(SKKN 2022) định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO HAI HAY NHIỀU ĐỒ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI MỘT

SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO HAI HAY NHIỀU ĐỒ THỊ CHO TRƯỚC Ở MỨC ĐỘ

VẬN DỤNG

Người thực hiện: Phạm Văn Quí Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2022

MỤC LỤC Trang

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 32.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Phương pháp giải nhanh các bài toán không có tham số về

tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở

mức độ vận dụng

5

2.3.2 Phương pháp giải nhanh các bài toán có tham số về tính

đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở

mức độ vận dụng

10

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 15

Danh mục: Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng

đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp

cao hơn xếp loại từ C trở lên

20

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị là bài toán thường xuất hiện

ở các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia (từ năm 2019 trở về trước) cũngnhư các kỳ thi tốt nghiệp THPT, vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đốivới học sinh cũng như giáo viên Hơn nữa từ năm học 2016 – 2017 Bộ giáo dục

đã chuyển môn toán sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan nên các bài toán

về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị càng trở nên đa dạng và phong phú,đồng thời kiến thức trải rất rộng và có tính phân hóa cao Mặt khác vì hình thứcthi trắc nghiệm khách quan nên phần lớn các bài toán tính đơn điệu của hàm sốdựa vào đồ thị cần phải suy luận logic và hầu như ít sử dụng được máy tính cầmtay, đặc biệt hơn trong những năm gần đây các bài toán về tính đơn điệu củahàm số dựa vào đồ thị ở mức độ vận dụng thường có xu hướng gắn với đồ thịhàm số cho trước làm cho giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm tòilời giải, vì để giải quyết được các bài toán loại này yêu cầu đòi hỏi phải có kiếnthức tổng hợp về hàm số và đồ thị, kỹ năng đọc đồ thị và sự tương giao của đồthị, đồng thời phải linh hoạt trong việc vận dụng kiến thức đơn điệu của hàm sốvào từng bài toán cụ thể Ngoài ra, các tài liệu tham khảo trong những năm gầnđây mới chỉ tổng hợp phân loại các dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số ởmức độ nhận biết, thông hiểu, còn ở mức độ vận dụng mới chỉ dừng lại ở cácdạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số y f x  khi biết đồ thị hàm số

pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình

ôn thi tốt nghiệp THPT Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trongquá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài

“Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng”

nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt kết quả tốtnhất trong các kì thi

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướngđược cách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số số bài toán

về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ

vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng Từ đó kích thích khả năng tư duy,

phát triển tư duy hàm của học sinh cũng như sự ham hiểu biết và yêu thích mônhọc của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Kiến thức về hàm số, đồ thị của hàm số trong chương trình toán THPT

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài toán không có tham số

về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độvận dụng

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh các bài toán có tham số vềtính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vậndụng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp thống kê, so sánh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Những kiến thức cơ bản về hàm số, đồ thị của hàm số

2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số

Hàm số yf x  nghịch biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x x1; 2

thuộc K mà x nhỏ hơn 1 x thì 2 f x 1 nhỏ hơn f x 2 , tức là:

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số

2.1.2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

* Định lí

Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên K

a) Nếu f x '  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x  đồng biến trên K

b) Nếu f x '  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x  nghịch biến trên K

* Chú ý

Ta có định lí mở rộng sau đây

Giả sử hàm số yf x  có đạo hàm trên K Nếu f x'  0 f x'  0 ,  x K

và f x '  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến)

2.1.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a b;  và có đạo hàm tại

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Đối với giáo viên

- Trước đây bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị cho trướctrong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016) chỉ là một bài áp dụngtrực tiếp đồ thị đã khảo sát ở câu trước đó vì vậy mức độ nhận thức cũng khôngđòi hỏi quá cao

- Hiện tại với hình thức thi trắc nghiệm và đặc biệt là đề thi THPT Quốcgia các năm gần đây cũng như kỳ thi Tốt nghiệp THPT các năm 2020, 2021 vàcác đề tham khảo của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, các đề thi thử của các trườngTHPT, các câu hỏi về tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị cho trước đã xuấthiện nhiều hơn, rộng hơn Đặc biệt thường xuyên xuất hiện những câu hỏi vềtính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vậndụng Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậynguồn tham khảo của giáo viên cũng như học sinh còn hạn chế còn hạn chế

- Các giáo viên chưa có nhiều tài liệu và thời gian nghiên cứu những dạngtoán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước, vì vậychưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giảinhững bài toán về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị chotrước ở mức độ vận dụng

2.2.2 Đối với học sinh

- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn vềkinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các

em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình

- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận

và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ýthức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bàitoán

- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít

- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bàitoán mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa

- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài toán bài toán về tính đơnđiệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước các em chưa được tiếpxúc nhiều, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng Bên cạnh đó các em cònchưa định hướng được phương pháp đúng đắn khi tiếp xúc với các bài toán vềtính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vậndụng nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này

Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán vềtính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vậndụng bằng cách “ định hướng” cho học sinh cách giải một số bài tập ở dạng nàymột cách “chính xác” và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy và kíchthích sự ham học tập của các em

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Phương pháp giải nhanh các bài toán không có tham số về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng

Bài 1: Cho hàm số yf x y g x( ),  ( ) liên tục trên  và có đồ thị các đạo hàm( )

f x , ( )g x (đồ thị ( )g x là đường đậm hơn) như hình vẽ Hàm số

h x f x  g x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Với bài toán này thì ta định hướng tìm lời giải bằng cách tìm đạo hàm h x' ,

sau đó cho h x '  0 và tìm các khoảng giá trị của x

* Nhậ n xét: Đây là bài toán khá quen thuộc nên việc tìm ra lời giải bài toán

cũng không phải là vấn đề, chỉ cần lưu ý khi đọc đồ thị hai hàm f x'  và

4

 

* Phân tích: Với các bài toán đơn điệu của hàm số thì học sinh khá quen với bài

toán “hàm ẩn” như cho đồ thị hàm số yf x'  yêu cầu tím các khoảng đơnđiệu của hàm f x  hoặc hàm g x  mà sau khi đạo hàm lên sẽ thấy hàm f x' .

Tuy nhiên với bài toán này đề bài cho hai đồ thị hàm số yf x  và y g x  

và yêu cầu tìm khoảng đồng biến của hàm    4 2 3

x  và

32

 Chọn B

* Nhận xét: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh nếu chưa được tiếp cận,

khi giải bài toán này học sinh thường chỉ tính được đạo hàm h x'  chứ không

biết đánh giá h x'  dựa vào các đáp án Bài toán này đòi hỏi về tư duy hàm của

học sinh ở mức cao, biết đánh giá giá trị hàm số và vận dụng tính đơn điệu của

đồ thị hàm số một cách trục quan từ hình vẽ

Bài 3: Cho hai hàm số f x  và g x  có đồ thị các đạo hàm f x'  và g x' 

như hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số h x  f x  1  g2x đồng biến trên cáckhoảng nào dưới đây?

A 1;0 B

1

1 ;2

 

* Phân tích: Đây là bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 2 nên ta sẽ định hướng

cho học sinh tính h x'  và đánh giá h x'  dựa vào đồ thị theo các đáp án đề bài

 Chọn C

* Nhận xét: So với bài 1 thì bài 2 được đánh giá “dễ” hơn, các dữ kiện bài toán

cho trùng khớp với cách đánh giá, vì vậy nếu đã từng làm dạng toán này rồi thìhọc sinh sẽ dễ dàng tìm ra lời giải hơn

Bài 4: Cho ba hàm số y f x y g x y h x( ),  ( ),  ( ) Đồ thị của ba hàm số

sẽ trở nên ko khả thi vì có tới ba đồ thị, vì vậy ta sẽ đánh giá đạo hàm k x' 

theo các giá trị của đáp án để từ đó tìm ra lời đáp án bài toán

 

 Chọn C

* Nhận xét: Như vậy các bài toán ở dạng này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng

đọc đồ thị thật thành thạo đồng thời biết vận dụng linh hoạt việc đánh giá giá trị hàm số để tìm được khoảng đơn điệu của hàm số thông qua các đáp án cho trước

Bài 5: Cho hàm số yf x( ), yf x'( ) có đồ thị như hình vẽ Trên khoảng

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y e x 10f x( )

 có hai khoảng nghịch biến ( , );( ;3)a b c

 Chọn B

* Nhận xét: Nhìn chung các bài toán dạng này không có một phương pháp cụ

thể nào tối ưu để giải quyết được tất cả các bài toán, mỗi bài toán ta phải biết tư duy, tống hợp và xâu chuỗi các kiến thức đã học để vận dụng linh hoạt vào bài toán cụ thể Tuy nhiên nếu đề bài đã cho hai hay nhiều đồ thị thì ta phải để ý đến

sự tương giao và phải độc đồ thị một cách chính xác, từ đó vận dụng triệt để các giả thiết bài toán đã cho để tìm ra hướng giải bài toán

2.3.2 Phương pháp giải nhanh các bài toán có tham số về tính đơn điệu của hàm số dựa vào hai hay nhiều đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng

Bài 1: Cho hàm số y f x  và y g x   là hai hàm số liên tục trên  có đồ thịhàm số yf x'  và y g x '  như hình vẽ Gọi ba giao điểm A, B, C của

 

'

y f x và y g x '  trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a b c, ,

Gọi h x  g x   f x , khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số y h x   đồng biến trên khoảng a c; 

B Hàm số y h x   đồng biến trên khoảng a b; 

C Hàm số y h x   đồng biến trên khoảng b c; 

D Hàm số y h x   nghịch biến trên khoảng a c; 

* Phân tích: Đây là bài toán chứa tham số nhưng ở mức độ vừa phải, chỉ cần

kỹ năng đọc đồ thị ở mức cơ bản mà cụ thể là sự tương giao của hai đồ thị là ta

có thể xét được dấu của hàm số h x'  g x'   f x'  trên a c;  Hơn nữa ta

chỉ cần lập được bảng biến thiên của hàm số y h x   trên a c;  là bài toán

được giải quyết

Giải:

Ta có: h x'  g x'   f x' 

Ta có bảng biến thiên đồ thị hàm số h x  g x   f x  trên khoảng a c; 

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y h x   đồng biến trên khoảng b c; 

 Chọn C

* Nhận xét: Bài toán này được giải theo quy trình “cơ bản” của việc xét tính

đơn điệu hàm số đó là: Tính đạo hàm; Xét dấu đạo hàm(dựa vào sự tương giaocủa hai đồ thị); lập bảng biến thiên và kết luận về các khoảng đơn điệu Điềunày là khá quen thuộc với học sinh nên việc định hướng cho học sinh là kháthuận lợi

Bài 2: Cho hai hàm số y f x  và y g x   có đồ thị như hình vẽ Biết rằnghai hàm số yf 2x 1 và y g ax b    có cùng khoảng nghịch biến Khi đó

khoảng nghịch biến thông qua khoảng nghịch biến của hàm số y f 2x 1, từ

x x





  

Xét hàm số y g ax b    ta có: y'g ax b'   a g ax b '  

biết xét các trường hợp của tham số a để tránh sai sót Về mức độ tư duy bài

toán này cũng không đòi hỏi cao nên việc định hướng cho học sinh cũng khôngphải là vấn đề

Bài 3: Cho hai hàm số f x  và g x  có một phần đồ thị biểu diễn đạo hàm

* Phân tích: Đây là bài toán chứa tham số nên việc định hướng lời giải sẽ khó

khăn hơn, tuy nhiên khi đạo hàm hàm số h x  ta được:

h x f x  g x  a Từ đồ thị ta thấy nếu h x  f x  g x  thì

h x f x  g x   f x  g x   a x b  khi đó khoảng đồng biến

là a b;  Tuy nhiên thực tế bài toán lại có h x  f x   g x   a2 0

   , vì vậy ta nghĩ đến việc tịnh tiến đồ thị g x'  để làm xuất

hiện đồ thị g x'  a2 sao cho vẫn tồn tại khoảng a b;  như trên, tức là tịnh

tiến sao cho vẫn còn phần đồ thị g x'  “nằm dưới” đồ thị f x'  Đó chính là

hướng giải của bài toán

* Nhận xét: Để giải được bài toán này ta phải liên hệ được phép tịnh tiến đồ thị

với đọc đồ thị một cách chính xác cũng như sự tương giao của hai đồ thị

Bài 4: Cho hai hàm số f x  ax4bx3 cx2 dx e với a  và0

 Khi đó hàm số y x 4  2.h x  đồng biến trênkhoảng nào sau đây?

A 0 ;   B 5 ; 0 C 4 ; 0 D   ; 5

* Phân tích: Mới nhìn vào đề bài ta thấy nhiệm vụ bài toán khá khó khăn vì

phải tìm được h x  hoặc h x'  mà lượng tham số lại rất nhiều Chính vì tham

số quá nhiều nên ta không thể tìm được cụ thể hàm số f x  và g x  Tuy

nhiên bài toán lại cho rõ ràng các hoành độ giao điểm của hai hàm số f x  và

 

g x vì vậy ta sẽ hướng cho học sinh tìm phương trình hoành độ giao điểm

f x  g x dựa vào các nghiệm 2; 1; 1; m đó cũng chính là tìm được h x .

Tuy nhiên cũng phải lưu ý cho học sinh về giả thiết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y f x  g x tại điểm có hoành độ x  có hệ số góc bằng 2

152

+ Đồ thị hàm số y f x đi qua gốc tọa độ nên e 0.

nên  2 15

2

.Mà: h' 2  a2 1  2 1   2 m Nên:

7 2 13

0,073

* Nhận xét: Để giải được bài toán này đòi hỏi mức độ tư duy tổng hợp, vận

dụng các kiến thức về đồ thị, tương giao của hai đồ thị cũng như kiến thức vềtiếp tuyến của hàm số phải tốt Học sinh phải biết chuyển từ đồ thị sang phươngtrình hoành độ giao điểm cũng như phương pháp “đồng nhất hệ số” để tìm rahàm số h x  Khi tìm được hàm số h x  thì bài toán được giải quyết

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng thành công ở lớp 12 trường THPTHậu Lộc 3 và đã mang lại những kết quả tích cực đối với học sinh cũng nhưđồng nghiệp giáo viên

- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần đồthị hàm số, đặc biệt là những bài toán về số nghiệm của phương trình thông qua

đồ thị cho trước ở mức độ vận dụng đã giúp tôi có những kiến thức mới và kinh