BỘ TÀI LIỆU CÔNG THỨC TOÁN ĐẦY ĐỦ NHẤT THI THPT QUỐC GIA (LƯỢNG GIÁC, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN, MŨ, LOGARIT, HÌNH HỌC v.v.)

BỘ TÀI LIỆU CÔNG THỨC TOÁN ĐẦY ĐỦ NHẤT THI THPT QUỐC GIA (LƯỢNG GIÁC, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN, MŨ, LOGARIT, HÌNH HỌC v.v.) Bảng công thức lượng giác đầy đủ, chính xác dưới đây dùng cho lớp 10 11 12 tổng hợp các công thức lượng giác được học trong chương trình trung học phổ thông, bao gồm các kiến thức về giá trị lượng giác của các cung đặc biệt, giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, các công thức nghiệm cơ bản và các công thức lượng giác. Bảng đầy đủ các công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác, công thức tích phân, đạo hàm, nguyên hàm, mũ, logarit giúp các bạn học sinh chuẩn bị kiến thức ôn tập thật tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng hoặc các kỳ thi giữa học kỳ, cuối học kỳ. Công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình lập phương được VnDoc tổng hợp chi tiết cho các em học sinh tham khảo, củng cố kỹ năng giải Toán. Hệ thống kiến thức hình Oxyz là tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán hay, giúp các bạn nắm vững kiến thức về hình học trong không gian, từ đó ôn thi đại học môn Toán, luyện thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả.

BỘ TÀI LIỆU CÔNG THỨC TOÁN ĐẦY ĐỦ NHẤT THI THPT QUỐC GIA (LƯỢNG GIÁC, ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN, MŨ, LOGARIT, HÌNH HỌC v.v.) Bảng công thức lượng giác đầy đủ, chính xác dưới đây dùng cho lớp 10 -

11 - 12 tổng hợp các công thức lượng giác được học trong chương trình trung học phổ thông, bao gồm các kiến thức về giá trị lượng giác của các cung đặc biệt, giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, các công thức nghiệm

cơ bản và các công thức lượng giác

Bảng đầy đủ các công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác, công thức tích phân, đạo hàm, nguyên hàm, mũ, logarit giúp các bạn học sinh chuẩn bị kiến thức ôn tập thật tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng hoặc các kỳ thi giữa học kỳ, cuối học kỳ

Công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình lập phương được VnDoc tổng hợp chi tiết cho các em học sinh tham khảo, củng cố kỹ năng giải Toán

Hệ thống kiến thức hình Oxyz là tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán hay, giúp các bạn nắm vững kiến thức về hình học trong không gian, từ đó

ôn thi đại học môn Toán, luyện thi THPT Quốc gia môn Toán hiệu quả

BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM - NGUYÊN HÀM

I Các công thức tính đạo hàm

1 ( u v )' u ' v ' 2 ( )' u v u v ' u v ' 3

'

2 ' '

Hệ Quả: 1 ku ' k u ' 2

'

2

II Đạo hàm và nguyên hàm các hàm số sơ cấp

Bảng đạo hàm

Bảng nguyên hàm

1

 '  

1

x







1

ax b

a















sin ' cosx  x sin 'u u'.cosu sinxdx  cosx c sinax b dx   1acosax b c 

cos 'x   sinx cos 'u  u'.sinu cosxdx sinx c cosax b dx  1asinax b c 

2

1

tan ' 1 tan

cos

2

' tan ' ' 1 tan

cos

cos x dx x c

1 1 tan cos ax b dxa ax b c 



2

1

sin



   

2

' cot ' ' 1 cot

sin



sin x dx  x c

1 1 cot sin ax b dx a ax b c 



1

ln

a x

' log '

.ln

a

u u

ax b a  

 1

lnx '

x

'

lnu ' u

u

a a a au ' a uu '.ln a

ln

x

a





a x dx a x c

a

'

e e  e u ' u e'. u e dx e x  xc e ax b dx 1e ax b c

a

 Bổ sung:

2 2

1arctan

C

1

2 ln

C

a

2dx 2 lnx x a C

III Vi phân: dy y dx '

VD: d ax( b) adx dx 1d ax( b)

a , d(sin )x cosxdx, d(cos )x sinxdx, (ln ) dx

x , (tan ) 2

cos

dx

x , (cot ) 2

sin

dx

x

BẢNG CÔNG THỨC MŨõ - LOGARIT

I Công thức hàm số Mũ và Logarit

1





a







 



a

a a

  



1 0 loga ; logaa 1 ; logab  logab

1





loga b logab ; logaa  log ab c logab logac

loga b logab logac c

logb c logb a

a

log log log log

log

c

c

b

a

1 log

log

a

b

b

a

0 1

1 :    

0 a 1 : a a  

1 : loga  loga   

a

0 a 1 : loga loga   

II.Một số giới hạn thường gặp.

1

x

x

 x x e

x  1 

1

lim

.

2

a x

ax

lim

3



a x

x a

lim

4

0

e x

x

a a

lim

5



Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242

6188

Công thức Logarit Toán 12

Bản quyền thuộc về VnDoc

Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1 Định nghĩa

logarit cơ số a của b Kí hiệu: logb a = 

2 Bảng công thức Logarit đầy đủ

Với ,x y  0

• log 1 0,loga = a a= 1

= −

 

 

 =

=

• loga b

a = b

•

1

m m

m m



 







=

=

•

1

x

y

y y

 

 

 

 

= −

 

 

• lna=log ,e e=2,718

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242

6188

3 Công thức đạo hàm Logarit

x = x− • ( ) 1

u = u− u

e = e • ( )u ' u '

e =e u

lnx '

x

u

=

.ln

a x

x a

.ln

a

u u

u a

=

4 Công thức Logarit Nepe

• lna=log ,e a e=2,718

lnx '

x

=

a =a u u

lnx '

x

u

=

5 Công thức mũ Logarit

n

a =a a a a

•

n n n

a a

b b

 

 

a =a = a

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242

6188

n

a

a

a = a =a

a = a

m

m n

n

a

a

a

−

m n m n

a

a a

−

n m a n k a

a n k





Tải thêm tài liệu tại: Giải toán 12

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Giá trị lượng giác của các cung (góc) đặc biệt

II Giá trị lượng giác của các cặp góc đặc biệt

III Công thức nghiệm cơ bản:

2k

2k

Chú ý:

2

2

2

α

0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o

0

6



4

 3

 2

3

4

6





sinα 0 1

2

2 2

3

2 1 3

2

2 2

1

cosα 1 3

2

2 2

1

2

2

2

 -1

tanα 0 3

3

cotα ∥ 3 1 3

3 0 3

3

Gĩc đối nhau Gĩc bù

nhau

Gĩc phụ nhau

Gĩc hơn kém

𝛑

Gĩc hơn kém

𝛑/2

sin( )     sin  sin(    ) sin   sin cos

2

  sin(    )   sin  sin cos

2

 

cos( ) cos cos(    )   cos  cos sin

2

  cos(    )   cos  cos sin

2

  

tan(   )   tan  tan(  )   tan tan cot

2

 

2

  

cot(   )   cot  cot(    )   cot  cot tan

2

  

  cot(   ) cot cot tan

2

  

tan

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

IV Công thức lượng giác

1 Công thức cơ bản:

sin  cos  1

tan cot  1





 2  12

1 tan

cos





 2  12

1 cot

sin

2 Công thức cộng:

sin(a b) sin cosa b sin cosb a

 

cos(a b) cosa.cosb sina.sin b



  tan a tan b

tan(a b)

1 tan a.tan b

3 Công thức nhân đôi:

sin2  2sin cos 





 

2 2

cos2 cos sin

2 cos 1

1 2sin





















2 2

2 tan tan 2

1 tan cot 1 cot 2

2 cot

Hệ quả: (Công thức hạ bậc hai)

2

2

2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2





























4 Công thức nhân ba:

 sin3  3sin 4sin3









3

3 2

cos3 4 cos 3cos

3tan tan tan3

1 3tan

Hệ quả: (Công thức hạ bậc ba)

4

4

5 Công thức biến đổi tổng thành

tích:

cos cos 2 cos cos

a b a b

cos cos 2sin sin

a b a b

6 Công thức biến đổi tích thành

tổng:

7 Công thức bổ xung:

cos sin 2 cos

4

2 sin 4

sin cos 2 sin

4

2 cos 4

2

2 tan cot

sin 2 cot tan 2 cot2

 sin4α + cos4 α

= 1 -

2

1

sin22 α

= 1cos43

sin6 α + cos6α

= 1 -

4

3

sin22 α

= 3cos45

8 Công thức biểu diễn

2



 2

2t sin

1 t



2 2

1 t cos

1 t



 2

2t tan

1 t

1

2 1

2 1

2

Cách học thuộc nhanh Bảng công thức lượng giác bằng thơ, "thần chú" Cách học thuộc các công thức lượng giác bằng thơ

Công thức CỘNG trong lượng giác

Cos + cos = 2 cos cos

cos trừ cos = trừ 2 sin sin

Sin + sin = 2 sin cos

sin trừ sin = 2 cos sin

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ)

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang, dễ òm

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)

Cotang dại dột

Bị cos đè cho (cot@ = cos@:sin@)

Cách 2:

Bắt được quả tang

Sin nằm trên cos

Côtang cãi lại

Cos nằm trên sin!

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan

Cosin của 2 góc đối bằng nhau; sin của 2 góc bù nhau thì bằng nhau; phụ chéo

là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia; tan của 2 góc hơn kém pi thì bằng nhau

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NHÂN BA

Nhân ba một góc bất kỳ,

sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,

dấu trừ đặt giữa 2 ta, lập phương chỗ bốn,

… thế là ok

Công thức gấp đôi:

+ Sin gấp đôi = 2 sin cos

+ Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 + 2 lần bình cos

= + 1 trừ 2 lần bình sin

+Tang gấp đôi

Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)

Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền

Cách nhớ công thức: tan(a+b)=(tan+tanb)/1-tana.tanb

tan một tổng 2 tầng cao rộng

trên thượng tầng tan + tan tan

dưới hạ tầng số 1 ngang tàng

dám trừ một tích tan tan oai hùng

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Cos cos nửa cos-+, + cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-+

Sin cos nửa sin-+ + sin-trừ

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

sin tổng lập tổng sin cô

cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng

còn tan tử + đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng 2 tan)

một trừ tan tích mẫu mang thương sầu

gặp hiệu ta chớ lo âu,

đổi trừ thành + ghi sâu vào lòng

Một phiên bản khác của câu Tan mình + với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là

tanx + tany: tình mình + lại tình ta, sinh ra 2 đứa con mình con ta

tanx - tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình

CÔNG THỨC CHIA ĐÔI (tính theo t=tg(a/2))

Sin, cos mẫu giống nhau chả khác

Ai cũng là một + bình tê (1+t2)

Sin thì tử có 2 tê (2t),

cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t2)

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Sao Đi Học (Sin = Đối / Huyền)

Cứ Khóc Hoài (Cos = Kề / Huyền)

Thôi Đừng Khóc (Tan = Đối / Kề)

Có Kẹo Đây (Cotan = Kề/ Đối)

Sin: đi học (cạnh đối - cạnh huyền)

Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền)

Tang: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề)

Cotang: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối)

Tìm sin lấy đối chia huyền

Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau

Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền

Cotang cũng dễ ăn tiền

Kề trên, đối dưới chia liền là ra

Sin bù, cos đối, hơn kém pi tang, phụ chéo

+ Sin bù: Sin(180-a)=sina

+ Cos đối: Cos(-a)=cosa

+ Hơn kém pi tang:

Tg(a+180)=tga

Cotg(a+180)=cotga

+ Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia

Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:

Hơn kém bội 2 pi sin, cos

Tang, cotang hơn kém bội pi

Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa

Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga

* sin bình + cos bình = 1

* Sin bình = tg bình trên tg bình + 1

* cos bình = 1 trên 1 + tg bình

* Một trên cos bình = 1 + tg bình

* Một trên sin bình = 1 + cotg bình

(Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với các dấu * và @ là chúng có liên quan nhau trong CT trên)

Học công thức lượng giác “thần chú”

• Sin= đối/ huyền

Cos= kề/ huyền

Tan= đối/ kề

Cot= kề/ huyền

* Thần chú: Sin đi học, Cos không hư, tan đoàn kết, cotan kết đoàn

Hoặc: Sao đi học, cứ khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây!

• Công thức cộng:

Cos(x y)= cosxcosy sinxsiny

Sin(x y)= sinxcosy cosxsiny

* Thần chú: Cos thì cos cos sin sin

Sin thì sin cos cos sin rõ ràng

Cos thì đổi dấu hỡi nàng

Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!

Tan(x+y)=

* Thần chú: Tan một tổng hai tầng cao rộng

Trên thượng tầng tan cộng cùng tan

Hạ tầng số 1 ngang tàng

Dám trừ đi cả tan tan oai hùng

Hoặc: Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia một trừ với tích tang, dễ òm

• Công thức biến đổi tổng thành tích:

Ví dụ: cosx+cosy= 2cos cos

(Tương tự những công thức như vậy)

* Thần chú: cos cộng cos bằng 2 cos cos

Cos trừ cos bằng – 2 sin sin

Sin cộng sin bằng 2 sin sin

Sin trừ sin bằng 2 cos sin

* Tan ta cộng với tan mình bằng sin hai đứa trên cos mình cos ta

Công thức biến đổi tích thành tổng:

Ví dụ: cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)] (Tương tự những công thức như vậy)

* Thần chú: Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng

Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

• Công thức nhân đôi:

Ví dụ: sin2x= 2sinxcosx (Tương tự những công thức như vậy)

Thần chú: Sin gấp đôi = 2 sin cos

Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin

= trừ 1 cộng hai bình cos

= cộng 1 trừ hai bình sin

Chỉ việc nhớ công thức nhân đôi của cos bằng thần chú trên rồi từ đó có thể suy

ra công thức hạ bậc

Tang gấp đôi=Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)

Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền

• Hàm số lượng giác và các cung có liên quan đặc biệt:

Ví dụ: Cos(-x)= cosx

Tan( + x)= tan x

* Thần chú: Sin bù, Cos đối, Tang Pi,

Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia

Hoặc: Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém pi tang

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần

Cũng giống như diện tích hình chữ nhật, cách tính diện tích hình lập phương cũng bao gồm diện tích xung quanh và diện tích toàn phần Sau đây là công thức tính diện tích hình lập phương chi tiết.

Công thức tính diện tích hình lập phương

- Diện tích xung quanh hình lập phương tính theo công thức:

Sxq = 4 x a2

- Diện tích toàn phần hình lập phương được tính theo công thức:

Stp = 6 x a2

Với: Sxq là kí hiệu của diện tích xung quanh hình lập phương

Stp là kí hiệu của diện tích toàn phần hình lập phương

a là cạnh của hình lập phương

- Phát biểu bằng lời:

+ Diện tích xung quanh hình lập phương bằng bình phương độ dài một cạnh nhân với 4

+ Diện tích toàn phần hình lập phương bằng bình phương độ dài một cạnh nhân với 6

- Đơn vị diện tích: m2(mét vuông)

Bài Tập Vận Dụng

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Bài tập 1 Tính diện tích hình lập phương bao gồm diện tích xung quanh và

diện tích toàn phần hình lập phương, biết độ dài cạnh lần lượt như sau:

a) a = 9 m

b) a = 5m8dm

c) a = 4/7 cm

d) a = 3, 6 dm

Bài tập 2 Hình lập phương nhỏ có cạnh bằng 6 cm, hình lập phương lớn có cạnh dài gấp 3 lần cạnh hình lập phương nhỏ Tính:

a) Diện tích xung quanh của hai hình lập phương, từ đó cho biết diện tích xung quanh của hình lập phương lớn gấp mấy lần diện tích xung quanh của hình lập phương nhỏ?

b) Diện tích toàn phần của hai hình lập phương, từ đó cho biết diện tích toàn phần của lập phương nhỏ bằng bao nhiêu lần diện tích toàn phần của hình lớn?

a) Tính diện tích xung quanh của hình lập phương đó

b) Tính cạnh của hình lập phương đó

Gợi Ý Giải Bài Tập

Bài tập 1 Các em chỉ cần áp dụng công thức tính Sxq và Stp của hình lập phương như đã nêu ở trên, thay số vào công thức và tính toán cẩn thận là được

- Đối với câu c): Vì đơn vị độ dài chưa thống nhất nên các em cần đưa chúng

về cùng một đơn vị đo rồi mới tính toán

Bài tập 2 Các em tự làm bài tập này

Bài tập 3 Cách làm bài tập như sau:

a) - Tính diện tích một mặt của hình lập phương bằng cách lấy diện tích toàn phần chia cho 6

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

b) - Tính diện tích xung quanh của hình lập phương bằng cách nhân diện tích một mặt với 4

c) Diện tích một mặt của hình lập phương = bình phương cạnh => áp dụng công thức này ta tính được độ dài cạnh hình lập phương

Tham khảo bài tập Toán lớp 5:

https://vndoc.com/toan-lop-5

https://vndoc.com/giai-bai-tap-lop-5

HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÌNH Oxyz

Download mi ễn phí tại Website: www.huynhvanluong.com

0918.859.305 – 01234.444.305 – 0933.444.305-0929.105.305 -0963.105.305-0666.513.305-0996.113.305

-

1 Tọa độ điểm và véctơ :

• H ệ toạ độ trong khơng gian gồm ba trục Ox Oy Oz , , đơi một vuơng gĩc, các véc tơ đơn vị tương ứng trên ba trục lần lượt là: i = ( 1 ; 0 ; 0 ),

) 0

; 1

; 0 (

=

j

, k = ( 0 ; 0 ; 1 )

• u x y z( ; ; )⇔ u x i y j z k = + +

• u = (x; y; z) ⇒ u = x2+ y2+ z2

• AB =(xB− x yA; B− y zA; B− zA)



• Nếu I là trung điểm của AB thì I ; ;

• ABCD là hình bình hành ⇔ AB=DC




2 Tích các hai vectơ và ứng dụng:

a) Tích vơ hướng: Cho u x y z
( 1 ; ; 1 1)& v x y z
( 2 ; ; 2 2)

Ta cĩ:

u v u v u v

1 2 1 2 1 2

u v x x y y z z

• u⊥v⇔u.v= 0 ⇔x1.x2+ y1.y2+z1.z2 = 0

b) Tích hữu hướng: cho hai vectơ u x y z
( 1 ; ; 1 1)

và v x y z
( 2 ; ; 2 2)

Ta cĩ:

• u v
,
 = u v
sin ,
( )u v

2 2 2 2 2 2 , y z z x x y ; ;

u v

y z z x x y

• u v
&

1 1 1

x = y = z

• Di ện tích tam giác: 1 ,

2

ABC




• Di ện tích hình bình hành: S ABCD =  AB AD,  




c) Tích hỗn hợp (hỗn tạp):

• u v
, ,w


đồng phẳng ⇔ u v w ,  =0



• A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện ⇔ AB, AC, AD





khơng đồng phẳng

• Th ể tích khối hộp: V ABCD A B C D ' ' ' '=  AB AD AA,   '





• Th ể tích tứ diện: 1 , .

6

ABCD

V =  AB AC AD 


   

-

www.huynhvanluong.com: L ớp học thân thiện–Uy tín–Chất lượng–Nghĩa tình của học sinh Tây Ninh