(SKKN 2022) đồ thị của hàm đạo hàm với sự biến thiên và cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM VỚI SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Thị Hằng Chức vụ: Giáo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM VỚI SỰ BIẾN THIÊN

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Thị Hằng

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2022

1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 2

1 MỞ ĐẦU

1 1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạohàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong nhữngkiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tínhđạo hàm, hoặc khảo sát hàm số Còn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giảicác bài toán liên quan qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THPT và tìm hiểu

về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy học sinh còn rất lúng túng, bỡ ngỡ.Đây là mội chủ đề thường gặp trong các đề thi THPT Quốc Gia, đề thi tốtnghiệp THPT môn Toán hàng năm mà chưa có tài liệu nào bàn sâu Nhằm giúpcác em học sinh hứng thú trong học tập, biết cách khai thác, vận dụng các kiếnthức liên quan đến đạo hàm để giải quyết các bài toán đồ thị hàm đạo hàm và

các bài toán liên quan tôi đã chọn viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Đồ thị của hàm đạo hàm với sự biến thiên và cực trị của hàm số” trình bày một số

kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy nhằm phục vụ công tác dạy

và học trong nhà trường

Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm

số y f x'( ) và hàm sốy f x( ) thông qua một số bài toán liên quan Bằng cáchsắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp họcsinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dungứng dụng phong phú và giúp học sinh định hướng được năng lực tư duy và tiếpcận kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022

1.2 Mục đích nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi nhằm mục đích:

- Đề tài giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa hàm số yf x'( ) và hàm

số y f x( ) thông qua một số bài toán liên quan Từ đó, học sinh định hướngđược năng lực tư duy và tiếp cận kỳ thi tốt nghiệp THPT với các bài toán về mốiquan hệ giữa đồ thị hàm số y f x'( ) và hàm số yf x( ) thông qua sự biếnthiên và cực trị của hàm số

- Nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm của người giáo viên

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khối 12 năm học 2021-2022 tại trường THPT Yên Định 1

- Chương trình toán 12

- Đề tài nghiên cứu các bài toán về đồ thị hàm đạo hàm với sự biến thiên

và cực trị của hàm số nhằm giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về vấn đề khảo sáthàm số như: hình dạng đồ thị, sự biến thiên, cực trị của hàm số Từ đó, giúp họcsinh hoàn thiện kỹ năng và tiếp cận kỳ thi tốt nghiệp THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu:

+ Sách giáo khoa, sách giáo viên, nội dung giảm tải chương trình, hướng dẫn thực hiện chương trình Toán 12

+ Sách tham khảo và các tài liệu trên Internet về các vấn đề liên quan đến đềtài.

1.4.2 Phương pháp điều tra, quan sát:

Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng việc giải quyết bài toán đồ thịhàm đạo hàm và các bài toán liên quan

1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

2

2 NỘI DUNG 2.1 Đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số

b) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số y f x( ) cĩ đạo hàm trên K

+) Nếu '( ) 0f x  với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K.

+) Nếu '( ) 0f x  với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K.

Tĩm lại, trên K

'( ) 0 ( )

'( ) 0 ( )

đồng biến nghịch biến

Ví dụ 1 (Câu 39 mã đề 123 đề thi THPT Quốc Gia năm 2019)

Cho hàm số f x( ), hàm số yf x( ) liên tục trên  và cĩ đồ thị như hình vẽ bên.Bất phương trình f x( ) x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x (0;2)khi và chỉ khi

cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng ( 1;2).

B Hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng (1;2).

C Hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng ( 2;1).

D Hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng (0;2).

g x  f  x    Lập bảng biến thiên của hàm số x y g x ( ) như sau

 Ở cách 1, học sinh cần có kĩ năng xét dấu của '( ) f x bằng cách chỉ ra được

phần đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hoành, suy ra dấu của '(2 f  x).

'( )

y f x với trục hoành, từ đó xây dựng được dạng hàm số y f x'( ) có đồ

thị như hình vẽ, do đó suy ra được dạng của hàm số y g x ( ) Việc xét dấu

của '( ) g x là đơn giản chỉ cần dựa vào tích của các nhị thức bậc nhất mà

 Qua ba cách giải trên, các phương án gây nhiễu đều dựa vào những sai lầm

trong cách tư duy của học sinh Chẳng hạn như phương án A, D dựa trên

sai lầm là học sinh chỉ đơn thuần là giải bất phương trình '(2 f  x) 0 mà

chưa thấy được mối quan hệ giữa '( ) g x và '(2 ) f  x bởi quan hệ ràng buộc

'( ) '(2 )

g x  f  x Phương án B chỉ là nhiễu số vì hàm số yf(2 x)

đồng biến trên khoảng (3; ) (2;).

Với những phân tích như trên, chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng được hàng

loạt các bài tập tương tự để học sinh rèn luyện kĩ năng cũng như tư duy một

cách trực quan qua đồ thị hàm số yf x( ) như sau:

Bài toán tổng quát 1.

Cho hàm số y f x( ) và a là một số thực bất kỳ Hàm số y f x'( ) có đồ thị

như hình bên Hàm số yf (a x) đồng biến trên khoảng

6

mO n p

Từ bảng biến thiên của hàm số y g x ( ), hàm số y g x ( ) đồng biến trên

khoảng ( 2;0) nên khẳng định hàm số y g x ( ) nghịch biến trên khoảng ( 1;0)

là sai Chọn phương án B.

Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y f x'( ) suy ra rằng hàm số yf x'( ) có

dạng f x'( ) a.( x1) (2 x 2) với a  , suy ra 0

g(−2) g(2)

Cách 3: Từ g x( )f x( 2  2) suy ra g x'( ) 2 '( xf x2  2). Khi đó

2 2

2 2

2

00

'( 2) 0

(2)0

1

2 2'( 2) 0

x x

2

2

2

00

'( 2) 0

2 2

x x

Từ (2) suy ra phương án B sai.

Từ (3) suy ra phương án D đúng vì x  là một nghiệm của '( ) 0.1 g x 

Nhận xét

 Như vậy, trong tình huống cụ thể mức độ bài toán sẽ thay đổi Bài toán

có thể tổng quát theo hướng tác động đồ thị của hàm số yf x'( ) hoặc tác

2

x

h x f x 

Mệnh đề nào dướiđây đúng?

A Hàm số y h x ( ) đồng biến trên khoảng ( 2;3).

B Hàm số y h x ( ) đồng biến trên khoảng (0;4)

C Hàm số y h x ( ) nghịch biến trên khoảng (0;1)

D Hàm số y h x ( ) nghịch biến trên khoảng (2;4)

Lời giải.

Do

2( ) ( )

 Điểm x0D được gọi là điểm cực đại của hàm số ( )f x nếu tồn tại một

khoảng ( ; )a b D sao cho x0( ; )a b và f x( )0  f x( ), x ( ; ) \a b  x0

 Điểm x1D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số ( )f x nếu tồn tại

khoảng ( ; )a b D sao cho x1( ; )a b và f x( )1  f x( ), x ( ; ) \a b  x1

Tuy nhiên hàm số cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo

hàm, chẳng hạn với hàm y x , đại cực trị tại x 0 0 nhưng khơng cĩ đạo hàm

tại đĩ

Điều kiện đủ

 Nếu f x'( ) 0,0   x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,0   x ( ; )x b0 thì f x( )đạt cực tiểu tại x0

 Nếu f x'( ) 0,0   x ( ; )a x0 và f x'( ) 0,0   x ( ; )x b0 thì f x( )đạt cực đại tại x0

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số yf x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0

10

y CT

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M x y( ,0 CT)

Nếu đạo hàm của hàm số yf x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0.

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M x y( ,0 CD)

2.2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1[3]

Cho hàm số ( )f x xác định trên  và có đồ thị của

hàm '( )f x như hình vẽ Hỏi hàm số ( ) f x đã cho có

( )

f x

3( )

f x

+∞

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số yf x( ) có 3 cực trị

Ví dụ 2[4]

Cho hàm số yf x( ) liên tục trên  , đồ thị

của đạo hàm '( )f x như hình vẽ bên Trong

các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

f (x) −∞

f(−2)

f(0)

+∞

Từ bảng biến thiên suy ra:

 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  Phương án A đúng.0.

 Hàm số đạt cực đại tại điểm x  Phương án C đúng.0.

B Giá trị của (0)f lớn hơn giá trị của (3).f

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; 2). 

D lim ( ) và lim ( ) .

Từ bảng biến thiên, suy ra

 Hàm số cĩ 3 điểm cực trị là x4,x2,x Phương án A sai.0

 Hàm số đồng biến trên khoảng ( 4; 2)  nên hàm số đồng biến trênkhoảng ( 3; 2).  Phương án C sai.

với C là hằng số, a > 0 Với mỗi C và với mỗi a suy ra

Cho hàm số yf x( ) xác định, liên tục trên  và

có đồ thị của '( )f x như hình sau Xác định điểm

(xem hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị hàm số y g x '( ), ta

thấy g'( )x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm

1

x  Vậy hàm số y g x ( ) đạt cực tiểu tại x 1.

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số yf x'( ), suy ra

C x 1. D x 1.

Lời giải.

Do ( )g x f x( ) x nên '( )g x f x'( ) 1. Do đó đồ thị

của hàm số '( )g x có được bằng cách tịnh tiến đồ thị

của hàm số '( )f x dọc theo trục tung đi xuống 1 đơn

vị

Từ đồ thị hàm số y g x '( ) ta thấy '( )g x đổi dấu từ

dương sang âm khi đi qua điểm x  Do đó ( )1. g x

2017

x

có sốđiểm cực trị là:

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị hàm

số yf x'( ) như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số

0 0'( ) 2018 0 và '( ) 2018 0

Vẽ parabol y (x 1) ,2 dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm

số y f x'( ) và parabol ta cĩ bảng biến thiên của hàm số y g x ( ) như sau

−

3

− 2

O x

123 4

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên , hàm

số yf x'( ) đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau

đồ thị như hình vẽ bên khi đó nhận xét nào sau đây sai?

A Trên khoảng (-2; 1 ) thì hàm số f x( ) luôn tăng.

B Hàm số ( )f x giảm trên đoạn có độ dài bằng 2.

C Hàm số f x( ) đồng biến trên khoảng (1;)

D Hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng ( ; 2).  

Bài 4 (THPT Quốc Học Quy Nhơn).

Cho hàm số yf x( ) liên tục trên khoảng (-3; 4) và

có đạo hàm '( )f x cũng liên tục trên (-3; 4) Đồ thị

của hàm số f x'( ) trên khoảng (-3; 4) được cho bởi

hình vẽ bên Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào

đúng?

A Hàm số yf x( ) nghịch biến trên khoảng (0; 2)

B Hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng (-3; 0)

C Hàm số yf x( )đồng biến trên khoảng (2; 4)

D Hàm số yf x( ) đồng biến trên khoảng (-2;

1)

Bài 5

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm liên tục trên  và

16

có đồ thị hàm số yf x'( ) như hình vẽ Xét hàm số yf x( 2  3) và các mệnh

đề sau:

I Hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị.

II Hàm số ( )g x đạt cực tiểu tại x = 0.

III Hàm số g x( ) đạt cực đại tại x = 2.

IV Hàm số ( )g x đồng biến trên khoảng (- 2; 0).

V Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (- 1; 1)

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12A4 tôi đã thu được kết quả:

Xếp loại Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài

Số học sinh Tỉ lệ % Số học sinh Tỉ lệ %

Yếu, kém 0 0 0 0

Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú và chăm học hơn với mônToán học, không bị áp lực phải ngồi học trong các giờ học Toán, tạo được niềmtin và sự hứng thú trong học tập của các em

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.

Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc trung học phổ thông và

nghiên cứu đề tài “Đồ thị của hàm đạo hàm với sự biến thiên và cực trị của hàm số”, tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa hàm số yf x'( )

và hàm số yf x( ) thông qua một số bài toán liên quan

Đề tài đã hệ thống kiến thức nền tảng theo từng bài toán liên quan Hình

18

thành cách tư duy giải các bài toán Giải quyết được tình huống thực tiễn khinghiên cứu về đồ thị hàm sốy f x'( ) Xây dựng được hệ thống bài tập phongphú, với chuỗi bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có phương pháp giải rõràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây được hứng thú học tập cho họcsinh, làm cho học sinh không còn thấy sợ lúng túng, bỡ ngỡ khi làm bài tập cácdạng toán này

Do thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi khôngtránh khỏi còn nhiều hạn chế Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp

để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình Tôi cũng rất mong sự quan tâm,xem xét và đánh giá động viên của Hội đồng khoa học các cấp để tôi có thêmđộng lực hoành thành tốt mọi công việc được giao và tôi sẽ cố gắng hơn trongcác đề tài sau này

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Yên Định, ngày tháng năm 2022

CAM KẾT KHÔNG COPY

Tác giả

Lê Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Giải tích 12 – Bộ GD&ĐT

2 Các dạng toán và phương pháp giải giải tích 12 (Tự luận và trắcnghiệm) - Nguyễn Hữu Ngọc - NXBGD

3 Giải toán và câu hỏi trắc nghiệm giải tích 12 - Trần Thành Minh,

Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa - NXBGD.

4 Rèn luyện giải toán, giải tích 12 - Dương Bửu Lộc, Đặng PhúcThanh, Nguyễn Trọng Tuấn - NXBGD

5 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán: Hàm số - TrầnPhương - NXBHN

6 1000 bài tập trọng tâm và điển hình môn toán Hoàng Văn Minh NXB ĐHSP

-7 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Hoàng VănMinh, Lê Đình Tiến - NXB ĐHSP

8 Bài giảng ôn thi tốt nghiệp THPT theo chủ đề: Giải tích 12 - ĐỗViết Tuân (Chủ biên), Trần Tuấn Ngọc, Trần Thị Thủy, Ngô Thị ThuHằng - NXB ĐHQGHN

9 Các đề minh họa và các đề thi THPT Quốc Gia, đề thi tốt nghiệpTHPT môn toán những năm gần đây

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ

CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Hằng

20

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Yên Định 1.

Tên đề tài SKKN

Năm cấp Xếp loại

Số, ngày, tháng, năm của quyết định công nhận, cơ quan ban hành QĐ

1 Góp phần phát triển tư duy

sáng tạo cho học sinh qua dạy học

đường vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau - khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

2005 C

Quyết định số 132/QĐKH-GDCN ngày19/4/2005

Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

2 Phát triển tư duy cho học

sinh lớp 10 ban khoa học tự nhiên

qua dạy học giải phương trình vô

tỷ

2008 C

Quyết định số SGD&ĐT ngày

462/QĐ-19/12/2007

Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

3 Khai thác và xây dựng các

bài tập hình học không gian có tính

hệ thống để phát triển tư duy sáng

tạo, tính tích cực và năng lực giải

bài tập cho học sinh lớp 11 và học

sinh lớp 12 ôn thi đại học

2016 B Quyết định số

972/QĐ-SGD&ĐT ngày 24/11/2016

Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa