Ứng dụng phần mềm maple cho bài toán tích phân đại số ma trận

Bài toán giải phương và hệphương trình bằng cách sử dụng các bất đẳng thức đã đáp ứng được yêu cầu đó, đãđược người ra đề lựa chọn và áp dụng vào đề thi trong nhiều năm qua.. Khi giải ph

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

——————————–

NGUYỄN VĂN HÙNG

GIẢI PHƯỜNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC

Đà Nẵng - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG

——————————–

NGUYỄN VĂN HÙNG

GIẢI PHƯỜNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp

Mã số:8.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HOC

Người hướng dẫn khoa học

TS Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng - 2019

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 bất đẳng thức cauchy và ứng dụng 4

1.1 Bất đẳng thức Cauchy 4

1.2 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng phương pháp quy nạp 4

1.3 Chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức hàm lỏm 5

1.4 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng phương pháp polya 6

1.5 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 7

1.6 Sử Dụng Bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình đa thức và phương trình chứa ẩn trong dấu căn 15

1.7 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình lượng giác và phương trình logarit 21

1.8 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải hệ phương trình 32

1.9 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong đề thi trắc nghiệm 39

CHƯƠNG 2 bất đẳng thức Bunyakovsky và ứng dụng 47

2.1 Bất đẳng thức Bunyakovsky 47

2.2 Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky 47

2.3 Ứng dụng bất đẳng thức Bunyakovsky giải một số bài toán về bất đẳng thức 49 2.4 Ứng dụng bất đẳng thức Bunyakovsky giải phương trình 54

2.5 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải phương trình lượng giác 59

2.6 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải phương trình logarit 63

2.7 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải hệ phương trình 65

2.8 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải bài toán trắc nghiệm 68

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Kỳ thi THPT là một trong những kỳ thi quan trọng hàng đầu đối với hệ thốngGDTĐ nước ta Nó luôn được cả nước đặc biệt quan tâm, bởi kỳ thi này là cột mốccuối cùng đánh giá 12 năm học tập, cũng là cột mốc mới để bước chân vào ngưỡng cửacác trường chuyên nghiệp của các em học sinh THPT Với tầm quan trọng như vậy,việc ra đề thi nói chung và môn toán nói riêng là không hề đơn giản đối với ngành giáodục Bởi vì môn toán có lượng kiến thức xuyên suốt 12 năm học tập của học sinh, làmôn học phát triển tư duy cho các em, là nền tảng cho nhiều môn học khác nên nókhông thể thiếu trong các kỳ thi THPT Do vậy, việc sử dụng các bài toán trong đềthi phải được lựa chọn ở nhiều cấp độ khác nhau từ đơn giản đến phức tạp, trong đóbài toán sử dụng kiến thức tổng hợp được coi trọng và được xem là bài toán khó, dùng

để phân loại học sinh khá, giỏi Để giải được những loại toán này, học sinh cần phải

có sự phân tích, đánh giá, phải có nhãn quan toán học nhằm chọn lọc kiến thức phùhợp để giải quyết chúng Bên cạnh đó, bài toán “Giải phương trình và hệ phương trìnhbằng phương pháp bất đẳng thức” cũng không ngoại lệ

Trong những năm gần đây, Bộ giáo dục và Đào tạo đã thực hiện chủ trương ghép

kỳ thi THPT và kỳ thi tuyển sinh vào các trường chuyên nghiệp lại thành một kỳthi, trong đó đề thi môn toán được ra theo hình thức trắc nghiệm Đề thi trắc nghiệmphải đảm bảo tính khoa học, tính logic và phân loại được học sinh Để đáp ứng yêucầu đó cần có những bài toán khó hơn bình thường, nhưng đòi hỏi phương pháp giảiphải ngắn gọn để đảm bảo thời gian làm bài của học sinh Bài toán giải phương và hệphương trình bằng cách sử dụng các bất đẳng thức đã đáp ứng được yêu cầu đó, đãđược người ra đề lựa chọn và áp dụng vào đề thi trong nhiều năm qua

Khi giải phương trình và hệ phương trình thông thường ta sẽ biến đổi tương đươnghoặc biến đổi về phương trình hệ quả nhằm đưa chúng về các dạng cơ bản, quen biết.Tuy nhiên, với cách này không thể áp dụng đối với một số dạng toán về giải phươngtrình, hệ phương trình chứa các bất đẳng thức Do đó, để giải được bài toán này, họcsinh phải nhận biết được các bất đẳng thức có trong phương trình, hệ phương trìnhrồi làm theo các bước sau:

Bước 1: Chứng minh các bất đẳng thức có trong phương trình, hệ phương trình đểtìm điều kiện xảy ra dấu bằng

Bước 2: Sử dụng nguyên lý kẹp

Bước 3: Với điều kiện vừa tìm được ở Bước 1, ta suy ra nghiệm cần tìm

Để nhận biết bất đẳng thức được dùng trong phương trình, hệ phương trình đòi hỏihọc sinh phải có kiến thức sâu sắc về bất đẳng thức và có tư duy sắc bén khi vận dụng

nó vào dạng toán này Như vậy, việc sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình và

hệ phương trình là dạng toán dùng để phân loại được học sinh khá, giỏi và có lời giảingắn gọn đáp ứng được yêu cầu trong đề thi trắc nghiệm hiện hành

2 Mục đích nghiên cứu

Với mong muốn cung cấp cho học sinh, đồng nghiệp có cái nhìn tổng quát hơn vềviệc giải một số phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng các bấtđẳng thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Hàm số dạng hửu tỉ, hàm số chứa căn, hàm số chứa giá trị tuyệt đối, hàm số hàmhợp, một số bài toán đưa về hàm số, một số bài toán vận dụng khảo sát hàm số

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về khảo sát hàm số và những bài toán liên quan Nhờ đó, vận dụng vàogiải một số dạng toán bằng cách dùng phương pháp hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

• Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến việc giải phương trình, hệ phương trìnhtrong các sách tham khảo, trên mạng internet

• Sử dụng những kiến thức đã được học tại Khoa toán Trường ĐHSP Đà Nẵng,chọn lọc và sắp xếp những kiến thức phù hợp đưa vào luận văn

• Thảo luận, trao đổi với giáo viên hướng dẫn, trao đổi với bạn bè đồng nghiệptrong quá trình viết luận văn

• Phân tích, phát triển và đưa ra các dạng toán cũng như phương pháp giải phươngtrình và hệ phương trình bằng cách dùng bất đẳng thức

6 Tổng quan và cấu trúc luận văn

Đề tài nhằm mang lại cách nhìn tổng quan hơn về cách giải phương trình và hệphương trình bằng việc sử dụng các bất đẳng thức Nó giúp các em học sinh THPT cóthêm nhãn quan khi giải những bài toán trắc nghiệm về phương trình và hệ phươngtrình bằng phương pháp này Nó là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và họcsinh trong việc nâng cao chất lượng dạy và học tại Trường THPT

Nội dung luận văn được trình bày gồm hai chương Ngoài ra luận văn còn có phần

mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo

• Chương 1: Trình bày một số cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy và các bàitoán áp dụng bất đẳng thức Cauchy để giải Tiếp theo là sử dụng bất đẳng thứcCauchy để giải các bài toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình và một

số bài toán thi trắc nghiệm

• Chương 2: Trình bày một số cách chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky vàcác bài toán áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky để giải Có những bài toán

là sụ kết hợp của hai bất đẳng thức trên Tiếp theo là sử dụng bất đẳng thứcBunyakovsky để giải các bài toán liên quan đến phương trình, hệ phương trình

và một số bài toán thi trắc nghiệm

CHƯƠNG 1 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số phép chứng minh chi tiết bấtđẳng thức Cauchy Sau đó, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức này để chứng minh một

số bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình và giải đề thi trắc nghiệm

a1a2 ak+1

Định nghĩa 1.3.2 Hàm số y = f (x) được gọi là hàm lỏm trên [a, b] ∈ R nếu y =

−f (x) là hàm lồi trên [a, b]

Thật vậy, ta chứng minh (1.3) bằng phương pháp quy nạp

• Với m = 1 (1.3) hiển nhiên đúng

2h

i

Như vậy, (1.3) được chứng minh.

Tiếp theo, để hoàn thành chứng minh bổ đề, ta chỉ cần chứng minh rằng (1.2) cũngđúng với k = n − 1

Như vậy, (1.2) được chứng minh

1.3.2 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng phương pháp hàm lỏm

Ta xét hàm số y = log x với x > 0 Rõ ràng rằng hàm số liên tục, tăng và lỏm trên(0, +∞) Do đó, áp dụng bất đẳng thức hàm lỏm ta thu ta được

x1+ x2+ · · · + xk ≥ k√k

x1x2 xk.Thật vậy, ta chọn

Thay vào (1.1) ta được

x1+ x2+ · · · + xk

k

k

≥ x1x2 xk.Điều này chứng tỏ rằng (1.1) được chứng minh

Như vậy, bài toán (1.4) được chứng minh.

Bài toán 1.5.2 Cho x, y, z, t là các số dương thỏa mãn điều kiện

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = t = 1 Hơn nữa, do xyzt = 1 nên ta có

xyz3xyz(xzt + zt + t + 1)

3(xyz + yz + z + 1)1

3(xyz + yz + z + 1)1

Dấu “=” xẩy ra khi a = b = c.

Bài toán 1.5.5 Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 2

Bài toán 1.5.6 Chứng minh rằng với mọi x ≥ 1, ta có

5

√

Chứng minh Với mọi x ≥ 1, ta có

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1

Bài toán 1.5.7 Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có

Do x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Tiếp tục áp dụng Cauchy cho 5 số dương ta được

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = 1

2 < x <

4

23

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1.

1.6 Sử Dụng Bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình đa thức và phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Trong mục này, ta biến đổi và lựa chọn các biểu thức phù hợp để đặt ẩn phụ Ápdụng bất đẳng thức Cauchy và tìm điều kiện xẫy ra dấu “=” Sau đó, ta lựa chọnnghiệm thích hợp cho bài toán

A Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình đa thức

Ví dụ 1.6.1 Giải phương trình:

Bài giải Bởi vì √

Áp dụng Cauchy cho các bộ số dương ta được

a6b3 = 3a2b

a3+ b3 + b3 ≥ 3√3

a3b6 = 3ab2.Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta được

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 2 Bởi vì 1 < x < 2√

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ 5 số dương và 3 số dương ta được

1

√

x − 1

2

= 3Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = 2 Do đó,

2 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được1

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 2 Thay vào (1.36) được điều cần chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 2 Như vậy, x = 2 là giá trị cần tìm

1.7 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải phương trình lượng giác và phương trình logarit

A Sử dụng bất đẳng thức cauchy để giải phương trình lượng giác

Trong phần này, ngoài việc biến đổi một cách thông thường, chúng ta cần lưu ýmột số bất đẳng thức lượng giác và công thức biến đổi lượng giác Sau đó, ta kết hợpbất đẳng thức Cauchy để giải quyết một số bài toán

Ví dụ 1.7.1 Giải phương trình sau với x 6= kπ, k ∈ Z

√2(sin x + cos x)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái của phương trình ta được

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi sin2x = cos2x, tương đương với

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = π

được

Như vậy, vế trái của (1.41) thỏa mãn

Tương đương với phương trình sau

tan x + cot x + (3 − tan x − cot x)

(1.43)

≥ 3√3

r1

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c Theo cách đặt thì ta có

tan x = cot x = 3 − tan x − cot x ⇔ tan x = cot x = 1

Ví dụ 1.7.4 Giải phương trình:

√2s

sin22x

+

rsin2x

⇔

√tan x2 cot xs

√bc

√

√ac

√

√bc

√

32

⇔

√ab

√ac

√bc

√

√bc

√

2.Dấu “=” xẩy ra ở (1.48) khi và chỉ khi a = b = c = 1, nghĩa là

Rõ ràng hệ phương trình trên vô nghiệm nên (1.45) vô nghiệm.

B Sử dụng bất đẳng thức để giải một số phương trinh logarit

Bởi vì x > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy ta có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Bởi vì x > 0 nên hệ này vô nghiệm Do đó,

Như vậy, phương trình

Thật vậy,áp dụng BĐT Cauchy cho 5 số dương ở vế trái của (1.50), ta có

34Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ta thấy a > 0; b > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy được

Kết hợp (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) ta suy ra x = 2 là nghiệm của (1.53)

1.8 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải hệ phương trình

Ví dụ 1.8.1 Giải Hệ phương trình sau

x > 0, y > 1

2, z >

23

x > 0, y > 1

2, z >

23

Khi đó, vì x > 0, y > −1, z > 1 nên a > 0, b > 0, c > 0 Do đó, ta thu được hệ mớitheo a, b, c như sau.

2

+ (c + 1)

1.9 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong đề thi trắc nghiệm

Bài toán 1.9.1 Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn

Giá trị của a + 2b =?

52Trích đề thi THPT 2018, Câu 44 Mã đề 101Bài giải Do a > 0, b > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy ta có

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 3a = b (1) Suy ra

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương

ta được

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

⇔ 3a + 2b + 1 = 6ab + 1 ⇔3a + 2b = 6ab (2)

Như vậy,

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi (1)và (2) đồng thời xảy ra, nghĩa là

Giá trị của a + 2b =?

112

Trích đề thi THPT 2018, Câu 37 Mã đề 102Bài giải Do a > 0, b > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy ta có

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 5a = b (1) Suy ra

ta được

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

⇔ 10a + 3b + 1 = 10ab + 1 ⇔10a + 3b = 10ab (2)

Như vậy,

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra, nghĩa là

Bài toán 1.9.3 Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn

Giá trị của a + 2b =?

203Trích đề thi THPT 2018, Câu 37 Mã đề 103Bài giải Do a > 0, b > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy ta có

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 4a = b (1) Suy ra

⇔ log4a+5b+1(16a2+ b2+ 1) + log8ab+1(4a + 5b + 1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương

ta được

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

⇔ 4a + 5b + 1 = 8ab + 1 ⇔4a + 5b = 8ab (2)Như vậy,

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi (1)và (2) đồng thời xảy ra Do đó,

Bài toán 1.9.4 Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn

Giá trị của a + 2b =?

32Trích đề thi THPT 2018, Câu 50 Mã đề 104Bài giải Do a > 0, b > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy ta có

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 2a = b (1) Suy ra

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương

ta được

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

⇔ 2a + 2b + 1 = 4ab + 1 ⇔2a + 2b = 4ab (2)

Như vậy,

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi (1)và (2) đồng thời xảy ra Do đó,

Bài toán 1.9.5 Cho a > 0, b > c > 0 thỏa mãn

Giá trị của a + 3b − c =?

34Bài giải Ta có

Suy ra

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a = b − c (1) Suy ra

Mặt khác, ta có

Như vậy,

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

Hay a + b + c + 5 = 2ab + 5 = 4bc + 1 (3) Như vậy, a, b, c thõa mãn điều kiện bài toánthì thỏa mãn đồng thời (1), (2), (3), nghĩa là

Từ đây suy ra a + 3b − c = 6 Do đó, ta chọn phương án C.6

Bài toán 1.9.6 Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn

log2a2 +1(a2+ 4b2) + log2a2 +1(2√

ab)loga2 +1(a2 + 4b2) loga2 +1(2√

4.Giá trị của 2a + b =?

54Bài giải Bởi vì a > 0, b > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy ta có

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

(x = 2y

2Kết hợp với (1) ta thu được

√

1 + ab − a − b = 2

3y3

2

√2x + 9

√3y3

3y3

CHƯƠNG 2 BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY VÀ ỨNG

2.2.1 Chứng minh bất đẳng thưc Bunyakovsky bằng phương pháp quy nạp

Chứng minh • Với n = 1 bất đẳng thức hiển nhiên đúng

• Giả sử (2.1) đúng với n = k, nghĩa là

akbk+1 = bkak+1

Chứng minh Giả sử ~a = (a1, a2, , an); ~b = (b1, b2, , bn) Khi đó,

|~a~b| = ||~a||~b|| cos ϕ|

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi cos2ϕ = 1⇔ ϕ = 0o hoặc ϕ = 180o Nói cách khác, dấu

“=” xẩy ra khi và chỉ khi hai véctơ ~a,~b cùng phương, nghĩa là:

ta thu được điều phải chứng minh

có bất đẳng thức quen thuộc sau

Như vậy, (2.5) được chứng minh

Nhận xét 2.3.4 Trong chương trình phổ thông ta cụ thể hóa n, p, q để nhận lại đượcmột số bất đẳng thức quen thuộc, chẳng hạn

m4+ n4(m4+ n4)a21+ 1

a2 1

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

≥

r1

a2

a2 2

≥

r1

r

a2

a2 n

≥

r1

n.Cộng các vế của các bất đẳng thức trên ta được

s

a2

a2 1

≥

r1

s

a21+ 1

a2 2

+

s

a22+ 1

a2 3

1) Cho m = 1, n = 3 ta được bài toán: Nếu a, b, c là các số dương, a + b + c = 1, thì

3.Tương tự như trên ta có

2.4 Ứng dụng bất đẳng thức Bunyakovsky giải phương trình

A Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Bunyakovsky để giải phương trình

Ví dụ 2.4.1 Giải các phương trình sau

√

√2

√

1 − x ≤

r3

2

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

√2x − 1

√

2 − 2x1

√2

√

5 − 4x12

√

x − 4 +

r22

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được

√3

√

2

√2x + 2

2

12