BT chương 6 Xử lí số liệu_ Khoảng tin cậy và khái niệm cơ bản về suy luận

Chương 6 Xử lý số liệu bao gồm các nội dung: - Mức độ tin cậy - Khoảng tin cậy (1 phía và 2 phía) - Độ chệch (BIas) - Kiểm định giả thuyết H0, H1 - Lỗi loại 1, lỗi loại 2 - Hàm nhị thức

Lê Bình Minh- 20172298

Bài tập chương 6 – Xử lý số liệu thực nghiệm

Phần 6.1

6.1 Nêu rõ mỗi số in đậm là một tham số hay thống kê

a Một lô hàng gồm 100 cầu chì thì có 3 cầu chì bị lỗi Một mẫu gồm 25 cầu chì có 0

cầu chì: 3 là tham số và 0 là thống kê

b Tốc độ của 100 xe được theo dõi Có 63 phương tiện vượt quá tốc độ quy định: 63

là thống kê

c Một cuộc thăm dò qua điện thoại của các cử tri đã đăng ký một tuần trước cuộc

bầu cử toàn tiểu bang cho thấy 48% sẽ bỏ phiếu cho thống đốc đương nhiệm của thc,

người đang ra tranh cử tái đắc cử Kết quả bầu cử cuối cùng cho thấy người đương

nhiệm đã giành chiến thắng với 52% số phiếu bầu: 48% là thống kê, 52% là tham số

6.2 Cho X1, X2, X3, X4 là i.i.d quan sát từ phân phối với giá trị trung bình  và phương sai 2 Hãy xem xét bốn công cụ ước lượng sau của 

a Chứng minh cả 4 công thức trên đều không bias (chệch)

Bias (𝜇̂1) = E (𝜇̂1) - 𝜃 =  (X1) -  =  −  = 

Bias (𝜇̂2) = E (𝜇̂2)- 𝜃 = E (𝑋2+𝑋3

2 ) -  = 𝜇+𝜇

2 − 𝜇 = 

ias (𝜇̂3) = E (𝜇̂3) - 𝜃 = E (0,1X1 + 0,2X2 + 0,3X3 + 0,4X4) - 𝜃

= 0,1 +  +  +   −  = 

ias (𝜇̂4) = E (𝜇̂4) – 𝜃 = E (𝑋̅ ) - 𝜃 = 𝜇 − 𝜇 = 0

Dựa vào các giá trị Bias tính được, ta thấy 4 công thức trên đều không có độ chệch

b Tính phương sai mỗi công thức ước lượng, phương sai nào nhỏ nhất

Var (𝜇̂1) = Var (X1) = 𝜎2

Var (𝜇̂2) = Var (𝑋2+ 𝑋3

2 ) = 0,52 Var (X2) + 0,52 Var (X3) = 0,25 +  =  Var (𝜇̂3) = Var (0,1X1 + 0,2X2 + 0,3X3 + 0,4X4)

=  +  +  +  = 

Var (𝜇̂4) = var (𝑋̅) = 𝜎2

4 = 0,25 Giá trị Var (𝜇̂4) là nhỏ nhất

c 𝜇̂ = a1X1 + a2X2 + … + anXn; Var (𝜇̂) = (a1 + a22 + … + an )

Khi a1 = a2 = … = an = 1

𝑛 thì Var (𝜇̂) =[(1

𝑛)2+ (1

𝑛)2+ ⋯ + (1

𝑛)2] 𝜎2 = 𝑛

𝑛2𝜎2 = 𝜎

2

𝑛

Ta thấy: Var (𝜇̂)= Var (𝑋̅) nên 𝜇̂ = 𝑋̅

Trang 2

6.3 Cho X1, X2, …, Xn là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối U [0, ) Sử dụng kết quả của Bài tập 5.44 để chỉ ra những điều sau đây

a Xmax là ước lượng chệch của  Độ chệch của nó là bao nhiêu?

Bias (Xmax) = E (Xmax) -  = 𝑛𝜃

𝑛+1− 𝜃 = 𝜃 ( 𝑛

𝑛+1− 1) = −1

𝑛+1𝜃

b Xmin + Xmax là ước lượng không chệch của  Từ đó suy ra rằng khoảng giữa, được định nghĩa là (Xmin + Xmax)/2, là một ước lượng không chệch của /2, là giá trị trung bình của phân phối U [0, ]

Bias (Xmin + Xmax) = E (Xmin + Xmax) – 𝜃 = 𝜃

𝑛+1+ 𝑛𝜃

𝑛+1− 𝜃 = 0

6.4 Cho X1, X2 , Xn là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối có trung bình  và phương sai

2 Chứng tỏ rằng (𝑋̅)2là một ước lượng chệch của 2 Độ chệch của nó là gì? (Gợi ý:

E ((𝑋̅)2- 2) = Var (𝑋̅)= 2/n.)

Bài giải: Ta có: E (𝑋̅) =   ((𝑋̅)) = Var (𝑋̅) + (E (𝑋̅))2

 Var (𝑋̅) = E ((𝑋̅)) − 𝜇2  

 E ((𝑋̅)2) > 𝜇2 → E ((𝑋̅)) ≠ 𝜇2

Vậy (𝑋̅)2 là một ước lượng chệch của 2 và có độ chệch là

Bias ((𝑋̅)2) = E ((𝑋̅)2) - 𝜇2 = Var (𝑋̅) + 𝜇2 - 𝜇2 = Var (𝑋̅) = 𝜎2

𝑛

6.5 Giả sử chúng ta có n thử nghiệm Bernoulli độc lập với xác suất thành công thực

sự là p Xem xét hai ước lượng của p: 𝑝̂1 = 𝑝̂ trong đó 𝑝̂ là một Tỷ lệ mẫu thành công

và 𝑝̂2 = 1/2 của một hằng số cố định

a Tìm giá trị kỳ vọng và độ chệch mỗi công cụ ước lượng

Hàm Bernoulli: f (x) = P (X = x) = {𝑝 (𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 1)

1 − 𝑝 (𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0) Giá trị kì vọng: E (𝑝̂1) = E (𝑝̂) = p; E (𝑝̂2) = E (1

2) = 1

2

Độ chệch: Bias (𝑝̂1) = E (𝑝̂1) – p = p – p = 0, không có độ chệch

Bias (𝑝̂2) = E (𝑝̂2) – p = 1

2 – p

b Tìm phương sai mỗi công cụ ước lượng

Var (𝑝̂1) = Var [1

𝑛 (X1 + X2 + … + Xn)] = 1

𝑛 2 [ Var (X1) + Var (X2) + … + Var (Xn)] = 1

𝑛 2 (n (p – p2)) = 𝑝(1−𝑝)

𝑛 Var (𝑝̂2) = Var (1

2) = 0 Công cụ tính 𝑝̂2 có phương sai thấp hơn

Công thức tính var trong phân bố Bernouli: Var (X) = E (X 2 ) – [E (X)] 2 = p(1-p)

c Tính MSE của mỗi công cụ ước lượng (MSE: Mean square error)

MSE (𝑝̂1) = Var (𝑝̂1) + [Bias (𝑝̂1)]2 = 𝑝(1−𝑝)

𝑛 = 𝑝−𝑝

2

𝑛

MSE (𝑝̂2) = Var (𝑝̂2) + [Bias (𝑝̂2)]2 = (1

2− 𝑝)2

Vẽ đồ thị MSE so với p với n = 4

MSE (𝑝̂1) = 𝑝−𝑝

2

4

Đồ thị MSE (𝑝̂1) = 𝑝−𝑝

2

2− 𝑝)2 Nhận xét đồ thị: Đồ thị MSE (𝑝̂1) có dạng parabol hình đi qua các điểm (0,0), (1

2, 1

16), (1,0) Đồ thị MSE (𝑝̂2) có dạng parabol đi qua các điểm (0,1

4), (1

2, 0), (1,1

4)

Vì vậy: 𝑝̂1 nhìn chung là một đường cong phẳng hơn đồng nghĩa với ít rủi ro hơn Tuy nhiên 𝑝̂2 có MSE thấp hơn với p gần 0,5 vì thế 𝑝̂1 không phải lúc nào cũng là công cụ tốt hơn

6.6 Biểu thị 𝜃̂1 và 𝜃̂2 là 2 ước lượng độc lập không chệch của 𝜃 Giả sử rằng Var (𝜃̂1)

= 𝜎12, Var (𝜃̂2) = 𝜎22 Hãy xem xét một công cụ ước lượng tổng hợp 𝜃̂ = 𝜔1𝜃̂1+ 𝜔2𝜃̂2, trong đó 𝜔1 và 𝜔2 là cố định trọng lượng

a Chứng minh 𝜃̂ là không chệch nếu 1 + 2 = 1

có 1 + 2 = 1 nên 2 = 1 - 1

Bias (𝜃̂) = E (𝜃̂) – 𝜃 = E (𝜔1𝜃̂1+ 𝜔2𝜃̂2) – 𝜃 = 𝜔1𝐸(𝜃̂1) + (1 − 𝜔1)𝐸(𝜃̂2) − 𝜃

= 𝜔1𝜃 + (1 − 𝜔1)𝜃 − 𝜃 = 0

Vậy 𝜃̂ là không chệch nếu 1 + 2 = 1

b Chứng tỏ rằng Var (𝜃̂) = 𝜔12𝜎12+ 𝜔22𝜎22 là cực tiểu khi

𝜔1 = 𝜎2

𝜎1+𝜎2 ; 𝜔2 = 1 − 𝜔1 = 𝜎1

𝜎1+𝜎2 Var (𝜃̂) = 𝜔12𝜎12+ 𝜔22𝜎22 = ( 𝜎2

𝜎1+𝜎2)

2

⋅ 𝜎12+ ( 𝜎1

𝜎1+𝜎2)

2

⋅ 𝜎22 = 𝜎2⋅𝜎1+𝜎1⋅𝜎2

(𝜎1+𝜎2)2 = 𝜎1𝜎2(𝜎1+𝜎2)

(𝜎1+𝜎2)2

= 𝜎1𝜎2

𝜎1+𝜎2

6.7 Một mẫu ngẫu nhiên gồm 10 lon cà phê được lấy từ một dây chuyền sản xuất và cân các thành phần bên trong Các trọng số (tính bằng oz.) Như sau

Trang 4

Tính giá trị trung bình của mẫu như một ước tính của giá trị trung bình của quá trình

và sai số chuẩn của trung bình (SEM)

Bài giải: Giá trị trung bình của mẫu: 𝑋̅ = 1

10(𝑥1+ 𝑥2+ ⋯ + 𝑥10) = 26,15 (oz) Giá trị phương sai mẫu: s2= 1

𝑛−1∑ (𝑥𝑖− 𝑥̅)2

𝑥 = 0,2316 = 𝜎2

Sai số chuẩn của chung bình: SEM = √𝜎2

𝑛 = 0,152

6.8 Vào đầu chính quyền tổng thống của Bill Clinton, ông đã đề xuất những cải cách sinh thái được đề xuất Một mẫu người đã nghe bài phát biểu (n = 611) được hỏi liệu

họ có ủng hộ thuế cao hơn đối với tất cả các dạng năng lượng hay không 43% trả lời

Có "Coi tỷ lệ phần trăm phổ biến này là ước tính của phần trăm dân số (dân số ở đây

là bao nhiêu?), Hãy tính sai số chuẩn của nó

Bài giải: Số người đồng ý: x = 611 x 43% = 262.73 ~ 263

Sai số chuẩn của mẫu là: SE (𝑝̂) = √𝑝̂(1−𝑝̂)

𝑛 = √0,43(1−0,43)

611 = 0,0200

6.9 Tìm phương pháp ước lượng mômen của các tham số 1 và 2 trong phân bố gamma với hàm mật độ xác suất

dựa trên một mẫu ngẫu nhiên X1, X2, , Xn Cân bằng giá trị trung bình và phương sai của phân bố gamma, cho các đại lượng mẫu tương ứng  ˆ 1và 2

2 ˆ

 − tương ứng

Bài giải: Hàm phân bố Gamma f (x) = 𝜃1

𝜃2⋅𝑥𝜃2−1⋅ⅇ−𝜃1𝑥

𝛤(𝜃2)

Có E (X) = 𝑋̅ = 𝜇̂ và Var (X) = s2 = 𝜇̂ − 𝜇̂2 (theo đề bài cho)

Theo hàm f (x), có E(X) = 𝜃2

𝜃1= 𝜇̂; từ đó 𝜃2 = 𝜇̂ ⋅ 𝜃1 (1) Var (X) = 𝜃2

𝜃1 = 𝜇̂ − 𝜇̂2; từ đó: 𝜃2 = (𝜇̂ − 𝜇̂2)𝜃1 = 𝜎2⋅ 𝜃1(2) Chia (1) và (2) theo từng vế: 1 = 𝜇̂

(𝜇 ̂−𝜇 ̂ 2 )𝜃1= 𝜇̂

𝜎 2 ⋅𝜃1 → 𝜃1 = 𝜇̂

𝜎 2 (3) Thay (3) vào (2) ta được: 𝜃2 =𝜇̂2

𝜎 2

6.10 Tìm phương pháp ước lượng mô men của các tham số 1 và 2 trong phân phối beta với hàm mật độ xác suất

dựa trên một mẫu ngẫu nhiên X1, X2, , Xn Cân bằng giá trị trung bình và phương sai của phân bố gamma, cho các đại lượng mẫu tương ứng  ˆ 1và 2

1

2 ˆ

 − tương ứng

Bài giải: Hàm phân bố Beta: f (x) = 𝛤(𝜃1+𝜃2)

𝛤(𝜃 1 )𝛤(𝜃2)𝑥𝜃 1 −1(1 − 𝑥)𝜃 2 −1

Có E (X) = 𝑋̅ = 𝜇̂ và Var (X) = s2 = 𝜇̂ − 𝜇̂2 (theo đề bài cho)

Theo hàm f (x), có E(X) = 𝜃1

𝜃1+𝜃2 = 𝜇̂

Var (X) = 𝜃1𝜃2

(𝜃1+𝜃2) 2 (𝜃1+𝜃2+1) = s2

Phần 6.2

6.11 Xem xét xác suất sau:

Trong đó X là giá trị trung bình của một tập hợp ngẫu nhiên có kích thước n được rút

ra từ phân phối N (,2)

a Tìm khoảng tin cậy của 𝜇, mức độ tin cậy của khoảng này

Ta có 𝑍 = 𝑋̅−𝜇

𝜎/ √𝑛 là phân bố chuẩn tắc của X

P (-1,645 ≤ Z ≤ 1,645) = 0,95 – 0,05 = 0,90

Mức độ tin cậy ở đây là 90% và khoảng tin cậy ở đây là:

[𝑥̅ − 1,645 𝜎

√𝑛, 𝑥̅ + 1,645

𝜎

√𝑛]

b Mẫu có n = 100, lấy từ quần thể có  = , giá trị trung bình mẫu là 30, tính khoảng tin cậy

90% CI = [30 − 1,645 ⋅ 10

√100, 30 + 1,645 ⋅ 10

√100] = [28,355; 31,645]

c Mặc dù P (𝑥̅ - 1,645 ≤ Z ≤ 𝑥̅ + 1,645) = 0,90 nhưng xác suất

P (28,355 ≤ 𝜇 ≤ 31,645) là 0 hoặc 1 không phải là 0,90

6.12. Mô phỏng 25 mẫu cỡ 20 từ phân phối N (50, 62) và tìm 95% CI cho mỗi mẫu

a Có bao nhiêu khoảng trong số các khoảng chứa giá trị trung bình thực 50? sai có nghĩa 53?

Thực hiện tạo ngẫu nhiên 25 mẫu (x = 25) với kích thước n = 20 từ phân bố chuẩn trên Minitab và thực hiện tính khoảng tin cậy 95% cho mỗi mẫu, ta được kết quả như sau

Trang 6

Từ bảng giá trị trên ta thấy được các số khoảng chứa giá trị trung bình 50 là: 20 khoảng giá trị (tất cả các khoảng giá trị), chứa giá trị trung bình 53 là khoảng 7 khoảng giá trị

b Nếu kích thước mẫu được tăng lên n = 100, điều gì sẽ xảy ra với chiều rộng của 95% CI? Bạn có mong đợi nhiều hơn hay ít hơn những khoảng này chứa giá trị trung bình thực sự là 50? sai có nghĩa là 53?

Với kích thước mẫu khi tăng lên 100 thì độ rộng của các khoảng tin cậy sẽ không đổi do số mẫu không đổi Khoảng tin cậy có chứa giá trị trung bình 50 sẽ không có ở tất cả các khoảng giá trị mà chỉ có khoảng 95 khoảng giá trị Khoảng tin cậy có chứa giá trị 53 sẽ nhiều hơn, khoảng 30 khoảng giá trị

c Nếu không biết rằng giá trị trung bình thực sự là 50, ta có thể cho khoảng giá trị bằng cách sử dụng công thức theo Z để kiểm chứng µ đúng

Khoàng tin cậy được tính như sau:

[𝑋̅ − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎

√𝑛 ; 𝑋̅ + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎

√𝑛 ]

6.13 Giả sử rằng 100 các mẫu ngẫu nhiên có kích thước 9 được tạo ra từ phân phối

N (70, 32) và CI 95% liên quan được tính cho mỗi mẫu

a Có bao nhiêu khoảng trong 100 khoảng có chứa giá trị trung bình đúng 𝜇 = 70? Khoảng tin cậy ở đây có mức độ tin cậy là 95% nên sẽ có 100 x 0,95 = 95 khoảng tin cậy có chứa giá trị trung bình đúng 𝜇 = 70

b Gọi X là khoảng trong số 100 khoảng có chứa  đúng Sự phân bố của r.v của X là: Phân bố của X là phân bố nhị thức với X ~ Bin (100, 0.95)

6.14 Một mẫu ngẫu nhiên có kích thước 25 từ phân phối N (, 62) có giá trị trung bình

x= 16,3

a Tính CI cho  để có ba mức độ tin cậy: 80%, 90%, và 99% Độ rộng CI thay đổi như thế nào? (x= 16,3,  = )

Khoàng tin cậy của giá trị  có khoảng tin cậy là 1 – α là:

[𝑋̅ − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎

√𝑛 ; 𝑋̅ + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎

√𝑛 ] +) Với độ tin cậy là 80% thì 1 – α = 0,8 và α = 0,2, 𝑧𝛼∕2 = 𝑧0,1 = 1,282

Khoảng tin cậy là [16,3 – 1,282 6

√25; 16,3 + 1,282 6

√25 ] = [14,7616; 17,8384]

Tương tự với khoảng tin cậy bằng 90% và 99% ứng với z0,05 = 1,645 và z0,005 = 2,576 Với khoảng tin cậy 90%: [14,326; 18,274]

Khoảng tin cậy 99%: [13,2088; 19,3912]

Nhận thấy rằng độ rộng của khoảng tin cậy sẽ tăng lên khi ta tăng mức độ tin cậy

b Độ rộng khoảng tin cậy sẽ như nào nếu tăng n lên 100

Độ rộng của khoảng tin cậy là 2𝑧𝛼/2⋅ 𝜎

√𝑛

Khi n tăng lên 100 thì n tăng lên 4 lần còn √𝑛 tăng lên 2 lần do đó độ rộng khoảng tin cậy sẽ giảm đi 2 lần

6.15 Chúng tôi muốn ước tính điện áp đầu ra trung bình của một loạt đơn vị cung cấp điện Một mẫu ngẫu nhiên gồm 10 đơn vị được thử nghiệm và giá trị trung bình của mẫu được tính là 110,5 vôn Giả sử rằng các phép đo được phân phối bình thường với

=3vôn

a Tính CI 95% hai phía trên điện áp đầu ra trung bình Giả sử rằng các thông số kỹ thuật về điện áp đầu ra trung bình thực là 110  2,5volt, CI có đáp ứng hay không? Khoảng tin cậy như sau: [𝑋̅ − 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎

√𝑛 ; 𝑋̅ + 𝑧𝛼 2⁄ 𝜎

√𝑛 ],

Ta có độ tin cậy bằng 95% nên 𝛼 = 0,05 vì vậy 𝑧𝛼∕2 = z0,025 = 1,96

Thay các giá trị 𝑋̅ = 110,5V; n = 10, =3, z0,025 = 1,96, khoảng tin cậy với mức độ tin cậy 95%

[110,5 – 1,96 3

√10; 110,5 + 1,96 3

√10 ] = [108,64; 112,36]

Với giá trị trung bình thực là 110  2,5 (V) thì khoảng tin cậy với độ tin cậy 95% trên

là hợp lý

b Giả sử có thể áp dụng thông số kĩ thuật thấp hơn Tính CI 95% một phía thích hợp trên điện áp đầu ra trung bình và giải thích cách sử dụng nó để kiểm tra xem giới hạn thông số kỹ thuật thấp hơn có được đáp ứng hay không?

Áp dụng thông số kĩ thuật thấp hơn thì khoảng tin cậy có độ tin cậy 95% là

[𝑥̅ − 𝑧𝛼⋅ 𝜎

√𝑛 ; ∞) Thay số z0,05 = 1,645, 𝑋̅ = 110,5V, =3, n = 10 vậy khoảng tin cậy là

[110,5 – 1,645 3

√10; ∞) = [108,9; ∞)

Vì 108,9 lớn hơn giá trị giới hạn nhỏ nhất là 107,5 do đó khoảng tin cậy đáp ứng

Trang 8

c Giả sử rằng chỉ áp dụng thông số kỹ thuật trên, vì mối quan tâm chính là điện áp quá cao có thể gây ra sự cố của thiết bị Tính độ tin cậy 95% một phía thích hợp được tìm thấy trên điện áp đầu ra trung bình và giải thích cách sử dụng nó để kiểm tra xem giới hạn thông số kỹ thuật trên có được đáp ứng hay không?

Áp dụng công thức tính khoảng tin cậy 1 chiều với điện áp cao hơn như sau

(−∞; 𝑥̅ + 𝑧𝛼 ⋅ 𝜎

√𝑛] Thay số z0,05 = 1,645, 𝑋̅ = 110,5V, =3, n = 10 vậy khoảng tin cậy là

(− ∞; 110,5 + 1,645 3

√10] = (− ∞; 112,06]

Ta có 112,06 nhỏ hơn giá trị giới hạn trên là 112,5 do đó khoảng tin cậy 1 chiều cao hơn này thỏa mãn

6.16 Gọi X1, X2, , Xn là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối liên tục với trung vị  Nếu [Xmin, Xmax] được sử dụng làm CI cho  , mức độ tin cậy của nó là bao nhiêu? Mức độ tin cậy là bao nhiêu nếu n = 10?

Bài giải: Với bất kì biến X ngẫu nhiên liên tục nào thì luôn có: P (X ≤ a) = P (X < a)

Do 𝜇̅ là giá trị trung vị của mẫu nên ta có P (xi < 𝜇̅) = 0,5

Ta có P (Xmin > 𝜇̅) = 1 – F(1)(𝜇̅) = (1 – F(𝜇̅))n = 1

2𝑛

P (Xmax < 𝜇̅) = F(n)(𝜇̅) = [F(𝜇̅)]n = 1

2𝑛

Ta có giá trị 1

2𝑛 là giá trị xác suất ước lượng trên và xác suất ước lượng dưới nên độ tin cậy của khoảng giá trị [Xmin, Xmax] sẽ là

Confident Level = 1

2𝑛+ 1

2𝑛 = 2

2𝑛 = 1

2𝑛−1 Với n = 10 thì khoảng tin cậy sẽ là:

Confident Level = 1

2𝑛+ 1

2𝑛 = 2

2𝑛 = 1

2𝑛−1 = 1

29

Phần 6.3

6.17 Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu giả thuyết vô hiệu Ho và giả thuyết thay thế

H1 về tỷ lệ dân số p được kiểm tra Giải thích p trong mỗi giả thiết

a Người chiến thắng trong cuộc bầu cử quốc hội vừa qua nhận được 54% số phiếu bầu Một năm trước cuộc bầu cử tiếp theo, nghị sĩ đã thuê một cơ quan bỏ phiếu để tiến hành một cuộc khảo sát lấy mẫu các cử tri để xác định xem liệu quy trình này có thay đổi hay không

Answer: Do câu hỏi ở đây là liệu rằng tỉ lệ trúng cử của các nghị sĩ quốc hội có thay

đổi hay không nên đây là kiểm tra giả thuyết 2 chiều nên H0: p = 54%, H1: p ≠ 54%, p

là tỷ lệ thực tế số người vote cho nghị sĩ quốc hội

b Tỷ lệ sách quá hạn trong thư viện là 5% Tôi dự kiến sẽ tăng tiền phạt cho những cuốn sách quá hạn từ 5 xu lên 10 xu mỗi ngày Người ta cảm thấy rằng điều này sẽ làm giảm tỷ lệ sách quá hạn

Answer: Câu hỏi ở đây là tỉ lệ p cúa sách quá hạn sẽ giữ nguyên hay giảm xuống

nên đây là giả thiết một chiều với ước lượng thấp hơn vì thế ta có: Ho: p = 5% và H1:

p < 5%, p là tỉ lệ sách quá hạn

c Tỷ lệ phế phẩm trong vật liệu chế tạo thùng rác cao hơn 40% Một sản xuất mới quy trình được đề xuất để giảm tỷ lệ phế phẩm

Answer: Ở đây giả thiết sẽ là giả thiết 1 chiều với ước lượng thấp hơn do đó ta có

giả thiết: Ho: p = 40%, H1: p < 40%, p là tỷ lệ phế phẩm

d Gatorade và All Sport là hai loại đồ uống phổ biến đối với các vận động viên Một công ty tiếp thị muốn xác định xem tỷ lệ người thích hương vị của Gatorade hay All Spurt nhiều hơn Vì mục đích này, một bài kiểm tra mù được tiến hành trong đó hai loại đồ uống được cung cấp theo thứ tự ngẫu nhiên cho một người yêu thích các Bậc thầy, những người sau đó được yêu cầu chỉ ra sở thích đối với đồ uống này hay đồ uống khác

Answer: Xác suất p ở đây là thích Gatorade hay All Sport nhiều hơn Không thể

biết được 2 đồ ăn này tỷ lệ thích như nào do đó đây là giả thiết 2 chiều với p = ½ và

p ≠ ½ trong đó p = P (là tỉ lệ thích Gatorade

6.18 Trong mỗi phương án sau đây nêu giả thuyết vô hiệu Ho và giả thuyết thay thế

H1 về trung bình dân số p đang được kiểm định Giải thích p trong mỗi trường hợp

a Một nhóm cơ quan giám sát người tiêu dùng nghi ngờ rằng một loại sữa chua được quảng cáo là không có chất béo 98% thực sự có hàm lượng chất béo cao hơn Nhóm

dự kiến đo hàm lượng chất béo trong 25 cốc sữa chua (mỗi cốc chứa 170 gram) để xác minh nghi ngờ rằng hàm lượng chất béo trung bình thực sự trên mỗi cốc là hơn 2%, tức là 3,4 gam

Answer: Phương án này đang kiểm định hàm lượng chất béo ở đây là bằng hay lớn

hơn 3,4g, vậy đây là thiết 1 chiều với ước lượng cao hơn vì vây giả thiết là:

H0: 𝜇 = 3,4g; H1: 𝜇 > 3,4 g

b Thông số kỹ thuật với độ bền cắt của dây buộc được sử dụng trong lắp ráp cơ khí là 10.000 psi Một mẫu dây buộc ngẫu nhiên từ một lô lớn do nhà cung cấp cung cấp được thử nghiệm để xem liệu độ bền cắt trung bình của lô có đáp ứng yêu cầu kỹ thuật hay không Hãy xem xét hai tình huống: (i) Nhà cung cấp là người mới, vì vậy có rất ít lịch

sử quá khứ về chất lượng lô hàng của họ (ii) Nhà cung cấp đã cũ và lịch sử trong quá khứ cho thấy rằng các lô của họ thường đáp ứng các thông số kỹ thuật

Answer: Giá trị trung bình ở đây là độ bền cắt của dây buộc trong lắp ráp cơ khí,

vì vậy Ho: 𝜇 = 10000 psi

Trường hợp 1: Nhà cung cấp là người mới, chưa có lịch sử quá khứ về chất lượng

lô hang của họ vì vậy trường hợp này độ bền cắt của dây phải đủ lớn do đó H1: 𝜇>10000 Trường hợp 2: Nhà cung cấp đã cũ và lịch sử trong quá khứ cho thấy rằng các lô của họ thường đáp ứng các thông số kĩ thuật nên H1: 𝜇 < 10000

Trang 10

c Thời gian đi làm trung bình của một người đi làm từ giờ đến nơi làm việc là 25 phút Anh ta muốn thử một tuyến đường khác trong một tháng để xem liệu nó có làm giảm thời gian đi làm trung bình hay không

Answer: Ở đây là thời gian làm việc trung bình ít hơn hay bằng 25 phút Do đó

ở đây là ước lượng 1 chiều với ước lượng thấp hơn: H0: 𝜇 = 25; H1: 𝜇 < 25

d Tham khảo phần (d) của bài tập trước, nhưng bây giờ thay vì chỉ đơn giản chỉ ra sở thích, giả sử rằng người nếm thử chỉ định một số điểm trên thang điểm từ 1 đến 10 cho mỗi đồ uống Sự khác biệt giữa Gatorade và All Sport thử tạo thành tập dữ liệu

Answer: 𝜇 là giá trị trung bình sự khác nhau giữa 2 điểm, ở đây là giả thiết 2 chiều với H0: 𝜇 = 0 và H1: 𝜇 ≠ 0

6.19 Trong mỗi trường hợp sau, hãy giải thích giả thuyết nào nên được thiết lập là giá

vô hiệu và giả thuyết nào nên được thiết lập làm phương án thay thế bằng cách quyết định giả thuyết nào nếu được phản ánh không chính xác, sẽ dẫn đến sai sót nghiêm trọng hơn Đây là giả thuyết nên được thiết lập là vô hiệu Nêu bất kỳ giả định nào mà bạn đưa ra

a Một hợp chất hóa học được sử dụng làm chất phụ gia bị nghi ngờ là chất gây ung thư Hai giả thuyết được đưa ra là: (i) nó an toàn, (ii) nó không an toàn với lượng tiêu thụ thông thường

Answer: Ở đây H0: (ii) nó không an toàn với lượng tiêu thụ thông thường; H1: nó

an toàn Giả định ở đây là không thể kết luận sản phẩm là an toàn khi giả định nó không

an toàn và chúng không an toàn thì không nên bán trên thị trường

b Một loại thuốc giảm đau mới đã được phát triển bởi một công ty dược phẩm 2 giả thiết là: (i) nó có hiệu quả (ii) nó không hiệu quả

Answer: Ở đây H0: (ii) nó không hiệu quả và H1: (i) Nó hiệu quả

Nếu (i), loại thuốc giảm đau mới có hiệu quả nhưng bị từ chối khi nó có hiệu quả, thì một loại thuốc hữu ích sẽ không được bán trên thị trường Nếu (ii), thuốc giảm đau mới không có hiệu quả, bị từ chối khi nó thực sự không hiệu quả, thì một loại thuốc không hữu ích sẽ được bán trên thị trường Nhưng chúng ta đã có thuốc giảm đau hiệu quả, vì vậy hãy tạo (ii) H0

c Để một sản phẩm chung mới được cơ quan quản lý chấp thuận, nó phải được chứng minh Ngoài ra, nó tương thích về mặt sinh học với thuốc gốc Hai giả thuyết là: (i) nó

là tương đương sinh học, (ii) nó không tương đương sinh học

Answer: H0: Nó không tương đương sinh học; H1: Nó tương đương sinh học

d Người ta khẳng định rằng gieo hạt theo đám mây là một kỹ thuật hiệu quả để tăng lượng mưa Hai giả thuyết là: (i) nó hiệu quả, (ii) nó không hiệu quả

Answer: H0: nó không hiệu quả; H1: nó hiệu quả

Nếu (i), tạo mây làm tăng lượng mưa, bị từ chối, chúng tôi sẽ sử dụng một cách để tạo mưa Nếu (ii), việc gieo hạt trên đám mây không làm tăng lượng mưa, bị từ chối, thì một kỹ thuật không hiệu quả sẽ được đưa vào thực tế