BÁO cáo bài tập lớn môn PHƯƠNG PHÁP TÍNH đề tài 5 PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Trong thời gian học tập bộ môn Phương Pháp Tính ở lớp, chúng em đã có hội tiếp xúc và làm quen với nhiều kiến thức, là cơ sở để chúng em có thể hoàn thành bài tập lớn này.. Ngoài ra chún

ĐẠI HỌC QUỐC GIA ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

NĂM HỌC 2020-2021



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐỀ TÀI: 5 PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Giảng viên hướng dẫn: Đoàn Thị Thanh Xuân

LỚP L03 - NHÓM 5 - HK 211

TPHCM, ngày 2/11/2021

1

Danh sách thành viên nhóm 5 lớp L03:

ST

T

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lý thuyết 5

3

LỜI NÓI ĐẦU

Thân chào cô và các bạn sinh viên!

Đây là báo cáo Bài tập lớp do nhóm 5 thực hiện

Dưới sự hướng dẫn của cô Đoàn Thị Thanh Xuân, nhóm chúng em đã cố gắng trình bày nổi bật các ý chính một cách rõ ràng, cụ thể nhất để bạn đọc và cô có thể dễ dàng hiểu rõ

và đánh giá

Trong thời gian học tập bộ môn Phương Pháp Tính ở lớp, chúng em đã có hội tiếp xúc và làm quen với nhiều kiến thức, là cơ sở để chúng em có thể hoàn thành bài tập lớn này Đây cũng là những kiến thức quý báu phục vụ cho quá trình học tập, làm việc sau này của chúng em Ngoài ra chúng em cảm thấy bản thân có sự tiến bộ trong việc chủ động học tập, tìm kiếm thông tin, trau dồi kĩ năng làm việc nhóm, tạo mối quan hệ gắn kết với các bạn trong nhóm lớp Để có được kết quả này là nhờ sự tận tâm trong quá trình giảng dạy, truyền đạt kiến thức ở lớp và hướng dẫn chúng em trong quá trình thực hiện bài tập lớn của cô Đoàn Thị Thanh Xuân Chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành đến Cô!

PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí thuyết phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến).

Giả sử (a,b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f (x)=0 Nội dung của phương pháp Newton là trên [a,b] thay cung cong AB của đường cong y=f (x) bằng tiếp tuyến với đường cong y=f (x) tại điểm A hoặc tại điểm B và xem hoành độ x1 của giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng ξ Ta xây dựng x2, x n

tương tự

Xây dựng phương pháp:

 Chọn x0

 Xây dựng dãy lặp x n =x n−1−f n−1(x)

f n−1 ' (x)

Định lý: Cho phương trình f (x)=0 trên khoảng

cách ly nghiệm (a,b) Phương pháp Newton hội tụ

nếuf ' ' (x) giữ nguyên dấu trên đoạn (a,b).

Ta sẽ chọn x0 là a hoặc b theo điều kiện Fourier

 Nếu f (a)f ' '(a)>0,chọnx0=a

 Nếu f (b)f ' '(b)>0,chọnx0=b

 Lấy một điểm x bất kỳ thuộc [a,b], nếu f ' (x)f ' ' (x)<0, chọn x0=a

 Lấy một điểm x bất kỳ thuộc [a,b], nếu f ' (x)f ' ' (x)>0, chọn x0=b

Công thức đánh giá sai số

Giả sử (a,b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f (x)=0 Trên [a,b] luôn có

¿f ' (x)∨≥ m thì công thức đánh giá sai số của phương pháp Newton là:

Với m=|min{f '(x)} |

x∈[a ,b]

5

|x n −ξ|≤ f (x n)

m

2 Tìm hiểu bài toán

Cho phương trình sin(x)=0 Xét trong khoảng [-1.5,1.5] Dùng công thức của phương pháp Newton áp dụng cho 3 trường hợp

1) X0 = 1.0

2) X0 = 1.2

3) X0 =1.3

f(x)= sinx f’(x)=cosx

φ(x)=x− sin x cos x

= x – tanx với cosx ≠ 0  x ≠ π2+kπ

 x0 = 1.0

x1 = x0 – tanx0 = 1 – tan1= –0.5574077247 => A

x2 = x1 – tanx1 = A – tanA=0.06593645192 => B

x3 = x2 – tanx2 = B- tanB => C

x4 = x3 – tanx3 = C- tanC => D

x5 = x4 – tanx4 =D – tanD= 0

Giải toán bằng phương pháp hình học

trên phần mềm Geogebra.

 x0 = 1.2

x1 = x0 – tanx0 = 1.2 – tan1.2=> A

x2 = x1 – tanx1 = A – tanA=> B

x3 = x2 – tanx2 = B- tanB => C

x4 = x3 – tanx3 = C- tanC => D

x5 = x4 – tanx4 =D – tanD= π ( loại)

 x0 = 1.3

x1 = x0 – tanx0 = 1.2 – tan1.2=> A

x2 = x1 – tanx1 = A – tanA=> B

x3 = x2 – tanx2 = B- tanB => C

x4 = x3 – tanx3 = C- tanC => D

x5 = x4 – tanx4 =D – tanD=−π( loại)

Nhận xét: Vậy chỉ có trường hợp 1 X0 = 1 thỏa khoảng đề bài yêu cầu

Như vậy ra có thể dùng excel để tìm ra sơ lược vùng nghiệm của X0 để cho ra nghiệm thỏa trong khoảng [a;b] ( lấy 2 số sau dấu phẩy )

Links excel tại đây

Vậy nếu xét 2 số sau dấu phẩy thì ta sẽ có được X0 trong khoảng [-1.16;1.16] là sẽ ra nghiệm x5 thoải yêu cầu trogn khoảng [a;b] Nếu muốn nghiệm chi tiết hơn ta có thể lấy 3 4 hay 5 số sau dấu phẩy

3) Sử dụng công cụ hỗ trợ Matlab

3.1 Phương hướng giải:

Sử dụng phần mềm Matlab

Lập phương trình thuật toán tìm nghiệm của phương trình trong khoảng đề yêu cầu Theo các bước sau:

Bước 1: Nhập hàm f cho trước

Bước 2: Nhập và gán các giá trị input a, b, x0

Bước 3: Nhập thuật toán tạo vòng lặp theo phương pháp Newton

Bước 4: Xuất ra màn hình nếu nghiệm thuộc khoảng đề cho Nếu không thì kết thúc chương trình

3.2 Đoạn code để giải quyết bài toán trên:

% giải nghiệm dùng phương pháp newton

% với sự cho trước của x1 , hàm số và khoảng giá trị

syms s;

7

f = input(' mời nhập hàm f: ');

a = input(' mời nhập biên trái a: ');

b = input(' mời nhập biên phải b: ');

x(1)= input(' mời nhập giá trị x1: ' );

g=diff(f,s,1);

for i=2:6

x(i)=x(i-1)-subs(f,s,x(i-1))/subs(g,s,x(i-1));

end

if x(6)>a & x(6)<b

disp(' giá trị của x5 là: ');

fprintf('%0.8f',x(6));

disp('là nghiệm trong khoảng [a;b]’;

else

disp(' giá trị của x5 là : ');

fprintf('%0.8f',x(6));

disp(' ko la nghiệm trong khoảng [a;b]');

end

return;

3.3 Giải thích ý nghĩa câu lệnh:

- input: dùng để nhập vào các giá trị

- syms: dùng để khởi tạo biến

- for: dùng để thực hiện 1 công việc cần lặp đi lặp lại theo một quy luật, với số bước lặp xác định trước

- if… else: thực hiện lệnh khi thỏa điều kiện

- disp: dùng để trình bày nội dung của biến (x) ra màn hình

- fprintf: thực hiện để ghi định dạng vào màn hình hoặc file

3.4 Kết quả khi khởi chạy đoạn mã trên phần mềm Matlab:

KẾT LUẬN

Như vậy, chúng ta đã tìm hiểu về đề tài số 5 (phương pháp Newton) Nhóm em đã tiếp cận bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau Chúng em thấy rằng phương pháp Newton hội tụ nghiệm nhanh hơn các phương pháp khác như phương pháp chia đôi, lặp, … nếu điểm đoán ban đầu gần nghiệm Nhưng nó cũng có nhược điểm là có thể không hội tụ được, cần phải tính đạo hàm và điểm ban đầu X0 .Và ở đây nhóm em nhận thấy với công cụ Matlab việc giải quyết, khảo sát bài toán trở nên dễ dàng, sinh động và trực quan hơn

9

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Giáo trình phương pháp tính