(SKKN 2022) Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính góc trong không gian bằng phương pháp vec tơ

Bài toán xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặtphẳng, giữa hai mặt phẳng là bài toán mà học sinh lớp 11 thường gặp khó khăn khigiải quyết chúng vì học sinh lớ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng sáng

kiến kinh nghiệm ngành giáo dục và đào tạo huyện , tỉnh

và các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên

22

1 Mở đầu:

1.1 Lí do chọn đề tài:

Hình học không gian chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình toán trunghọc phổ thông, vì vậy việc tìm kiếm các con đường tổ chức dạy học cho phần hìnhhọc không gian luôn được quan tâm, tìm hiểu nghiên cứu Dạy học các kiến thứchình học bằng phương pháp khác nhau nhằm tạo ra cho học sinh tính linh hoạt, đadạng khi tiếp cận một bài toán hình học

Trong chương trình môn Toán THPT, phần hình học không gian tập trungnhiều ở lớp 11 và lớp 12 Từ đó hình thành cho học sinh hai phương pháp giải đó làgiải bằng công cụ hình học thuần túy hoặc giải bằng phương pháp tọa độ khônggian Tuy nhiên để giải bằng phương pháp tọa độ học sinh còn phải phụ thuộc vàoyếu tố của bài toán Vì vậy, phần nhiều học sinh sử dụng phương pháp hình họckhông gian thuần túy, phương pháp này đòi hỏi học sinh có tư duy nhạy bén vànắm chắc các yếu tố trong hình học, điều này là một trong những khó khăn đối vớihọc sinh có học lực ở mức khá trở xuống

Bài toán xác định và tính góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặtphẳng, giữa hai mặt phẳng là bài toán mà học sinh lớp 11 thường gặp khó khăn khigiải quyết chúng vì học sinh lớp 11 chưa sử dụng phương pháp toạ độ để làm Vectơ là nội dung được học từ lớp 10 nhưng để áp dụng nó thì học sinh còn khálúng túng, vì kể cả các sách tham khảo cũng ít khi hướng dẫn nội dung này trongkhi đó đây là một công cụ rất hữu hiệu trong hình học Từ những vấn đề trên tôithiết nghĩ áp dụng vectơ vào hình học không gian là một hướng đi rõ ràng hơn cho

học sinh đặc biệt là học sinh khá trở xuống Vì vậy tôi chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính góc trong không gian bằng phương pháp vec tơ" 1.2 Mục đích nghiên cứu:

Nội dung sáng kiến nhằm mục đích hướng tới giải quyết các vấn đề sau:

Việc giải toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ giúp học sinh rènluyện kĩ năng, tư duy sáng tạo và sự lôgic của các phép toán vectơ

Giúp học sinh đặc biệt là học sinh khá, trung bình có hướng đi rõ ràng hơn trongviệc giải quyết bài toán tính góc trong không gian

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Các bài toán tính góc trong hình học không gian lớp 11 và lớp 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là xây dựng cơ sở lý thuyết, vận dụng vàobài tập thông qua hệ thống ví dụ

2 Nội dung :

2.1 Cơ sở lí luận:

Để sử dụng tốt phương pháp véc tơ vào việc giải quyết các bài toán tính góchọc sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản của vectơ lớp 10 và kiến thức hình họckhông gian phần quan hệ vuông góc lớp 11 Cụ thể như sau:

2.1.1 Kiến thức vectơ.

Trong chương trình lớp 10 học sinh được học về vectơ Qua đó, học sinh đã nắmđược các yếu tố sau:

- Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ không

- Tổng và hiệu của 2 véctơ, tích của một số với một vectơ

- Tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác:

Nếu I là trung điểm của AB, M là điểm bất kỳ : MA MBuuur uuur 2MIuuur

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, M là điểm bất kỳ : MA MB MCuuur uuur uuur  3MGuuuur

- Điều kiện để A,B,C thẳng hàng : AB k ACuuur uuur (k ≠ 0)

- Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương

Đến chương trình lớp 11, học sinh được học thêm các tính chất của vectơ và cácmối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, góc trong không gian

Tích vô hướng của 2 véctơ: a br r  a br r .cos ; a br r

Từ đó suy ra cách tính góc giữa hai vectơ :  

2.1.2 Kiến thức về hình học không gian

Học sinh cần nắm chắc các định nghĩa và định lý, nội dung quan trọng của hìnhhọc không gian :

- Đường thẳng vuông góc đường thẳng, đường thẳng vuông góc mặt phẳng, hai mặtphẳng vuông góc

- Góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặtphẳng

Như vậy, với các kiến thức vectơ lớp 10 và kiến thức vectơ và hình học khônggian lớp 11 giáo viên có đủ cơ sở để hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toántính góc trong không gian dựa vào phương pháp vectơ

2.2.Thực trạng của vấn đề:

Trong những năm học trước, trong quá trình dạy học sinh tôi đã dùng phươngpháp khảo sát thực tế từ học sinh và quan sát công việc dạy và học của giáo viên và

học sinh trong nội dung hình học không gian mà cụ thể là bài toán tính góc Tôithấy nhiều học sinh lúng túng không biết bắt đầu từ đâu để tìm góc giữa hai đườngthẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đặc biệt là góc giữa hai mặt phẳng bằngphương pháp hình học thuần túy Từ đó dẫn đến học sinh ngại học hình học khônggian và thường mất điểm ở những câu hỏi này Khi đó, tôi đã hướng dẫn học sinhvận dụng phương pháp vectơ vào giải quyết các bài toán tính góc, tuy nhiên họcsinh gặp rất nhiều trở ngại sau:

- Một số học sinh còn mơ hồ các kiến thức vectơ

- Chưa hình thành kỹ năng chọn hệ vectơ cơ sở sao cho phù hợp bài toán

- Chưa diễn dịch được ngôn ngữ tổng hợp (hình học thuần túy) thành ngôn ngữvectơ

- Chưa tự giác, tự nghiên cứu và chưa làm nhiều bài tập theo phương pháp vectơ

Từ những vấn đề trên, khi áp dụng vào dạy học sinh năm học 2021 – 2022 tôi đã cónhững biện pháp khắc phục như sau:

- Rèn luyện kiến thức vectơ một cách kĩ càng

- Rèn luyện các bài toán hình học không gian cơ bản để học sinh nắm vững cáckiến thức về không gian từ đó chuyển sang ngôn ngữ vectơ

- Có hệ thống bài tập đầy đủ, từ đó hướng dẫn học sinh làm bài

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề:

Để hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán tính góc dựa vào phương phápvectơ, tôi hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lựa chọn một số vectơ mà ta gọi là “ hệ vectơ cơ sở’’; “phiên dịch” các

giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho thành “ngôn ngữ”

vectơ.

Đây là một trong những bước rất quan trọng của bài toán, yêu cầu khi chọn vectơ

cơ sở ta phải chọn hệ gồm 3 vectơ không đồng phẳng và một điều thuận lợi trongphương pháp này đó là 3 vectơ này không cần chung một gốc

Các vectơ cơ sở khi chọn phải tính được tích vô hướng, khi chọn ưu tiên chọn cáccặp vectơ khi nhân vô hướng lại bằng 0 nhằm đơn giản bài toán

Phiên dịch chính xác ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ

Bước 2 Tính tích vô hướng của các vectơ; độ dài các vectơ theo công thức tính góc

giữa hai vectơ

Bước 3 Thay vào công thức tính góc và rút ra kết luận.

Sau đó tôi đưa ra từng dạng bài toán tính góc: góc giữa hai đường thẳng; gócgiữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng Mỗi dạng tôi đưa ra côngthức tính góc thông qua vectơ; đưa ra ví dụ, phân tích các yếu tố có thể vận dụngphương pháp vectơ và trình bày lời giải Cụ thể như sau:

2.3.1 Góc giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng a,b Gọi ;u vr r

lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b Khi đó:

Nhận thấy các vectơ uuur uuur uuurAB AC A; ; D

ta có thể biết mối liên hệ giữa chúng: độ dài, gócgiữa các vectơ Có thể nghĩ tới tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD qua gócgiữa hai vectơ uuur uuurAB C; D

bằng cách phân tích các vectơ này qua các vectơ cơ sở

AC B cos AC B c AC B

uuur uuuruuur uuur

uuur uuur

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

cân biết AB AC a BAC  ;· 120 ;AA'0 a 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB’

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của AB, BC, C’D’ Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP

 Phân tích:

Với giả thiết hình lập phương ta chọn hệ vectơ cơ sở là uuur uuur uuurAB A; D;AA'

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với

đáy; SA a Gọi M là trung điểm của SB Tính góc giữa AM và BD?

 Phân tích:

Vì hình chóp có đáy là hình vuông và có SA vuông góc với đáy nên ta có thể chọn

hệ vectơ cơ sở: uuur uuur uuurAB A; D;AS

2(AM;BD) 60

a

AM B c

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Gọi E là điểm đối xứng với D qua

trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BD Tính góc giữahai đường thẳng MN và BD?

 Phân tích:

Với bài toán này việc xác định và tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằngphương pháp hình học không gian thuần tuý sẽ gặp khó khăn.Giả thiết hình chóp tứgiác đều nên có các yếu tố vuông góc như: DB  AC B; DSOBDSC

Vì thế ta nghĩ tới phân tích vectơ MNuuuur theo các vectơ SA SC ACuur uuur uuur; ;

uuur uuur uuuur

uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuur

(AB';BC') 60

a

AB BC c

AB BC

uuur uuuuruuur uuuur

Ví dụ 8: Cho hai tia Aj và Bk hợp với nhau một góc 600 Đường thẳng AB vuông

góc với cả hai tia Aj và Bk và AB = a Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai tia Aj

và Bk sao cho AM = m, BN = n Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và

AB theo a, m ,n.

 Phân tích:

Giả thiết có AB vuông góc với AM;

AB vuông góc với BN nên ta chọn hệ

vectơ cơ sở: MA AB BNuuur uuur uuur; ;

2.3.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Gọi  là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   ;

b là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  

ta có: sin cos(a;b)

Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông

góc với đáy; SA a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.Gọi  là góc giữa SD và mặt phẳng (AHK) Tính tan ?

 Phân tích:

Với giả thiết của bài toán ta chứng minh được SC (AHK).

·sin cos(SD;SC) cos SD C

 Lời giải:

Khi đó: sin cos(SD;SC) cos S ·D C.

Trong tam giác vuông SDC có DS a 2;DC a SC a 3

 Phân tích:

Ta có BE vuông góc với mặt phẳng (SAC)

(với E là trung điểm của AD) Giả thiết bài

toán có các yếu tố vuông góc :

uuuruuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

23a

1010

2

BE MN c

Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với

đáy; SA2a M là trung điểm của SC Tính sin của góc giữa BM và mặt phẳng(ABC)?

Ví dụ 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA a 5;AB a Gọi M, N, P,

Q lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC; SD Tính góc giữa DN và mặt phẳng(MQP)?

 Phân tích:

Với giả thiết hình chóp tứ giác đều

ta có SO vuông góc với đáy; DO OC

Dễ thấy mp(MQP) song song với mp(ABCD)

nên SO là đường vuông góc với mp(MQP)

Ta chọn hệ vectơ cơ sở: OS DB OCuuur uuur uuur; ;

 Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Vì hình chóp đều nên SO(ABCD).

SD BD SB a DN

a DN

2.3.3 Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) Gọi a, b lần lượt là đường thẳng vuông góc với (P)

và (Q) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P); (Q) ta có:

cos cos( ; ) cos( ; ) .

lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b)

Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

đường tròn đường kính AB2a; SA vuông góc với đáy; SA a 3 Tính côsin củagóc  giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)?

B AH



uuur uuuruuur uuur

Mà Duuur uuur uuurB  ADAB;

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur

uuur uuur uuur

24

cos

463

2

a a a

Ví dụ 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Tính số đo góc

giữa 2 mặt phẳng (BA’C) và (DA’C)

tố vuông góc ta dễ dàng xác định được hai

đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (BA’C) và (DA’C) ta có:

cos  cos(uuur uuuurAB A'; D')  cos ' D'·B A

Trong tam giác B’AD’ có AB' AD'B D' 'a 2 nên tam giác B’AD’ đều

  600

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; BC=a.

SA vuông góc với đáy; SA a 3 Gọi M là trung điểm của AC Tính côtang củagóc  giữa hai mặt phẳng (SBM) và (SAB)

 Phân tích:

Trong bài toán này ta có các yếu tố vuông góc: SA BC SA ;  AB AB; BC Khi đó ta chọn hệ vectơ cơ sở: uuur uuur uuurAS AB BC; ;

BC AK



uuur uuuruuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1; SA

vuông góc với đáy; SA a 3 Gọi ( ) là mặt phẳng song song với các đườngthẳng SB và AC; ( ) là mặt phẳng song song với các đường thẳng SC và AB Tínhcôsin góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) ?

 Phân tích:

Mặt phẳng ( ) và ( ) chưa tường minh nên việc xác định góc giữa 2 mặt phẳngnày tương đối khó khăn Hình chóp với các yếu tố vuông góc, cạnh, góc đã cho ta

có thể nghĩ tới phương pháp vectơ bằng cách chọn hệ vectơ cơ sở: uuur uuur uuurAS AB AC; ;

vuông góc với hai mặt phẳng ( ) và ( )

Gọi  là góc giữa ( ) và ( ) Khi đó:

Qua các ví dụ trên ta thấy được sự thuận lợi và khả năng áp dụng phong phú củaphương pháp vectơ trong việc giải toán hình học không gian Đây là một phần kiếnthức không thể thiếu của học sinh khi học hình không gian Tuy nhiên cũng khôngnên quá lạm dụng phương pháp này mà quên mất phương pháp tổng hợp cũng làmột phương pháp giải hay và phát triển tư duy rất tốt Cũng phải chú ý rằng chỉ một

bộ phận các bài toán hình học không gian là giải được bằng phương pháp vectơ.Trên thực tế có những bài toán giải bằng phương pháp vectơ hay phương pháp tổnghợp đều như nhau

Nhìn chung, phương pháp vectơ để giải toán hình học không gian là một phươngpháp hay, nó thể hiện được sự vượt trội trong một số trường hợp, nó là công cụ cầnthiết trong hành trang của mỗi học sinh, được trang bị công cụ này, học sinh sẽ dễdàng ứng phó với những dạng bài toán có thể áp dụng

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2 2a SC vuông góc

với đáy; SC=a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB Tính góc giữa CN

và SM

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA=a và SA vuông

góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD Tính góc giữa hai mặtphẳng (AMN) và (SBD)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB=2a; BC=a Hình chiếu

vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của AB; góc giữa SC và mặtđáy bằng 60 Tính côsin góc giữa SB và AC.0

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB AC BB  ' ; góc a BAC1200 Gọi I là trung điểm của CC’ Tính côsin góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và(AB’I)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với

đáy; SA 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB;SD Tínhgóc giữa SB và mặt phẳng (AMN)

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục:

Để kiểm tra tính hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng là hailớp có lực học tương đương: lớp 11M và 11B Lớp 11M đã được hướng dẫn sửdụng phương pháp vec tơ giải bài toán hình học không gian, lớp 11B chưa đượchướng dẫn Với hình thức kiểm tra là làm bài tự luận, trong thời gian 1 tiết học (45phút), với đề bài:

Câu 1 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Tam giác

2

a

AB AC a C  Gọi E là trung điểm của AC.a

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và DE?

Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC S   D AB AC 1;BC  2.Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC?

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a 3

và (SAB)  ( ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN?

Kết quả thu được như sau:

Điểm Giỏi ( 8)

Điểm Khá(6.5 - <8)

Điểm Trung bình(5 - < 6.5)

Điểm Yếu(<5)Lớp 11B (40

3 Kết luận, kiến nghị