Luận văn một số ứng dụng thực tế của lượng giác

TMỤC LỤC LỜI CẢM ƠN______________________________________________________1 MỤC LỤC_________________________________________________________2 PHẦN MỞ ĐẦU____________________________________________________3 PHẦN NỘI DUNG__________________________________________________5 CHƯƠNG 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC __________________________5 1.1. Góc và cung lượng giác _______________________________________5 1.2. Công thức tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn ___________7 1.3. Một số ví minh họa ___________________________________________8 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC _________________________________________________________________29 2.1. Giá trị lượng giác của một cung ________________________________29 2.2. Hàm số lượng giác __________________________________________29 2.3. Phương trình lượng giác cơ bản ________________________________35 2.4. Ứng dụng__________________________________________________37 2.5. Một số ví dụ minh họa _______________________________________40 CHƯƠNG 3. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC _______________________________________________63 3.1. Tam giác đồng dạng _________________________________________63 3.2. Tỷ số lượng giác của góc nhọn _________________________________64 3.3. Định lý sin_________________________________________________64 3.4. Định lý côsin ______________________________________________64 3.5. Một số ví dụ minh họa _______________________________________65 PHẦN KẾT LUẬN_________________________________________________98 TÀI LIỆU THAM KHẢO ___________________________________________99 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lượng giác là một nhánh toán học quan trọng, có nhiều ứng dụng. Cụ thể có thể nói đến các ứng dụng như là việc đo đạc, tính toán khoảng cách của các ngôi sao, hành tinh trong thiên văn học; trong địa lý thì lượng giác thường dùng để đo khoảng cách giữa các mốc giới. Các lĩnh vực khác cũng ứng dụng nhiều kiến thức lượng giác như là lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, điện tử học, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm) và trong nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc,… Các kiến thức về lượng giác còn được sử dụng rất nhiều trong chương trình vật lý phổ thông lớp 11 và 12 trong các chương về quang học, dao động điều hòa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

MSSV: B1700046 Lớp: SP Toán K43

Cần Thơ – Năm 2022

1

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trong Bộ môn Sư phạm Toán trường Đại Học Cần Thơ đã tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để em có được nền tảng tri thức cũng như kinh nghiệm cuộc sống quý báu làm hành trang cho em sau này

Em xin gửi lời tri ân đặc biệt đến thầy TS Nguyễn Thanh Hùng đã hướng dẫn, hỗ trợ em nhiệt tình để hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, các bạn và những người quan tâm đến đề tài này

để đề tài của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Cần Thơ, tháng 05 năm 2022

Sinh viên

Huỳnh Tuyết Trân

2

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 1 MỤC LỤC _ 2 PHẦN MỞ ĐẦU 3 PHẦN NỘI DUNG 5 CHƯƠNG 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 5

1.1 Góc và cung lượng giác _ 5 1.2 Công thức tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn _ 7 1.3 Một số ví minh họa _ 8

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC _ 29

2.1 Giá trị lượng giác của một cung 29 2.2 Hàm số lượng giác 29 2.3 Phương trình lượng giác cơ bản 35 2.4 Ứng dụng 37 2.5 Một số ví dụ minh họa _ 40

CHƯƠNG 3 HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC _ 63

3.1 Tam giác đồng dạng _ 63 3.2 Tỷ số lượng giác của góc nhọn _ 64 3.3 Định lý sin _ 64 3.4 Định lý cô-sin 64 3.5 Một số ví dụ minh họa _ 65

PHẦN KẾT LUẬN _ 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO _ 99

Các kiến thức về lượng giác còn được sử dụng rất nhiều trong chương trình vật lý phổ thông lớp 11 và 12 trong các chương về quang học, dao động điều hòa, điện xoay chiều, sóng cơ, sóng âm, sóng điện từ,… Nhưng các bài toán thực tế về lượng giác trong các cuốn sách giáo khoa như “Đại số 10”, “Hình học 10” và “Đại số và giải tích 11” còn khá ít Cũng vì điều này mà học sinh cảm thấy thiếu hứng thu khi học chương lượng giác và không thể liên hệ các kiến thức mình đã được học về lượng giác trong môn toán vào môn vật lý 11 và 12

Cũng vì lý do này mà tôi chọn thực hiện đề tài “Một số ứng dụng thực tế của

lượng giác” để làm đề tài nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu luận văn này là để tổng hợp lại các kiến thức về lượng giác của các khối lớp, đồng thời tổng hợp và phân loại lại các bài toán thực về lượng giác và giải chúng Từ đó tạo ra nguồn tài liệu tham khảo phục vụ cho việc dạy và học của giáo viên và học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các khái niệm, định lý, tính chất liên quan đến lượng giác, các bài toán thực tế về lượng giác và tính ứng dụng của lượng giác

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo sách giáo khoa, tài liệu,… Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, đánh giá các tài liệu liên quan đến lượng giác Sưu tầm và chọn lọc và giải các bài toán thực tế về lượng giác

4

5 Nội dung luận văn

Luận văn được trình bày theo 3 chương:

Chương 1 Cung và góc lượng giác

Chương 2 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chương 3 Hai tam giác đồng dạng và hệ thức lượng trong tam giác

Góc lượng giác (Oa Ob được tạo thành bằng , )

cách quay tia Om quay điểm O luôn theo một chiều

sao cho tia Om xuất phát từ tia Oa và kết thúc tại tia

Ob , như hình 1.1 Khi đó ta nói tia Om quét một góc

lượng giác có tia đầu là tia Oa và tia cuối là tia Ob

Ta quy ước, nếu tia Om quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ thì góc

lượng giác (Oa Ob sẽ mang giá trị dương (xem hình 1.2) Còn ngược lại, nếu tia , )

Om quay quanh O theo chiều cùng chiều kim đồng hồ thì góc lượng giác ( Oa Ob , )

sẽ mang giá trị âm (xem hình 1.3)

Khi quay như thế, tia Om có thể gặp tia Ob nhiều

lần, mỗi lần như thế ta được một góc lượng giác

có tia đầu Oa, tia cuối Ob Do đó, với hai tia Oa

và Ob cho trước thì ta có vô số góc lượng giác

(một họ góc lượng giác) có tia đầu Oa, tia cuối

Ob (hình 1.4) Mỗi góc lượng giác như thế đều

được ký hiệu là (Oa Ob , )

Hình 1.1

Hình 1.4

6

1.1.2 Cung lượng giác

Cho góc lượng giác (Oa Ob Vẽ đường tròn tâm , )

O bán kính R cắt Oa tại A, cắt Ob tại B Nếu tia

Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay

quanh O theo cùng một chiều (âm hoặc dương) từ

Oa đến Ob thì cũng đồng nghĩa với việc cho điểm

M chạy trên đường tròn theo một chiều tử điểm A

đến điểm B (hình 1.5) Khi đó ta nói điểm M vạch

nên một cung lượng giác AB



có điểm đầu A, điểm cuối B, tương ứng với góc lượng giác

(Oa Ob , )

Ta quy ước, nếu tia Om quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ thì cung lượng giác AB

sẽ mang giá trị dương Còn ngược lại, nếu tia Om quay quanh

O theo chiều cùng chiều kim đồng hồ thì cung lượng giác AB



sẽ mang giá trị âm

Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung như vậy đều được ký hiệu là AB

1.1.3 Số đo của cung và góc lượng giác

Số đo của góc lượng giác (OA OB là số đo của cung lượng giác AC, ) 

tương ứng

Hình 1.6

Ví dụ như trong hình 1.6a) một điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương

từ A đến B tạo nên cung 1

4 đường tròn, ta nói cung này có số đo 2



, tương ứng với Hình 1.5

7

góc lượng giác (OA OB có số đo là , )

2



Trong hình 1.6b) điểm M đi tiếp một vòng

tròn nữa (thêm 2), ta được cung lượng giác AB



là 34

1.2 Công thức tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn

1.2.1 Công thức tính độ dài của một cung tròn

Trên một đường tròn bán kính R, cung có số đo  (rad) có độ dài là:

lR Đối với các trường hợp đường tròn có bán kính rất lớn nhưng góc ở tâm lại rất nhỏ thì cung bị chắn (cung đối diện với góc ở tâm) và dây cung của nó sẽ có độ dài xấp

8

kiến), xem hình 2.7 Trong đó thì  là góc ở tâm (đường kính góc của mặt trời) và r

xấp xỉ bằng khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời

1.2.2 Công thức tính diện tích hình quạt tròn

Một hình quạt tròn bán kính R, có góc ở tâm là  (rad) có

diện tích là (hình 1.8):

212

1.3 Một số ví minh họa

1.3.1 Số đo của góc và cung lượng giác

Câu 1 Một vận động viên chạy bộ trên một đường chạy

tròn như hình 1.9 Người đó bắt đầu tại điểm S và chạy

theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc không

đổi Biết rằng cứ 30 phút người đó sẽ hoàn thành đúng

một vòng chạy Hỏi:

a) Trong 1 phút chạy bộ, người đó vạch nên một cung

lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?

b) Trong 40 phút chạy bộ, người đó vạch nên một cung lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?

c) Nếu người đó xuất phát từ S và chạy theo chiều cùng chiều kim đồng hồ, thì

trong 72 phút chạy bộ, người đó sẽ vạch nên một cung lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?

Câu 2 Trái Đất hoàn thành một vòng quay quanh trục của nó cứ sau mỗi 23 giờ, 56

phút và 4 giây Tính gần đúng số radian mà Trái đất được quay trong một giây

Câu 3 Giả sử quỹ đạo của Trái Đất là hình tròn Hỏi trong ba tuần Trái Đất quay

quanh Mặt Trời thì Trái Đất vạch nên một cung lượng giác có số đo là bao nhiêu radian? (Giả sử một năm có chính xác 52 tuần)

Hình 1.10

Giải

Để Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời đúng một vòng mất một năm (mất 52 tuần)

Câu 4 Một vòng đu quay có dạng hình tròn như

hình 1.11, thời gian thực hiện mỗi vòng quay

của đu quay là 38 phút Tại thời điểm ban đầu,

một người vào bước cabin tại vị trí thấp nhất của

đu quay Hỏi sau 60 phút quay liên tục kể từ thời

điểm ban đầu, người đó đã vạch nên một cung

lượng giác có số đo là bao nhiêu radian?

Câu 5 Một bánh xe đạp có các nan hoa được thiết kế như hình 1.12

a) Mô tả cách bạn tính số radian được tạo ra bởi một trong

các nan hoa của một bánh xe đạp đã quay được n vòng

quay

b) Câu trả lời của bạn ở câu a) có phụ thuộc vào kích

thước của bánh xe đạp?

c) Tính số radian được tạo ra bởi một trong các nan hoa

của một bánh xe đạp đã quay hoàn chỉnh 3,6 vòng

Hình 1.13 Minh họa tọa độ của hai thành phố San Franciso và Seattle

a) San Franciso, CA, 37 50 ' N và Seattle, WA, 47 40 ' N

b) Dallas, TX, 32 50 ' N và Lincoln, NE, 40 50 ' N

c) Buffalo, NY, 42 50 ' N và Durham, NC, 32 0' N

Giải

a) Số đo cung hình học được tạo ra bởi hai thành phố San Franciso và Seattle là

47 40 ' 37 50 ' 9 50 '

       b) Số đo cung hình học được tạo ra bởi hai thành phố Dallas và Lincoln là

40 50 ' 32 50 ' 8

       c) Số đo cung hình học được tạo ra bởi hai thành phố Buffalo và Durham là

12

42 50 ' 32 0 ' 10 50 '

      

1.3.2 Độ dài của một cung tròn

Câu 7 Mắt người có hình dạng gần giống hình cầu, với phần phìn ra phía trước gọi

là giác mạc được mô phỏng bằng hình 1.14 dưới đây

Hình 1.14

a) Tính s (làm tròn đến hai chữ số thập phân), biết  119, 7 , r5, 49 mm;

b) Tính r (làm tròn đến hai chữ số thập phân), biết s11,5 mm,  118, 2 ;

Câu 8 Khoảng cách giữa hai điểm A và B trên Trái Đất được đo dọc theo một vòng

tròn có tâm C ở tâm Trái đất và bán kính bằng khoảng cách từ C đến bề mặt Trái

13

Đất (xem hình 1.15) Biết đường kính của Trái Đất là khoảng 12742 km, hãy tính

gần đúng khoảng cách giữa A và B nếu

Câu 9 Sân bay Quốc tế Nội Bài và sân bay Quốc tế Cần Thơ nằm xấp xỉ trên cùng

một kinh tuyến Biết rằng sân bay Quốc tế Nội Bài có vĩ độ 21 13' N, sân bay Quốc

tế Cần thơ có vĩ độ 10 05' N và bán kính trái đất tại xích đạo là 6378 km Tính khoảng cách giữa hai sân bay trên

Giải

Hình 1.15

14

Đặt điểm O, A, B lần lượt tại tâm Trái Đất, sân bay Quốc tế

Nội Bài, sân bay Quốc tế Cần Thơ và l là độ dài cung hình

học AB (hình 1.16) Ta có l khoảng cách của hai sân bay

Vậy khoảng cách giữa hai sân bay là 1239,3 km

Câu 10 Tính đường kính của Mặt Trời, biết khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời

là r 149, 6.106 km và đường kính góc của mặt Trời là   0 32 '

Hình 1.17

Giải

Ta có  0 32 ' 9,3.103

   (rad)

Đường kính của Mặt Trời xấp xỉ bẳng d r 9,3.10 149, 6.10 3 6 1391280 km

Câu 11 Nhật thực toàn phần sẽ xảy ra khi Mặt Trăng đi qua giữa Trái Đất và Mặt

Trời Khi đó người quan sát tại nơi xảy ra nhật thực toàn phần sẽ thấy đường kính góc của Mặt Trăng lớn hoặc bằng đường kính góc của Mặt Trời, xem hình 1.18

Hình 1.18

Hình 1.16

15

a) Vì khoảng cách từ Mặt Trời và Mặt Trăng đến trái đất thay đổi theo thời gian, nên hãy giải thích điều gì xảy ra với đường kính góc của Mặt Trời và Mặt Trăng (đối với người quan sát tại nơi xảy ra nhật thực toàn phần trên Trái Đất) khi khoảng cách của chúng từ Trái Đất tăng hoặc giảm

b) Đường kính của Mặt Trời và Mặt Trăng lần lượt là D1392700 km và 3474,8



d km Tìm khoảng cách lớn nhất mà Mặt Trăng có thể cách Trái Đất để xảy ra nhật thực toàn phần khi Mặt Trời ở khoảng cách cực đại so với Trái Đất là 152,1



R triệu km

Giải

a) Gọi d là đường kính của Mặt Trăng, r là khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất,

 là đường kính góc của Mặt Trăng Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn ta có:

 

r (*)

Vì đường kính d của Mặt Trăng không thay đổi nên dựa vào phương trình (*) ta

thấy  tỷ lệ nghịch với r, nghĩa là khi khoảng cách của Mặt Trăng và Trái Đất tăng lên (giá trị của r tăng lên) thì đường kính góc của Mặt Trăng sẽ giảm (số đo góc 

giảm) và ngược lại

Tương tự ta cũng có khoảng cách của Mặt Trời và Trái Đất tăng lên sẽ làm đường kính góc của Mặt Trời giảm và ngược lại

b) Khi Mặt Trăng đi qua giữa Trái Đất và Mặt Trời, để xảy ra nhật thực toàn phần thì đường kính góc của Mặt Trăng ít nhất phải bằng đường kính góc của Mặt Trời

Đường kính góc của Mặt Trời là 13927006 9,16.10 3 32,96 ''

Câu 12 Vào tháng 1 năm 2005, tàu vũ trụ Huygens của Cơ quan Vũ trụ Châu Âu

đã hạ cánh trên bề mặt của vệ tinh Titan (một trong những mặt trăng của Sao Thổ)

16

Titan có đường kính trung bình khoảng d 5149 km Khi nhìn từ Sao Thổ, Titan

có đường kính góc là  0, 242 Hỏi Titan cách Sao Thổ bao xa?

gần đúng của phạm vi quan sát là bao nhiêu?

b) Góc xem của ống kính tele 1.000 mm là

c) Đổi 180  Chiều rộng của phạm vi quan sát là l.100314 m

Câu 14 Nhà toán học Eratosthenes (Khoảng 276 – 195 TCN) đã đo chu vi của Trái

Đất bằng cách sau đây Ông thấy rằng, vào một ngày nhất định Mặt Trời sẽ chiếu thẳng trực tiếp xuống Syene Đồng thời ở Alexandria cách Syene 804 km về phía

Hình 1.19

17

Bắc (trên cùng một kinh tuyến), các tia nắng chiếu xuống hợp với mặt đất một góc

7, 2 (như hình 1.20)

Hình 1.20Hãy sử dụng những thông tin trên để tính bán kính và chu vi của Trái Đất

Chu vi của Trái Đất là C 2R 2 6398 40199,8km

Câu 15 Một sân vận động có kích thước được mô phỏng như hình 1.21 Hãy tính

chu vi của sân vận động đó

Hình 1.21

Giải:

18

Kẻ OM AB

Hình 1.22

Vì AOB cân tại O có OM vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến vừa là

đường phân giác AOB nên ta có:

Vậy chu vi của sân vận động là 92,15 m

Câu 16 Một bánh xe đạp có đường kính là 53 cm di chuyển được một khoảng cách

dài 41,25 m Tính số đo góc lượng giác được tạo ra bởi một trong các nan hoa

19

Để di chuyển được một khoảng cách dài l 41, 25 (m) thì một trong các nan hoa

của bánh xe đạp đó phải quay một góc bằng 41, 25 125

0,33

l r

Câu 18 Trả lời các câu sau:

a) Mô tả cách bạn tình số radian được tạo ra bởi một ròng rọc có đường kính d = 10

cm quay không trượt nếu u (m) dây được kéo qua

b) Câu trả lời của bạn ở câu a) có phụ thuộc vào đường kính của ròng rọc không? Tại sao?

Hình 1.23

20

c) Tính số radian được tạo ra bởi sự quay không trượt của ròng rọc ở câu a) khi 5,75

m dây được kéo qua?

Gọi O là tâm của ròng rọc Chọn một điểm M bất kỳ ở

ngoài rìa của ròng rọc sao cho OM = 0,05 m Gọi điểm

1

M , M lần lượt là vị trí của điểm M trước và sau khi 2

ròng rọc đã được kéo qua u (m) dây (xem hình 1.24)

Khi ròng rọc được kéo qua u (m) dây thì lúc đó điểm

M sẽ vạch nên một cung lượng giác M M1 2

, cung

lượng giác này sẽ có độ dài đúng bằng u (m)

Vậy số radian mà ròng rọc tạo ra khi bị kéo qua u (m) dây là

0, 05

  u  u

r (rad)

b) Có Vì số radian mà ròng rọc tạo ra là   u  2u

r d phụ thuộc vào đường kính

c) Số radian được tạo ra bởi sự quay không trượt của ròng rọc ở câu a) khi 5,75 m dây được kéo qua là 5, 75 115

0, 05 0, 05

 u  

Câu 19 Một ròng rọc lớn có đường kính d = 7,6 cm được

sử dụng để cẩu hàng hóa, như trong hình 1.25

a) Tìm quãng đường mà hàng được nâng lên nếu quay ròng

rọc một góc có số đo bằng 7

4



b) Tìm góc (tính bằng radian) mà ròng rọc phải quay để

nâng hàng hóa lên một quãng đường bằng s (m)

Hình 1.24

Hình 1.25

Câu 20 Một bộ bánh xích của một chiếc xe đạp được minh họa như hình 1.26 Nếu

đĩa xích 1 có bán kính r quay một góc 1 1 (rad) thì góc 2 (rad) mà đĩa xích 2 có bán kính r đã quay có số đo là bao nhiêu? 2

Hình 1.26

Giải

Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm của đĩa xích 1 và đĩa xích 2

Chọn M và N lần lượt là hai điểm bất kỳ nằm trên rìa của đĩa xích 1 và đĩa xích 2

sao cho O M1 r và 1 O N2 r 2

Gọi M , 1 M lần lượt là vị trí của điểm M và 2 N , 1 N lần lượt là vị trí của điểm N 2

trước và sau khi đĩa xích 1 quay một góc 1 (rad)

Khi đĩa xích 1 quay một góc 1 (rad) thì điểm M sẽ vạch nên một cung lượng giác

1 2

M M



, cung lượng giác này sẽ có độ dài đúng bằng l11r Vì được nối với nhau

bằng sợ dây xích nên cùng lúc đó điểm N trên đĩa xích 2 cũng vạch nên một cung

lượng giác N N1 2



có độ dài là l2 l 1

Câu 21 Một chiếc xe đạp có hai bánh, với

bánh phía sau được liên kết với bàn đạp và

dây xích như hình 1.27 Biết bánh trước có

đường kính 24 cm và bánh sau có đường kính

60 cm Hỏi bánh trước sẽ quay một góc bao

nhiêu radian nếu bánh sau đã quay một góc 12

l  r   cm, cũng đúng bằng độ dài đoạn đường mà bánh trước của

xe đạp đi được, nghĩa là khi đó bánh trước cũng đi được một đoạn có độ dài là

1 2 360

l l  cm

Vậy, số radian mà bánh trước sẽ quay được là 2

1 2

3603012

l r

    rad nếu bánh sau

đã quay một góc 12 rad

Câu 22 Một bộ truyền ma sát có hai bánh xe được liên kết với nhau như hình 1.28,

trong đó bánh dẫn có đường kính là r 1 26 cm và bánh bị dẫn có đường kính

Sau khi bánh dẫn hoàn thành ba vòng quay thì điểm M trên bánh dẫn vạch nên 1

một cung lượng giác có độ dài l1 3C1156 (cm) Cùng lúc đó điểm M trên 2

bánh bị dẫn cũng vạch nên một cung lượng giác có độ dài l2 l1 156(cm), tức là bánh bị dẫn quay được 2

2 2

156

6,524

l n C





   (vòng)

b) Để bánh bị dẫn hoàn thành một vòng quay thì điểm M phải vạch nên được một 2

cung lượng giác có độ dài l2 C2 24 (cm) Khi đó điểm M trên bánh dẫn cũng 1

phải vạch nên được một cung lượng giác có độ dài l1l224 (cm), tức là bánh

dẫn phải quay một góc 1

1 1

24 12

26 13

l r



     

24

1.3.3 Diện tích hình quạt tròn

Câu 23 Một hệ thống tưới sử dụng một ống phun

thẳng dài 300 m xoay quanh một điểm trung tâm như

hình 1.29 Do có chướng ngại vật nên đường ống chỉ

được phép quay một góc 280 Tính diện tích phần

được tưới bởi hệ thống

Câu 24 Một cửa kính hình chữ nhật có chiều dài 138 cm, chiều rộng 60 cm Một

lưỡi gạt nước dài 43 cm, được gắn với một cánh tay dài 13 cm ở giữa đế cửa kính, khi hoạt động cánh tay sẽ quay một góc 120 , như hình 1.30 Hãy ước tính tính phần trăm diện tích cửa kính được lưỡi gạt quét qua

Câu 25 Một con bò bị cột bằng một sợi dây dài 30m vào góc của một tòa nhà hình

chữ L có kích thước được mô phòng như trong hình 1.31 Tính diện tích khu vực

Câu 26 Các bồn hình trụ tròn nằm ngang được chôn dưới đất tại các trạm dịch vụ

để chứa nhiên liệu Để xác định lượng nhiên liệu trong bình người ta thường dùng

"que nhúng" để đo độ sâu của nhiên liệu (xem hình 1.33)

Hình 1.34 bên mô phỏng đáy của bồn chứa hình

trụ tròn với EF = x là độ sâu của nhiên liệu

Gọi S là diện thích của hình quạt tròn CNFMC,

S là phẩn diện tích được giới hạn bởi cung nhỏ

MN và dây cung MN

Đặt MCN  (rad) với 0 

Hình 1.34

Câu 27 Một sân hình tròn được bao quanh bởi một bức tường đá cao Đèn pha đặt

tại E chiếu vào sân trong Một người đi bộ từ C dọc theo đường thẳng CD đến D,

với vận tốc không đổi (hình 1.35)

Nếu người đó đi x (m) từ C đến D, thì cái bóng sẽ di chuyển một quãng đường d

28

Hình 1.35

Giải

Đặt ACB (rad) như hình 1.36

Trong đường tròn C r , vì góc nội tiếp , 

29

Hình 2.2

CHƯƠNG 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG

GIÁC 2.1 Giá trị lượng giác của một cung

2.1.1 Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn định

hướng tâm O bán kính R = 1 lấy điểm A(1;0)

làm điểm gốc được gọi là đường tròn lượng

giác (gốc A), xem hình 2.1

Một điểm M x y thuộc đường tròn lượng ( , )

giác nếu và chỉ nếu x2y2 1

2.1.2 Giá trị lượng giác của một cung

Trên đường tròn lượng giác cho M x y sao ( , )

Ta gọi các giá trị sin t , cos t , tan t , cot t là các

giá trị lượng giác của cung 

Hình 2.1

Trong hệ đo lường quốc tế, người ta thường sử dụng đơn vị Hz (được đặt tên theo nhà khoa học người Đức Heinrich Rudolf Hertz) cho tần số, đơn vị Hz cho biết số lần dao động thực hiện trong 1 giây, ví dụ âm thanh có tần số 500 Hz nghĩa là âm thanh đó được truyền đi với sự rung động của sóng âm 500 lần (500 chu kỳ sóng) trên 1 giây

Đối với mọi hiện tượng tuần hoàn có T là chu kỳ và f là tần số thì ta có:

b thì độ thị của hàm số sẽ lệch về phía bên

phải  đơn vị, còn nếu hàm số có độ lệch pha   c 0

b thì đồ thị của hàm số

sẽ lệch về phía bên trái  đơn vị 

a) Biên độ

Hình 2.9 Đồ thị so sánh biên độ của các hàm số

Phương trình cot x a (5) có điều kiện là xk k 

Phương trình (5) có các nghiệm là xarccotak với   k

2.4 Ứng dụng

2.4.1 Dao động điều hòa

Con lắc lò xo là một cơ hệ gồm một vật có khối lượng m được treo vào một lò xo có

độ cứng k Con lắc lò xo sẽ dao động điều khi được kéo xuống và thả ra nếu bỏ qua

ma sát và lực cản của không khí (xem hình 2.13)

Hình 2.13 Dao động của con lắc lò xo

Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm số sin (hay cô-sin) của thời gian:

38

2.4.2 Điện xoay chiều

a) Dòng điện xoay chiều

Dòng điện xoay chiều hình sin, gọi tắt là dòng điện xoay chiều, là dòng điện có cường độ biến thiên tuần hoàn với thời gian theo quy luật của hàm số sin hay cô-sin, với dạng tổng quát là

T là tần số của i; ti là pha của i

và i là pha ban đầu

Hình 2.14 Đồ thị của hàm số i I0 sinti theo biến t

b) Điện áp xoay chiều

Từ thực nghiệm và lý thuyết người ta chứng tỏ rằng nếu cường độ dòng điện xoay chiều trong mạch điện có dạng là iI0sinti thì điện áp xoay chiều ở hai đầu mạch điện có cùng tần số góc , nghĩa là biểu thức của hiệu điện thế tức thời

có dạng:

Trong đó: U  là điện áp (hiệu điện thế) cực đại, 0 0  là tần số gốc, 0 tu

là pha của u và u là pha ban đầu của u

vị trí cân bằng của nó khi sóng nước truyền qua

b) Phương trình sóng

Một cần rung được tạo bởi một thanh thép

mỏng, đàn hồi, một đầu được kẹp chặt bằng

Ê tô, đầu kia có gắn một mũi nhọn Dưới

cần rung đặt một chậu nước rộng sao cho

mũi nhọn vừa chạm vào mặt nước tại điểm

O Một nút chai được đặt tại M trên mặt

nước, xem hình 2.15

Khi gõ nhẹ cho cần rung dao động tại O, ta thấy sau một khoảng thời gian ngắn t thì nút chai tại M cũng dao động Ta nói dao động từ O đã truyền qua nước tới M, điểm O được gọi là nguồn sóng

Phương trình dao động tại điểm M là

Trong đó u là li độ của M tại thời điểm t, T là chu kỳ dao động, r = OM là khoảng M

cách từ M đến nguồn sóng,  là bước sóng (khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm dao động cùng pha)

Hình 2.15