(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường THPT lê lợi giải quyết các bài toán hình học tọa độ trong không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề mặt cầu

Thực tế cho thấy, trong những năm gần đây khi kì thi THPT nay chuyểnthành kì thi TN THPT chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm đã làm học sinh gặp nhiều khó khăn trong v

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một trong những môn học ở trường phổ thông rèn luyện chohọc sinh khả năng tính toán logic, tính cẩn thận và đặc biệt đó là tư duy trừutượng Một trong những nội dung phát huy khả năng tư duy trừu tượng của họcsinh là nội dung hình học giải tích trong không gian

Thực tế cho thấy, trong những năm gần đây khi kì thi THPT nay chuyểnthành kì thi TN THPT chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm

đã làm học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tăng tốc độ tư duy trong các câuhỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Học sinh phải có khả năng tư duy hìnhhọc không gian và các công thức giải tích, các mối quan hệ giữa các đối tượng

Vì vậy, giáo viên cần xây dựng nội dung phù hợp theo mức độ và nền tảng vữngchắc

Là Giáo viên giảng dạy môn Toán, tôi thật sự trăn trở với vấn đề này Vìvậy qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm của các đồng nghiệp, tôi quyết định

chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường THPT Lê Lợi giải

quyết các bài toán hình học tọa độ trong không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề Mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của mình Với mong muốn

giúp học sinh có thể nắm vững các nội dung và giải quyết các bài toán từ cáckiến thức gốc, các bài toán nền tảng từ đó rèn luyện khả năng tư duy

2 MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Mục đích đầu tiên của tôi khi xây dựng sáng kiến này là nghiên cứu, tìmhiểu những bài toán gốc để xây dựng thành hệ thống có tính kế thừa, tính liêntục Điều này giúp học sinh dễ tiếp thu và làm nền tảng giải quyết các bài toánkhác

Bên cạnh xây dựng hệ thống bài tập, tôi hướng dẫn học sinh cách phântích, định hướng bài toán dựa trên các bài tập gốc Từ đó xác định cách giảiquyết các bài toán vận dụng, vận dụng cao

3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài hướng đến tác động học sinh lớp 12A2 (với 42 học sinh chọn làmlớp thực nghiệm) và lớp 12A5 (với 42 học sinh chọn làm lớp đối chứng), khóahọc 2019 – 2022 Trường THPT Lê Lợi

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, xây dựng hệ thống bài tập nền tảng và định hướng cáchgiải quyết các bài toán mức độ vận dụng, vận dụng cao

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

- Thu thập, nghiên cứu và hệ thống lại các tài liệu có liên quan đến đề tài, để làm

cơ sở minh chứng và nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm

4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Tiến hành thu thập, sắp xếp và chuẩn hóa các nội dung chủ đề thành hệ thốngphù hợp Từ đó khảo sát khả năng phù hợp, hiệu quả của nội dung trong việc

A

4.3 Phương pháp điều tra, khảo sát, đánh giá kết quả, thống kê xử lí số liệu

- Xử lí các thông tin, số liệu thu thập được nhằm đánh giá kết quả thực nghiệmkhi áp dụng một số tình huống trong thực tiễn

4.4 Phương pháp viết báo cáo khoa học

PHẦN 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.

Þ Điều kiện để phương trình (2) là

1.3 Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng , mặt phẳng và mặt cầu.

1.3.1 Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu.

Cho mặt cầuS O ; R và một điểmAbất kì, khi đó:

 Nếu OAR  A S O  ; R Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OAvà

OB là hai bán kính sao cho OA                             OB

thì đoạn thẳng AB gọi là một đườngkính của mặt cầu

 Nếu OAR  Anằm trong mặt cầu

 Nếu OAR Anằm ngoài mặt cầu

 Khối cầu S O ; R là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM R

1.3.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng đối với mặt cầu.

Cho mặt cầuS O ; R và mộtmp P  Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầuđến mp P  và H là hình chiếu của O trên mp P   d OH

 Nếu d  R mp P  cắt mặt cầu S O ; R theo giao tuyến là đường trònnằm trên mp P  có tâm là H và bán kính r HM  R2  d2  R2  OH2 (hìnha).

 Nếu d R mp P  không cắt mặt cầu S O ; R (hình b)

 Nếu d R  mp P  có một điểm chung duy nhất Ta nói mặt cầu

 ; R

S O tiếp xúc mp P  Do đó, điều kiện cần và đủ để mp P  tiếp xúc với mặt

cầu S O ; R là d O P ,   R (hình c)

1.3.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Cho mặt cầuS O ; R và một đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trênđường thẳng  và d OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đườngthẳng Khi đó:

 Nếu d R không cắt mặt cầuS O ; R

 Nếu d R cắt mặt cầuS O ; R tại hai điểm phân biệt

 Nếu d R và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất) Do đó:điều kiện cần và đủ để đường thẳngtiếp xúc với mặt cầu là d d O d ; OH

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O ; R thì:

 QuaAcó vô số tiếp tuyến với mặt cầu S O ; R

 Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

 Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S O ; R

1.3.4 Vị trí tương đối của hai mặt cầu.

Cho hai mặt cầu S I R1 1 ; 1 và S I R2 2 ; 2 Khi đó

 Nếu hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn thì

R  R I I R R

CHƯƠNG 2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.

2.1 Thực trạng quá trình học môn Toán chủ đề mặt cầu trong hình học tọa

độ của học sinh

d

d =

Đối với học sinh hiện nay, khi học theo hình thức trắc nghiệm, một số họcsinh không nắm được phần gốc của các bài toán tức là không tìm hiểu cách giảiquyết bài toán bắt đầu từ đâu mà tập trung nhớ các công thức tính nhanh, cáchthử máy tính, cách giải quyết trong từng bài toán Vì vậy, quá trình này làmgiảm khả năng suy luận, tư duy của học sinh.

Bên cạnh đó, nội dung hình học tọa độ trong không gian, chủ đề mặt cầuvới các bài tập mức độ vận dụng, vận dụng cao là một nội dung khó, kết hợpgiữa khả năng tư duy trừu tượng hình học không gian, các bài toán cực trị cơbản phát triển lên bài toán hình tọa độ không gian và các công thức hình tọa độ.Điều này làm học sinh lúng túng, không có hướng giải quyết theo con đườngnào

2.2 Thực trạng quá trình học môn Toán chủ đề mặt cầu trong hình học tọa

độ của học sinh trường THPT Lê Lợi.

Trường THPT Lê Lợi là trường đóng ở thị trấn Thọ Xuân, có bề dày vềtruyền thống dạy và học Học sinh ở đây chủ yếu là con em vùng nông thôn, cần

cù, chịu khó, hiếu học Tuy nhiên, dưới tác động của nhiều hình thức học tậptrên internet, nhiều yếu tố khách quan một số học sinh đang có những biểu hiệnngại học, ngại tư duy Thích sử dụng các phương pháp giải quyết bài toán màkhông hiểu bản chất Điều này làm học sinh giảm dần khả năng tư duy và nhạybén, lười giải quyết các bài toán cần đến bản chất bài toán

Phần lớn học sinh trường THPT Lê Lợi đều có ý thức xây dựng kiến thứcnền tảng, có sự yêu thích môn học Ngay từ những buổi đầu giáo viên đã địnhhướng cho học sinh cách thức học, tiếp cận cách giải quyết hợp lí Vì vậy họcsinh có kiến thức nền tảng nhất định

Tuy nhiên, để học sinh tiếp cận chủ đề này một cách tốt nhất thì học sinhcòn gặp khá nhiều khó khăn:

- Chưa nắm vững các bài toán cơ bản

- Chưa hiểu rõ bản chất về mối quan hệ giữa các đối tượng

- Chưa biết cách định hướng, nhận ra các dấu hiệu để lựa chọn cách giảiquyết phù hợp

CHƯƠNG 3 XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP GỐC, ĐỊNH

HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN.

1 Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của mặt cầu.

Bài toán 1 Cho mặt cầu  S có tâm I , bán kính R Gọi M là một điểm thuộcmặt cầu Khi đó, tất cả các tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm M đều thuộc mặtphẳng  P đi qua M và vuông góc IM

Bài 1.1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x12y12z 22 4 và

từ hai điểm A2; 1; 1 ,   B1; 1; 2   kẻ tiếp tuyến AM BM, đến mặt cầu  S , M

là tiếp điểm Có bao nhiêu điểm C thuộc mặt phẳng Oxz, mà từ Ckhi kẻ đườngtiếp tuyến CM thì tam giác ABC vuông tại A

Định hướng:

Vì M là tiếp điểm nên theo bài toán 1, AM BM CM, , đều nằm trong cùng 1 mặtphẳng Vậy nên mặt phẳng chứa 3 tiếp tuyến trên là mặt phẳng ABC.

 Điểm COxz nên C a ;0;b  phương trình ABC

  AC AB  0;d I ABC ;   R

Từ các điều kiện trên ta đủ số phương trình tìm tọa độ điểm C

Lời giải chi tiết

Bài toán 2 Cho mặt cầu  S có tâm I , bán kính R Gọi A là điểm nằm ngoàimặt cầu, B, C là hai tiếp điểm của mặt cầu kẻ từ A, H là chân đường cao củatam giác ABI kẻ từ B Khi đó ta có các kết quả sau:

 IH IA IB  2; BC 2BH  2 R2 IH2

 Tập hợp các tiếp điểm kẻ từ B nằm trên mặt phẳng  P đi qua H và

vuông góc IA

 Từ điểm A vẽ các tiếp tuyến tới mặt cầu tạo thành hình nón đỉnh A, đáy

là đường tròn tâm H và nằm trên mặt phẳng  P

Bài 2.1 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2z2 2z 3 0  và điểm

2;2;2

A Từ A kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu  S Biết các tiếp điểm luôn

thuộc mặt phẳng  P có phương trình ax by c  z 5 0  Khi đó a b  2c nhậngiá trị bằng

Phân tích:

 Ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P nên theo bài toán 2, cầnxác định tọa độ IH

, trong đó H là hình chiếu của tiếp điểm B lên IA

 Xác định tọa độ H dựa vào hệ thức IH IA IB   2

Ta có tam giác ABI vuông tại B nên ta có AB IA2 IB2  5

Gọi H x y z ; ;  là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABI

x y z

Bài 2.2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có tâm

* Xuất hiện hai điểm MN nên ta tìm cách đưa bài toán về bài toán 2 Gọi  R làmặt phẳng qua I và vuông góc d Khi đó  R cắt d tại K và KM KN; là cáctiếp tuyến của mặt cầu  S

Lời giải chi tiết

Ta thấy đường thẳng d đi qua A1;0;0và điểm A1;0;0 nằm trong mặt phẳng

* Vì M P và từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến mặt cầu nên theo bài toán 3  Pcắt mặt cầu  S và điểm M nằm ngoài mặt cầu.

Lời giải chi tiết

Giả sử M(0; ;0)m

OM  m   m    m (1)

Gọi d d1 , 2 là hai tiếp tuyến kẻ từ M tới ( )S mà cùng vuông góc với d

Mặt phẳng ( )P chứa d d1 , 2 nên phương trình có dạng: 3x y z D   0

Từ (1) (2), ta có giá trị nguyên lớn nhất của m là 17

Bài 3.2 Trong không gian Oxyz, và đường thẳng

2

1 2 2

Phân tích:

*Từ giả thiết từ mọi điểm trên d đều vẽ được hai tiếp tuyến đến mặt cầu  S tađịnh hướng đến bài toán 3, có nghĩa đường thẳng d thuộc một mặt phẳng luôncắt mặt cầu theo giao tuyến là 1 đường tròn

* Vì mặt cầu chứa tham số, vậy nên ta kiểm tra mặt cầu có luôn cắt một mặtphẳng cố định hay không?

Nhận thấy khi m thay đổi, S m luôn đi qua một đường tròn cố định, là giaotuyến của   S : x12y 22z2 9 và  P : 2x2y z  1 0

Vậy bài toán thỏa mãn khi

2 Các bài toán cực trị liên quan đến mặt cầu.

2.1 Các bài toán lên quan đến điểm và mặt cầu.

Bài toán 1 Tìm điểm M thuộc mặt cầu thỏa mãn các điều kiện

a) Cho điểm A và mặt cầu  S có tâm I , bán kính R M là điểm di động tên

 S Khi đó AMmax AI R AM ; min AI R

b) Sử dụng bất đẳng thức tam giác MA MB AB  hoặc MA MB AB, khi A B,

cố định

Bài 1.1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x 32 y 22z2 4

và hai điểm A  1;2;0;B2;5;0 Gọi K a b c ; ;  là điểm thuộc  S sao cho2

KA KB nhỏ nhất Giá trị a b c  bằng

Định hướng:

Từ giả thiết A B, cố định ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức tam giác Tuynhiên vì hệ số gắn với MA MB, không bằng nhau nên cần phải chuyển đổi điểm

A về điểm khác sao cho KA 2KM

Lời giải chi tiết

IK KM  khi K thay đổi trên  S

Từ đó ta thấy tam giác IAK và IKM đồng dạng với nhau Do đó trên đoạn AI

lấy điểm M sao cho IM 1 Khi đó tam giác IAK và IKM đồng dạng vì góc I

Vậy 2MA 3MB  67 Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi M M 0 BK S

2.2 Các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

Bài toán 2 Cho mặt phẳng  P và mặt cầu  S cố định ( P và  S không cóđiểm chung) Xét điểm M di động tên  P và N di động trên  S Xác định vịtrí của M N, để độ dài MN nhỏ nhất hoặc lớn nhất

Lời giải

Nhận thấy MN lớn nhất hoặc nhỏ nhất khi M N, thuộc đường thẳng đi qua tâm

I và vuông góc với  P Ta thấy:

 

MN MN d I P  R MN MN d I P R

Để tìm các điểm này, ta thực hiện như sau:

 Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc  P , xác định giaođiểm H của d và  P

làm vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình đường thẳng

x y z

Vậy a b c   2

Bài 2.2 Trong không gian vơi hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P x:  2y 2z 3 0  và mặt cầu  S x: 2y2z22x 4y 2z 5 Gọi điểm M

thuộc  P và N thuộc  S sao cho MN song song với đường thẳng d có vectơchỉ phương u 1;0;1

và đường thẳng đi qua tâm I và vuông góc  P

*Ta thấy MN NH.cosMNH, nên độ dài MN phụ thuộc NH, đưa về bài toán 2

Lời giải chi tiết

Gọi  là góc giữa đường thẳng d của mặt phẳng  P

cos

2

Suy ra, MN lớn nhất khi NH lớn nhất

Theo bài toán 2, NHmax  R d I P ;    3

Vậy MNmax  3 2

Bài toán 3 Cho mặt phẳng  P và mặt cầu  S cố định có tâm I bán kính R,

 P cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là một đường tròn Gọi H là hình chiếu của

I trên  P Khi đó đường tròn  C có tâm H và bán kính r R2  d I P ;  

.Các bài toán phát triển thường quy về tính min, max của diện tích đường tròn

 C

Cách giải

Bước 1: Xác định đối tượng cần tính GTLN, GTNN.

Bước 2: Thiết lập biểu thức diện tích, thể tích theo một biến và các yếu tố có

sẵn

Bước 3: Sử dụng BĐT hoặc hàm số khảo sát tính min, max và kết luận.

Bài 3.1 Trong không gian Oxyz , cho điểm A  1;1; 1  và mặt cầu  S có tâm

1;2; 3

I  ,R 5 Xét mặt phẳng  P đi qua A cắt  S theo giao tuyến là đườngtròn  C Khi khối nón có đỉnh I , đường tròn đáy là  C có thể tích lớn nhất thìbán kính của  C bằng

Lời giải chi tiết

Ta có  S có tâm I1;2; 3 ,   R 5 IA 3 R Khi đó thể tích của khối nón có

đỉnh I và đường tròn đáy là  C là 1  2

25 3

Lời giải

h r R I

B

A

Mặt cầu có tâm , bán kính

Có nên thuộc mặt cầu

với , là trung điểm của đoạn

Gọi với a2b2c2  0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Gọi , , là bán kính đường tròn

.Diện tích thiết diện qua trục của hình nón

(Theo bất đẳng thức Cô si)

2.3 Các bài toán liên quan đến 2 mặt cầu.

2.3.1 Các kiến thức liên quan

* Cho hai mặt cầu S I R S I R1 ; 1; 2 2 ; 2 Nếu R1  R2 I I1 2 R1 R2 thì 2 mặt cầu cắtnhau theo giao tuyến là 1 đường tròn

Đường tròn thuộc mặt phẳng  P được xác định bởi

 

 

1 2

S S







* Các giả thiết dưới dạng hình học được quy về khái niệm mặt cầu:

- AMB90 , ,o A B cố định, khi đó M thuộc mặt cầu đường kính AB

Bài toán 4 Cho mặt cầu  S1 có tâm I,bán kính R1; mặt cầu  S2 có tâm K bánkính R2và mặt phẳng  P Gọi A B M, , lần lượt là các điểm bất kỳ thuộc

     S1 ; S2 ; P Xác định vị trí của điểm M để MA MB MA MB ;  đạt GTLN,GTNN

a) Xác định vị trí M để MA MB đạt giá trị nhỏ nhất

 Nếu    S1 ; S2 khác phía so với  P : MA MB AB A B   ' '

 Nếu    S1 ; S2 cùng phía, lấy  S 1

đối xứng  S1 qua  P đưa về bài toán trên

 Nếu    S1 ; S2 cùng phía so với  P : MA MB ABA B1 1

 Nếu    S1 ; S2 khác phía so với  P , lấy lấy  S 1

đối xứng  S1 qua  P đưa vềbài toán trên

1 ; 2

I I cùng phía đối với  P ,  1    1

29 ,

5

;  2    2

9 ,

5

nên  S1 và  S2 cùng thuộc một miền không gian có bờ là mp  P

Gọi mặt cầu  S3 đối xứng với mặt cầu  S2 qua mặt phẳng  P

Gọi N là điểm đối xứng của N qua  P ,suy ra AM AN AM AN  MN.Dấu " "  xảy ra khi và chỉ khi M A N; ; thẳng hàng

Khi đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M A N; ; thuộc đoạn I I1 3

I I 

Vậy min

11 6 10

Bài 4.2 Cho điểm A2;3;5, hai mặt cầu  S1 :x2y2z2  9,

  S2 : x 12y 22z 32  16 và điểm M di động thuộc cả hai mặt cầu Gọi,

m n là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của AM Tính giá trị của biểu thức

2 2

T m n

A

341

Gọi A là hình chiếu của A lên mặt phẳng  P Khi đó : AM  AA'2A M' 2

 AM đạt GTLN, GTNN phụ thuộc A M' , đưa về bài toán 1 (mục 2.1)

Lời giải chi tiết

Mặt cầu  S1 có tâm O, bán kính R 1 3; mặt cầu S2 có tâm I1; 2; 3 , bánkính R 2 4

Ta có R1  R2 OI  14 R1 R2  hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn, kíhiệu là đường tròn  C có tâm H, bán kính r

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn  C là:  P : 2x4y 6z 7 0

Bán kính đường tròn  C bằng   

1

130 ,

4

r R  d O P 

.Gọi A' là hình chiếu của A trên mặt phẳng  P