Bài tập chương 5_ Xử lý số liệu: ĐỊnh lý giới hạn trung tâm

Chương 5: ĐỊnh lý giới hạn trung tâm sẽ học về các nội dung - Phân bố chuẩn - Phân bố Chi-square - Phân bố Student - t - Phân bố Fisher của Snedecor

Lê Bình Minh – 20172298

Bài tập chương 5 - Xử lý số liệu

Phần 5.1

5.1 Một hộp chứa năm chip được đánh dấu 1, 2, …5 Một con chip được rút ngẫu nhiên, số trên đó được ghi chú, và con chip được thay thế X1 và X2 là 2 kết quả được rút ra

a Tổng thể ở đây là sự phấn bố ngẫu nhiên các số từ 1 đến 5

 = 1

5 ( +  +  +  + ) =   = E(X2) -  = 1

5 ( +  +  +  + ) −  = 

b Liệt kê các mẫu có thể:

(X1, X2) 𝑋̅ (X1, X2) 𝑋̅

(1; 1) 1,0 (3; 4) 3,5 (1; 2) 1,5 (3; 5) 4,0 (1; 3) 2,0 (4; 1) 2,5 (1; 4) 2,5 (4; 2) 3,0 (1; 5) 3,0 (4; 3) 3,5 (2; 1) 1,5 (4; 4) 4,0 (2; 2) 2,0 (4; 5) 4,5 (2; 3) 2,5 (5; 1) 3,0 (2; 4) 3,0 (5; 2) 3,5 (2; 5) 3,5 (5; 3) 4,0 (3; 1) 2,0 (5; 4) 4,5 (3; 2) 2,5 (5; 5) 5,0 (3; 3) 3,0

c Lấy phân phối từ mẫu

f (𝑥̅) 1

25

2 25

3 25

4 25

5 25

4 25

3 25

2 25

1 25

d E (𝑋̅) =∑ 𝑥̅ 𝑓(𝑥̅)𝑥 = 3; Var (𝑋̅) = ∑ (𝑥̅)2 𝑓(𝑥̅)

𝑥 -  2 = 1 Giá trị E (𝑋̅) và Var (𝑋̅) đúng tương ứng với  và 𝜎 /2

5.2 Mô phỏng 100 cặp từ các 2 xúc sắc Tính giá trị 𝑋̅ cho mỗi mẫu

a Vẽ biểu đồ thanh phân bố thực nghiệm của 𝑋̅

Dùng hàm RANDBETWEEN (1;6) trong excel để tạo các giá trị ngẫu nhiên từ 1 đến

6 cho 2 con súc sắc và tính giá trị trung bình

Chọn ra 11 giá trị trung bình trong 100 giá trị tính trên, vẽ đồ thị histogram trên minitab

2

b Từ mô phỏng trên ta thấy giá trị trung bình mẫu  = 3,5 và giá trị phương sai Var (𝑋̅)=(1,095)2 = 1,20; giá trị này gần như đúng với giá trị thực là 1,4583 một cách hợp lý và có sai số do quá trình lấy mẫu

5.3 Mô phỏng 100 cặp từ các 10 xúc sắc Tính giá trị 𝑋̅ cho mỗi mẫu

a Vẽ biểu đồ thanh phân bố thực nghiệm của 𝑋̅

Dùng hàm RANDBETWEEN (1;6) trong excel để tạo các giá trị ngẫu nhiên từ 1 đến

6 cho 10 con súc sắc và tính giá trị trung bình

Cho các giá trị trung bình vào minitab và vẽ biểu đồ:

b Từ mô phỏng trên ta thấy giá trị trung bình mẫu  = 3,58 và giá trị phương sai Var (𝑋̅)= (0,5521)2 = 0,304; giá trị này gần như đúng với giá trị thực là 0,2916 một cách hợp lý và có sai số do quá trình lấy mẫu

5.4 Một công ty đồ uống sử dụng một máy chiết rót để đổ đầy lon Mỗi lon 12 oz có thể là 355 ml nước giải khát Trên thực tế, lượng thay đổi theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ= 355,2 ml và độ lệch chuẩn  = 0,5 ml

a Xác suất để một lon chứa ít hơn 355ml là

P (X < 355) = P (Z < 355−355,2

0,5 = −0,4) =  (−) = 

b Xác suất để hàm lượng trung bình của 1 lon nhỏ hơn 355ml; SD = 0,5/√6 = 0,204

P (𝑋̅ < 355) = P (Z < 355−355,2

0,204 = −0,98) =  (−) = 

5.5 Một mẫu ngẫu nhiên X1, , X150 được rút ra từ một tập hợp có trung bình µ= 40

và độ lệch chuẩn  = 15 nhưng có phân phối không xác định Đặt U=(X1 + + X50) / 50

tính lại giá trị trung bình mẫu của các quan sát 50 đầu tiên và V (X51 + + X150)/100 trung bình mẫu của các quan sát 100 cuối cùng

a Phân phối gần đúng của U và V là

U là phân phối gần như chuẩn với  = 40 và SD = √152

50 = 2,121

V là phân phối gần chuẩn  = 40 và SD = √152

100 = 1,5

b Xác suất P (35 ≤ U ≤45) có thể lớn hơn do số mẫu nhỏ hơn

c Tính xác suất: P (35 ≤ U ≤45) = P(U≤ 45) – P(U ≤35) = () − (−) = 

P (35 ≤ V ≤45) = P (V≤ 45) – P (V ≤35) = () − (−) = 0,9992

5.6 Một ống dẫn có thể mang tải tối đa là 4000 lb Một nhà sản xuất muốn giao một đơn hàng gồm 50 hộp Trọng lượng của các hộp được phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ = 78 lb và độ lệch chuẩn  = 12 lb Xác suất để tất cả 50 hộp có thể được gửi trong một chuyến hang là bao nhiêu? Nếu các trọng số không được phân phối bình thường, câu trả lời có còn gần đúng không? Tại sao hoặc tại sao không?

Bài giải: Khối lượng trung bình mỗi hộp là: 𝑋̅= 4000/50 = 80 (lb);  = 12/√50 = 1,697 Xác suất 50 hộp được chuyển đi là P (Z < 80−78

1,697 = 1,18) = 0,8810

5.7 Để ước tính số năm trung bình mà một nhân viên ở lại với công ty, một mẫu ngẫu nhiên của 25 nhân viên được lấy từ hồ sơ nhân viên trong quá khứ của công ty và giá trị trung bình mẫu 𝑋̅ được tính Giả sử rằng phân phối đúng nhưng chưa biết về thời gian ở lại của một nhân viên là cấp số nhân với trung bình là 5 năm

a Phân bố 𝑋̅ ~ Gamma (5;25) với E (𝑋̅) = 5 và Var (𝑋̅) = 1

b Mô phỏng mẫu nhiên 100 mẫu từ phân bố mũ, tạo 100 giá trị ngẫu nhiên từ phân bố

mũ bằng minitab, vẽ đồ thị probability plot trên minitab

4

Đường thẳng trong biểu đồ phân bố mũ gợi ý rằng giá trị trung bình của mẫu gần như chuẩn

c P (-0,5 ≤ 𝑋̅ – 5 ≤ 0,5) = P (4,5 ≤ 𝑋̅ ≤ 5,5) = () − (−) = 

5.8. Tuổi thọ của má phanh đĩa thay đổi theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ=

50000 dặm và độ lệch chuẩn  = 3000 dặm Biết rằng một mẫu phanh 9 miếng đệm được thử nghiệm

a Phân phối của trung bình mẫu 𝑋̅ là phân phối chuẩn với µ = 50000; SD = 𝜎

√𝑛 = 1000

b Trong câu a đã không sử dụng định lý giới hạn trung tâm do đây mẫu X là mẫu chuẩn

c P (𝑋̅ < 47000) =  (−) =  P (𝑋̅ < 50000) =  () = 

Giá trị xác suất khi µ < 47000 không còn kết luận chính xác vì nó bằng 0,13% gần như bằng 0

5.9 Hãy xem xét một biến ngẫu nhiên X  Bin (n= 25, p= 0,4) Tìm xác suất để

X ≤ 10 bằng các phương pháp sau và so sánh kết quả

a Sử dụng nhị thức bảng A1: P (X ≤ 10) = ∑ (𝑛

𝑥) 𝑃𝑥(1 − 𝑝)𝑛−𝑥

10 𝑥=0

(trong đó n = 25)

=> P (X ≤ 10) = P (X = 0) + P (X = 1) +… + P (X =10) = 0,586

b Tính gần đúng không hiệu chỉnh liên tục:

P (X ≤ 10) = P (Z ≤ 𝑥−𝑛𝑝

√𝑛𝑝(1−𝑝) = 0) = 0,5

c Tính gần đúng với hiệu chỉnh liên tục:

P (X ≤ 10) = P (Z ≤ 𝑥 +0,5−𝑛𝑝

√𝑛𝑝(1−𝑝) = 0,204) = 0,5793

Các giá trị tính được sấp sỉ nhau

5.10 Lặp lại bài tập 5.9 sử dụng p= 0.2 và tìm xác suất để X ≤ 5, n = 25 So sánh kết quả giá trị gần đúng bình thường chính xác hơn với p = 0.4 hay p = 0.2? Tại sao

- Sử dụng bảng A.1: P (X ≤ 5) = 0,617

- Sử dụng không hiệu chỉnh liên tục: P (X ≤ 5) = P (Z ≤ 0) = 0,5

- Sử dụng hiệu chỉnh liên tục P (X ≤ 5) = P (Z ≤ 0,25) = 0,5987

So sánh các giá trị khi p = 0,4 với p = 0,2 là xấp xỉ bằng nhau

5.11 Người mua phải quyết định có hay không lấy một lô lớn các mặt hàng mà người

đó không biết, có chứa 5% sai hỏng Lô hàng sẽ được chấp nhận nếu chỉ có 0 hoặc 1 mặt hàng bị lỗi trong một mẫu 20 mặt hàng ngẫu nhiên lấy ra từ nhiều

a Tính xác suất chính xác để lo được chấp nhận: p = 0,05; n = 20 là P(accept) = 0,736

b Dùng phân phối Poisson: P = ⅇ

−𝜆 ⋅𝜆𝑥 𝑥! ( = np)

P (accept lot) = P (X = 0) + P (X =1) = 0,736

c Phân phối chuẩn với hiệu chỉnh liên tục: P (X ≤ 1) = P (Z ≤ 0,51) = 0,695

d Phép gần đúng Poisson cho kết quả tốt hơn vì np = 1 ≤ 10, do đó n không đủ lớn cho phép gần đúng chuẩn

5.12 Bộ phận kiểm tra chất lượng của một công ty sản xuất băng dự phòng máy tính

sẽ kiểm tra một mẫu gồm 25 băng từ mỗi lần sản xuất Một cuộc điều tra về các vấn đề sản xuất được bắt đầu nếu 2 hoặc nhiều băng bị lỗi Giả sử rằng một quá trình sản xuất

có chứa 30% băng bị lỗi

a Dùng công thức nhị thức; n = 25; p = 0,3: P (X ≥ 2) = 1 – 0,009 = 0,991

b Dùng phân phối chuẩn không hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 2) = 1 – 0,008 = 0,992

c Dùng phân phối chuẩn với hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 2) = 1 – 0,014 = 0,986

Điều này có cải thiện độ chính xác

5.13 Một trường đại học chỉ xem xét việc cho điểm đạt / không đạt cho sinh viên năm nhất để giảm bớt sự cạnh tranh và căng thẳng Tờ báo sinh viên phỏng vấn các giảng viên và báo cáo ý kiến của họ về chính sách được đề xuất Giả sử rằng 70% giảng viên ủng hộ đề xuất đạt/loại (p = 0,7)

a 10 giảng viên được phỏng vấn (n =10): P (X ≥ 6) = 1 – 0,35 = 0,65

b 50 giảng viên phỏng vấn (n = 50): P (X ≥ 26) = 1 – 0,0028 = 0,9972

Với hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 26) = 1 – 0,0044 = 0,9956

5.14 Trong một thí nghiệm về nhận thức ngoại cảm (ESP), năm lựa chọn được đưa ra cho mỗi câu hỏi Giả sử rằng một người không có ESP đoán ngẫu nhiên và do đó trả

6

lời đúng với xác suất l/5 Ngoài ra, giả định rằng các phản hồi là độc lập Giả sử rằng

100 câu hỏi được đặt ra

a Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số câu trả lời đúng

 = np = 100 0,2 = 20; 𝜎 = √𝑛𝑝 (1 − 𝑝) = 4

b Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ các câu trả lời đúng

Đây là hàm Bernouli với  = p = 0,2 và Var = p (1 – p) = 0,16 nên 𝜎 = 0,4

𝜇𝑥̅ =  =  =  𝜎𝑥̅ = 𝜎

√𝑛 = 0,4

√100 = 

c P (X ≥ 30) = 1 – 0,9938 = 0,0062

Sử dụng hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 30) = 1 – 0,9957 = 0,0043

Giá trị khi sử dụng hiệu chỉnh liên tục cho kết quả chưa chính xác

Phần 5.2

5.15 Tham khảo bài 5.1

a Liệt kê các mẫu và tính phương sai S2

(X1, X2) 𝑋̅ Phương

sai (S2)

(X1, X2) 𝑋̅ Phương

sai (S2)

b Lấy phân bố mẫu của S2

25

8 25

6 25

4 25

2 25

c E(S2) = 2, tương đương 2 = 2, đã tính ở bài 1

5.16. Dùng bảng A.5 tính các giá trị

𝜒5,0.012 =  𝜒10,0.052 =  𝜒10,0.952 =  𝜒10,0.752 = 

5.17 Xét phân bố chi- bình phương 8 bậc tự do

a Giá trị trung bình và phương sai của biền ngẫu nhiên 𝜒82 là

E (𝜒82) =  =  Var (𝜒82) = 2  = 

b P (𝜒82 > a) = 0,05 → a = 15,507; P (𝜒82 > b) = 0,99 → b = 1,646

P (𝜒82 < c) = 0,90 → P( 𝜒82 >c) = 0,1 → c = 13,362

P (d < 𝜒82 < e) = 0,95 → d = 2,733; e = 15,507

c Biểu thị (b) dưới dạng kí hiệu:

a = 𝜒8,0.052 ; b = 𝜒8,0.992 ; c = 𝜒8,0.102 ; d = 𝜒8,0.952 ; e = 𝜒8,0.052

d Vẽ phác xác suất từ b dưới dạng đường cong pdf

5.18 Xét phân bố chi bình phương 14 bậc tự do (cách làm giống 5.17)

a E = 14; Var = 28; b a = 6,571; b = 23,685; c = 29,141; d = 7,790; e = 21,064

5.19 Chứng minh kết quả 5.6: 𝑧𝛼∕22 = 𝜒1,𝛼2

Từ công thức (5.5) 𝑍2 = 𝜒12; ta có: 𝑃 (𝑧𝛼/2 < 𝑍 ≤ 𝑧𝛼∕2) = P (Z2 ≤ 𝑧𝛼∕22 = 1 − 𝛼)

Z2 ≤ 𝑧𝛼∕22 → 𝑧𝛼∕22 = 𝜒1 ,𝛼2

5.21 Nếu lấy mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ phân phối chuẩn từ phương trình (5.7) chúng ta biết rằng phương sai mẫu chuẩn hóa, U = (x - n) S2 / 2, có phân phối Tiến hành một

mô phỏng để đánh giá mối quan hệ này

a Tạo 100 mẫu ngẫu nhiên và tính S2 cho mỗi mẫu, chuẩn hóa: Tạo mẫu ngẫu nhiên bằng minitab và thực hiện tính toán trên excel

b Dùng hàm PERCENTILE.EXC trên excel

Từ mô phỏng ta thấy 𝜒4,0.252 = 1,945; 𝜒4,0.52 = 3,531; 𝜒4,0.92 = 8,719

Giá trị thực tế: 𝜒4,0.252 = 1,923; 𝜒4,0.52 = 3,357; 𝜒4,0.92 = 7,779

5.22 Bài tập này sử dụng mô phỏng để minh họa định nghĩa (5.3) rằng tổng X=Z21 +

Z22 + Z2 được phân phối dưới dạng 𝜒42 trong đó Z1 Z2., , Z, từ phân phối N(0,1) Cách làm giống bài 5.21

Từ mô phỏng ta thấy 𝜒4,0.252 = 1,885; 𝜒4,0.52 = 3,357; 𝜒4,0.92 = 7,279

5.20 Gọi S2 biểu thị phương sai mẫu được tính từ mẫu ngẫu nhiên có kích thước n từ phân phối N (µ, 2) Sử dụng Bảng A.5 cho các tỷ lệ phần trăm của phân phối , đối với các cỡ mẫu n = 8, 17 và 21, tìm xác suất xấp xỉ phương sai mẫu S2 vượt quá phương sai thực 2 theo hệ số hai, tức là , P( S2 > 22) Nhận xét về kết quả

8

Với n = 8; ta có 𝑢 =7𝑠2

𝜎 2 = 𝜒72; → u = 7.2𝜎2

𝜎 2 = 14 = 𝜒7,𝑎2 = 0,05 với n = 17; có 𝑢 =16𝑠2

𝜎2 = 𝜒162 ; → u = 16.2𝜎2

𝜎2 = 32 = 𝜒16,𝑎2 = 0,01 Với n = 21; có 𝑢 =20𝑠2

𝜎 2 = 𝜒202 → u = 20.2𝜎2

𝜎 2 = 40 = 𝜒7,𝑎2 = 0,005

5.23. Một kỹ sư nghi ngờ rằng nhiệt độ bên trong lò nướng không đồng đều như khi lò mới, tại thời điểm đó nhiệt độ thay đổi ±l0 ° F xung quanh cài đặt của nó (Lấy phạm

vi của phân phối chuẩn là khoảng ±2, giá trị này chuyển thành  = 5° F.) Để xác minh

sự nghi ngờ của mình, anh ta thực hiện 20 phép đo ở các phần khác nhau của lò Anh

ta muốn một quy tắc quyết định rằng  > 5 đúng nếu độ lệch chuẩn mẫu của các phép

đo vượt quá 5c, trong đó c> 0 là hằng số được chọn phù hợp Quy tắc không được có nhiều hơn một cơ hội 10% đưa ra quyết định sai, tức là, quyết định rằng  > 5 khi trên thực tế,  = 5

a Tìm giá trị c: (s = 5c)

Ta có: P (S2 > c) =  → P (S2 > c.52) =0,1

 (𝑛−1)⋅𝑆2

𝜎2 =19𝑠2

25 ~ 𝜒92

 19(5𝑐)2

25 = 𝜒9,0.12 → c2 = 27,203

19 = 1,432 → c = 1,196

b Ta có s = 7,5 > 5c = 5,98, vậy kĩ sư có thể quyết định   

Phần 5.3

5.24 Sử dụng bảng A.4, tính các giá trị

t5,0.5= 0; t10,0.10 = 1,372; t10,0.90= -1,372; t20,0.01= 2,528

5.26 Xem xét phân phối t của Student với 10 bậc tự do

a dùng bảng A.4, tính a,b,c,d

P (T10 > a) = 0,05 ↔ a = 1,812; P (T10 > b) = 0,99 ↔ b = - 2,764

P (T10 < c) = 0,90 ↔ c = 1,372; P (|T10| < d) = 0,96 ↔ d = 2,228

b Biểu thị các số ở (a) dưới dạng kí hiệu

a = t10,0,05; b = t10,0.99 = - t10,0.01; c = t10, 0.10; d = t10,0,025

5.26 Tính các xác suất

P (-t8,0.10 ≤T8 ≤ t8,0.10) = P (-1,397 ≤ T8 ≤ 1,397) = 0,9 – 0,1 = 0,8

P (-t8,0.05 ≤ T8 ≤ t8,0.01) = P (-1,860 ≤ T8 ≤ 2,896) = 0,99 – 0,05 = 0,94

P (t8,.0 5  T8  t8,.01) = P (1,860 ≤ T8 ≤ 2,896) = 0,99 – 0,95 = 0,04

P (TR > -t8,0.05) = 0,05

5.27 Cách làm giống bài 5.21

Từ mô phỏng ta thấy: t4,0.25 = - 1,746; t4,0.5 = - 0,2; t4,0.9 = 2,50

Giá trị thực tế: t4,0.25 = - 0,741; t4,0.5 = 0; t4,0.9 = 1,533

5.28 Chứng minh công thức 5.13

a Tạo ngẫu nhiên 100 giá trị Z theo phân bố chuẩn và 100 giá trị U theo phân bố Chi-square với bậc tự do 4 bằng minitab và tính toán T bằng excel

b Từ mô phỏng ta tính dược t4,0.25 = - 0,746; t4,0.5 = -0,138; t4,0.9 = 1,298

Phần 5.4

5.29. Dùng bảng 5.6, tính các giá trị

f10,10,0.025 = 3,72; f10,10,0.975 = 1/f10,10,0.025 = 1/3,72 = 0,27

f5,10,0.10 = 2,52; f5,10,0.90 = 1/f10,5,0.10 = 1/3,30 = 0,30; f10,5,0.90 = 1/f5,10,0.10 = 1/2,52 = 0,4

f v1, v2,  −  = f v2, v1, 

5.30 Xét phân phối F với 8 và 12 bậc tự do

a Tìm các giá trị a,b, c, d:

P (F8,12 > a) = 0,05 → a = 2,85

P (F8,12 > b) = 0.99 → P (F12,8 > b) = 0,01 → b = 5,67

P (F8,12 < c) = 0,90 → P (F8,12 > c) = 0,10 → c = 2,24

P (d < F8,12 < e) = 0,95 → d = 0,30; e = 2,85

b Biểu thị ở dạng kí hiệu:

a = f8,12,0.05; b = f12,8,0.01; c = f8,12,0.1; d = f12,8,0.05; e = f8,12,0.05

c Vẽ phác đường cong xác suất ở câu a

5.31 Chứng minh kết quả (5.18) là fv1, v2,1- = 1

𝑓𝑣1,𝑣2,𝛼

Ta có: 𝐹𝑣1,𝑣2 ~ 1

𝐹𝑣2,𝑣1và P (Fv1, v2 ≤ fv1, v2, 1 − ) = 

ừ đó ta có: fv1, v2,1 -  = 1

𝑓𝑣2, 𝑣1 ,𝛼 (đpcm)

5.32 Chứng minh công thức: t2v,  = f1, v, 

a có T2 v ~ F1, v

P (- tv,  ≤  ≤ tv,  ) = P (Tv2 ≤ t2

v, )

= t2 v,  = f1, v, 

10

5.33 Các mẫu ngẫu nhiên độc lập với kích thước n1 và n2 được lấy từ các phân bố N (1, 2 ) và N (2, 22) tương ứng và các phương sai mẫu S2 và S22 được tính toán Nếu 1 và 2 bằng nhau, sử dụng Bảng A.6 để tìm P (S2 /S2 > 4) cho các cặp cỡ mẫu sau: (n1 = 7, n2= 5), (n1= 13, n2 = 7), và (n1= 9, n2 = 16)

Áp dụng công thức: 𝑠1

𝑠2 =𝑥𝑛1−1

2

𝑥𝑛

2−1

2 ⋅𝑛2−1

𝑛1−1 ; Với n1 = 7; n2 = 5, ta có: 𝑠1

𝑠2 =𝑥6

𝑥4⋅4

6 → 𝑥6

𝑥4 = 6 → f6,4,1- =  →  −  = →  =  Với n1 = 13; n2 = 7; ta có P (S2 /S2 > 4) ~ 0,01

Với n1 = 9; n2 = 16; P (S2 /S2 > 4) ~ 0,1

Phần 5.5

5.34 Cho X1, …, X9 là một mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ phân phối U [0,1] Tìm p.d.f của Xmin, Xmax và trung vị mẫu 𝑋̅

Áp dụng công thức tính p.d.f cho Xmin F(1)(x) và cho Xmax F(n)(x) như sau:

F(n)(x) = (F(x)) n và F(1)(x) = 1 - (1 – F(x))n

Ở đây với n = 9 ta tính được c.d.f cho Xmax và Xmin lần lượt:

F(9)(x) = (F(x))9 và F(1)(x) = 1 - (1 – F(x))

9-Ta có hàm pdf được tính như sau: f(n)(x) = ⅆ𝐹(𝑛) (𝑥)

ⅆ𝑥

Do đó ta tính được p.d.f cho Xmin và Xmax lần lượt như sau

F(1)(x) = n{1 – F(x)}8.f(x) và F(9)(x) = 9.[F(x)]8.f(x)

Trung vị của mẫu = f(5)(x) = 3 (𝐹(𝑥))4⋅ √𝑓(𝑥)

5.35 Cho X1, X9 là một mẫu ngẫu nhiên được rút ra từ phân phối hàm mũ với  =

0,10 Tìm p.d f của Xmin , Xmax và trung vị mẫu X

Áp dụng công thức: f(1)(x) = ne-nx; f(n)(x) = n (1 – e -x) n – 1 e-0,1x

Với n = 9, ta có:

f(1)(x) = ne-n = 0,90e-0,90x

f(9)(x) = n (1 – e -x) n – 1 e-0,1x = 0,9 (1 – e-0,1x)8 e-0,1x

f(5)(x) = 9!

4!4!⋅ 0,1(1 − ⅇ−0,1𝑥)4⋅ ⅇ−0,50𝑥

Bài tập nâng cao

5.37 Quy trình quang khắc khắc các cửa sổ tiếp xúc thông qua một lớp oxit lắng đọng trên tấm silicon được sử dụng trong chế tạo mạch tích hợp Đối với mỗi wafer, r.v quan tâm là số lượng cửa sổ hình vòng cung không đúng cách (chưa mở hoặc quá nhỏ hoặc quá lớn) Giả sử rằng phân phối của r.v như sau

Số cửa sổ bị lỗi 0 1 2 3 4 5