Một số phương pháp giải các bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ------ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH T

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN - -

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Giảng viên hướng dẫn : Ngô Thị Bích Thủy Sinh viên thực hiện : Ngô Thị Thùy Hương

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong khoa Toán, Trường

Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi

hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt cho phép tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc

đến cô Ngô Thị Bích Thủy là người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian

nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những ý kiến góp ý quý báu, sự động

viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, các thầy cô, bạn bè, nhất là lớp

17ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2021 Sinh viên

Ngô Thị Thùy Hương

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài: 1

2 Mục đích nghiên cứu: 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 1

4 Phương pháp nghiên cứu: 1

5 Bố cục khóa luận: 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 4

1.1 Tính đơn điệu của hàm số 4

1.1.1 Định nghĩa 4

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu 4

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu 4

1.2 Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số 4

1.2.1 Định lí 1: 4

1.2.2 Định lí 2: 5

1.2.3 Điểm tới hạn: 5

1.2.4 Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số: 5

1.3 Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng 5

1.3.1 Hàm số bậc nhất: 5

1.3.2 Hàm số bậc hai: 5

1.3.3 Hàm số bậc ba: 7

1.3.4 Hàm số trùng phương 11

1.4 Một số tính chất liên quan đến tính đơn điệu của hàm số để áp dụng vào giải các bài toán đại số 14

1.4.1 Tính chất 1 14

1.4.2 Tính chất 2 14

1.4.3 Tính chất 3 15

1.4.4 Tính chất 4 15

CHƯƠNG II CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 16

2.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 16

2.1.2.Ví dụ 1: 16

2.1.3 Ví dụ 2: 17

2.2 Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định R Tìm điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) 17

2.2.1 Phương pháp 17

2.2.2 Ví dụ 3: 18

2.2.3 Ví dụ 4: 18

2.2.4 Ví dụ 5: 18

2.2.5 Ví dụ 6: 19

2.3 Dạng 3: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; +∞) 19

2.3.1 Phương pháp: 19

2.3.2 Ví dụ 7: Xác định m để hàm số: 19

2.3.3 Ví dụ 8: Xác định m để hàm số: 20

2.3.4 Ví dụ 9: 20

2.4 Dạng 4 Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (-∞; α) 21

2.4.1 Phương pháp: 21

2.4.2 Ví dụ 10: 21

2.4.3 Ví dụ 11: 22

2.5 Dạng 5: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β) 22

2.5.1 Phương pháp: 22

2.5.2 Ví dụ 12: 23

2.5.3 Ví dụ 13: 23

2.6 Dạng 6 Tìm m để hàm số y = ax+b cx+d đơn điệu trên khoảng 24

2.6.1 Phương pháp: 24

2.6.2 Ví dụ 14: 24

2.6.3 Ví dụ 15: 24

2.7 Dạng 7: Cho y = ax3+ bx2+ cx + d (có chứa tham số m) Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên 1 khoảng có độ dài bằng d 24

2.7.1 Phương pháp: 24

2.7.2 Ví dụ 16: 25

2.8 Dạng 8: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình 25

2.8.1 Phương pháp: 25

2.8.2 Ví dụ 17: 25

2.8.3 Ví dụ 18: 26

2.8.4 Ví dụ 19: 27

2.9 Dạng 9: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất 27

2.9.1 Phương pháp 27

2.9.2 Ví dụ 20: 28

2.9.3 Ví dụ 21: 28

2.10 Dạng 10: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình 28

2.10.1 Phương pháp 28

2.10.2 Ví dụ 22: 29

2.10.3 Ví dụ 23: 29

2.10.4 Ví dụ 24: 30

2.11 Dạng 11 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình 31

2.11.1 Phương pháp 31

2.11.2 Ví dụ 25: 31

2.11.3 Ví dụ 26: 31

2.11.4 Ví dụ 27: 32

2.12 Dạng 12: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức 32 2.12.1 Phương pháp 32

2.12.2 Ví dụ 28: 33

2.12.3 Ví dụ 29: 33

2.12.4 Ví dụ 30: 34

2.13 Dạng 13: Tính đơn điệu của hàm số khi biết hàm số y = f'(x) 35

2.13.1 Phương pháp: 35

2.13.2 Ví dụ 31: 35

2.13.3 Ví dụ 32: 36

2.13.4 Ví dụ 33: 36

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con người phát triển toàn diện Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện để đáp ứng nhu cầu của xã hội Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo, trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, và trong đó có cả phương pháp dạy học môn Toán

Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và các ngành khoa học Đồng thời, môn Toán là một môn học rất khó có tính liên tục nếu chúng ta không khéo trong phương pháp giảng dạy sẽ khó tạo được hứng thú và sự thu hút để các

em học tốt và say mê học Toán Để theo kịp xu hướng phát triển, rất nhiều yêu cầu được đặt ra, và một trong số đó là Làm sao để có được những phương pháp giải Toán hay, nhanh và kết quả chính xác?

Giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ và động cơ học tập

đúng đắn Và trong khóa luận này tôi xin chia sẻ: “Một số phương pháp giải bài

toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong chương trình toán THPT”

Việc chứng minh một số bất đẳng thức cũng như giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số giúp bài toán trở nên đơn giản và lời giải gọn gàng hơn

2 Mục đích nghiên cứu:

- Nghiên cứu một số dạng toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số, giúp cho học sinh lĩnh hội và kiến tạo các tri thức toán một cách tốt nhất

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu cơ sở lí luận

- Nghiên cứu các dạng toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số

4 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phần tính đơn điệu của hàm số trong dạy học toán ở THPT, nhằm hiểu rõ những phương pháp để

từ đó xây dựng bài dạy đạt hiệu quả

5 Bố cục khóa luận:

Khóa luận gồm có 2 chương sau:

Chương 1: Cơ sở lí luận

1.1 Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

1.2 Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số

1.3 Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng

1.4 Một số tính chất liên quan đến tính đơn điệu của hàm số để áp dụng vào giải các bài toán đại số

Chương 2: Một số phương pháp giải các bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số trong chương trình toán THPT

2.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Phương pháp và ví dụ minh họa

2.2 Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) Có tập xác định ℝ Tìm điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) Phương pháp và ví dụ minh họa

2.3 Dạng 3: Cho hàm số y = f(x; m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)trên khoảng (α; +∞) Phương pháp và ví dụ minh họa

2.4 Dạng 4: Cho hàm số y = f(x; m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (−∞; α) Phương pháp và ví dụ minh họa

2.5 Dạng 5: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β)

2.6 Dạng 6 Tìm m để hàm số y =ax+b

cx+d đơn điệu trên khoảng 2.7 Dạng 7: Cho y = a𝑥3+ b𝑥2+ cx + d (có chứa tham số m) Tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên 1 khoảng có độ dài bằng d

2.8 Dạng 8: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình

2.9 Dạng 9: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh phương trình

có nghiệm duy nhất

2.10 Dạng 10: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình 2.11 Dạng 11 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình 2.12 Dạng 12: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng

6 Đối tượng nghiên cứu:

- Các hàm số trong chương trình toán THPT

- Các chứng minh và định lý

7 Phạm vi nghiên cứu:

Kiến thức liên quan đến tính đơn điệu của hàm số trong chương trình toán THPT

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác định trên K được gọi là:

• Đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

• Nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I

• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I

1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

a Định lý

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn, f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I (tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I) Khi đó:

• Nếu f′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

• Nếu f′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

• Nếu f′(x) = 0 với mọi x ∈ I thì hàm số f không đổi trên khoảng I

• Ta có thể mở rộng định lý trên như sau

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f′(x) ≥ 0 với ∀x ∈ I

(hoặc f′(x) ≤ 0 với ∀x ∈ I) và f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I

1.2 Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số

1.2.1 Định lí 1:

Nếu f’(x)<0 𝑥 (a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó

1.2.2 Định lí 2:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Nếu f’(x)  0 (hoặc f’(x)  0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên (a;b) thì y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó

1.2.3 Điểm tới hạn:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈ (a;b) Điểm 𝑥0được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng

0

1.2.4 Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số:

- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số được thông qua bảng biến thiên

- Tìm các khoảng giới hạn

- Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn

- Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng

1.3 Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng

1.3.1 Hàm số bậc nhất: y = ax+b (a  0)

- Tập xác định: ℝ

y’ = a

a>0  y’> 0  Hàm số luôn đồng biến

a<0  y’<0  Hàm số luôn nghịch biến

b 2a

+ Nếu a<0

x −∞ − 𝑏

2𝑎 +∞ y’ + 0 -

2𝑎;+∞) và đồng biến trên (−∞;− 𝑏

2𝑎)

- Vẽ đồ thị:

a>0

+ 𝛥 = 𝑏2− 3𝑎𝑐 < 0  y’ cùng dấu với a

Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến

Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến

b 2a

* Bảng biến thiên:

a>0

x −∞ +∞

y’ + +

y +∞

−∞

a<0 x −∞ +∞

y’ - -

y +∞

−∞

* Đồ thị:

a>0

8

6

4

2

-2

-4

-6

a< 0

+𝛥 = 𝑏2− 3𝑎𝑐 = 0  y’ cùng dấu với a với ∀𝑥 ≠ − 𝑏

3𝑎 Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng (−∞; − 𝑏

3𝑎) và tiếp tục đồng biến trên khoảng (− 𝑏

3𝑎; +∞)

Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến (−∞; − 𝑏

3𝑎) và tiếp tục nghịch biến trên khoảng (− 𝑏

y +∞

f(𝑥1)

−∞ f(𝑥2)

a<0

x −∞ 𝑥1 𝑥2 +∞ y’ - 0 + 0 -

f(𝑥2)

f(𝑥1) −∞

a <0 : Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞)

a > 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;0) và đồng biến trên khoảng (0 ; +∞)

* Bảng biến thiên:

a>0

x −∞ 0 +∞

y’ - 0 +

y +∞ +∞

f(0)

a<0 x −∞ 0 +∞

y’ + 0 -

y

f(0)

−∞ −∞

* Đồ thị :

a>0

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

a<0

Nếu b  0  y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt x = 0 ; x = ±√𝑏

2𝑎

* Bảng biến thiên:

a>0

x

−∞ −√𝑏

2𝑎 0

a b 2 +∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +∞ f(0) +∞

f(−√𝑏 2𝑎) f(√𝑏 2𝑎)

a<0 x −∞ −√𝑏 2𝑎 0 √𝑏 2𝑎 +∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y f(−√𝑏 2𝑎) f(√𝑏 2𝑎)

f(0)

−∞ −∞

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-2 -4 -6 -8

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

CHƯƠNG II CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

2.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến

của hàm số

2.1.1.Phương pháp:

Bước 1: TXĐ

Bước 2: Tìm điểm tới hạn

Bước 3: Lập bảng biến thiên

Bước 4: Suy ra chiều biến thiên của hàm số

2.1.2.Ví dụ 1: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:

a y = 𝑥3+ 3𝑥 − 4

b y = 𝑥4− 2𝑥2− 3

Giải:

a y = 𝑥3+ 3𝑥 − 4

TXĐ: R

y’ = 3𝑥2+ 3 > 0 , ∀𝑥 ∈ 𝑅

 Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)

b y =𝑥4− 2𝑥2− 3

TXĐ: R

y’ = 4𝑥3− 4𝑥 = 4𝑥(𝑥2− 1)

y’ = 0 ⇔ [

𝑥 = 0

𝑥 = −1

𝑥 = 1 Bảng biến thiên:

x −∞ -1 0 1 +∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +∞ -3 +∞

-4 -4

 Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1) và (0;1)

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1; +∞)

2.1.3 Ví dụ 2: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:

 Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)

b, y = x lnx

TXĐ: R∗+

y’ = lnx + x 1

x = lnx + 1 y’ > 0  lnx > 1 = ln e−1  x > e−1= 1

e y’ < 0  lnx < 1 = ln e−1  x < e−1= 1

Bước 2: Hàm số luôn đồng biến  y’ ≥ 0, ∀x ∈ R

Bài toán trở thành “ Tìm điều kiện để y’ ≥ 0, ∀x ∈ R”

+) Giả sử y’ = f’(x) = ax2+ bx + c (a  0)

Để hàm số đồng biến ⇔ {a > 0

Δ ≤ 0+) Giả sử y’ = f’(x) = ax + b (a  0)

Ta thấy: Hàm số có đạo hàm là một nhị thức bậc nhất hoặc có đạo hàm đồng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không bao giờ đồng biến được

+) Giả sử y’ = f’(x) = ax3+ bx2+ cx + d (a  0)

y’ = 0 Luôn có ít nhất một nghiệm thực, do đó hàm số tương ứng không thể đồng biến

* Chú ý: Dạng bài toán tìm điều kiện để hàm số y = f(x) luôn nghịch biến làm tương tự như trên

2.2.2 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên R

√6≤ m ≤ 1

√6

2.2.4 Ví dụ 5: Cho hàm số y =(m – 3)x – (2m + 1 )cosx Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

0 4

m m

Vậy giá trị của m cần tìm là: −4 ≤ m ≤2

2.3 Dạng 3: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( 𝛂; +∞)

2.3.1 Phương pháp:

Bước 1: y’ = f’(x;m)

Bước 2: Hàm số đồng biến trên khoảng (α; +∞ ) ⇔ y′ ≥ 0, ∀x > α

+) Giả sử y’ = g(x) = ax2+ bx + c (a  0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên khoảng (α; +∞)

α >S

2

+) Giả sử y’ = g(x) = ax + b (a  0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên khoảng (α; +∞)