(SKKN 2022) PHƯƠNG PHÁP PHÂN BIỆT HOÁN vị CHỈNH hợp tổ hợp CHO học SINH lớp 11 ở TRUNG tâm GDNN GDTX

Khi nói đến Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp thì phần lớn các em học sinh còn bối rối, nhầm lẫn giữa các khái niệm, ký hiệu và cách vận dụng chúng trong từng bài toán cụ thể.. Với những khó kh

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Toán Đại số tổ hợp nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử Cấu hình đó là hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,… của các phần tử trong một tập hợp Toán Đại số tổ hợp liên quan đến nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý, hóa học, toán máy tính,… và rất nhiều bài toán đặt ra trong đời sống hàng ngày

Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp là các khái niệm cơ bản của Đại số Tổ hợp Trong các đề thi từ thi Tốt nghiệp THPT, thi THPT Quốc gia, thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng từ những năm trước đây đến các kỳ thi chọn học sinh giỏi bậc THPT đều có xuất hiện của các bài toán tổ hợp - xác suất Do đó nội dung này là một phần quan trọng của toán THPT

Các bài toán Tổ hợp thường đòi hỏi học sinh hiểu chính xác những mối quan hệ giữa các đối tượng được xét mà đôi khi bằng ngôn ngữ cũng khó diễn đạt một cách đầy đủ Khi nói đến Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp thì phần lớn các em học sinh còn bối rối, nhầm lẫn giữa các khái niệm, ký hiệu và cách vận dụng chúng trong từng bài toán cụ thể Do học sinh chưa thực sự hiểu rõ bản chất các khái niện của toán tổ hợp nên việc nhầm lẫn thường xảy ra đẫn đến có khi bài toán đơn giản lại trở nên phức tạp hoặc lại làm đơn giản hóa cho một bài toán

Với những khó khăn trên đối với học sinh và sự cần thiết trong thực tiễn dạy học, tôi đã suy nghĩ - vận dụng trong dạy học và đúc rút thành sáng kiến

kinh nghiệm với tên đề tài:" Phương pháp phân biệt Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp cho học sinh lớp 11 ở Trung tâm GDNN-GDTX"

1.2 Mục đích nghiên cứu

Như trong phần lí do chọn đề tài đã nêu, nội dung phần toán Tổ hợp là quan trọng trong chương trình môn Toán ở THPT và thực tế giảng dạy nhiều năm, tôi đã đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm với những mục đích:

- Giúp cho học sinh hiểu rõ bản chất của từng khái niệm toán Tổ hợp

- Học sinh phân biệt được khi nào thì vận dụng Tổ hợp, Chỉnh hợp và Hoán vị

- Giúp học sinh học tốt nội dung toán Tổ hợp và biết liên hệ các bài toán trong thực tế

- Khuyến khích, tạo động cơ và khơi dậy tính ham học hỏi - tìm tòi của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Về kiến thức: Là nội dung chương III: Tổ hợp - Xác suất của chương trình Đại số & Giải tích lớp 11

- Về đối tượng học sinh: Học sinh lớp 11 ở Trung tâm GDNN - GDTX, cụ thể ở Trung tâm GDNN - GDTX Hậu Lộc

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Điều tra, quan sát

- Thực nghiệm sư phạm

- Xây dựng hệ thống bài tập hợp lý, phân loại các dạng bài tập ở các mức

độ khác nhau, lấy ví dụ cụ thể để phân tích hướng tư duy của học sinh đối với bài toán

- Tổng kết rút kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

- Căn cứ vào thực tiễn trong đời sống cũng như trong khoa học chúng ta thường gặp bài toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó Ta gọi đó là bài toán đếm Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu nhiều vấn đề mang cấu trúc rời rạc trong đó có bài toán đếm Kỹ năng và kiến thức của toán

Tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều môn khoa học từ kinh tế tới sinh học, tin học, hoá học, quản trị kinh doanh

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT: “Giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục THCS, hoàn thiện học vấn phổ thông, có những hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân, tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của môn học: Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kỹ năng, phương pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực; Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, khả năng suy luận cần thiết cho cuộc sống, hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của chương: Cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu, cơ bản về Tổ hợp và Xác suất

- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của bài: Trang bị cho học sinh các khái niệm cơ bản nhất của tổ hợp là hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cùng các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Nhờ đó chúng ta có thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần liệt kê (nhiều khi cũng không thể liệt kê được vì số lượng các phần tử rất lớn)

- Căn cứ vào tình hình học tập bộ môn của học sinh hệ Bổ túc THPT nói chung và Trung tâm GDNN - GDTX huyện Hậu Lộc nói riêng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Tổ hợp luôn được đánh giá là một nội dung khó trong chương trình Toán phổ thông Các bài toán tổ hợp khá trừu tượng và là khái niệm mới đối với học sinh THPT nói chung và càng khó khăn đối với học sinh ở các Trung tâm GDNN - GDTX nói riêng nên việc tiếp thu kiến thức cũng như vận dụng vào từng bài tập gặp rất nhiều khó khăn Đặc biệt “hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp” lại

là những kiến thức cơ sở nên nếu học sinh không nắm vững, hiểu rõ được nội dung này thì toàn bộ kiến thức tiếp theo của chương "Tổ hợp và Xác suất" trong Đại số & Giải tích lớp 11 học sinh sẽ rất khó hiểu và vận dụng được

Thực tế qua quá trình giảng dạy của bản thân ở Trung tâm GDNN -GDTX Hậu Lộc, tôi nhận thấy rất nhiều học sinh do không nắm tốt các kiến

thức cơ bản của bài " Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp" nên khó tiếp thu được các kiến thức khác trong chương Học sinh cảm thấy các kiến thức của chương là rất khó hiểu và trừu tượng từ đó các em có xu hướng ngại học nội dung của chương này, dẫn đến là kết quả thu được trong bài kiểm tra chương tương đối thấp Do vậy trong bài thi học kỳ, hay xa hơn là bài thi Tốt nghiệp THPT có những bài Tổ hợp – Xác suất tương đối đơn giản, không quá khó nhưng nhiều học sinh không làm được (đã thực nghiệm trong các năm học trước)

Kết quả điểm kiểm tra cuối chương "Tổ hợp - Xác suất" môn Toán lớp 11 của các lớp tôi đã dạy tại Trung tâm GDNN - GDTX huyện Hậu Lộc trong những năm gần đây qua khảo sát đầu năm:

- Năm học 2020 - 2021: 02 lớp là 11B1 và 11B2:

+ Điểm Giỏi: 0 % + Điểm Khá: 17,5 % + Điểm TB: 65,4 % + Điểm Yếu: 17,1 % + Điểm Kém: 0 %

- Năm học 2021 - 2022: 02 lớp là 11C1 và 11C2

+ Điểm Giỏi: 0 % + Điểm Khá: 18,0 % + Điểm TB: 71,0 % + Điểm Yếu: 11,0 % + Điểm Kém: 0 % Kết quả thống kê điểm trên cho thấy tỉ lệ các em đạt điểm Khá là thấp (dưới 18%) và điểm Yếu còn rất cao (trên 20%), do đó cần có phương pháp phù hợp với đối tượng để nâng cao chất lượng học tập bộ môn cho học sinh

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để giải quyết thực trạng trên, giúp học sinh có được những kiến thức cơ

sở vững chắc của chương mà cụ thể là giúp học sinh học tốt bài “Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp”, cụ thể hơn là phải hiểu và phân biệt được các khái niệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp để vận dụng vào các bài toán cụ thể, bản thân đã thực hiện các giải pháp sau:

2.3.1 Giải pháp 1: Nắm các kiến thức cơ bản của toán tổ hợp.

2.3.1.1 Quy tắc đếm

- Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo hai phương án

A hoặc phương án B (thay thế "hành động" trong SGK bởi "phương án" để học sinh dễ hiểu, gần với ngôn ngữ thực tế hơn) Phương án A có m cách thực hiện

và phương án B có n cách thực hiện Khi đó, công việc có thể được thực hiện theo (m  n) cách.

 Sơ đồ tư duy:

*Chú ý: Có thể mở rộng quy tắc cộng cho công việc thực hiện theo nhiều

hơn hai phương án

- Quy tắc nhân: Giả sử một công việc được hoàn thành bởi hai công đoạn A và B liên tiếp Công đoạn A có thể làm theo m cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì có thể thực hiện theo n cách công đoạn B Khi đó công việc có thể thực hiện theo m.n cách (thay thế cụm từ "hành động" bằng "công đoạn" nhằm mục đích gần với thực tế để học sinh dễ hiểu hơn).

 Sơ đồ tư duy:

*Chú ý: Có thể mở rộng quy tắc nhân cho công việc thực hiện theo nhiều

công đoạn

2.3.1.2 Hoán vị

- Định nghĩa: Cho tập hợp gồm n phần tử Một hoán vị của n phần tử là sự

sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định

- Ký hiệu số hoán vị của n phần tử là: P n

- Tính số hoán vị: P n n!n n(  1)(n 2) 3.2.1

2.3.1.3 Chỉnh hợp

- Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1) Kết quả của việc lấy

k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử: A n k

- Tính số chỉnh hợp:

!

k n

n A

n k





2.3.1.4 Tổ hợp

- Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n 1) Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

- Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là: C n k

Công việc

có m cách

có n cách

hoàn thành công việc có

(m + n) cách

cách

Công đoạn A

có m.n cách

có n

cách

Công đoạn B

Hoàn thành

- Tính số chỉnh hợp:

!

k n

n C

k n k





2.3.2 Giải pháp 2: Hiểu rõ bản chất của hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thông qua sơ đồ tư duy.

2.3.2.1 Hoán vị:

Sơ đồ tư duy Hoán vị:

Từ sơ đồ tư duy trên, chúng ta thấy trong mỗi hoán vị, số phần tử không thay đổi Mỗi hoán vị chỉ khác nhau giữa vị trí sắp xếp của chúng mà thôi

Ví dụ: Ba người tên lần lượt là A, B, C xếp theo một hàng ngang thì có 6 cách

xếp đó là:

A-B-C A-C-B B-A-C B-C-A C-A-B C-B-A

Như trên, mỗi cách xếp là một hoán vị của 3 phần tử tương ứng 3 người Mỗi cách xếp đó có số người không thay đổi mà chỉ khác nhau vị trí

2.3.2.2 Chỉnh hợp:

* Sơ đồ tư duy Chỉnh hợp:

Từ sơ đồ tư duy trên, trong số n phần tử của tập A lấy ra k phần tử ( k n

), với k phần tử này ta lại sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó mà mỗi cách sắp

Tập hợp

có n

phần tử

Chọn k phần

tử trong số n

phần tử

Sắp xếp k

phần tử đã chọn

Có cách chọn

Tập hợp có n

phần tử

Sắp xếp n phần

tử

Có P n  n! cách xếp

xếp cho những kết quả khác nhau Tức là, đối với chỉnh hợp phải thực hiện hai công đoạn liên tiếp:

- Công đoạn 1: Chọn k phần tử trong số n phần tử.

- Công đoạn 2: Từ k phần tử đã lấy ra sắp xếp k phần tử đó mà mỗi cách

xếp sẽ cho một kết quả khác nhau

* Chú ý:

- Đối với chỉnh hợp nếu k = n thì số chỉnh hợp chập k của n phần tử chính

là số hoán vị của n phần tử, tức là A n n P n

- Cách tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử có thể suy luận từ quy tắc

nhân với công việc được hoàn thành bởi hai công đoạn liên tiếp: công đoạn 1 là

số cách lấy k phần tử trong số n phần tử, công đoạn 2 là số cách hoán vị của k

phần tử đó

Ví dụ: Cho tập A {1,2,3,4,5,6} Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác

nhau lấy từ tập A.

Với đề bài như trên, giáo viên hướng dẫn cho học sinh hiểu đây là dạng

bài liên quan đến chỉnh hợp Trong 6 số tự nhiên của A, giả sử ta chọn ra ba số là

1, 2, 3 (công đoạn chọn); sau đó từ ba số này ta sắp xếp thành các số có ba chữ

số khác nhau (công đoạn sắp xếp) Như vậy có các số là: 123, 132, 213, 231,

312, 321 Với việc thay đổi vị trí ta lại có được các số khác nhau (6 số khác nhau) Mỗi số đó là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử

Đáp án của ví dụ trên là số chỉnh chập 3 của 6: A = 120 số.63

2.3.2.3 Tổ hợp:

* Sơ đồ tư duy Tổ hợp:

Khi nói đến khái niệm tập hợp thì ta không phân biệt vị trí, thứ tự của các phần tử trong đó, mà chỉ quan tâm trong tập đó có bao nhiêu phần tử mà thôi Chẳng hạn ta lấy ra ba phần tử là các số 1, 2, 3 sau đó đặt các số này vào các vị trí khác nhau trong tập con, ta sẽ có các tập con đó là:

1;2;3

A  ; B 1;3;2 ; C 2;1;3 ;D 2;3;1 ;E 3;1;2 ; F 3;2;1 Ta

thấy có 6 tập con là A, B, C, D, E, F nhưng các phần tử vẫn là 1, 2 và 3 Do vậy

6 tập con trên là bằng nhau, tức chúng chỉ là một

Tập hợp có n

phần tử

Chọn ra k trong n

phần tử

Có cách chọn

2.3.3 Giải pháp 3: Giúp học sinh phân biệt được hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp.

Học sinh khó khăn nhất khi phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp Vì các bài toán

về dạng này đều liên quan đến rất nhiều thực tế Học sinh đơn thuần nghĩ kiến thức toán học mà không liên hệ thực tế thì sẽ khó hiểu và không biết phân biệt Ngoài ra giáo viên giúp học sinh phân biệt thông qua các dấu hiệu nhận dạng:

- Nhận dạng bài toán sử dụng hoán vị của n phần tử:

+ Tất cả n phần tử đều có mặt.

+ Có phân biệt thứ tự giữa các phần tử

- Nhận dạng bài toán sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử:

+ Chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.

+ Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử đã chọn.

- Nhận dạng bài toán có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử:

+ Chọn k phần tử từ n phần tử cho trước.

+ Có phân biệt thứ tự giữa k phần tử đã chọn.

2.3.4 Giải pháp 4: Xây dựng hệ thống bài tập câu hỏi

Giúp học sinh nắm vững, hiểu rõ được các các kiến thức đã học chính là

sự rèn luyện củng cố qua các bài tập Để giúp học sinh chủ động, tích cực học tập, chúng ta cần xây dựng một hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp với mục đích nhận thức của các đối tượng học sinh Với mục tiêu như vậy tôi xây dựng một

hệ thống bài tập với các mức độ nhận thức là nhận biết, thông hiểu và vận dụng với ý nghĩa:

- Các bài toán nhận dạng giúp học sinh tiếp cận các khái niệm

- Các bài toán thông hiểu giúp củng cố lại kiến thức

- Các bài toán vận dụng giúp học đào sâu kiến thức

2.3.4.1 Bài tập nhận biết

Đây là những bài tập đơn giản, rõ ràng giúp học sinh nhận dạng và phân biệt các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Bài tập 1 (BT5 – SGK trang 62) Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối

với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng đá có 5 đội? (Giả sử không có hai đội nào cùng điểm)

* Hướng tư duy cho học sinh: Đây là cách xếp thứ tự của 5 đội trong giải (tổng

số đội không thay đổi) cũng giống như số cách xếp 5 người đứng theo một hàng dọc Vì chỉ thay đổi vị trí của 5 đội nên mỗi khả năng là một hoán vị

*Lời giải:

Mỗi khả năng xếp thứ tự các đội bóng là một hoán vị của 5 phần tử Vậy

số khả năng có thể xảy ra là P5  5! 120

Bài tập 2 (BT6 – SGK trang 62) Giả sử có 8 vận động viên tham gia thi

chạy

Nếu không kể trường hợp có hai vận động viên về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và thứ ba?

* Hướng tư duy cho học sinh: Để có vị thứ nhất, nhì, ba (không về đích cùng

lúc) thì phải chọn ra 3 vận động viên trong số 8 vận động viên Sau khi chọn ra được 3 người thì sắp xếp vị thứ nhất-nhì-ba cho 3 người này và với mỗi cách sắp xếp cho ta những kết quả khác nhau Như vậy, với mỗi kết quả xếp vị thứ là một chỉnh hợp

* Lời giải:

Số kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử: A  (kết quả).83 56

Bài tập 3 (BT8 – SGK trang 62) Trong một ban chấp hành hành gồm 7

người , cần chọn 3 người vào ban thường vụ

a) Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ

thì có bao nhiêu cách chọn?

b) Nếu cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó

bí thư, ủy viên thì có bao nhiêu cách chọn?

* Hướng tư duy cho học sinh:

- Phải chọn 3 người trong số 7 người Nếu chỉ nói 3 người trong Ban thường vụ thì sẽ không phân biệt chức vụ của từng người; tức là các chức danh Bí thư, Phó

bí thư và ủy viên đều là nằm trong Ban thường vụ Nên đây chính là tổ hợp

- Phải chọn 3 người trong số 7 người Nếu chỉ rõ chức danh từng người trong Ban thường vụ thì khi chọn ra 3 người và từng cách xếp chức danh sẽ cho những kết quả khác nhau Do đó nghĩ ngay đến chỉnh hợp

* Lời giải:

a) Số cách chọn là: C  (cách chọn)73 35

b) Số cách chọn là: A 73 210 (cách chọn)

2.3.4.2 Bài tập thông hiểu: Đây là những bài tập đã có sự phức tạp hơn, cần sự

hiểu biết rõ ràng hơn của học sinh về các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp khi áp dụng

Bài tập 4 (BT7 – SGK trang 62) Trong mặt phẳng cho một tập hợp P

gồm n điểm Hỏi:

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P?

b) Có bao nhiêu véc-tơ mà hai đầu mút thuộc P?

* Hướng tư duy cho học sinh: Trước tiên phải hiểu:

- Hai đoạn thẳng AB và BA chỉ là một vì không phân biệt điểm đầu và điểm

cuối

- Hai vectơ AB

và BA

là hoàn toàn khác nhau vì đối với vectơ có phân biệt điểm đầu và điểm cuối

Đây là một bài tập thông hiểu và phân biệt giữa khái niệm chỉnh hợp và tổ

hợp Nếu như câu a) đoạn thẳng không có sự phân biệt về hai điểm mút (tức là không cần sự sắp xếp về thứ tự) thì câu b) véc-tơ có sự phân biệt về hai điểm

mút (tức là có sự sắp xếp về thứ tự), học sinh sẽ nhận thấy mỗi đoạn thẳng là

một tổ hợp chập 2 của n phần tử còn mỗi véc-tơ là một chỉnh hợp chập 2 của n

phần tử

* Lời giải:

a) Số đoạn thẳng là:

2

n

n n

(đoạn thẳng)

b) Số véc-tơ là: A n2 n n(  1) (véc-tơ)

Bài tập 5 (BT58 – SGK trang 93) Trong không gian cho tập hợp gồm 9

điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng, hỏi có thể lập được bao nhiêu

tứ diện với các đỉnh thuộc tập đã cho

* Hướng tư duy cho học sinh: Đây là một bài tập thông hiểu về tổ hợp Học sinh

sẽ nhận thấy cứ 4 điểm không đồng phẳng thuộc tập hợp đã cho thì tạo được một

tứ diện và ngược lại (Tứ diện không phân biệt cách đọc thứ tự các đỉnh mà chỉ cần biết gồm có những đỉnh nào) Vì vậy mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con gồm 4 phần tử của tập đã cho hay một tổ hợp chập 4 của 9 phần tử

Do đó số tứ diện lập được với các đỉnh thuộc tập 9 đỉnh đã cho là:

4

9

C  126 (tứ diện)

2.3.4.3 Bài tập vận dụng: Đối với loại bài tập này học sinh cần nắm vững, hiểu

rõ và vận dụng linh hoạt kết hợp các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong các bài tập

Bài tập 6 (BT58 – SGK trang 93) Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập

được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0)

Đây là một bài toán có cách giải rất đa dạng, học sinh có thể vận dụng hai quy tắc đếm, cũng có thể vận dụng chỉnh hợp để làm Tuy nhiên đây cũng là một bài toán học sinh rất dễ gặp sai lầm

* Sai lầm thường gặp của học sinh là giải bài toán như sau:

Gọi số cần tìm là abcde ( a  0; a  b  c  d  e)

Chọn số ở vị trí e có 4 cách chọn từ tập  0, 2, 4, 6

Chọn số ở vị trí a có 5 cách chọn trừ e và 0

Chọn số ở vị trí b có 5 cách chọn trừ e và a