(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán liên quan đến hàm hợp bằng cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH NGA SƠNSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP Người thực hiện: Lại T

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM HỢP BẰNG CÁCH SỬ DỤNG

BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP

Người thực hiện: Lại Thị Hương Lan Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

1 Mở đầu 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 12.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 22.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2

1.1 Lý do chọn đề tài

Với hình thức thi trắc nghiệm đối với môn toán như hiện nay, việc tìm racách giải đúng và nhanh cho một bài toán là hết sức cần thiết Vì có như vậy thìmới nâng cao được kết quả học tập cũng như kết quả thi cử Trong đề tài này tôixin trình bày: “Hướng dẫn học sinh giải nhanh một số bài toán liên quan đến

hàm hợp bằng cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp” để giúp các emhọc sinh lớp 12 giải quyết tốt một số bài toán vận dụng, vận dụng cao liên quanđến hàm hợp trong chương trình giải tích 12 chương I: Hàm số, đây là một lớpbài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài giúp các em HS lớp 12 Trung học phổ thông có kiến thức và phươngpháp vững chắc để giải quyết nhanh một số bài toán liên quan đến hàm hợptrong chương hàm số trong các đề thi tốt nghiệpTHPT Qua đó góp phần thúcđẩy sự hứng thú, say mê học tập và xóa bỏ mặc cảm sợ sệt về việc giải các bàitoán liên quan đến hàm hợp từ đó nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trongNhà trường

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Bảng biến thiên của hàm hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:

- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phần hàm số (đặc biệt là

một số bài toán liên quan đến hàm hợp) trong chương trình Toán Trung học phổthông Thu thập kiến thức bằng nhiều nguồn tài liệu và các đề thi thử tốt nghiệp

THPT của nhiều trường THPT trên toàn quốc.

- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giải quyết một số

bài toán liên quan đến hàm hợp trong chương hàm số giải tích 12

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một số đối

tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế đã giảng dạy các tiết học

tự chọn, ôn thi tốt nghiệp THPT chuyên đề về Hàm số Khi giải bài tập toán, HSphải được trang bị các kiến thức cơ bản của lớp dưới, các kỹ năng phân tích đềbài để từ đó suy luận ra quan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bàitoán đã làm và bài toán sẽ làm, hình thành phương pháp giải toán linh hoạt vàsáng tạo

Các bài tập ở mỗi tiết dạy phải được thiết kế và sắp xếp theo thứ tự từ dễđến khó, mỗi bài tập được giải theo hai cách, sử dụng phương pháp truyềnthống và sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp qua đó giúp HS nắm vữngphương pháp giải toán cũng như thấy được những ưu điểm của phương pháp sửdụng bảng biến thiên của hàm hợp khi giải quyết dạng toán này Từ đó giúp HS

có hứng thú, đam mê và tạo ra động cơ học tập tốt đối với môn toán, đồng thờiphát triển được năng lực và phẩm chất của người học.

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình giải tích lớp 12 số lượng câu hỏi liên quan đến hàm sốchiếm số lượng tương đối nhiều trong các đề thi Qua quá trình giảng dạy và ônluyện cho học sinh bản thân nhận thấy rất nhiều học sinh còn sợ sệt, lúng túng,mất phương hướng đường lối thậm chí là bỏ qua khi làm một số bài tập liênquan đến hàm hợp mặc dù có câu không khó hoặc một số học sinh có làm đượcthì phải mất một lượng thời gian dài chính vì vậy khi chưa thực hiện đề tài này,chất lượng môn học rất thấp Kết quả cụ thể qua bài kiểm tra như sau:

Điểm từ 2 đến dưới 5

Điểm dưới 2

Do đó việc hướng dẫn cho học sinh phương pháp là việc làm rất cần thiết

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

2.3.1: Cơ sở lý luận:

I Công thức tính đạo hàm của hàm hợp: [ ( ( ) )]f u x  u x f u x( ) ( ( )) .

II Định nghĩa cực trị của hàm số.

1 Định nghĩa :

Cho hàm số y f x ( ) xác định và liên tục trên khoảng (a; b)

(có thể a là - ; b là là + ) và điểm x0

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) < f (x 0) với mọi x ( x0 – h ; x0 +h ) và x

x 0 thì ta nói hàm số ( ) f x đạt cực đại tại x0.

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f (x) > f (x 0) với mọi x (x0 – h ; x0 +h ) và

x x 0 thì ta nói hàm số ( ) f x đạt cực tiểu tại x0.

Chú ý: 1 Nếu hàm số ( )f x đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị

cực tiểu) của hàm số

2 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá

trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung làcực trị của hàm số

3 Dễ dàng chứng minh được nếu hàm số y f x ( ) có đạo hàm trên

khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f x( ) 00  .

2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số y f x ( ) liên tục trên khoảng K = ( x0 – h ; x0 + h ) và có

đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x 0 }, với h > 0.

a) Nếu f x( ) 0 trên khoảng ( x0 – h ; x0 ) và f x( ) 0 trên khoảng

( x0 ; x0 +h ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x).

b) Nếu f x( ) 0 trên khoảng ( x0 – h ; x0 ) và f x( ) 0 trên khoảng

( x0 ; x0 +h ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số ( ) f x

III Cơ sở của biện pháp :

Để giải quyết một số bài toán liên quan đến hàm hợp g = f (u(x)) bằng cách

sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g = f ( u ( x )).

Giả sử ta được tập xác định D = ,

ở đây có thể là

Bước 2: Xét sự biến thiên của u = u (x) và hàm y f x( )

( Bước này có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản)

Bước 3: Lập BBT tổng hợp xét sự tương giao giữa [x; u = u(x)] và [u; g = f (u)]

(Bảng biến thiên này thường có 3 dòng )

g(b 1 )

g (u 1 ) g(b k )

Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên trên như sau

Dòng 1: Xác định các điểm đặc biệt của hàm u = u (x), sắp xếp các điểm này

theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải, giả sử như sau:

( Xem thêm chú ý 1)

Dòng 2: Điền các giá trị với ( i = )

Trên mỗi khoảng ( cần bổ sung các điểm cực trị của hàm số y  f x( )

Trên mỗi khoảng ( cần sắp xếp các điểm theo thứ tự chẳng hạn hoặc (xem chú ý 2)

Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g = f (u (x)) dựa vào BBT của hàm

- Nếu xét hàm số u u x ( ) thì trong dòng 1 các điểm đặc biệt còn có

nghiệm của PT u (x) = 0 ( là hoành độ giao điểm của u = u(x) với trục Ox )

- Nếu xét hàm u u x ( ) thì trong dòng 1 các điểm đặc biệt còn có số 0

( là hoành độ giao điểm của u = u (x) với trục Oy).

Chú ý 2:

- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u = u(x).

- Điểm đặc biệt của hàm số y f x ( ) gồm: các điểm tại đó ( )f x , f x( )không xác định; các điểm cực trị của hàm số y f x ( ) .

- Nếu xét hàmg f u x( ( )) thì trong dòng 2 các điểm đặc biệt còn có

nghiệm của PT ( ) 0f x  (là hoành độ giao điểm của u = u(x) với trục Ox ).

- Nếu xét hàm số g f u x( ( )) thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có 0

( là hoành độ giao điểm của y f x ( ) với trục O y).

IV Cách sử dụng đồ thị (hoặc bảng biến thiên) để biện luận số nghiệm của

phương trình f(x, m) = 0 (1) theo tham số m.

Bước 1: Biến đổi đưa phương trình (1)về dạng ( )f x  Hoặc ( ) ( )m f x g m (g (m) là hàm số theo tham số m).

Bước 2: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên) của hàm số y f x ( ) đã cósẵn (hoặc chưa có lập lại) để biện luận số nghiệm của phương trình (1)

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình ( )f x  Hoặc ( ) ( )m f x g m

(g(m) là hàm số theo tham số m) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

( )

y f x với đường thẳng y = m hoặc y = g (m ) (đường thẳng y = m hay y

= g (m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành)

2.3.2 Các dạng bài tập (Các dạng toán đề cập dưới đây đều có chung giả thiết biết hàm sốy f x ( ) hoặc biết BBT (hay đồ thị) của hàm số( )

y f x hoặc biết đồ thị của hàm số y f x ( ) ):

Để học sinh dễ hiểu, nhớ và biết cách lập bảng biến thiên của hàm hợp giải một số bài toán liên quan đến hàm hợp ta có thể sắp xếp và chia thành một số dạng toán như sau:

Dạng 1: Tìm số điểm cực trị của hàm số hợp y f u x ( ( ))

Phương pháp:

Cách 1 (Cách giải truyền thống): Chuyển bài toán về tìm số nghiệm đơncủa phương trình [ ( ( ))] 0f u x 

Cách 2 (Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp): Thực chất của bài toán

là lập được BBT của hàm hợp y f u x ( ( )) , từ BBT ta dễ dàng đưa ra kết luậncủa bài toán

2 2

x x

x x

Từ đồ thị hàm số y f x ( ) ta có BBT của hàm số y f x ( ) như sau

x -1 +

( )

f x - 0 + 0 - 0 +( )

12

f   

;

29(1)12

;

40(4)

13

f  

Suy ra f (-1) < f (1) và f(4) < f (1) và bằng cách đặt u x 2 1ta

cũng dễ dàng lập được bảng biến thiên của hàm y f u( ) f x( 21) như trên.

Ví dụ 2: ( Đề minh hoạ của Bộ Giáo Dục Lần 1 năm 2021)

Cho hàm số bậc bốn y f x ( ) có đồ thị như hình bên Số điểm cực trị của hàm

sốg x   f x 33x2 là

Hướng dẫn giải

Ta có đồ thị của hàm h x( )x3 3x2 như trên Từ đồ thị ta thấy:

Đường thẳng y a cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 1 điểm.

Đường thẳng y b cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 3 điểm.

Đường thẳng y c cắt đồ thị hàm số y h x ( ) tại 1 điểm.

Như vậy phương trình g x( ) 0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.Vậy hàm số g x   f x 33x2 có 7 cực trị Chọn đáp án C.

Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp

Khi mới làm quen và tiếp cận với phương pháp lập BBT của hàm hợp các

em sẽ thấy khó hiểu và tỏ ra rất lúng túng, bỡ ngỡ thấy bài toán dường như phức tạp, nhưng khi đã làm qua một vài bài và hiểu được thì các em sẽ thấy quen và làm nhanh hơn từ đó sẽ yêu thích phương pháp này hơn rất nhiều

vì nó sẽ còn có nhiều điểm mạnh ở một số dạng đề cập tiếp sau đây:

Dạng 2: Tìm số nghiệm của phương trình: f (u(x)) = k (1) (k là hằng số cho trước) hoặc phương trình có chứa hàm hợp y = f(u(x)).

Phương pháp:

Cách 1: giải theo phương pháp truyền thống: Đặt ẩn phụ

Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp:

Bước 1: lập bảng biến thiên của hàm hợp y = f (u(x)).

Bước 2: xét sự tương giao của 2 đồ thị y = f(u(x)) và đường thẳng y = k

(Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của đồ thị

y = f(u(x)) với đường thẳng y = k).

Ví Dụ 1: (Kim Thanh Hải Dương 2020)

Cho hàm số y f x ( ) có bảng biến thiên sau:

x - -2 2 +

y  - 0 + 0 -

y

+ 1

-

Số nghiệm thực của phương trình

1(1 2 )

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm thực

Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp

Đặt u 1 2x

Từ BBT của hàm số ( )f x ta thấy ( ) f x có 2 điểm cực trị là x = -2 và x = 2

Ta có bảng BBT của hàm y f (1 2 ) x  f u( ) như sau :

5

f u 

có 2 nghiệm thực

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm thực Chọn đáp án D

Nhận xét: Ở ví dụ này HS chưa biết cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp thì vẫn giải được theo phương pháp truyền thống Tuy nhiên đến đây hiểu HS đã hiểu và quen với phương pháp lập bảng biến thiên của hàm hợp thì sẽ nhận thấy được ở đây dùng phương pháp lập bảng biến thiên của hàm hợp sẽ đưa ra kết quả nhanh và chính xác hơn.

Ví dụ 2: Cho hàm sốy f x ( ) xác định liên tục trên ¡ có đồ thị như hình vẽbên

Tìm số nghiệm thuộc đoạn [0; 4] của phương trình

2( 2 ) 2

Kết luận phương trình đã cho có 3 nghiệm trong đoạn [0; 4]

(Hoặc HS có thể chọn a = -1,5 ; b = 1,5 thay vào Pt để thử bằng máy

tính cầm tay)

Cách 2: Sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp.

Đặtt x 2 2x , ta có t   , 02x 2 t    x 1

Từ đồ thị của hàm số f x( ) đã cho ta thấy hàm số này có 3 điểm cực trị

Từ bảng trên ta thấy phương trình f t( ) 2 có 3 nghiệm phân biệt

Vậy PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt Chọn đáp án B

Nhận xét: đến ví dụ này HS sẽ thấy được cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp có ưu thế tốt hơn phương pháp truyền thống HS sẽ còn thấy rõ hơn tính ưu việt của phương pháp lập bàng biến thiên của hàm hợp đối với bài toán có chứa hàm lượng giác cụ thể dưới đây

Ví dụ 3: (Đề minh hoạ của Bộ lần 2 năm 2020):

Cho hàm số y f x ( ) có bảng biến thiên như sau:

Khi đó phương trình (sin ) 1 f x  trở thành f t     1, t  1;1

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y  f (t) và đường

thẳng y = 1.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn

5 0;

Khi đó phương trình (sin ) 1f x  trở thành f t  1.

Từ BBT của hàm số y f x ( ) ta thấy hàm số này có 3 điểm cực trị x 1,x  0

Ta có BBT của hàm y f t ( ) như sau:

x

0 2



32



52

Dựa vào BBT trên dễ thấy phương trình f t  1 có 5 nghiệm phân biệt

Vậy PT đã cho có 5 nghiệm phân biệt Chọn đáp án C.

Ví dụ 4: (Bỉm Sơn – Lần 3 - Năm 2021)

Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm thuộc đoạn

7 0;

Xét phương trình (f cosx) Đặt m tcos ;x     x ¡ t  1; 1.

Dựa vào đồ thị hàm số y f x ( ) trên đoạn  1 ;1 ta có:

Xét bảng biến thiên của hàm số y cos x trên 0;72



y  - 0 + 0 - 0 +

y

1 1 0 -1 -1

Từ đó suy ra

Phương trình có nghiệm cos x a ,0  có 3 nghiệm thuộc đoạn a 1 0;72

Rõ ràng các nghiệm này phân biệt

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn

7 0;

f x + 0 - 0 +

f (x) 3 +

- -1

Từ BBT trên suy ra hàm số f (x) có 2 điểm cực trị là x = -1 và x = 1

Ta có BBT của hàm hợp y f t ( ) , ( với f (3) > 3) như sau:

x

0  2 3

72

Từ bảng trên suy ra PT ( t ) 0f  có 7 nghiệm phân biệt Chọn đáp án A

Nhận xét: ở ví dụ 2 và 3 bài toán liên quan đến hàm hợp có chứa hàm lượng giác ở trên giải theo cách sử dụng bảng biến thiên của hàm hợp cho ra đáp

số nhanh và chính xác hơn rất nhiều so với cách giải truyền thống vì việc giải

và biện luận số nghiệm của PT lượng giác bằng đồ thị mất nhiều thời gian và nhiều HS thường mắc sai sót.

Dạng 3: Tìm tham số m để phương trình có chứa hàm hợp có n nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước.

Ví dụ 1 (Chuyên Lam Sơn – Lần 2 năm 2021)

Cho hàm số y f x( )có bảng biến thiên dưới đây:

Số giá trị nguyên của m để phương trình: 3 (f x24 )x  m 5có ít nhất 5

nghiệm thuộc khoảng 0; 

Từ bảng trên suy ra với x 0 ; thì t  4

Nhận xét mỗi nghiệm t  4; 0 cho 2 nghiệm x phân biệt, mỗi nghiệm

t0; hoặc t   cho ta 1 nghiệm x.4

Dựa vào BBT đề bài cho ta suy ra:

+ Nếu

533

t khi đó PT ban đầu có 3 nghiệm (TH này loại)

+ Nếu

523

m 

thì PT (1) có 1 nghiệm t  , 1 nghiệm ( 2;0)4 t  và 1nghiệm t khi đó PT ban đầu có 4 nghiệm (TH này loại)0

+ Nếu

523

Cách 2: Giải theo phương pháp lập bảng biến thiên của hàm hợp

Mà m nguyên nên có 11 giá trị m thỏa mãn đề bài Chọn C

Ví dụ 2 Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên ¡ và có đồ thị như

hình vẽ Số giá trị nguyên của tham số m để