Microsoft word n v HIEP TUYEN CHON DE THI THU VAO 10 MON TOAN HA NOI 2020 CO DAP AN

Xét tứ giác AOHN có AHOANO900, mà hai đỉnh N và H là hai đỉnh kề nhau nên tứ giác AOHN nội tiếp đường tròn đường kính AO 3 Tia MH cắt đường tròn O tại điểm thứ hai D.. Chứng minh rằn

Trang 1

 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển chọn đề thi thử vào 10 môn Toán trên địa bàn Hà Nội năm 2022 có đáp án 

Bài 1 (2 điểm) Cho hai biểu thức 2

2

xA

B

xx

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m, đường chéo của mảnh đất dài 10m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

2) Nón là một sản phẩm gắn liền với người nông dân Việt Nam Nón lá người dân hay dùng thường có đường kính 40cm, chiều cao khoảng từ 17,5 cm đến 18,3 cm Để nón bền, người ta thường phủ lên mặt ngoài của nón một lớp sơn Tính diện tích bề mặt nón được sơn của một chiếc nón có chiều cao 18 cm (lấy  3,14, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Bài 3 (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

14

1

yx

Bài 4 (3 điểm) Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định Trên tia đối của tia BC lấy điểm A Kẻ

các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm; N thuộc cung nhỏ BC) Gọi H là trung điểm của dây BC

1) Chứng minh 4 điểm A, M, O, H cùng thuộc một đường tròn

Trang 2

NĂM HỌC 2022 - 2023

Bài 1 (2 điểm) Cho hai biểu thức 2

2

xA

B

xx

2

Px



 , với x0;x 4

22

Px

Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 đạt được khi x0

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m, đường chéo của mảnh đất dài 10m Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất

Hướng dẫn giải Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất lần lượt là x (m) và y (m) (ĐK: 0  y x 14)

Do chu vi mảnh đất bằng 28m nên ta có phương trình 2x y 28  x y 14 (1)

Do độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng 10 (m) nên theo định lí Pitago ta có x2y2 102

Trang 3

Chiều dài của hình chữ nhật đó là 8m, chiều rộng của hình chữ nhật đó là 6m

2) Nón là một sản phẩm gắn liền với người nông dân Việt Nam Nón lá người dân hay dùng thường có đường kính 40cm, chiều cao khoảng từ 17,5 cm đến 18,3 cm Để nón bền, người ta thường phủ lên mặt ngoài của nón một lớp sơn Tính diện tích bề mặt nón được sơn của một chiếc nón có chiều cao 18 cm (lấy  3,14, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn giải

Diện tích bề mặt được sơn của một chiếc nón đó là Sxq rl (1)

1

yx

ax

ab

 



 

Trang 4

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng :d y mx m   và parabol (P): 1 y x 2 c) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m7

d) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x sao cho 1, 2

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: x27x 6 x27x  (1) 6 0

Bài 4 (3 điểm) Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định Trên tia đối của tia BC lấy điểm A Kẻ

các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm; N thuộc cung nhỏ BC) Gọi H là trung điểm của dây BC

1) Chứng minh 4 điểm A, M, O, H cùng thuộc một đường tròn

2) MN cắt OA tại I Chứng minh rằng AI AO  AM2

3) Tia MH cắt (O) tại điểm thứ hai D Giả sử ba điểm A, B, C cố định Chứng minh ND song song với AC và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Trang 5

1) Chứng minh tứ giác AMON và tứ giác AOHN nội tiếp

Xét tứ giác AMON ta có  AMO ANO 900900 1800 nên tứ giác AMON nội tiếp (đường tròn đường kính AO)

Xét tứ giác AOHN có AHOANO900, mà hai đỉnh N và H là hai đỉnh kề nhau nên tứ giác AOHN nội tiếp (đường tròn đường kính AO)

3) Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D Chứng minh ND song song với AC Xét đường tròn (O) ta có MDN ANM (cùng bằng một nửa số đo cung MN) (1) Xét đường tròn đường kính AO ta có ANM AHM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MDNAHM , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AC song song với ND

4) Giả sử ba điểm A, B, C cố định, đường tròn (O) đi động nhưng luôn đi qua hai điểm B,

C Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Gọi P là giao điểm của MN và AC

Xét tam giác AOH và tam giác API có A chung, AHOAIP900 nên hai tam giác đó

Lại có AI AO AM2(2) (theo câu 2)

một nửa số đo cung MB) nên hai tam giác đó đồng dạng với nhau, suy ra

AC, AH không đổi suy ra AP không đổi mà P nằm trên AC nên P cố định

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm P cố định

Nhận xét: Bài hình này tương tự đề của KSCL của THCS Thanh Xuân Trung – T2.2022

Bài 5 (0,5 điểm) Cho hai số thực ,x y thỏa mãn x1 và x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 4

1

xyA

xy

Trang 6

Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức 2 1 2 5

xB

c) Biết P AB  Tìm các giá trị nguyên của x để P  P

Bài 2 (2,0 điểm) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy mỗi

giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm mỗi giờ

Trang 7

10km thì đến nơi chậm hơn dự định 5 giờ Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB

yx

2) Cho đường thẳng d y: m1x (m là tham số) 2

a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 b) Gọi giao điểm của đường thẳng d với trục tung, trục hoành lần lượt là A và B Tìm m

để tam giác AOB có diện tích bằng 2

1) Một người đứng cách một cái cây 5m quan sát thấy ngọn cây Biết

chiều cao người đó là 1,7m và hướng nhìn tạo với phương ngang

một góc 500, tính chiều cao của cây (làm tròn đến chữ số thập

phân thứ hai)

2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C thuộc nửa đường

tròn sao cho AC > BC (C khác B) Tiếp tuyến tại B của đường

tròn (O) cắt tia AC tại D

Bài 5 (0,5 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z   Chứng minh rằng 3

32

Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức 2 1 2 5

xB

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x16

Trang 8

x



 , với x0;x , 4 x 9c) Biết P AB  Tìm các giá trị nguyên của x để P  P

Kết hợp các điều kiện (với x0;x , 4 x ), x 9  ta được P   P x 1; 2;3

Bài 2 (2,0 điểm) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy mỗi

giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, còn nếu xe chạy chậm mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm hơn dự định 5 giờ Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB

Hướng dẫn giải Gọi vận tốc của xe lúc đầu và thời gian dự định xe chạy từ A đến B lần lượt là x km h và  / 

xy





Vậy vận tốc dự định của xe đi từ A đến B là 40 (km/h), thời gian xe đi tương ứng là 15 (h)

và quãng đường AB dài 15.40 = 600 (km)

Trang 9

yx

ax

3 1

xy





  

2) Cho đường thẳng d y: m1x (m là tham số) 2

a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 b) Gọi giao điểm của đường thẳng d với trục tung, trục hoành lần lượt là A và B Tìm m

để tam giác AOB có diện tích bằng 2

Hướng dẫn giải a) Thay x vào 0 d y: m1x ta được 2 y  Vậy đường thẳng d luôn cắt 2trục tung tại điểm có tung độ bằng -2





  

Trang 10

 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển chọn đề thi thử vào 10 môn Toán trên địa bàn Hà Nội năm 2022 có đáp án  Bài 4 (3,5 điểm)

1) Một người đứng cách một cái cây 5m quan sát thấy ngọn cây

Biết chiều cao người đó là 1,7m và hướng nhìn tạo với

phương ngang một góc 500, tính chiều cao của cây (làm tròn

đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn giải Chiều cao của cây là h1,7 5.tan 50 0  7.66 (m)

2) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC >

BC (C khác B) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia AC tại D

a) Chứng minh DB2DC DA

Ta có tam giác ABD vuông tại B do DB là tiếp tuyến của (O) tại B

Lại có ACB900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CB vuông góc với AC hay

BC vuông góc với AD

Do đó tam giác ABD vuông tại B có đường cao là BC nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có DB2DC DA (đpcm)

b) Gọi M là điểm chính giữa cung AC, E là giao điểm của dây cung AC và BM Chứng minh tam giác DEB cân

2DBE DBM  sđMB (t/c góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Trang 11

Từ (1), (2) và (3) suy ra DBE DEB  nên tam giác DEB cân tại D (đpcm)

c) Kẻ tia phân giác của góc ADB cắt dây cung MB tại I Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CID Chứng minh IJ luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên nửa đường tròn

Theo câu a ta có BC vuông góc với AD tại C nên BCD900 (3)

Lại có tam giác BCD cân tại D (câu b) mà DI là phân giác của góc ADB (gt) nên DI vuông góc với BE tại I, suy ra I là trung điểm của EB và DIB900 (4)

Từ (3) và (4) suy ra C và I cùng nhìn đoạn BD dưới một góc vuông nên bốn điểm B,

C, D, I cùng thuộc đường tròn đường kính BD

Do đó tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác CID trùng với trung điểm của BD Tam giác BDE có I là trung điểm của BE (cmt), J là trung điểm của BD (cmt) nên IJ

là đường trung bình của tam giác BED nên IJ // DE (5)

Xét tam giác ABD có O là trung điểm của AB (do AB là đường kính của (O)), J là trung điểm của BD (cmt) nên JO là đường trung bình của tam giác ABD nên JO //

Trang 12

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được x     1 y 1 z 1 2 x y z hay

Trang 13

 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển chọn đề thi thử vào 10 môn Toán trên địa bàn Hà Nội năm 2022 có đáp án  Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức 3

7

xAx

Bài 2 (1,5 điểm) Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 60 tấn hàng Lúc sắp khởi

hành có 3 xe phải điều đi làm việc khác nên không thể tham gia chở hàng Vì vậy, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn hàng Tính số xe theo dự định của đội đó, biết mỗi

xe chở số lượng hàng bằng nhau

1) Cho phương trình x2 m1x m 0 (1)

a) Giải phương trình (1) khi m  2

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x Lập phương trình bậc 1, 2hai có các nghiệm là y1  và x1 1 y2 x2 1

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x là độ dài hai cạnh góc vuông của 1, 2một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

2) Trong một tòa nhà, ngoài thang máy, người ta còn xây thêm một cầu thang bộ Từ tầng 1 đến tầng 2 có 25 bậc thang, các tầng còn lại, cứ hai tầng liên tiếp cách nhau 21 bậc thang Do thang máy bị hỏng nên Hòa đi bộ bắt đầu từ tầng 1 về căn hộ nhà mình Tổng

số bậc thang hòa đã đi là 109 bậc Hỏi căn hộ nhà Hòa ở tầng thứ bao nhiêu của tòa nhà?

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định không đi qua O Điểm A di

chuyển trên cung lớn BC (A khác B, C) Vẽ đường phân giác góc B và góc C của tam giác ABC cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại M và N Tia AI cắt (O) tại D

a) Chứng minh tam giác MAI cân

b) Gọi giao điểm của AC và MN là K Chứng minh IK song song với AB

c) Khi điểm A di chuyển trên cung lớn AB, tìm vị trí của điểm A để diện tích tứ giác BICD đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 (0,5 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a    b c 1 Chứng minh rằng

Trang 14

 Nguyễn Văn Hiệp Tuyển chọn đề thi thử vào 10 môn Toán trên địa bàn Hà Nội năm 2022 có đáp án  Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức 3

7

xAx

9A



=

7213

xx





 , với x0;x 9f) Biết Q AB  Tìm x để Q Q

xx

Kết hợp điều kiện ta được Q     Q 0 x 9

Bài 2 (1,5 điểm) Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 60 tấn hàng Lúc sắp khởi

hành có 3 xe phải điều đi làm việc khác nên không thể tham gia chở hàng Vì vậy, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn hàng Tính số xe theo dự định của đội đó, biết mỗi

xe chở số lượng hàng bằng nhau

Hướng dẫn giải Gọi số xe dự định dùng để chở hàng của đội đó là x (xe) (Đk: x;x3)

Số hàng mỗi xe phải chở theo dự định là 60

Trang 15

a) Giải phương trình (1) khi m  2

b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x x Lập phương trình bậc 1, 2hai có các nghiệm là y1  và x1 1 y2 x2 1

c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x là độ dài hai cạnh góc vuông của 1, 2một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

Hướng dẫn giải a) Thay m vào (1) ta được 2 x2   x 2 0 x1x20

trình đã cho có hai nghiệm với mọi m

mm





Do x x lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền 1, 2

Trang 16

số bậc thang hòa đã đi là 109 bậc Hỏi căn hộ nhà Hòa ở tầng thứ bao nhiêu của tòa nhà?

Hướng dẫn giải Gọi số tầng của căn hộ nhà Hòa là x (tầng), (x > 1)

Từ tầng 1 lên tầng 2 Hòa đã đi số bậc thang là 25 bậc

Số bậc thang Hòa đã đi từ tầng 2 đến tầng x là 21x (bậc) 1

Tổng số bậc thang Hòa đã đi là 21x 1 25

Theo giả thiết, tổng số bậc thang Hòa đã đi là 109 bậc nên ta có phương trình

21 x 1 25 109 21x 4 10921x105  (tmđk) x 5

Vậy căn hộ nhà Hòa ở tầng thứ 5 của tòa nhà

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC cố định không đi qua O Điểm A di

chuyển trên cung lớn BC (A khác B, C) Vẽ đường phân giác góc B và góc C của tam giác ABC cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt tại M và N Tia AI cắt (O) tại D

Trang 17

Ta có BM, CN lần lượt là các phân giác của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại I nên I

là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC suy ra AD là phân giác của góc BAC

Theo tính chất của góc nội tiếp suy ra M là điểm chính giữa cung AC, N là điểm chính giữa cung AB và D là điểm chính giữa của cung BC của đường tròn (O)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MAI MIA nên tam giác MAI cân tại M

2

2KCI  sđ AN mà BNAN nên KMI KCI suy ra tứ giác KCMI nội tiếp suy ra KIM KCM ACM ; lại có ABM ACM (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) nên KIM ABM mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK song song với AB

Do BC cố định nên D cố định suy ra diện tích tam giác BDC không đổi mà

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ I trên BC Do BC không đổi nên diện tích tam giác BIC lớn nhất khi IH lớn nhất

Chứng minh tương tự câu a ta có tam giác BID cân tại D, tam giác CDI cân tại D suy ra

ID = BD = CD hay I nằm trên đường tròn tâm D bán kính BD cố định

Do đó dễ thấy IH lớn nhất khi I là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường tròn

(D;BD), khi đó ID vuông góc với BC hay AD vuông góc với BC, khi đó A là điểm chính giữa của cung lớn BC của đường tròn (O)

Chú ý: Có thể chứng minh cách khác bằng cách kẻ thêm đường cao từ D là DK

vuông góc với BC nên A là điểm chính giữa cung lớn BC của (O)

Bài 5 (0,5 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a    b c 1 Chứng minh rằng

Trang 18

x  , dấu bằng xảy ra khi z

Trang 19

UBND QUẬN BA ĐÌNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KSCL HỌC SINH LỚP 9 Ngày 29 /04/2022

Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 1

xB

xx

Một đội sản xuất phải làm 10.000 khẩu trang trong một thời gian quy định Nhờ cải tiến

kĩ thuật và tăng giờ làm nên mỗi ngày đội sản xuất được thêm 200 khẩu trang Vì vậy, không những đội đã làm vượt mức kế hoạch 800 khẩu trang mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự định Tính số khẩu trang mà đội phải làm một ngày theo

dự định

2) Một thùng nước bằng tôn có dạng hình trụ với bán kính đáy là 0,2m và chiều cao 0,4m Hỏi thùng nước này có thể đựng đầy bao nhiêu lít nước? (Bỏ qua bề dày của thùng nước,

 

Trang 20

12

1

yx

a) Xác định tọa độ giao điểm của d và (P) khi m  3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt

Bài 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Lấy

điểm I thuộc đoạn OB (I khác O, B) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng CI với (O),

H là giao điểm của AE và CD

1) Chứng minh tứ giác OHEB nội tiếp

2) Chứng minh AH AE 2R2

3) Nếu I là trung điểm của đoạn OB Tính tỉ số OH

4) Tìm vị trí của điểm I trên đoạn OB sao cho tích EA EB EC ED đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 (0,5 điểm) Giải phương trình x2 4x 1 x 1 2x 4

UBND QUẬN BA ĐÌNH

Bài 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức 2 1

xB

xx





Trang 21

1

xPx





 , với x0;x1;x4 3) Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức P nhận giá trị là số nguyên âm

kiện P nguyên âm

Vậy để P nhận giá trị nguyên âm thì x0

Một đội sản xuất phải làm 10.000 khẩu trang trong một thời gian quy định Nhờ cải tiến

kĩ thuật và tăng giờ làm nên mỗi ngày đội sản xuất được thêm 200 khẩu trang Vì vậy, không những đội đã làm vượt mức kế hoạch 800 khẩu trang mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự định Tính số khẩu trang mà đội phải làm một ngày theo

dự định

Hướng dẫn giải Gọi số khẩu trang mà đội phải làm một ngày theo kế hoạch là x (chiếc) (x*) Thời gian đội sản xuất được 10.000 chiếc khẩu trang theo kế hoạch là 10.000

Số khẩu trang thực tế mỗi ngày đội sản xuất được là x200 (chiếc)

Tổng số khẩu trang thực tế mà đội sản xuất được là 10.000 800 10800  (chiếc)

Thời gian thực tế để đội sản xuất được 10800 chiếc khẩu trang là 10800

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội sản xuất được 4000 chiếc khẩu trang

2) Một thùng nước bằng tôn có dạng hình trụ với bán kính đáy là 0,2m và chiều cao 0,4m Hỏi thùng nước này có thể đựng đầy bao nhiêu lít nước? (Bỏ qua bề dày của thùng nước, lấy  3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn giải Thể tích của khối trụ đó là V r h2 3,14.0, 2 0, 4 0, 05024(2  m3) = 52, 24 l 

Vậy thùng có thể đựng đầy được 52,4 lít nước

Trang 22

12

1

yx

Ta có hệ tương đương với

yx

141

xy

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng

d y m x m

a) Xác định tọa độ giao điểm của d và (P) khi m 3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là x2  x 6 x2  x 6 0

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 tương đương với (1) có hai 0

mm

Trang 23

Do x x là hoành độ giao điểm của d và (P) nên chúng là nghiệm của (1), theo định 1, 2

1 2

22

Vậy giá trị cần tìm của m là m 1

Bài 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Lấy

điểm I thuộc đoạn OB (I khác O, B) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng CI với (O),

H là giao điểm của AE và CD

3) Nếu I là trung điểm của đoạn OB Tính tỉ số OH

OA 4) Tìm vị trí của điểm I trên đoạn OB sao cho tích EA EB EC ED đạt giá trị lớn nhất

Ta có HOB900 (do AB vuông góc với CD) (1)

Lại có AEB900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra HEB900 (2)

Từ (1) và (2) suy ra  HOB HEB 1800 mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác OHEB nội tiếp đường tròn

Trang 24

Xét tam giác AOH và tam giác AEB có A chung, AHOAEB900 nên hai tam giác

là giao điểm của CE0 và AB

Từ (7) và (9) ta có P EA EB EC ED 2R4, dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của CE0

Trang 25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x2

UBND QUẬN ĐỐNG ĐA

Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 3

2

xAx

Một ô tô vận tải cần chở một số thùng hàng từ Hà Nội đến Hoa Lư – Ninh Bình dài 120

km trong một thời gian dự định Vì khâu xếp hàng lên xe mất nhiều thời gian nên ô tô xuất phát chậm hơn dự định 36 phút Do đó, để đến nơi đúng thời gian dự định, xe phải tăng vận tốc thêm 10 km/h Tính vận tốc dự định ban đầu của xe

2) Nhà trường phát động phong trào “Tái chế rác thải – Bảo vệ hành tinh xanh” Bạn An muốn sử dụng vỏ lon nước ngọt dạng hình trụ để làm hộp cắm bút An dùng giấy màu bọc quanh lon để trang trí cho sản phẩm của mình Tính diện tích phần giấy An dùng để bọc vừa đủ kín phần thân lon, biết đường kính đáy lon là 6,5 cm và chiều cao của lon là

1

yx

Trang 26

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m 1

b) Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A x y 1; 1 ;B x y 2; 2

sao cho y1y220

Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), tia phân giác của

góc BAC cắt BC tại D, cắt (O) tại E Vẽ DK vuông góc với AB tại K và DM vuông góc với

AC tại M

1) Chứng minh tứ giác AKDM nội tiếp

2) Chứng minh AD.AE = AB.AC

3) Chứng minh AE vuông góc với KM Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AKEM

Bài 5 (0,5 điểm) Cho x y, 0 thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 3

UBND QUẬN ĐỐNG ĐA

Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức 3

2

xAx

xx

x

Trang 27

56

mm

Một ô tô vận tải cần chở một số thùng hàng từ Hà Nội đến Hoa Lư – Ninh Bình dài 120

km trong một thời gian dự định Vì khâu xếp hàng lên xe mất nhiều thời gian nên ô tô xuất phát chậm hơn dự định 36 phút Do đó, để đến nơi đúng thời gian dự định, xe phải tăng vận tốc thêm 10 km/h Tính vận tốc dự định ban đầu của xe

Hướng dẫn giải Gọi vận tốc dự định ban đầu của xe đó là x (km/h), Đk: x 0

Thời gian dự định ô tô đi từ Hà Nội đến Hoa Lư là 120

x (km /h)

Vận tốc thực tế mà ô tô đi từ Hà Nội đến Hoa Lư là x10 (km/h)

Thời gian thực tế mà ô tô đi từ Hà Nội đến Hoa Lư là 120

10

Do ô tô xuất phát chậm hơn dự định 36 phút = 3

5 (h) và ô tô đến Hoa Lư đúng dự định

Vậy vận tốc dự định của ô tô khi đi từ Hà Nội đến Hoa Lư là 40 km/h

2) Nhà trường phát động phong trào “Tái chế rác thải – Bảo vệ hành tinh xanh” Bạn An muốn sử dụng vỏ lon nước ngọt dạng hình trụ để làm hộp cắm bút An dùng giấy màu bọc quanh lon để trang trí cho sản phẩm của mình Tính diện tích phần giấy An dùng để bọc vừa đủ kín phần thân lon, biết đường kính đáy lon là 6,5 cm và chiều cao của lon là

12 cm (lấy  3,14)

Hướng dẫn giải Diện tích phần giấy An dùng để bọn kín thân lon chính bằng diện tích xung quanh của

Trang 28

5

1 81

1

yx

Đặt

111

ax

ab







3

ab

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là x2mx 2 x2mx 2 0 (1)

Ta có  m2 8 0 nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

22

Do x x là nghiệm của (1) nên theo định lí Vi – Ét ta có 1, 2 x1x2  , thay vào (2) ta m

có m216  m 4

Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R), tia phân giác của

góc BAC cắt BC tại D, cắt (O) tại E Vẽ DK vuông góc với AB tại K và DM vuông góc với

AC tại M

2) Chứng minh AD.AE = AB.AC

3) Chứng minh AE vuông góc với KM Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AKEM

Trang 29

Do AKD90 ;0 AMD900 nên tứ giác AKDM nội tiếp đường tròn đường kính AD 2) Chứng minh AD.AE = AB.AC

Ta có BAD CAE  (do AD là phân giác góc BAC), lại có DBA CAE ( = 1

*) Chứng min AE vuông góc với KM

suy ra KD = MD

Gọi I là tâm đường tròn này, suy ra I là trung điểm AD và ID = IM, do đó ID là trung trực của KM nên ID vuông góc với KM suy ra AD vuông góc với KM

*) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tứ giác AKEM

2

ABC AKEM

AC BHS

Trang 30





 

Trang 31

UBND QUẬN HÀ ĐÔNG

ĐỀ KSCL HỌC SINH LỚP 9 Ngày 13/04/2022

Bài 1 (2 điểm) Cho hai biểu thức 2 2 4

1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một lớp học có 40 học sinh, trong đó nam nhiều hơn nữa nữ Trong buổi hoạt động ngoại khóa, cô giáo đưa cả lớp 365.000 đồng để mỗi bạn nam mua một lon Cocacola giá 10.000 đồng/ lon, mỗi bạn nữ mua một bánh phô mai giá 8.000 đồng / cái và được căng tin trả lại 3000 đồng Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ

Sau 5 phút máy bay bay lên đạt được độ cao là 10.565m Hỏi vận tốc trung bình của máy bay là bao nhiêu km/h?

Bài 3 (2 điểm)

Trang 32

23

2

xyxy

2) Cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng :d y2mx 3

a) Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Gọi x x là hoành độ giao điểm của d và (P) Tìm m để 1, 2 x1 3 x2  6

Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Ba đường cao AD, BE, CF

của tam giác ABC cắt nhau tại H

1) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp

2) Chứng minh DH là tia phân giác của góc FDE

3) Kẻ đường kính AQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh H, M, Q thẳng hàng và

M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Bài 5 (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y > 0 thỏa mãn x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của 6

UBND QUẬN HÀ ĐÔNG

ĐỀ KSCL HỌC SINH LỚP 9 Ngày 13/04/2022

Bài 1 (2 điểm) Cho hai biểu thức 2 2 4

Trang 33

Một lớp học có 40 học sinh, trong đó nam nhiều hơn nữa nữ Trong buổi hoạt động ngoại khóa, cô giáo đưa cả lớp 365.000 đồng để mỗi bạn nam mua một lon Cocacola giá 10.000 đồng/ lon, mỗi bạn nữ mua một bánh phô mai giá 8.000 đồng / cái và được căng tin trả lại 3000 đồng Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh nam và bao nhiêu học sinh nữ

Hướng dẫn giải Gọi số học sinh nam và nữ của lớp đó lần lượt là x (học sinh) và y (học sinh) (Đk:

x y      y x )

Do tổng số học sinh của cả lớp là 40 học sinh nên ta có phương trình x y   40 (1) Tổng số tiền mà các học sinh nam đã mua Cocacola là 10.000x (đồng)

Tổng số tiền mà các học sinh nữ đã mua phô mai là 8.000x (đồng)

Tổng số tiền mà tất cả các học sinh đã mua hàng là 10.000x + 8000y (đồng)

Do cô giáo đưa cả lớp 365.000 đồng mà căng tin trả lại 3000 đồng nên ta có phương

19

x y y

x y

Sau 5 phút máy bay bay lên đạt được độ cao là 10.565m Hỏi vận tốc trung bình của máy bay là bao nhiêu km/h?

Trang 34

xyxy

2

ay

xa





 

2) Cho parabol (P): y x 2 và đường thẳng :d y2mx 3

a) Chứng minh rằng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Gọi x x là hoành độ giao điểm của d và (P) Tìm m để 1, 2 x1 3 x2  (*) 6

Hướng dẫn giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là x22mx 3 x22mx  (1) 3 0

Do a.c = - 3 < 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) với mọi giá trị của m nên d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b) Do x x là hoành độ giao điểm của d và (P) nên chúng là nghiệm của (1) Theo định 1, 2

1

33

Trang 35

TH1: Nếu x1 , thay vào (1) ta được 9 63  m    3 0 m 1

Th2: Nếu x1  , thay vào (1) ta được 9 63  m     3 0 m 1

Vậy giá trị cần tìm của m là m  1

Bài 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Ba đường cao AD, BE, CF

của tam giác ABC cắt nhau tại H

3) Kẻ đường kính AQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh H, M, Q thẳng hàng và

Ta có BFH 900 (do CF là đường cao trong tam giác ABC)

Lại có BDH 900 (do AD là đường cao trong tam giác ABC)

Suy ra  BFH BDH 900900 = 1800 mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác BDHF nội tiếp

Do tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn (câu a) nên FDHFBH (1)

Chứng minh tương tự ta có EDH ECH (2)

Xét tứ giác BCEF có BEC BFC900 nên tứ giác BCEF nội tiếp suy ra FBEECFhay FBHECH (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra FDH EDH hay DH là phân giác của góc FDE (đpcm) 3) Kẻ đường kính AQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh H, M, Q thẳng hàng và

*) Chứng minh H, M, Q thẳng hàng:

Trang 36

Ta có ACQ900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CQ vuông góc với AC, lại có

BE vuông góc với AC (gt) nên CQ // BE (4)

Chứng minh tương tự có BQ // CF (5)

Từ (4) và (5) suy ra tứ giác BQCH có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành,

mà M là trung điểm của BC suy ra M cũng là trung điểm của HQ hay H, M, Q thẳng hàng

*) Chứng minh M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EFD:

Cách 1:

Chứng minh tương tự câu 2) ta có FH là phân giác của góc EFD nên EFD2HFD (6)

Tứ giác BDHF nội tiếp (câu 1) nên HFD HBD  (7)

bằng 1800 nên nó là tứ giác nội tiếp hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EFD (đpcm)

Cách 2: Gọi I là trung điểm của AH

Ta có thể chứng minh được các điểm E, F, D, M, I cùng thuộc đường tròn đường kính

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra P   9 6 4 19, dấu bằng xảy ra khi

624

x yxy

xy





Trang 37

UBND QUẬN LONG BIÊN

Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức P x 9

x



93

Q

xx

Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong vông việc Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ

Trang 38

hai là 9 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?

2) Một hình nón có đường sinh bằng 30cm, đường kính đáy bằng 36 cm Tính thể tích của hình nón đó (lấy  3,14)

Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm thuộc đường tròn sao cho

điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với dây BC tại H và cắt tiếp tuyến Bx tại D, đường thẳng

AD cắt đường tròn (O) tại điểm E

1) Chứng minh tứ giác BHED là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AE.AD = 4OH.OD

3) Gọi I là trung điểm HD, BI cắt đường tròn (O) tại điểm F Chứng minh HF vuông góc với BI

Bài 5 (0,5 điểm) Giải phương trình 2

UBND QUẬN LONG BIÊN

Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức P x 9

x



93

Q

xx

Trang 39

Vậy khi x thì P nhận giá trị là 4 5

2



93

Q

xx

Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong vông việc Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?

Hướng dẫn giải Gọi thời gian làm riêng để xong công việc của người thứ nhất là x (ngày), (ĐK: x > 9) Thời gian làm riêng để xong công việc của người thứ hai là x – 9 (ngày)

Trang 40

xy

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: y2x m  và parabol (P): 3 y x 2 Tìm tất cả các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x sao cho 1; 2

xx

  (2)

2

22

xx

Vậy giá trị cần tìm của m là m 2