lần số điểm cực trị của hàm số yf x( ).

Nhận xét Số điểm cực trị của hàm số chẵn bằng hai lần số điểm cực trị dương

của nó và công thêm 1

được vẽ như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị của  C nằm bên phải trục tung ta được  C1

+ Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị của  C1 ta được C2

+ Khi đó C'    C1  C2 có đồ thị như hình vẽ dưới

Từ đồ thị C'ta thấy hàm số yf x  có 5 điểm cực trị

2.3.2 Giải pháp 2 Hướng dẫn học sinh giải nhanh một số dạng toán cơ bản.

Mục tiêu của giải pháp là từ các kết quả thu được ở giải pháp 1 giúp học sinh nhận dạng và giải nhanh các bài toán cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp Từ đó rèn luyện tư duy giải nhanh các câu hỏi TNKQ trong các

giải pháp 1, tìm lời giải cho bài toán.

Mặt khác đồ thị hàm số yf x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt do đó theo

kết quả của bài toán 2 ta có số điểm cực trị của hàm số y| ( ) |f x là 7 do đó

Từ đồ thị hàm số yf x  ta thấy hàm số yf x  có hai điểm cực trị dương và

đồ thị hàm số yf x cắt trục tung do đó theo kết quả của bài toán 3 ta có số

Từ bảng biến thiên ta có hàm số yf x  có 3 điểm cực trị Ngoài ra đồ thị hàm

số cũng cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt theo kết quả của bài toán 2 ta có số

điểm cực trị của hàm số y f x  là 7, chọn đáp án C

Ví dụ 6 Cho hàm số yf x xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên

như hình vẽ Tìmsố điểm cực trị của hàm số yf x 

A 2 B 4 C 3 D 5

Hướng dẫn giải.

Từ bảng biến thiên ta có hàm số yf x  có hai điểm cực trị dương mặt khác đồ

thị hàm số cắt trục tung do đó theo kết quả của bài toán 3 ta có số diểm cực trị

của hàm số yf x 

là 5 do đó chọ đáp án D.

 Dạng 3 Biết công thức đạo hàm của hàm số yf x , xét cực trị của hàm số y f x  và y f x 

Ví dụ 7 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x'  (x3  2 )(x2 x3 2 )x với mọi

y f x có bốn cực trị suy ra phương trình f x  0 có tối đa 5 nghiệm phân

biệt Do đó hàm số g x   f(1 2020 ) x có tối đa 9 cực trị Chọn A

hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f x trên '  R Hàm

số y f x  2022 có bao nhiêu điểm cực trị?

Dựa vào hình vẽ, ta thấy f x '  0 có 3 nghiệm phân biệt  

Từ đồ thị của đạo hàm ta có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Từ bảng xét dấu của f x ta có hàm số '  f x có hai điểm cực trị dương, theo  

bài toán 2 hàm số yf x có 5 điểm cực trị vậy hàm số y f x  2022có 5

điểm cực trị Chọn đáp án A

2.3.3 Giải pháp 3 Vận dụng những bài toán cơ bản tìm lời giải cho bài toán tổng hợp.

Mục tiêu của giải pháp là giúp học sinh biết cách phân tích, đánh giá để

có những định hướng tốt giải các bài toán tổng hơp liên quan đến cực trị củahàm số chứa giá trị tuyệt đối từ những bài toán cơ bản đã biết nhằm rèn luyện vàphát triên tư duy

2.3.3.1 Bài toán không chứa tham số.

f

Đặt h x( )f x( ) 33  x thì h x'( ) 3 x f x2 '( ) 33  nên

3 2

1'( ) 0  '( ) (*)

1lim '( )

1lim '( )

Vì (0)h f(0) 0 nên ( ) 0h c  và phương trình ( ) 0h x  có hai nghiệm thực

phân biệt, khác c Từ đó h x( ) có ba điểm cực trị Chọn A

Ví dụ 11 Cho hàm số bậc ba yf x có đồ thị 

như hình vẽ Hàm số y f x  1 1

có baonhiêu cực trị?

A 11 B 7 C 5 D 6

[5]

Tư duy Theo bài toán 2 số điểm cực trị của hàm số y  f x  1 1

bằng số điểm cực trị của hàm số y f x  1 1 và số nghiệm bội lẻ của phương trình:

  1 1 0

Vì vậy trong bài toán này ta đi tìm số tiệm cận của hàm số yf x  1 1 và

số giao điểm đồ thị của nó với trục hoành

Hướng dẫn giải.

Xét hàm số y f x  1 1

11

Dựa vào đồ thị, phương trình  * có duy nhất một nghiệm a0 Khi đó, ta được

và số nghiệmđơn hoặc bội lẻ của phương trình h x  0.

Dựa vào bảng biến thiên của hàm f x  thì số cực trị của g x  là 5.

2.3.3.2 Bài toán chứa tham số.

Theo bài toán 1 ta có số điểm cực trị của hàm số f x 2019m bằng số2

điểm cực trị của hàm số yf x  (3 điểm cực trị).

Vậy theo bài toán 2 hàm số g x   f x 2019 m2

có năm điểm cực trị khi

và chỉ khi hàm số f x 2019 m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt không2

trùng với các điểm cực trị

Hướng dẫn giải

Vì hàm f x  đã cho có 3 điểm cực trị nên f x 2019m cũng luôn có 3 2

điểm cực trị (do phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị)

Do đó yêu cầu bài toán  số giao điểm của đồ thị f x 2019 m với trục 2

hoành là 2 Để số giao điểm của đồ thị f x 2019 m với trục hoành là 2 , 2

ta cần : Tịnh tiến đồ thị f x  xuống dưới tối thiểu 2 đơn vị  m2 2 vô lý, hoặc tịnh tiến đồ thị f x  lên trên tối thiểu 2 đơn vị nhưng phải nhỏ hơn 6 đơn

Tịnh tiến đồ thị yf x m   lên trên hoặc xuống dưới không làm ảnh hưởng

đến số điểm cực trị của hàm số đã cho Do đó số cực trị của hàm số y g x  bằng số cực trị của hàm số yf x m   Để hàm số f x m   có 5 điểm cực

trị thì hàm số yf x m   phải có 2 điểm cực trị dương với x m 0 Dựa vào đồ thị ta thấy f x đạt cực trị tại x1,x2 nên f x m   đạt cực trị tại