(SKKN 2022) giúp học sinh lớp 10 giải nhanh một số dạng toán xét dấu và giải bất phương trình bằng bảng xét dấu rút gọn

Trong quá trình dạy học lớp 10 môn đại số tôi nhận thấy khi vận dụng theophương pháp lập bảng xét dấu đầy đủ để giải các bài toán xét dấu biểu thức dạngtích thương các nhị thức bậc nhất,

Đơn vị công tác: Trường THPT Yên Định 1

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

Trang

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

I Dạng toán 1: Xét dấu biểu thức dạng tích thương các đa thức một

II Dạng toán 2: Giải bất phương trình có dạng đa thức một biến,

III Dạng toán 3: Giải bất phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình GDPT là đổi mớiphương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học môn toán Việcđổi mới phương pháp dạy học môn toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cựccủa học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có và phát huy trí lựccủa học sinh

Từ năm học 2016 - 2017, Bộ giáo dục áp dụng phương thức thi trắc nghiệm toánvào kì thi THPT quốc gia Do đó để làm quen với hình thức thi trắc nghiệm ngay từlớp 10 giáo viên cần trang bị cho các em học sinh những kỹ năng cần thiết, phươngpháp giải nhanh các bài toán

Năm học 2021 - 2022, tôi được phân công giảng dạy 2 lớp 10 cơ bản Đa số họcsinh tiếp thu kiến thức cơ bản môn toán học còn chậm, giáo viên cần có phươngpháp cụ thể, ngắn gọn, tối ưu cho từng dạng toán để học sinh tiếp thu bài được tốthơn

Trong quá trình dạy học lớp 10 môn đại số tôi nhận thấy khi vận dụng theophương pháp lập bảng xét dấu đầy đủ để giải các bài toán xét dấu biểu thức dạngtích thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai và áp dụng giải các bất phươngtrình dạng tích thương khá dài dòng, lại phải sử dụng đến nhiều kiến thức như định

lý về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai vừa mất nhiều thời gian và các emhọc sinh thường lúng túng, hay mắc sai lầm trong quá trình lập bảng xét dấu để giảicác bài toán Do đó sử dụng cách này không thích hợp cho việc cần giải nhanh bàitoán thi trắc nghiệm Trường hợp trong biểu thức xuất hiện các đa thức bậc cao hơnphải phân tích về các tam thức bậc hai hoặc nhị thức bậc nhất thì đa phần các emhọc yếu hơn không làm được Vì vậy, rút kinh nghiệm từ thực tế dạy học của bảnthân, để khắc phục những hạn chế trong cách giải truyền thống, giúp học sinh dễdàng tiếp thu được bài và có phương pháp tối ưu khi giải các bài toán phần này, tôi

xin đưa ra đề tài: “Giúp học sinh lớp 10 giải nhanh một số dạng toán xét dấu và giải bất phương trình bằng bảng xét dấu rút gọn”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm là kết quả tôi đúc rút được trong trong quá trình dạy họcsinh tiếp cận với hình thức thi trắc nghiệm về giải các bài toán về xét dấu biểu thứcdạng tích thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai và giải các bất phươngtrình dạng tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và các bài toán liên quan …

Tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh lớp 10THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải nhanh, hiệu quả các bài toán liên quanđến xét dấu biểu thức và giải bất phương trình; đồng thời giúp các giáo viên cóthêm tài liệu tham khảo trong quá trình dạy học phần này

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu cách hướng dẫn học sinh lớp 10 cơ bản giải nhanh các bài toánxét dấu biểu thức chứa tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai; giải

bất phương trình đại số dạng tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu; bất phươngtrình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối và trong căn bậc hai

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm khoa học

- Phương pháp điều tra

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những kiến thức cơ bản ở môn

toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic

và những kỹ năng cần thiết Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiêncứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vậndụng lý thuyết và các kiến thức liên quan vào làm bài tập, phân dạng các bài tậprồi tổng hợp các cách giải nhanh dễ áp dụng để giải bài tập

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp chohọc sinh lớp 10 THPT tìm ra phương pháp giải nhanh các bài toán xét dấu biểuthức và các bài toán liên quan Mặt khác, thông qua việc đặt câu hỏi giúp các emphát hiện ra vấn đề, từ đó ghi nhớ được phương pháp này lâu hơn

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Yên Định 1 những năm gần đây tuyển sinh đầu vào chất lượngtương đối thấp so với mặt bằng chung của tỉnh Học sinh các lớp tôi giảng dạy tiếpthu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức Chương trình toán 10 cơ bảnTHPT chỉ đề cập đến cách xét dấu một biểu thức theo phương pháp lập bảng xétdấu chung tất cả các nhị thức và tam thức có mặt trong biểu thức Cách làm này khádài dòng, mất nhiều thời gian và dễ gây lúng túng cho học sinh, đặc biệt là các em

có học lực yếu; hơn nữa cũng không áp dụng được để giải các bài bất phương trìnhchứa căn bậc hai hay các bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trong ví dụ trên, để giải tìm tập nghiệm của bất phương trình, ta chỉ cần lập bảngxét dấu rút gọn gồm 2 hàng như sau:

Giải bất phương trình bằng cách lập bảng xét dấu rút gọn là một phương pháp hay,độc đáo giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn, áp dụng cho nhiềudạng bài kể cả một số bài toán giải bất phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai vàbất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp này được xem là phương pháp sử dụng rất hay nhưng chưa phổ biến

ở bậc THPT, cũng như rất ít tài liệu mở rộng phương pháp này để giải các dạng bấtphương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối và trong căn bậc hai

2.3 Các giải pháp và biện pháp thực hiện

2.3.1 Kiến thức chuẩn bị

- Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a≠0):

x - +

f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a

(Quy tắc: Mỗi khoảng f(x) mang một dấu; bên phải cùng dấu a; f(x) đổi dấu quanghiệm đơn)

- Bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a≠0):

+ Trường hợp f(x) vô nghiệm

(Quy tắc: Mỗi khoảng f(x) mang một dấu; bên phải f(x) cùng dấu a)

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

(Quy tắc: Mỗi khoảng f(x) mang một dấu; bên phải cùng dấu a; f(x) đổi dấu quanghiệm đơn)

- Từ bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai và từ các ví dụ về dấu của biểu thức dạng tích thương ta rút ra kết luận sau:

* Đối với bài toán: xét dấu biểu thức dạng f(x) =

P(x)Q(x) hoặc f(x) = P(x).Q(x) (trong đó P(x),Q(x) là những đa thức và các đa thức P(x) và Q(x) có các nghiệm

+ Trên mỗi khoảng (;x ),1 (x ;x ), ,1 2 (x ;n ), biểu thức f(x) chỉ mang một dấu

(+ hoặc -)

+ Khoảng bên phải (xn; +∞) thì đa thức f(x) luôn cùng dấu với hệ số của lũy thừalớn nhất trong khai triển đa thức P(x).Q(x) (gọi tắt là hệ số a)

+ Qua mốc nghiệm đơn hay nghiệm bội lẻ thì f(x) sẽ đổi dấu

+ Qua mốc nghiệm kép hay nghiệm bội chẵn thì f(x) sẽ không đổi dấu

(Nếu không xác định rõ nghiệm bội chẳn, nghiệm bội lẻ thì để xét dấu của f(x)trong mỗi khoảng (xi;xi+1) ta lấy giá trị αi thuộc khoảng (xi;xi+1) và dùng MTBT tínhf(αi), nếu f(αi) > 0 thì f(x) có dấu +, nếu f(αi) < 0 thì f(x) có dấu -)

* Bài toán xét dấu biểu thức dạng f(x) =

P(x)Q(x) hoặc biểu thức dạng f(x)=P(x).Q(x)

có thể mở rộng khi biểu thức P(x); Q(x) là các biểu thức chứa ẩn trong dấu căn bậc hai, hay trong dấu giá trị tuyệt đối Ở các dạng này để xét dấu qua các nghiệm không phải nghiệm đơn, hay qua các mốc điều kiện (không phải nghiệm của tử và mẫu) ta phải dùng MTBT tính f(αi), với αi là giá trị đại diện trong mỗi khoảng

2.3.2 Tổ chức thực hiện

I Dạng toán 1: Xét dấu biểu thức dạng tích thương các đa thức một biến

Sau khi dạy học sinh làm các bài tập xét dấu biểu thức theo phương pháp truyềnthống trong sách giáo khoa theo yêu cầu bài dạy Trong các tiết bài tập và các tiết tự

chọn tôi đưa ra câu hỏi cho cả lớp thảo luận để tìm ra đặc điểm về dấu của biểuthức f(x) có dạng đa thức hay dạng tích thương các đa thức:

+ Nhận xét gì về dấu của f(x) trong mỗi khoảng giữa hai nghiệm kề nhau của tử vàmẫu?

+ Xác định các hệ số cao nhất của các biểu thức đa thức thành phần ở mỗi bài toán

đã làm?

+ Xác định dấu của tích các hệ số vừa tìm được?

+ So sánh dấu của f(x) ở khoảng ngoài cùng bên phải với dấu của tích các hệ số caonhất ở trên?

Sau khi nhận xét về dấu của f(x) trong bảng xét dấu, ta rút ra các kết luận sau:+ Dấu của f(x) không đổi trên mỗi khoảng

+ Dấu của f(x) ở khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với dấu của tích các hệ sốcao nhất của các biểu thức thành phần

+ f(x) đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ (có số lần lặp là lẻ) và không đổi dấukhi đi qua các nghiệm bội chẵn (có số lần lặp là chẵn)

Nếu đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì các nghiệm đó đều là nghiệm đơn vàf(x) sẽ liên tiếp đổi dấu qua các nghiệm

Trong trường hợp không xác định rõ nghiệm bội chẵn, bội lẻ ta có thể dùng MTBT

để tính giá trị đại diện cho mỗi khoảng

Từ đó rút ra quy tắc lập bảng xét dấu rút gọn của f(x) chỉ gồm 2 dòng (dòng x tađưa các mốc nghiệm của tử, mẫu; dòng f(x) là dấu trong mỗi khoảng) theo cácbước sau:

Bước 1: Tìm nghiệm của tất cả các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, các biểu

thức thừa số có mặt trong biểu thức cả tử và mẫu (với bước này có thể giải nhanhbằng MTBT) Xác định các nghiệm bội chẵn, nghiệm bội lẻ Sắp xếp các nghiệmtheo thứ tự từ nhỏ đến lớn từ trái qua phải x1x2  x n

Bước 2: Xác định dấu hệ số a bằng tích các hệ số của các lũy thừa lớn nhất trong

các đa thức thừa số Suy ra dấu của f(x) ở khoảng ngoài cùng bên phải x ;n  

Bước 3: Lập bảng xét dấu gồm 2 dòng x, f(x) và 2 cột Trong đó dòng x sắp xếp

các nghiệm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Dòng f(x) điền các mốc nghiệm của mẫu(f(x) không xác định), các mốc nghiệm của tử (f(x) = 0), xác định dấu f(x) khoảngbên phải (cùng dấu hệ số a), sau đó điền dấu f(x) trong các khoảng kế tiếp theo quytắc dấu của nghiệm bội chẵn, nghiệm bội lẻ, hoặc dùng MTBT tính giá trị đại diệncho mỗi khoảng

x -∞ x1 x2 … xn +∞f(x) ? | ? | … | cùng dấu a

Bước 4: Kết luận về dấu của f(x).

Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức:

- Hướng dẫn giải:

Tìm nghiệm các biểu thức thừa số:

Tam thức bậc hai x2 4x 4 có nghiệm kép x  (nghiệm -2 lặp lại 2 lần)22x 1 có nghiệm

1x2

2

x

-∞ -2

1

2 1 4 +∞f(x) - 0 - 0 + 0 - 0 +

(nghiệm x = -1 là nghiệm bội chẵn, các nghiệm còn lại là nghiệm bội lẻ)

Hệ số a (của tích các hệ số của các lũy thừa lớn nhất của tử và mẫu): a = 1.(-1) < 0

(nên khoảng bên phải (4; +∞) dấu của f(x) là -)

Bảng xét dấu rút gọn

x -∞ -2 -1 1 2 4 +∞f(x) - 0 + || + 0 - 0 + || -

(tại các nghiệm của mẫu, f(x) không xác định)

Kết luận

(các nghiệm chưa xác định rõ là nghiệm bội chẵn hay nghiệm bội lẻ)

Hệ số a = -1 < 0 (nên khoảng bên phải (2; +∞) dấu của f(x) là -)

Để tìm dấu của f (x) trong các khoảng còn lại ta lấy

- Nhận xét: Theo cách giải các bài toán trên, học sinh chỉ phải tìm nghiệm

của phương trình bậc 2, 3, 4 bằng MTBT rồi lập bảng xét dấu rút gọn Nếu lập bảng xét dấu đầy đủ thì phải phân tích f(x) thành tích rồi xét dấu, cách làm này sẽ khó khăn hơn đối với đa số học sinh

II Dạng toán 2: Giải bất phương trình có dạng đa thức một biến, hoặc tích thương các đa thức một biến

Cách giải:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng f(x) >0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0,

f(x) ≤ 0 (Đặt f(x) là vế trái)

Bước 2: Lập bảng xét dấu rút gọn f(x) theo dạng toán 1.

Bước 3: Kết luận về tập nghiệm của bất phương trình

Hệ số a = 1 > 0 (do đó khoảng bên phải có dấu +)

Các nghiệm đều là nghiệm đơn nên f(x) đổi dấu liên tiếp qua các nghiệm

Hệ số a = -2 < 0 (do đó khoảng bên phải có dấu -)

Các nghiệm đều là nghiệm đơn nên f(x) đổi dấu liên tiếp qua các nghiệm

Hệ số a = 2 > 0 (do đó khoảng bên phải có dấu +)

Các nghiệm đều là nghiệm đơn nên f(x) đổi dấu liên tiếp qua các nghiệm

Bảng xét dấu rút gọn

x

-∞ -1

22



- Nhận xét: Để giải bất phương trình trùng phương ta có thể đặt ẩn phụ, hay

phân tích vế trái thành tích Nhưng cách làm trên là đơn giản hơn cả

Ví dụ 4: Giải bất phương trình  2x 4 x  25x 6 x  2  9 0

(trong đó nghiệm x= -3 là bội chẵn, các nghiệm còn lại là bội lẻ)

Hệ số a = -2.1.1= -2 < 0 (do đó khoảng bên phải có dấu -)

Qua nghiệm bội chẵn x = -3 thì f(x) không đổi dấu, qua các nghiệm khác f(x) đều đổi dấu

(Các nghiệm đều là nghiệm đơn)

Hệ số a = 3.(-6).(-1) =18 > 0 (do đó khoảng bên phải có dấu +)

f(x) đều đổi dấu qua cách nghiệm

(Các nghiệm của tử và mẫu đều là nghiệm đơn)

Hệ số a = -2.1.1= -2 < 0 (do đó khoảng bên phải có dấu -)

f(x) đều đổi dấu qua cách nghiệm

Bảng xét dấu rút gọn

x -∞ 1 2 3 4 5 +∞

f(x) + || || + 0 || + ||

-Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là: T    1;2  3;4  5;

III Dạng toán 3: Giải bất phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối

Cách giải:

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng f(x) >0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0,

f(x) ≤ 0 (Đặt f(x) là vế trái)

Bước 2: Lập bảng xét dấu rút gọn f(x) theo dạng toán 1.

Lưu ý: Lũy thừa lớn nhất của biểu thức

n n 1

ax bx   lấy là a xn(hệ số là a )Tại nghiệm không rõ là nghiệm bội chẵn hay bội lẻ phải dùng MTBT để xét dấu f(x)

Bước 3: Kết luận về tập nghiệm của bất phương trình

Tìm được các nghiệm x=0; x = 5; x = 1; x = 4 (đều là nghiệm đơn)

Hệ số a = |1| =1 > 0 (do đó khoảng bên phải có dấu +)

Các nghiệm đều là nghiệm đơn nên f(x) đổi dấu liên tiếp qua các nghiệm

Bảng xét dấu rút gọn

x -∞ 0 1 4 5 +∞f(x) + 0 - 0 + 0 - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là: T  ;0    1;4  5;

(đều là nghiệm đơn)

Hệ số a = |3|-|1| = 2 > 0 (do đó khoảng bên phải có dấu +)

Các nghiệm đều là nghiệm đơn nên f(x) đổi dấu liên tiếp qua các nghiệm

Bảng xét dấu rút gọn

x

-∞ -3 -1

12



3

4 +∞f(x) + 0 - 0 + 0 - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là: T  3; 1 1 3;

2 4



     

- Nhận xét: Bài toán các dạng trên có thể giải theo cách bình phương 2 vế

nhưng phải khai triển theo hằng đẳng thức hoặc phải phân tích thành tích

2 2 2

(Các nghiệm đều là nghiệm đơn)

Hệ số a = |-1| = 1 > 0 (do đó khoảng bên phải có dấu +)

f(x) đều đổi dấu qua cách nghiệm

Bảng xét dấu rút gọn

x -∞ 2 5 +∞

f(x) + 0 - 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là: T 2;5

- Nhận xét: Dạng toán trên có thể giải theo cách chia trường hợp hay biến

đổi tương đương Nhưng các cách giải đó là tương đối phức tạp

Hệ số a = |1|+1 = 2 > 0 (do đó khoảng bên phải có dấu +)

f(x) đổi dấu qua nghiệm

1x2



, để xét dấu trong khoảng (-∞; -2) ta lấy

 +∞

(Các nghiệm của tử và mẫu đều là nghiệm đơn)

Hệ số a = -1.2 = -2 < 0 (do đó khoảng bên phải f(x) có dấu - )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) > 0 là:

- Nhận xét: Bài toán trên có thể giải theo cách chia thành 2 trường hợp để

phá dấu giá trị tuyệt đối Nhưng cách giải đó là khá dài dòng và phức tạp

IV Dạng toán 4: Giải bất phương trình chứa ẩn trong căn bậc hai

(Lưu ý: Ta chỉ lập bảng xét dấu trong miền thõa mãn điều kiện, gạch chéo miền

không thõa mãn điều kiện

Khi xét dấu của f(x) trong các khoảng ta dùng chức năng CALC của MTBT)

Bước 3: Kết luận về tập nghiệm của bất phương trình