Sử dụng maple để minh họa trực quan một số bài toán về hàm số

26 ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ ..... 3 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ”

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI

1

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỞ ĐẦU 4

CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 6

1.1 KIẾN THỨC TOÁN CƠ BẢN VỀ VẤN ĐỀ HÀM SỐ 6

1.1.1 Giới hạn hàm số : Định nghĩa 6

1.1.2 Đạo hàm, tích phân 7

1.1.3 Tích phân xác định 8

1.1.4 Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị 10

1.1.5 Định lý Lagrange 11

1.1.6 Khai triển Taylor 11

1.2 GIỚI THIỆU PHẦN MỀM MAPLE 12

1.2.1 Mở đầu 12

1.2.2 Dữ liệu trong Maple 13

1.2.3 Hàm số và đồ thị 15

1.2.4 Giới hạn – Liên tục 23

1.2.5 Đạo hàm 24

1.2.6 Tích phân 26

ỨNG DỤNG CỦA MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ 28

2.1 Giới hạn hàm số 28

2.1.1 Giới thiệu lệnh 28

2.1.2 Ví dụ 28

2

2.2 Minh họa tính lồi lõm của hàm số 30

2.2.1 Giới thiệu lệnh 30

2.2.2 Ví dụ 31

2.3 Định lý Lagrange 32

2.3.1 Giới thiệu lệnh 32

2.3.2 Ví dụ 33

2.4 Minh họa hình học tích phân xác định 34

2.4.1 Giới thiệu lệnh 34

2.4.2 Ví dụ: Vẽ hình ảnh minh họa tích phân xác định của hàm số 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙 trên đoạn [1,4] với số phân hoạch khác nhau và hãy phân tích kết quả 35

2.5 Khai triển Taylor 38

2.5.1 Giới thiệu lệnh 38

2.5.2 Ví dụ 39

KẾT LUẬN 41

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

3

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “SỬ DỤNG MAPLE ĐỂ MINH HỌA TRỰC QUAN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ” là kết quả của quá trình làm việc nghiêm túc và sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cô, bạn

bè và người thân Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người đã giúp

đỡ em trong thời gian học tập - nghiên cứu vừa qua

Em xin trân trọng gửi đến thầy Tôn Thất Tú, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho khóa luận này lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất

Em cũng xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm, quý thầy cô ở khoa Toán đã cho

em nhiều kiến thức bổ ích trong suốt các năm học cũng như tạo điều kiện giúp em hoàn thành tốt khóa luận của mình

Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ

và động viên

Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân dã cố gắng hết sức nhưng bài khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy, cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Tác giả Nguyễn Thị Thanh Tâm

và học vào các chủ đề về giải tích Rõ ràng không có một phương pháp nào giúp ta vẽ được các loại kỹ thuật “khảo sát hàm số” cũng không thể góp phần cải thiện tình huống Một trong những giải pháp cho tình huống khó khăn này là sử dụng phần mềm máy tính

hỗ trợ, chính là “phần mềm Maple” Tuy nhiên, điều này không có nghĩa rằng phần dạy

về các kỹ thuật khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trong chương trình phổ thông là không có

ý nghĩa, ngược lại nó vẫn cần thiết Và việc giảng dạy của giáo viên vô cùng quan trọng, giáo án của giáo viên cần sự hỗ trợ của Công nghệ thông tin để bài học được hoàn thiện hơn Việc làm này giúp bài học có hiệu quả cao và giải quyết nhanh chóng những khó khăn trong khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Maple là một trong những phần mềm Toán học chuyên dụng có khả năng hỗ trợ cho dạy và học toán Ta thấy phần mềm Maple là một chương trình tính toán vạn năng,

đề cập đến hầu hết mọi lĩnh vực của toán học Thế mạnh của phần mềm này là ở chỗ mọi

bộ môn đều có thể sử dụng làm phương tiện giảng dạy và học tập Đặc biệt đối với đại

số, số học, giải tích, … Maple có khá đầy đủ công cụ để giảng dạy và học tập Như vậy đối với phần mềm này giáo viên chẳng những không được phép thụ động vào những gì

có sẵn, mà phải chủ động phát huy tối đa khả năng sáng tạo của mình Cái khó ở đây không phải ở chỗ giải các bài tập toán, mà là ở chỗ giảng cho học sinh hiểu được bản chất của những khái niệm này cũng như phương pháp tư duy, suy luận do chúng mang lại Thiết kế bài giảng dưới sự hỗ trợ của phần mềm Maple là phương pháp dạy học hiệu quả nâng cao chất lượng dạy và học của thầy và trò trong chương trình THPT

Vì vậy, tôi chọn đề tài: “Sử dụng Maple để minh họa trực quan một số bài toán về hàm số”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài: “Sử dụng Maple để minh họa trực quan một số bài toán về hàm số” nhằm mục đích góp phần thực hiện chủ trương ứng dụng công nghệ thông tin để nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán Phân tích kĩ một số vấn đề liên quan đến hàm số và ứng dụng của Maple để minh họa trực quan những vấn đề đó

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phần mềm Maple và nội dung dạy học hàm số ở trường trung học phổ thông

5

- Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận tập trung nghiên cứu sử dụng phần mềm Maple trong việc minh họa trực quan một số bài toán về hàm số

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập, tìm hiểu các tài liệu liên quan đến Maple và các vấn đề liên quan đến hàm số

- Phân tích, hệ thống các tài liệu để từ đó tổng hợp, chọn lọc những nội dung cần thiết đưa vào khóa luận

- Quan sát, điều tra tìm hiểu việc dạy và học nội dung hàm số ở trường phổ thông

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và của các đồng nghiệp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Sản phẩm khoa học: Khóa luận hệ thống về các vấn đề liên quan đến hàm số và

sử dụng phần mềm Maple để hỗ trợ minh họa trực quan các vấn đề đó

- Sản phẩm thực tiễn: Tạo điều kiện cho việc dạy và học tốt hơn, đạt kết quả cao hơn

6 Cấu trúc khóa luận: Ngoài phần mở đầu và kết luận, khóa luận được chia thành hai chương:

Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Chương này trình bày về:

- Định nghĩa, tích chất, định lý về một số vấn đề liên quan đến hàm số

- Cách sử dụng Maple, các câu lệnh toán tử, hàm, hằng, các phép toán cơ bản và các hàm dùng để minh họa trực quan các vấn đề liên quan đến hàm số

Chương 2: Ứng dụng của Maple để minh họa trực quan một số bài toán về hàm số

Chương này trình bày một số ứng dụng của phần mềm Maple để minh họa trực quan một số bài toán về hàm số

 Cho hàm số y f(x)  xác định trên(x ; b)0 Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm

số y f(x)  khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (x ) : xn 0  xn b mà xn x0 thì ta có:

lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L

Giới hạn tại vô cực

 Ta nói hàm số y f(x)  xác định trên (a;  ) có giới hạn là L khi x   nếu với mọi dãy số (x ) : xn n a và xn  thì f(x )n  L Kí hiệu:

 Ta nói hàm số y f(x)  có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (x ) : xn n x0 thì f(x )n   Kí hiệu:

x x0 lim f(x)

 Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi  hoặc

* (sin )'= cos => (sin )'= '.cos

* (cos )'= sin => (cos )'=

c) Đạo hàm bậc cao của hàm số:

Đạo hàm bậc n của hàm số y=f(x) là đạo hàm bậc 1 của đạo hàm bậc n-1 của hàm

số y=f(x) (n>1)

Tích phân

a) Các tính chất của nguyên hàm

Định lí 1 Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của

f trên K đều có dạng F x  C, C   Do vậy F x  C gọi là họ nguyên hàm của hàm f

trên K và được kí hiệu: f x dx F x C    

Định lí 2 Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Định lí 3 Nếu f,g là hai hàm liên tục trên K thì:

 f x g x dx     f x dx  g x dx 

 k.f x dx k f x dx      với mọi số thực k 0 

Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục, không âm trên đoạn [a,b] Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị của hàm số f (x) (trên [a,b]), các đường thẳng x=

a, x = b và trục hoành

9

Với quan điểm của giải tích, ta hãy định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia x0 , x1 , x2 , xn−1 , xn được chọn tùy ý sao cho x0 ≡ a < x1 < x2 < xi −1 < xi < < xn−1 < xn ≡ b Đặt Δxi = xi – xi −1 (i

= 1,2, ,n) Từ các điểm chia xi (i = 1,2, ,n) ta dựng các đường thẳng x = xi , như thế

ta đã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ Pi−1 xi−1 xi Pi (i=1, 2, ,n) Chọn các điểm ξi ∈[ xi−1 , xi ] Thay mỗi hình cong nhỏ Pi−1 xi−1 xi Pi bằng một hình chữ nhật có cùng đáy và chiều cao là f (ξi ) Diện tích các hình chữ nhật là: f (ξ1) Δ x1, f (ξ2)

 không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và không phụ thuộc vào cách chọn điểm ξi thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) trên [a, b] và kí hiệu làb ( )

Khái niệm cung lồi, cung lõm và điểm uốn

Cho đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) như hình vẽ, giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm

f''(x) < 0 với mọi x thuộc (a,c): hàm số lồi trên (a,c)

f''(x) > 0 với mọi x thuộc (c,b): hàm số lõm trên (c,b)

f''(x) đổi dấu khi x đi qua c: hàm số có điểm uốn tại x = c

- Cung lồi: Tại mọi điểm của cung AC, tiếp tuyến luôn nằm bên trên cung, khi đó

ta nói cung AC là một cung lồi Khoảng [a, c] ứng với cung lồi AC gọi là khoảng lồi của

đồ thị (với a là hoành độ điểm A, c là hoành độ điểm C)

- Cung lõm: Trên cung CB, mọi tiếp tuyến đều nằm dưới đồ thị, khi đó CB

được gọi là cung lõm và đoạn [c, b] là khoảng lõm của đồ thị

- Điểm uốn: điểm chuyển tiếp giữa cung lồi và cung lõm (từ lồi chuyển sang lõm hoặc từ lõm chuyển sang lồi) gọi là điểm uốn của đồ thị Điểm C là điểm uốn

11

Dấu hiệu và cách tìm khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn

Định lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b)

- Nếu f''(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó

- Nếu f''(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó

- Nếu f''(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M0 (x0; f (x0)) là điểm uốn của đồ thị hàm số

1.1.5 Định lý Lagrange

- Định lý: Nếu 𝑓(𝑥) là hàm liên tục trên đoạn [a,b], có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại c∈ (a,b) sao cho 𝑓 (𝑐) = ( ) ( )

Ý nghĩa hình học: Cho hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn các giả thiết của định lý Lagrange,

đồ thị (C), 𝐴 𝑎, 𝑓(𝑎) ; 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)) Khi đó trên (C) tồn tại điểm 𝐶(𝑐, 𝑓(𝑐)), c∈ (a,b) mà tiếp tuyến của (C) tại C song song với đường thẳng AB

1.1.6 Khai triển Taylor

a) Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange

f có đạo hàm cấp n+1 trong (a,b) chứa x0:

( ) 2

(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x0)

b) Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano

12

( ) 2

x0= 0: khai triển Maclaurin

c) Ý nghĩa của khai triển Taylor

Maple làm việc theo câu lệnh nhập từ bàn phím và có thể lưu thành tập tin để sử dụng lại khi cần

 Một số điều qui định khi nhập lệnh:

- Kết thúc câu lệnh: Mỗi câu lệnh được kết thúc bởi dấu “;” ( thì in kết quả ra màn hình) hoặc dấu “:” (không in kết quả)

- Thi hành câu lệnh: Sau khi kết thúc lệnh thì ấn phím Enter để thực hiện lệnh

- Các câu lệnh có thể được đánh dấu, sao chép theo cách thức như trong hệ điều hành Windows

 Một số điều cần chú ý:

- Có phân biệt chữ hoa và chữ thường Ví dụ: Int và int là hai lệnh khác nhau

- Để tạo một chú thích cho câu lệnh, ta dùng dấu # trước đoạn văn ghi chú

Ví dụ: # Tính tích phân

- Dùng lệnh restart để khởi tạo mới các biến, hàm đã sử dụng trước đó

- Cần tra cứu cú pháp câu lệnh ta dùng mục Help trên thanh thực đơn của Maple Muốn tra cứu nhanh thì dùng dấu ? và tên mục cần tra cứu

Ví dụ: ?plot ?ifacto

c Logic: and, or, not

Ví dụ:

Trong Toán Trong Maple 0≤x≤ 3 (0<=x) and (x<=3) x<1 ; 2≤x (x<1) or (2<=x) x∉[0,1] not((0<=x)and(x<=1))

Kiểu dữ liệu:

Trong Maple ta có các kiểu dữ liệu sau đây:

Hằng: là các giá trị cài sẵn của Maple có giá trị không đổi Một số hằng của Maple được liệt kê dưới đây:

n n

Đúng , sai true , false

a Để xem danh sách tên các hằng dùng lệnh: constants;

b Thêm tên hằng vào danh sách hằng:

constants:= constants, tên_hằng_mới ;

c Gán giá trị cho hằng mới: macro (tên_hằng_mới = giátrị ) ;

Ví dụ: Thêm hằng K=9.109558.10-31

> constants:= constantsK;

> macro(K=9.109558*10^-31));

Biến là vùng nhớ lưu giá trị và được truy xuất qua tên của biến

Tên biến: là tên gọn của biến gồm các chữ cái (a z , A Z) , các chữ số (0 9) và dấu gạch nối “_” Tên biến phải bắt dầu chữ cái hoặc dấu “_” và có phân biệt theo chữ in

và chữ thường

Tên biến không được trùng với các từ khóa dành riêng của Maple gồm:

and break by catch description do done elif else end error export fi finally for from global if in intersect local minus mod module next not od option options or proc quit read return save stop then to try union use while

15

Kiểu biến: là một trong các kiểu dữ liệu ở phần 1.2.2.2

Biểu thức: thực hiện một số hữu hạn các phép toán trên các biến, hằng và hàm

x x

Phép gán: Để đưa giá trị vào vùng nhớ ta dùng phép gán (:=) như sau :

Tên_biến := biểu _thức_giá_trị ;

Maple định nghĩa các hàm số dùng cho từng kiểu dữ liệu như:

a) Các hàm số cho số nguyên (Integer)

Tên hàm số Ý nghĩa

abs(x) trị tuyệt đối của x

min(x1, x2, …) giá trị nhỏ nhất của x1, x2,…

max(x1, x2, …) giá trị lớn nhất của x1, x2,…

irem(m,n) dư số trong phép chia m/n

16

iquo(m,n) thương số trong phép chia m/n

igcd(n1,n2,…) ước số chung lớn nhất của n1,n2,…

ilcm(n1,n2,…) Bội số chung nhỏ nhất của n1,n2,…

isprime(n) kiểm tra xem số n có là số nguyên tố không

ln(x) hay log(x) logarit nêpe (cơ số e) của x

log10(x) , log[b](x) logarit thập phân lgx, logarit cơ số

b

sin(x) , cos(x) , tan(x), cot(x) sinx , cosx, tgx, cotgx

arcsin(x) , arccos(x), arctan(x),

sinh(x) , cosh(x)

17

tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

coth(x) = cosh(x) / sinh(x)

Ví dụ: Biểu diễn biểu thức : √𝑠𝑖𝑛𝑥 + theo Maple

Trường hợp hàm xác định bởi nhiều công thức, ta dùng lệnh :

piecewise(cond_1 , f_1 , cond_2 , f_2, , cond_n, f_n , f_otherwise) ;

Ví dụ 3: Định nghĩa hàm số

i x 1

1 x

trong đó các từ in đậm là từ khóa bắt buộc phải có

Ví dụ 4: Định nghĩa dãy số Lucas Ln bởi công thức :

L1=1, L2=3 và Ln = Ln-1 + Ln-2 Nhập lệnh như dưới đây và dùng Shift+Enter để xuống dòng:

o f : hàm số thực hoặc biểu thức chứa x

o h : miền ngang (horizontal range) dạng a b hoặc x=a b

o v : miền dọc ( vertical range) tùy chọn

21

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số 2

1

x y x





> plot(x/(x^2+1),x=-10 10,title="do thị ham so");

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = sin (𝑥) (màu đỏ, từng điểm) và

3 6

x

y   x (màu xanh, kiểu line)

>

plot([sin(x),x-x^3/6],x=-2 2,color=[red,blue],style=[point,line]);

> f:=x->if x<1 then x^2+1 else 3-x fi:

plot(f,-3 3);

b) Hàm dạng tham số

 Hệ tọa độ Descartes: plot([x(t), y(t),t=a b], option);

 Hệ tọa độ cực: plot([r(t) , j(t), t=t0 t1], coords=polar,option);

o options bao gồm các lựa chọn sau:

• coords= c: chọn hệ tọa độ Descartes, cylindrical(trụ), spherica (cầu)

• orientation= [theta, phi]: xoay đồ thị theo các góc theta, phi là cặp tham

số (q, j) trong tọa độ cầu, giá trị ngầm định [45,45]

• projection=r: chọn chiếu phối cảnh với r∈[0,s1], r=0 ('FISHEYE') , r=0.5 ('NORMAL') , giá trị ngầm định (default) là r=1 ('ORTHOGONAL')

• style=s: chọn một kiểu vẽ mặt trong các loại sau: POINT, HIDDEN, PATCH (mảnh ghép- default style), WIREFRAME (khung dây), CONTOUR (đường đồng mức), PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE

o a - một biểu thức đại số (điểm giới hạn, có thể infinity, -infinity)

o dir - (tùy chọn) hướng lấy giới hạn là: left, right, real, complex

b) Giới hạn nhiều biến

Câu lệnh: limit (f, points)

limit (f, points, dir)

Trong đó:

o f - một biểu thức đại số chứa x, y …

o points - tập hợp các đẳng thức dạng {x=a, y=b …}

o dir - (tùy chọn) hướng lấy giới hạn

Hàm số liên tục

a) Kiểm tra hàm liên tục trên khoảng số thực (a,b)