Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc .Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc Hàm sInh và ứng dụng. Toán rời rạc
Trang 1Hàm Sinh và Ứng Dụng
Mục lục
1.1 Giới thiệu 2
1.2 Định nghĩa 2
1.3 Các phép toán đối với hàm sinh 2
1.3.1 Phép cộng 2
1.3.2 Nhân với hằng số 3
1.3.3 Tích 2 hàm sinh 3
1.3.4 Phép dịch phải 3
1.3.5 Phép dịch trái 4
1.3.6 Đạo hàm 4
1.4 Một số đẳng thức thường dùng liên quan đến hàm sinh 4
2 Ừng dụng của Hàm sinh giải các bài toán 4 2.1 Bài toán đếm 4
2.2 Tìm công thức tổng quát của dãy truy hồi 10
Trang 21 Tổng quan về hàm sinh
1.1 Giới thiệu
Trong toán học, hàm sinh là một cách mã hóa một dãy số vô hạn {an} bằng cách coi chúng như các hệ số của một chuỗi lũy thừa chính thức Chuỗi này được gọi là hàm sinh của chuỗi Không giống như một chuỗi thông thường, chuỗi lũy thừa chính thức không bắt buộc phải hội tụ : trên thực tế, hàm sinh không thực
sự được coi là một hàm , và "biến" vẫn là một giá trị không xác định Các hàm tạo lần đầu tiên được giới thiệu bởi Abraham de Moivrevào năm 1730, để giải quyết vấn đề tái diễn tuyến tính tổng quát
Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (Công thức Taylor), chuyển các bài toán về dãy số thành những bài toán về hàm số Đây là phương pháp mạnh để giải các bài toán về dãy số mà đôi khi ta hoàn toàn bó tay với các phương pháp khác
Ý tưởng phương pháp hàm sinh: Giả sử ta cần tìm công thức tổng quát của dãy số {an} nào đó Từ công thức truy hồi ta tìm được hàm sinh là f (x) =
∞
X
i=0
aixi của dãy số Và từ đó hệ số ai của xi trong khai triển f (x) thành chuỗi lũy thừa chính là số hạng thứ i của dãy {an}
1.2 Định nghĩa
Định nghĩa: Hàm sinh của dãy số thực a0, a1, a2, an, là hàm số được xác định bởi:
G(x) = a0+ a1x1+ a2x22+ + anxnn
Ta nói hàm G(x) mang đầy đủ thông tin về dãy (an), hệ số của xn chính là số hạng an của dãy
Nếu dãy là hữu hạn: a0, a1, a2, am, thì các hệ số từ am+1 sẽ bằng 0 Hàm sinh lúc đó sẽ trờ thành đa thức bậc m
Ví dụ:
• Hàm G(x) = (1 + x)n là hàm sinh của dãy số ak =n
k
vì:
G(x) = (1 + x)n=
n
X
k=0
n k
xk=n 0
+n 1
x + +n
n
xn
(1 − x)2 là hàm sinh của {1, 2, 3, 4 } vì:
1
1 − ax =
∞
X
k=0
(k + 1)xk= 1 + 2x + 3x2+ 4x3+
1.3 Các phép toán đối với hàm sinh
F (x) và G(x) lần lượt là hàm sinh của 2 dãy {an} và {bn}
1.3.1 Phép cộng
F (x) ± G(x) =
∞
X
k=0
akxk±
∞
X
k=0
bkxk =
∞
X
k=0
(ak± bk)xk Như vậy F (x) + G(x) là hàm sinh của dãy {an+ bn} ⇒ ta có phép cộng hàm sinh
Ví dụ 1: F (x) = 1
1 − x ,G(x) =
1 (1 − x)2 là hai hàm sinh của dãy {1, 1, 1, 1, } và {1, 2, 3, 4, }
Trang 3F (x) + G(x) =
∞
X
k=0
xk+
∞
X
k=0
(k + 1)xk=
∞
X
k=0
(k + 2)xk= 2 + 3x + 4x2+ 5x3+
Là hàm sinh của dãy {2, 3, 4, 5, }
1.3.2 Nhân với hằng số
Cho dãy a0, a1, a2, và hàm G(x) là hàm sinh của dãy số trên
Hàm CF(x)=P∞
k=0Cakxk (với C là hằng số) là hàm sinh của dãy Ca0, Ca1, Ca2, ⇒ Ta có Phép nhân với hằng số
Ví dụ 2: Dãy {1, 2, 3, 4, } có hàm sinh F (x) = 1
(1 − x)2
Ta có:
2G(x) = 2
∞
X
k=0
(k + 1)xk
= 2(1 + 2x + 3x2+ 4x3+ )
= 2 + 4x + 6x2+ 8x3+
là hàm sinh của dãy {2, 4, 6, 8, }
1.3.3 Tích 2 hàm sinh
Đặt C(x) = F (x) · G(x) Khai triển tích:
C(x) = F (x) · G(x) = (
∞
X
k=0
akxk)(
∞
X
k=0
bkxk) =
∞
X
k=0
(
k
X
i=0
aibk−i)xk
⇒ Ta được tích 2 hàm sinh hay còn gọi là phép chập
Khi đó hệ số của xn trong khai triển C(x) là: a0bn+ a1bn−1+ a2bn−2+ + an−2b2+ an−1b1+ anb0
Chú ý : Trong các bài toán ứng dụng hàm sinh, chúng ta rất hay sử dụng công thức trên
Ví dụ 3: f (x) =
∞
X
n=0
anxn= a0+ a1x + a2x2+ là hàm sinh của {an}
Ta biết: 1
1 − x = 1 + x + x
2+ =
∞
X
n=0
xn
Do đó f (x) 1
1 − x =
∞
X
n=0
anxn
∞
X
n=0
xn=
∞
X
k=0
(
n
X
i=0
ai)xk= a0+ (a0+ a1)x + (a0+ a1+ a2)x2+
Vậy f (x) 1
1 − x là hàm sinh của dãy {
n
X
i=0
ai}
1.3.4 Phép dịch phải
Ta có: xk.F (x) = a0xk+ a1xk+1+ a2xk+2+
Là hàm sinh của dãy {0, 0, 0 0, 0
k
, a1, a2, a3, an} ⇒ Ta có Phép dịch phải
Ví dụ 4:
xk
1 − x = x
k(1 + x + x2+ x3+ ) = xk+ xk+1+ xk+2+ xk+3+
Là hàm sinh của dãy {0, 0, 0 0, 0
k
, 1, 1, 1, 1}
• Với f (x) là hàm sinh của dãy (an) Ta được:
Trang 4f (αx) là hàm sinh của dãy {a0, αa1, α2a2, }
f (xn) là hàm sinh của dãy {a0, 0, 0 , 0
| {z }
n−1
, a1, 0, 0 , 0
| {z }
n−1
, a2 }
1.3.5 Phép dịch trái
Nếu f (x) là hàm sinh của dãy {an} thì
g(x) = f (x) − a0− a1x − − ak−1xk−1
xk với k>0 là hàm sinh của dãy {an+k} ⇒ Ta có Phép dịch trái 1.3.6 Đạo hàm
Nếu f (x) =
∞
X
n=0
anxn là hàm sinh của dãy {a0, a1, a2, } thì:
f0(x) =
∞
X
n=1
nanxn−1là hàm sinh của dãy {a1, 2a2, 3a3, }
Ví dụ 5: f (x) = 1
1 − x = 1 + x + x
2+ x3+
f0(x) = 1
(1 − x)2 = 1 + 2x + 3x2+ =
∞
X
n=0
(n + 1)xn
là hàm sinh của dãy {1,2,3, }
1.4 Một số đẳng thức thường dùng liên quan đến hàm sinh
1
2+ x3+ =
∞
X
n=0
xn 1
2x2+ a3x3+ =
∞
X
n=0
anxn 1
2− x3+ =
∞
X
n=0
(−1)nxn 1
1 − xk 1 + xk+ x2k+ x3k+ =
∞
X
n=0
xnk 1
1 + xk 1 − xk+ x2k− x3k+ =
∞
X
n=0
(−1)nxnk 1
(1 − x)2 1 + 2x + 3x2+ 4x3+ =
∞
X
n=0
(n + 1)xn 1
(1 − ax)2 1 + 2ax + 3a2x2+ =
∞
X
n=0
(n + 1)anxn
1
x +n 2
x2+n 3
x3+ =
n
X
i=0
n i
xi 1
(1 − x)n 1 + nx + n(n + 1)x
2
2! + + n(n + 1) (n + k − 1)
xn
n ! = =
∞
X
k=0
n + k − 1 k
xk
1!+
x2
2! +
x3
3! + =
∞
X
n=0
xn
n!
2 Ừng dụng của Hàm sinh giải các bài toán
2.1 Bài toán đếm
Để giải 1 bài toán đếm bằng phương pháp hàm sinh, điều quan trọng nhất trước hết là làm thế nào để xây dựng hàm sinh sao cho đúng Hàm sinh có thể được áp dụng trong các bài toán đếm, các bài toán chọn các
Trang 5phần tử từ một tập hợp thông thường sẽ dẫn đến hàm sinh khi hàm sinh được áo dụng theo cách này, hệ
số của xn chính là số cách chọn n phần tử
Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách chọn k phần tử phân biệt từ tập hợp có n (n>k) phần tử
Bằng công thức tổ hợp ta có đáp án ngay là:n
k
nhung ta sẽ giải quyết bằng phương pháp hàm sinh • Xét 1 tập hợp gồm có 1 phần tử là {a1} Ta có:
Số phần tử được chọn Số cách chọn
⇒ Hàm sinh cho số cách chọn k phần tử từ tập hợp có 1 phần tử {a1} là hàm sinh của dãy {1, 1, 0, 0, } là G(x) = 1 + x
• Xét 1 tập hợp gồm có 2 phần tử là {a1, a2} Ta có:
Số phần tử được chọn Số cách chọn
⇒ Hàm sinh cho số cách chọn k phần tử từ tập hợp có 2 phần tử {a1, a2} là hàm sinh của dãy
{1, 2, 1, 0, 0 } là G(x) = 1 + 2x + x2= (1 + x)2) = (1 + x)(1 + x)
• Tiếp túc áp dụng cho các tập hợp hồm 3 phần tử, 4 phần tử, Ta được Hàm sinh cho số cách chọn các phần tử từ tập hợp có n phần tử là:
(1 + x)(1 + x)(1 + x) (1 + x) = (1 + x)n (∗)
Số cách chọn ra k phần tử từ tập hợp gồm n phần tử chính là hệ số của xk trong khai triển hàm (*)
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách chọn ra n phần tử từ tập hợp gồm có k phần tử (n>k) Trong đó mỗi phần
tử có thể được chọn nhiều lần
Chia tập hợp k phần tử thành k phần tử con {ai} sao cho mỗi tập hợp con có 1 phần tử duy nhất và không trùng nhau Với mỗi tập hợp {ai} ta có:
Số phần tử Số cách chọn
⇒ Hàm sinh cho số cách chọn (có lặp) từ tập hợp có 1 phần tử {ai} là hàm sinh của dãy {1, 1, 1 } là G(x) = 1 + x + x2+ x3+ = 1
1 − x Vậy hàm sinh cho số cách chọn (có lặp) từ k tập hợp có 1 phần tử {ai} là:
1
1 − x
1
1 − x
1
1 − x =
1 (1 − x)k (∗)
Trang 6Hệ số của xn trong hàm (*) chính là số cách chọn n phần tử (có lặp) từ tập hợp gồm k phần tử Khai triển hàm (*):
1
(1 − x)k = 1
(1 − x)k = 1 + kx +k(k + 1)
2! x
2+k(k + 1)(k + 2)
3+ =
∞
X
n=0
Cn+k−1n xn
Hệ số của xn : Cn
n+k−1
Bài 1:(Bài toán chia kẹo Euler): Có bao nhiêu cách chia 12 cái kẹo cho 3 bạn Linh, Thanh, Hoa, sao cho Linh phải có ít nhất 4 cái, Thanh và Hoa đều có ít nhất 2 cái, riêng Hoa không được nhiều hơn 5 cái Bài giải
Hàm sinh cho số cạch chọn kẹo cho Linh là:
Số kẹo Số cách chọn
Và số kẹo của linh không được quá 8 cái vì Thanh và Hoa mỗi người đếu có ít nhất 2 cái Vậy hàm sinh cho
số cách chọn kẹo của Linh là:
A(x) = x4+ x5+ x6+ x7+ x8= x4(1 + x + x2+ x3+ x4) = x41 − x
5
1 − x Tương tự ta có số cách chọn kẹo của Thanh và Hoa lần lượt là:
B(x) = x2+ x3+ x4+ x5+ x6= x2(1 + x + x2+ x3+ x4) = x21 − x
5
1 − x C(x) = x2+ x3+ x4+ x5= x2(1 + x + x2+ x3) = x21 − x
4
1 − x Vậy hàm sinh cho số cách chia 12 cái kẹo thỏa mãn đề bài là:
G(x) = A(x)B(x)C(x)
= x41 − x
5
1 − x .x
21 − x5
1 − x .x
21 − x4
1 − x
= x
8(1 − x5)2(1 − x4) (1 − x)3
= x8.(1 − 2x5+ x10)(1 − x4) 1
(1 − x)3
= x8.(1 − 2x5+ x10)(1 − x4)
∞
X
i=0
Ci+2i xi
Ta cần tìm hệ số của x12 trong khai triển hàm G(x)
G(x) = x8.1 − x4.2
0
x0+ x8.1.1.6
4
x4+ = + x12
−1 +6 4
+
Vậy hệ số của x12 trong khai triển G(x) là:
−1 +6 4
=14
⇒ Có 14 cách chia 12 cái kẹo cho 3 bạn Linh, Thanh, Hoa thỏa mãn đề bài
Bài 2: Có bao nhiêu cách chia 12 cái kẹo khác nhau cho 3 người.Sao cho mỗi người đều có ít nhất 1 cái Tổng quát có bao nhiêu cách phân phối n đồ vật vào trong k cái hộp sao không hộp nào rỗng
Trang 7Bài giải:
Nhận xét:Nếu như ở bài 1, thì hàm sinh cho số cách phân phối đồ sẽ là f (x) = x + x2+ + và hệ số của
xn là an là số cách phân phối cho n đồ vật Nhưng ở bài tập này, số đồ vật là khác nhau, n đồ vật sẽ có n! hoán vị nên số cách phân phối cho n đồ vật khác nhau phải nhân thêm với n!
Vậy hàm sinh cho cách phân phối n đồ vật vào k hộp là: G(x) =
x + x
2
2! +
x3
3! +
k
Ta cần tìm hệ số của x
n
n!
G(x) = (ex+ (−1))k
=
k
X
i=0
k
i
(−1)i(ex)k−i
=k
0
(−1)0ekx+k
1
(−1)1e(k−1)x+k
2
(−1)2e(k−2)x+ +k
k
(−1)ke0x
=k
0
(−1)0
∞
X
n=0
knxn
n! +
k 1
(−1)1
∞
X
n=0
(k − 1)nxn
k 2
(−1)2
∞
X
n=0
(k − 2)nxn
n! + +
k k
(−1)k
=
∞
X
n=0
xn
n!
k 0
(−1)0(k − 0)n+k
1
(−1)1(k − 1)n+k
2
(−1)2(k − 2)n+ +k
k
(−1)k(k − k)n
=
∞
X
n=0
xn
n!
k
X
i=0
k i
(−1)i(k − i)n
!
(00= 1)
Vậy hệ số của x
n
n! là
k
X
i=0
k i
(−1)i(k − i)n
! Là số cách phân phối n đồ vật vào k chiếc hộp sao cho không có hộp nào rỗng
Thay số cho n=12, k=3 Ta có số cách phân phối là: 519156 cách
Bài 3: Có bao nhiêu cách để đồi tờ tiền n đô ra các tờ tiền 1 đô, 2 đô, 5 đô Sao cho không có quá 4 tờ
1 đô Thay số với n=7 và n=8
Bài giải :
Hàm sinh cho số tiền được đổi ra từ tờ tiền 1 đô là:
A(x) = 1 + x + x2+ x3+ x4= 1 − x
5
1 − x Hàm sinh cho số tiền được đổi ra từ tờ tiền 2 đô là:
B(x) = 1 + x2+ x4+ = 1
1 − x2
Hàm sinh cho số tiền được đổi ra từ tờ tiền 5 đô là:
C(x) = 1 + x5+ x10+ = 1
1 − x5
Hàm sinh cho số tiền n đô được đổi ra các tờ tiền 1 đô, 2 đô, 5 đô thỏa mãn đề bài là:
G(x) = A(x)B(x)C(x) = 1 − x
5
1 − x
1
1 − x2
1
1 − x5 = 1
(1 − x)(1 − x2) G(x) =
∞
X
k=0
x2k
∞
X
i=0
xi
xn= x2k+i⇒ n = 2k + i ⇒ 2k ≤ n hay k ≤ n
2. Vậy hệ số của xn
là k + 1 với k ∈ N, k ≤ n2
Áp dụng với n=7 và n=8 Ta có số cách chọn đều là 5
Trang 8Bài 4: Vào dịp năm mới Thành được người thân mừng tuổi tổng cộng 30 tờ tiền Hỏi có bao nhiêu cách phân phối 30 tờ tiền đó vào 5 cái bao lì xì Sao cho, 2 bao lì xì đầu có số tờ tiền chẵn và không có quá
10 tờ , số tiền trong 3 bao lì xì còn lại có 4 hoặc 5 tờ, không có bao lì xì nào rỗng
Bài giải:
Hàm sinh cho số tờ tiền trong 2 bao lì xì đầu là:
A(x) = x2+ x4+ x6+ x8+ x102
=x2(1 + x2+ x4+ x6+ x8)2
= x4 1 − x10
1 − x2
2
Hàm sinh cho số tờ tiền trong 3 bao lì xì còn lại là:
B(x) = x4+ x53= x12(1 + x)3= x12 1 − x2
1 − x
3
Số cách chia 30 tờ tiền vào 5 bao lì xì là hệ số của x30trong khai triền A(x)B(x)
A(x)B(x) = x4 1 − x10
1 − x2
2
x12 1 − x2
1 − x
3
= x16(1 − 2x
10+ x20) (1 − x2)2
(1 − x2)3
(1 − x)3
= x16(1 − 2x
10+ x20)(1 − x2) (1 − x)3
= x16(1 − 2x10+ x20)(1 − x2)
∞
X
k=0
k + 2 k
xk
Ta cần xác định hệ số của x30; x30 có thể được tạo thành từ:
•x16.1.1.14 + 2
14
x14=16
14
x30
•x16.1.(−x2).12 + 2
12
x12= −14
12
x30
•x16.(−2x10).1.4 + 2
4
x4= −2.6
4
x30
•x16.(−2x10).(−x2).2 + 2
2
x2= 2.4
2
x30
Vậy hệ số của x30 là:16
14
−14 12
− 2.6 4
+ 2.4 2
= 11 Bài 5: Có bao nhiêu cách sưu tầm 20 cái bút từ 4 bạn nam và 6 bạn nữ Biết rằng mỗi người có ít nhất
1 cái, mỗi bạn nam có nhiều nhất 4 cái, mỗi bạn nữ có nhiều nhất 7 cái
Bài giải:
Hàm sinh cho số cái bút được chọn ra từ 4 bạn nam là:
A(x) = (x + x2+ x3+ x4)4= x4(1 + x + x2+ x3)4= x4 1 − x4
1 − x
4
Hàm sinh cho số cái bút được chọn ra từ 6 bạn nữ là:
B(x) = (x + x2+ x3+ x4+ x5+ x7)6= x6(1 + x + x2
+ x3+ x4+ x5+ x6)6= x6 1 − x7
1 − x
6
Số cách chọn 20 cái bút chính là hệ số của x20trong khai triển A(x)B(x)
Trang 9A(x)B(x) = x4 1 − x4
1 − x
4
x6 1 − x7
1 − x
6
= x10(1 − x
4)4(1 − x7)6 (1 − x)10
= x10
4
X
k=0
4 k
−x4k
6
X
n=0
6 n
(−x7)n
∞
X
i=0
i + 9 i
xi
Ta cần xác định hệ số của x20; x20 có thể được tạo thành từ:
•x10.1.1.10 + 9
10
x10=19
10
x20
•x10.1.6
1
− x7.3 + 9
3
x3= −6
1
12 3
x20
•x10.4
1
− x4.1.6 + 9
6
x6= −4
1
15 6
x20
•x10.4
2
x8.1.2 + 9
2
x2=4 2
11 2
x20
Vậy hệ số của x20 là:19
10
−6 1
12 3
−4 1
15 6
+4 2
11 2
= 71368 Bài 6 : Phương trình:
a + b + c + d = 18
Có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm X = {a, b, c, d} sao cho b ≥ 3, c ≥ 4, d ≥ 5
Bài giải:
Xét Hàm sinh:
A(x) = 1 + x + x2+ x3+ = 1
1 − x B(x) = x3+ x4+ x5+ = x
3
1 − x C(x) = x4+ x5+ x6+ = x
4
1 − x D(x) = x5+ x6+ x7+ = x
5
1 − x
Số nghiệm X thỏa mãn điều kiện đề bài chính bằng hệ số của x18 trong khai triển A(x)B(x)C(x)D(x)
A(x)B(x)C(x)D(x) = 1
1 − x
x3
1 − x
x4
1 − x
x5
1 − x =
x12
(1 − x)4 = x12[1 + (−x)]4= x12
∞
X
k=0
−4 k
(−x)k
= x12
∞
X
k=0
k + 3 k
xk(−1)2k
Lấy k=6, hệ số của x18là:k + 3
k
=9 6
= 84
Bài 7: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: a + b + c + d = 20 với 1 ≤ a ≤ 4; 3 ≤ b, c, d ≤ 8
Bài giải:
Trang 10Hàm sinh cho số nghiệm của phương trình là:
F (x) = (x + x2+ x3+ x4)(x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8)3
= x1 − x
4
1 − xx
9(1 − x6)3
(1 − x)3
= x10(1 − x
4)(1 − x6)3
(1 − x)4
= x10(1 − x4)
3
X
k=0
3 k
(−x6)k
∞
X
n=0
n + 3 n
xn
Ta cần tìm hệ số của x20;x20có thể được tạo thành từ:
•x10.1.1.13
10
x10=13
10
x20
•x10.1 −3
1
x6.7
4
x4= −3
1
7 4
x20
•x10 − x4.1.9
6
x6= −9
6
x20
•x10 − x4 −3
1
x6.1 =3
1
x20
Vậy hệ số của x20 là:13
10
−3 1
7 4
−9 6
+3 1
= 100
2.2 Tìm công thức tổng quát của dãy truy hồi
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định:
a0= 0
an+1= 2an+ 1, n ≥ 1
Tìm an
Bài giải :
Giả sử: f (x) là hàm sinh của dãy {an} ⇒ f (x) ↔ {0, 2a0+ 1, 2a1+ 1, }
Ta có:{1, 1, 1, } ↔ 1
1 − x, và: {2a0, 2a1, 2a2, } ↔ 2f (x) Bằng phép dịch phải:
x
2xf (x) ↔ {0, 2a0, 2a1, 2a2, } (2)
Bằng phép cộng ta được: 2xf (x) + x
1 − x ↔ {0, 2a0+ 1, 2a1+ 1, 2a2+ 1, }
⇒ 2xf (x) + x
1 − x = f (x) ⇒ f (x) =
x (1 − x)(1 − 2x). Bây giờ ta cần khai triển f (x) thành chuỗi lũy thừa
(1 − x)(1 − 2x) = x(
2
1 − 2x− 1
1 − x)
f (x) = x(2
∞
X
n=0
)2nxn−
∞
X
n=0
xn=
∞
X
n=0
(2n+1− 1)xn+1
Vậy số hạng tổng quát của dãy trên là an= 2n− 1
Ví dụ 2: Tìm an biết:
a1= 1
an+1= an+ an−1+ + a1, n ≥ 2 Bài giải:
Trang 11Gọi f(x) là hàm sinh của dãy số cần tìm Ta có:
f (x) = a1x + a2x2+ + anxn+
= a1x + a1x2+ (a1+ a2)x3+ (a1+ a2+ a3)x4+ + (a1+ a2+ + an−1)xn+
= a1(x + x2+ + xn+ ) + a2(x3+ x4+ + xn+ ) + a3(x4+ x5+ + xn+ ) +
= a1x + a1x(x + x2+ ) + a2x2(x + x2+ ) +
= x + (x + x2+ x3+ )(a1x + a2x2+ )
= x + ( 1
1 − x− 1).f (x) = x +xf (x)
1 − x ⇒ f (x) = x(1 − x)
1 − 2x
Ta cần khai triển f (x) thành chuỗi: f (x) = x(1 − x)
∞
X
n=0
2nxn=
∞
X
n=0
2nxn+1−
∞
X
n=0
2nxn+2
f (x) = (x + 2x2) +
∞
X
n=2
2nxn+1− x2−
∞
X
n=2
2n−1xn+1= x + x2
∞
X
n=2
2n−1xn+1
Vậy
a1= 1, a2= 1
an = 2n−2, n ≥ 3
Bài 1: Có bao nhiêu cách bước lên cầu thang gồm n bậc Mỗi lần có thể bước lên 1 bậc hoặc 2 bậc Thay
số với n=50 (dãy Fibonacci)
Bài giải:
Để lên bậc thang thứ n, ta có 2 cách sau:
Cách 1: Từ bậc thang thứ n-1 rồi bước thêm 1 bước 1 bậc
Cách 2: Từ bậc thang thứ n-2 rồi bước thêm 1 bước 2 bậc
Vậy số cách lên đến bậc n = số cách lên bậc (n-1) + số cách lên bậc (n-2)
Gọi An là số cách bước lên bậc thang thứ n, ta có: Fn = An−1+ An−2, A1= 1, A2= 2
Là dãy Fibonacci
Fn= Fn−1+ Fn−2, n ≥ 3
F0= 0, F1= 1
Số cách lên bậc n chính là số hạng thứ (n+1) của dãy Giả sử G(x) là hàm sinh cho dãy {Fn}, ta có:
G(x) = F0+ F1x + F2x2+ F3x3+ (3)
−xG(x) = −F0x − F1x2− F2x3− (4)
Cộng từng về của ba đẳng thức (1), (2) và (3) cho nhau ta được:
(1 − x − x2)G(x) = F0+ (F1− F0)x + (F2− F1− F0)x2+ = x
1 − x − x2 =√1
5
1 − a1x− 1
1 − a2x
với a1=1 +
√ 5
2 , a2=
1 −√ 5 2
G(x) = √1
5
∞
X
n=0
an1xn−
∞
X
n=0
an2xn
!
= √1 5
∞
X
n=0
(an1− an
2) xn
=
∞
X
n=0
1
√ 5
"
1 +√ 5 2
!n
− 1 −
√ 5 2
!n#
xn