(SKKN 2022) Góp phần phát triến tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học một số bài toán về phương trình chứa tham số

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhu

TRƯỜNG THPT SẦM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC

SINH THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ

PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

Người thực hiện:Lê Thị Tuyết Nhung

Chức vụ : Tổ trưởng chuyên môn.

SKKN thuộc môn : Toán

THANH HÓA, NĂM 2022

Mục lục

1.Mở đầu 3

1.1 Lí do chọn đề tài 3

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm .4

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 4

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Tổ chức các hoạt động phát hiện sự tương ứng, lợi dụng sự tương ứng .5

2.3.2 Trang bị tốt cho học sinh các tri thức phương pháp về hàm số, những phương pháp thường dùng khi giải phương trình có chứa tham số .7

2.3.3.Cần hình thành cho học sinh một số biểu tượng về sự tương ứng thường gặp khi giải phương trình, bất phương trình .9

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường .19

3 Kết luận, kiến nghị 19

3.1.Kết luận .19

3.2.Kiến nghị .19

1.Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Dạy học toán là dạy hoạt động tư duy cho học sinh, có nhiều loại tư duynhư tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng, tư duy độc lập, tư duyhàm

Tương quan hàm là một khái niệm trung tâm của Toán học, khái niệm hàmcũng là khái niệm chủ đạo xuyên suốt chương trình toán phổ thông Thông quadạy học, học sinh nắm vững và biết vận dụng tốt những tư tưởng của tươngquan hàm vào giải quyết các vấn đề của toán học cũng như thực tiễn Hiện naytrong nhà trường phổ thông tương quan hàm được đề cập nhiều trong môn đại

số và giải tích, một nội dung rất quan trọng và thường hay xuất hiện trong các đềthi tốt nghiệp THPT hay thi học sinh giỏi đó là phương trình, đặc biệt là phươngtrình chứa tham số Với mong muốn giúp học sinh có một cái nhìn tổng quan vềphương trình chứa tham số, nhất là những phương trình giải được bằng phương

pháp đặt ẩn phụ, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Góp phần phát triến tư duy hàm cho học sinh thông qua dạy học một số bài toán về phương trình chứa tham số ”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những khó khăn, vướng mắc của học sinh khi học chủ đềphương trình, đặc biệt là những bài toán chứa tham số Phân tích, tìm tòi và xâydựng phương pháp giải thông qua các ví dụ mẫu Đề xuất hệ thống bài tập vừasức, hướng dẫn học sinh nghiên cứu, tìm tòi những bài tập cùng loại, góp phầnnâng cao chất lượng dạy học học một số bài toán về phương trình có chứa tham

số cho học sinh trong trường phổ thông

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp giải dạng toán phương trình có chứa tham

số ở các đề thi thử tốt nghiệp THPT của các trường THPT, các Sở GD&ĐT trên

cả nước, phân tích và tìm hiểu những khó khăn của học sinh thường gặp phảikhi học chủ đề này

Các vấn đề tôi trình bày trong đề tài nhằm phát triến tư duy hàm cho học sinhthông qua dạy học một số bài toán về phương trình có chứa tham số

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sáng kiến này dựa trên phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết, hệ thống lại kiếnthức cơ bản có liên quan, xây dựng hệ thống bài tập vận dụng kiến thức cũ và tổchức thực hiện

Thực tiễn dạy học cũng như việc dự giờ, trao đổi chuyên môn với đồngnghiệp cũng giúp cá nhân tôi hoàn thiện cơ sở lý luận và tổ chức triển khai ápdụng

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trước hết, nói về thuật ngữ tư duy hàm; tư duy hàm tất nhiên không phải

là một thuật ngữ toán học, tư duy là một khái niệm tâm lý, còn hàm là một kháiniệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sựtương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó

Cho đến nay vẫn chưa có một định nghĩa thống nhất, chính thức về tư duyhàm Theo Koliagin- tư duy hàm được định nghĩa như sau: Tư duy hàm là mộtloại hình tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức được tiến trình những sự tươngứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất củachúng ( kể cả kỹ năng vận dụng chúng) [1]

Theo Nguyễn Bá Kim thì tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt động : phát

hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tương ứng [5]

Như vậy có thể nói tư duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sựnghiên cứu những quy luật của sự vật, hiện tượng trong trạng thái biến đổi sinhđộng chứ không ở trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ khôngphải cô lập tách rời nhau

Theo cách hiểu này, tư duy hàm không chỉ cần thiết đối với các nhà khoahọc mà nó cũng rất cần thiết đối với người lao động, nó là yếu tố quan trọngtrong văn hóa toán học, giúp người lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xãhội và tư duy Chẳng hạn, sản phẩm của tư duy hàm thể hiện qua câu ca dao: “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” thể hiện sựtương ứng giữa độ cao và thời tiết Hay trong câu hát: “Quê hương mỗi ngườichỉ một, như là chỉ một mẹ thôi” thì sự tương ứng ở đây là: một người- một quêhương- một mẹ

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chủ yếu khai thác các ví dụ, bài tập làcác tình huống dạy học nhằm phát triển tư duy hàm cho học sinh theo tư tưởng

và quan điểm của Nguyễn Bá Kim

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn dạy học cho thấy: số tiết ở trên lớp không nhiều trong khi đókhối lượng kiến thức cần truyền thụ cho học sinh rất lớn Đặc biệt là tư duy hàm( kiến thức về hàm số) là sợi chỉ đó xuyên suốt chương trình, nội dung môn toánbậc THPT Những tri thức về hoạt động tư duy hàm đặc biệt là tri thức phươngpháp không được quy định trong chương trình cho nên không được dạy mộtcách tường minh cho học sinh, do đó khi dạy phần này giáo viên thường không

đi sâu, truyền đạt chưa hết được các đặc trưng chủ yếu của tư duy hàm Việc họccủa học sinh cũng còn nhiều hạn chế, nhất là học sinh không thấy được tầmquan trọng của tư duy hàm được đề cập trong chương trình toán học phổ thông.Trước thực trạng trên tôi cho rằng khi dạy học sinh giải toán thì điều cần thiết là

phải cho học sinh tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức

phương pháp Muốn vậy khi dạy lý thuyết hay bài tập cần hướng dẫn học sinh

để họ thấy được những nét đặc trưng của tư duy hàm đã nói ở trên ( biến thiênphụ thuộc, liên hệ nhân quả, vận dụng vào thực tiễn).

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1.Tổ chức các hoạt động phát hiện sự tương ứng, lợi dụng sự tương ứng.

Ví dụ 1 Dạy học bài toán về khái niệm phương tích của một điểm đối với

đường tròn : Cho trước đường tròn (O ;R) và một điểm M bất kỳ, vẽ qua M cáttuyến MAB Giáo viên nên tổ chức hoạt động dưới dạng nêu vấn đề đề học sinhtìm tòi thông qua hệ thống câu hỏi mở : [2]

- Khi M nằm ngoài đường tròn thì ứng với số thực nào ?

- Tâm O của đường tròn thì ứng với số thực nào

- Với mỗi số thực âm thì ứng với điểm M ở đâu ?

- Các điểm có cùng phương tích với đường tròn trên thuộc đường nào ?Như vậy sự tương ứng ở đây là mỗi điểm M của mặt phẳng đều xác định duynhất MA MB 

( sự tương ứng giữa một điểm với một số)

Ví dụ 2 Khi dạy bài giá trị lượng giác của góc từ 0 0đến 180 0 [2]

Sgk nêu định nghĩa : Với mỗi góc     0 ;1800 0  -lấy điểm M trên nửađường tròn đơn vị sao cho AOM   , giả sử M(x ;y) thì sin  y;cos  x; với

Trong ví dụ này hoạt động phát hiện sự tương ứng là tương ứng giữa

nhất một giá trị lượng giác xác định )

Để hoạt động phát hiện và thiết lập những sự tương ứng có hiệu quả tanên yêu cầu học sinh cần phải nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệnào đó và phân tích rõ quy tắc tương ứng trong định nghĩa, trong từng bài toán

Ví dụ 3 Khi dạy định nghĩa về phép đối xứng trục, Sgk trình bày : Là phép đặt

tương ứng mỗi điểm M với một điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d Nếu phân tích định nghĩa trên ta thấy : Điểm M’ là ảnh của điểm M qua đường

thẳng d nếu cả ba diều kiện sau cùng thỏa mãn :

+MM’ vuông góc với d

+MM’ cắt d tại I

+I là trung điểm của MM ‘

Nếu nắm vững định nghĩa này thì học sinh sẽ tránh được sai lầm khi giảiquyết bài tập : Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d ;

thực tế dạy học cho thấy một số ít học sinh đã giải quyết bài toán trên bằng cáchcho d M d( ; ) d M d( '; ).

Ví dụ 4 Sau khi học về đồ thị hàm số yx , giáo viên nên cho học sinh giảiquyết bài tập sau : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x m

+ Với m 0; phương trình vô nghiệm

+Với m 0; phương trình có một nghiệm (kép) x 0

+ Với m 0; phương trình có hai nghiệm x phân biệt

Như vậy sự tương ứng ở đây là

Một giá trịm 0; cho một giá trịx 0

Một giá trịm 0; cho hai giá trị x đối nhau

Khi đã nắm vững sự tương ứng giữa số giá trị m không âm với số nghiệm x khiđặt ẩn phụ x m, học sinh sẽ giải quyết tốt bài toán về số nghiệm của phươngtrình có liên quan đến giá trị tuyệt đối

Ví dụ 5 Khi học về hàm số mũ, hàm số logarit cần tập luyện cho học sinh hoạt

động phát hiện sự tương ứng khi đặt x  

t a a 0 bằng cách biện luận số giaođiểm của đường thẳng y m và đồ thị của hàm số mũ trong hai trường hợp của

cơ số a, từ đó ta thấy với một giá trị m 0 cho tương ứng một nghiệm củaphương trình a x m(tương ứng 1-1)

Hay số nghiệm dương của phương trình yloga x m (với mọi giá trị của m)phương trình luôn có một nghiệm (tương ứng 1-1)

2.3.2 Trang bị tốt cho học sinh các tri thức phương pháp về hàm số, những phương pháp thường dùng khi giải phương trình có chứa tham số

Khi giải phương trình chứa tham số, một thao tác thường gặp là đặt ẩnphụ, khi đó học sinh cần ý thức được việc tìm điều kiện của ẩn phụ với miền đãcho của ẩn ban đầu Chính vì vậy người thầy cần khai thác triệt để các cơ hội có

thể để rèn luyện cho học sinh các tri thức phương pháp về hàm số như kĩ năng

đọc bảng biến thiên, kĩ năng đọc thông tin từ đồ thị, kĩ năng về tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của hàm số, nắm vững một số phép biến đổi đồ thị

Chẳng hạn, sau khi học về đồ thị hàm số yx , giáo viên nên rèn luyện cho họcsinh kĩ năng đọc thông tin từ đồ thị, hoặc bảng biến thiên thông qua hệ thốngcâu hỏi :

+Từ đồ thị hàm số, em hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số (hay tập giá trị của hàm số) là gì ?

+ Với tập giá trị như thế, em hãy cho biết với giá trị nào của tham số m thìphương trình x m

-Vô nghiệm

- Có 1 nghiệm ; có 2 nghiệm phân biệt ?

Qua đó học sinh thấy được mối quan hệ giữa hai bài toán tìm tập giá trị của hàmsố

và tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm

Các phương pháp thường dùng để tìm tập giá trị đó là sử dụng đồ thị,bảng biến thiên, sử dụng tính đơn điệu của hàm số, sử dụng bất đẳng thức

Đứng trước một bài toán, việc lựa chọn phương pháp giải rất quan trọng,nhất là khi học sinh bị áp lực về mặt thời gian

Ví dụ 6 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2022;2022 để đồ thị hàm

số y x 3  3mx 3 và đường thẳng y 3x 1 có duy nhất một điểm chung?

A 2023 B 2021 C 4038 D 2022

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Đứng trước bài toán này học sinh cần thấy được: bản chất của bài toán là tìm m

để phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị có duy nhất 1 nghiệm Phươngtrình tương giao là một phương trình bậc ba, với một phương trình bậc ba thì cónhững cách giải nào?

Cách 1: Nhẩm nghiệm đưa về phương trình tích

Cách 2: Sử dụng tính chất của đồ thị hàm số bậc ba ( khi nào đồ thị hàm số bậc

ba cắt trục hoành tại duy nhất một điểm ?)

Cách 3: Cô lập tham số

Ở bài toán này việc nhẩm nghiệm khó thực hiện, cách 2 cũng không tối

ưu hơn nên lựa chọn cách 3

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm

Khi đó yêu cầu bài toán  m 0 Mà m nguyên và m  2022;2022 nên có 2022giá trị thỏa mãn.

Ví dụ 7 (THPT Đào Duy Từ, Thanh hóa) Tìm tất cả giá trị thực của tham số

m để đồ thị hàm số: 3 2

y= x - 3x +2cắt đường thẳng y= -m 1 tại 4 điểm

phân biệt

A 1 m 2. B   1 m 3. C   1 m 5. D m 3.

Phân tích và tìm tòi lời giải:

Một số học sinh cảm giác khó khăn khi gặp bài toán này vì trong đề bài xuấthiện dấu giá trị tuyệt đối Với những học sinh khá hơn, khi nắm vững kiến thức

về giá trị tuyệt đối sẽ hiểu

-2 2

B O

A

1

2.3.3.Cần hình thành cho học sinh một số biểu tượng về sự tương ứng thường gặp khi giải phương trình, bất phương trình.

Khi dạy dạng toán yêu cầu tìm giá trị của tham số để phương trình có sốnghiệm thỏa mãn yêu cầu của bài, người thầy luôn có ý thức khắc sâu tri thứcphương pháp cho học sinh, chẳng hạn :

-Số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) và đồ thị hàm số y= g(x) chính là sốnghiệm của phương trình f x( ) g x( )( đây chính là sự tương ứng đơn trị 1 -1)

- Khi đặt tk x( ) thì ứng với mỗi giá trị x thuộc tập xác định có đúng một giá trị t-nhưng ngược lại, với mỗi giá trị t thì có thể không có, có một, hai, hoặc nhiều

nhưng với mỗi giá trị t dương có hai giá trị x phân biệt, với t = 0 thì ứng vớimột giá trị x = 0, với t <0 thì không có giá trị nào của x thỏa mãn

Như vậy, khi lựa chọn đặt ẩn phụ học sinh phải có thói quen tìm điều kiệncủa ẩn phụ, làm rõ sự tương ứng giữa ẩn vừa đặt và ẩn ban đầu

Nếu học sinh đã có trong đầu những biểu tượng về sự tương ứng này thì

khi gặp những bài toán giải phương trình có chứa tham số với yêu cầu về số

nghiệm, học sinh sẽ ý thức được sự tương ứng giữa ẩn ban đầu và ẩn mới.

Ví dụ 8 Bài 74 – trang 154 -SGK đại số 10-chương trình nâng cao [3]

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x4  (1 2 )  m x2 m2  1 0  (1)

a) Vô nghiệm

b) Có hai nghiệm phân biệt

c) Có 4 nghiệm phân biệt

Đây là một trong những dạng phương trình quy về bậc hai, cách giải của nó

là đặt x2 t t(  0), phương trình (1) trở thành : t2  (1 2 )  m t m 2  1 0  (2)

- Nếu t 0; thì không có x nào thỏa mãn

- Nếu t 0; cho một giá trị x 0;

- Nếu t 0; thì một giá trị t dương có hai giá trị x phân biệt thỏa mãn

Do đó : qui bài toán ẩn x về ẩn t, qui phương trình bậc bốn về bậc hai và :

a) Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc(2) chỉ có nghiệm âm

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt(2) có hai nghiệmtrái dấu hoặc có một nghiệm kép dương

c) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hainghiệm dương phân biệt

Ví dụ 9 Bài 75- trang 154 -sgk đại số 10 chương trình nâng cao [3]

Tìm các giá trị của a sao cho phương trình (a 1)x4  ax2 a2  1 0  có ba nghiệmphân biệt

Tương tự như bài tập trên đặt x2 t t(  0), pt đã cho trở thành

(a 1)t  at a  1 0  (*) phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉkhi phương trình (*) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

Ví dụ 10 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019) Giá trị của m để phương trình

- Với t 1; mỗi giá trị t cho hai nghiệm x tương ứng

Phương trình  1 có duy nhất nghiệm  Phương trình  2 có một nghiệm t 1;TH1: Phương trình (2) có nghiệm képt 1; , giải ra được m 1

TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t 1 1 và nghiệm còn lại t 2 1

t 1 1 là nghiệm của phương trình  2   1 m 0 m1

Khi đó phương trình  2 trở thành: t2  2t   1 0 t 1 (thỏa điều kiện trên)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1

Với t 1 thì phương trình có một nghiệm x 2

Nên để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình  1 phải

Ví dụ 12 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất cả các giá trị của tham

số msao cho phương trình:  1 2  2   

 Suy ra f t( ) đồng biến trên [0;)

Do đó phương trình tương đương với

2

(x 1)  2 x m Phương trình tương đương

2 2

( 1) 2( ) (1) ( 1) 2( ) (2)

   (thử lại vào (2), thỏa mãn)

TH2 PT(1) có nghiệm kép, PT(2) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm kép đó

(2) 0 1

2

m



   (thử lại vào (1), thỏa mãn)

TH3 PT(1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt nhưng có 1 nghiệm chung