Bài toán 30. Cực trị tổng hợp oxyz.pdf

Microsoft Word Bài toán 30 Cñc trË tÕng hãp oxyz TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021 2022 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 Câu 1 (Đề minh hoạ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  4; 0; 4A và  2; 4; 0B Điểm M di động trên tia Oz , điểm N di động trên tia Oy Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục) A 10,1 B 11, 3 C 9, 9 D 10, 0 1 Phát triểu câu tương tự Câu 2 Trong không gian Oxy[.]

TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022 Điện thoại: 0946798489

Câu 1 (Đề minh hoạ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A4;0;4 và B2; 4;0 Điểm

M di động trên tia Oz, điểm N di động trên tia Oy Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao

nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

1 Phát triểu câu tương tự

2 2

  và mặt cầu  S x: 2y2z2 8 Một đường thẳng đi qua điểm M và cắt  S tại hai điểm phân biệt A , B Diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng

Câu 3 Cho ba điểm A1; 1; 0, B3; 1; 2 , C1; 6; 7 Tìm điểm MOxz sao cho

MA MB MC nhỏ nhất?

A M1; 0; 0  B M1; 0; 3  C M1; 1; 3  D M3;0; 1  

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  Gọi

 0; ;0 0

N x y z là điểm thuộc  S sao cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng Oxz lớn nhất Giá trị của biểu thức P x 0 y0 bằngz0

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A1;1;1, B0;1; 2, C2;1; 4 và mặt

phẳng  P x y z:    2 0 Tìm điểm N P sao cho S2NA2NB2NC2 đạt giá trị nhỏ nhất

A N1; 2;1 B N2;0;1 C 1 5 3; ;

2 4 4

4;2;4

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A2; 3;2 , B3;5;4 Tìm toạ độ điểm M

trên trục Oz so cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

A M0;0;3 B M0;0;0 C M0;0;49 D M0;0;67

 ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , 2 2 4; ;

3 3 3

  Trong đó a b c , , là các số thực dương thỏa mãn

2 2 1 3

a b c   Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ABC có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

M và d N d sao cho đoạn thẳng 2 MN ngắn nhất:

A 3 3 6; ;

35 35 35

69 17 18

35 35 35

3 3 6

; ;

35 35 35

1 17 18

35 35 35

C 3 3 6; ;

35 35 35

69 17 18

; ;

35 35 35

3 3 6

; ;

5 5 5

 ,

69 17 18

Bài toán 30 Cực trị tổng hợp oxyz

• Phần A Trắc nghiệm khách quan

• |FanPage: Nguyễn Bảo Vương

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A1;2;3 , B 0;1;1 , C 1;0; 2  và mặt phẳng

 P có phương trình x   y z 2 0 Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng  P sao cho giá trị biểu thức T MA22MB2 3MC nhỏ nhất Tính khoảng cách từ 2 M đến mặt phẳng

 Q : 2x y 2z 3 0

2 5

121

54

điểm A1; 4; 2 Gọi  P là mặt phẳng chứa d Khoảng cách lớn nhất từ A đến  P bằng

2 Lời giải tham khảo

Câu 1 (Đề minh hoạ) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A4;0;4 và B2;4;0 Điểm M di động

trên tia Oz, điểm N di động trên tia Oy Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Lời giải

Chọn A

Đường gấp khúc AMNB có độ dài lAM MN NB AO OB    , dấu “=” xảy ra khi

M N O

Vậy lmin AO OB 4 2 2 5 10,1 

2 2

  và mặt cầu  S x: 2y2z28 Một đường thẳng đi qua điểm M và cắt  S tại hai điểm phân biệt A , B Diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng

Lời giải

Chọn D

Mặt cầu  S có tâm O0;0;0 và bán kính R2 2

Ta có: 1; 3;0

2 2

  



1

    điểm M nằm trong mặt cầu  S Gọi H là trung điểm ABOH OM

Đặt OH x   0 x 1

2 2

AOH

2 2

OA

Suy ra sin 2sin cos 8 2

4

2 OAB

S  OA OB AOB x x với 0 x 1 Xét hàm số f x x 8x2 trên đoạn  

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

8 2



  max 0;1 f x  f 1  7 Vậy diện tích lớn nhất của tam giác OAB bằng 7

Câu 3 Cho ba điểm A1; 1; 0, B3; 1; 2 , C1; 6; 7 Tìm điểm MOxz sao cho

MA MB MC nhỏ nhất?

A M1; 0; 0  B M1; 0; 3  C M1; 1; 3  D M3;0; 1  

Lời giải

Chọn B

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC G1; 2;3

Ta có: MA2MB2MC2 3MG2GA2GB2GC2

Vậy ta có: MA2MB2MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất 2  G là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng Oxz M1;0;3

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  Gọi

 0; ;0 0

N x y z là điểm thuộc  S sao cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng Oxz lớn nhất Giá trị của biểu thức P x 0 y0 bằngz0

Lời giải

Chọn D

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I1;3; 2 của mặt cầu  S và vuông góc với Oxz

Phương trình tham số của : 13 , 

2

x

z





   



 





Gọi A B, lần lượt là giao điểm của d và  S suy ra: A1;5; 2, B1;1;2

Ta có: d A Oxz ;  d B Oxz ;  

Theo đề bài thì NAN1;5; 2x0y0z0 8

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A1;1;1, B0;1;2, C2;1;4 và mặt

phẳng  P x y z:    2 0 Tìm điểm N P sao cho S2NA2NB2NC2 đạt giá trị nhỏ nhất

A N1; 2;1 B N2;0;1 C 1 5 3; ;

2 4 4

;2;

Lời giải

Chọn A

Với mọi điểm I ta có

           

         

NI NI IA IB IC IA IB IC

Chọn điểm I sao cho 2   IA IB IC  0

2   IA IB IC   0 4IA AB AC     0

Suy ra tọa độ điểm I là: I0;1; 2 Khi đó S4NI22IA2IB2IC2, do đó S nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên mặt phẳng

 P

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với mặt phẳng  P là:

0 1 2

 



  



  



Tọa độ điểm N t ;1 ; 2t  t  P          t 1 t 2 t 2 0 t 1N1; 2;1

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A2; 3;2 , B3;5; 4 Tìm toạ độ điểm M

trên trục Oz so cho MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

A M0;0;3 B M0;0;0 C M0;0;49 D M0;0;67

Lời giải

Chọn A

Gọi I là trung điểm của 5;1;3

2

  

MA MB MA MB  MI IA   MI IB   MI IA IB

2 2

IA IB không đổi nên MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI đạt giá trị nhỏ nhất

M

 là hình chiếu của I trên trục Oz

0;0;3

M

 ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , 2 2 4; ;

3 3 3

  Trong đó a b c , , là các số thực dương thỏa mãn

2 2 1

3

a b c   Khoảng cách từ D đến mặt phẳng ABC có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Lời giải

Chọn D

Mặt phẳng ABC có phương trình  x y z 1

a b   c

Ta có 2 2 1 3 2 2 1 1

a b c    a b c  Nên ABC luôn đi qua điểm  2 2 1; ;

3 3 3

  Gọi H là hình chiếu của D lên mp ABC

Ta có d D ABC ,  DH DI, suy ra trị lớn nhất của d D ABC bằng  ,   DI  1

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1:

1

M và d N d sao cho đoạn thẳng 2 MN ngắn nhất:

A 3 3 6; ;

35 35 35

69; 17 18;

35 35 35

3 3 6; ;

35 35 35

1 17 18; ;

35 35 35

C 3 3 6; ;

35 35 35

69 17 18

; ;

35 35 35

3 3 6

; ;

5 5 5

 ,

69 17 18

Lời giải

Chọn B

+ Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là 1 u11;1;2

và đi qua điểm O0;0;0 + Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là 2 u2   2;1;1

và đi qua điểm K1;0;1

Điện thoại: 0946798489 TÀI LIỆU ÔN THI ĐGNL ĐHQG HÀ NỘI 2021-2022

+ Vì u  1 ,u2.OK5

nên hai đường thẳng đã cho có vị trí chéo nhau

+ Suy ra MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là đoạn vuông góc chung của d và 1 d 2

+ Vì M nên d1 M m m m m ; ; 2 ,  và N d nên 2 N 1 2 ; ;1n n n n, 

Ta có: MN    2n m 1;n m n ; 2m1

Từ yêu cầu của bài toán ta có hệ phương trình sau:

1 2

MN u

MN u









 

   6 1

n m

  



   

17 35 3 35

n m



 





 



 3 3 6; ;

35 35 35

1 17 18

35 35 35

Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm A1;2;3 , B 0;1;1 , C 1;0; 2  và mặt phẳng

 P có phương trình x   y z 2 0 Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng  P sao cho giá trị biểu thức T MA2 2MB23MC nhỏ nhất Tính khoảng cách từ 2 M đến mặt phẳng

 Q : 2x y 2z 3 0

2 5

121

54

Lời giải

Chọn B

Gọi I là điểm sao cho 23 0

IA IB IC

Tọa độ I thỏa mãn hệ

2 3

6

 





I

I

x

z

Ta có

  

     

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng  P

Vậy tọa độ điểm 7; 7; 11

18 18 9

 

M suy ra  ;   91

54



điểm A1; 4; 2 Gọi  P là mặt phẳng chứa d Khoảng cách lớn nhất từ A đến  P bằng

Lời giải

Chọn A

Gọi hình chiếu vuông góc của A trên d là I Giả sử hình chiếu của A

Trên mặt phẳng  P là H khi đó AH d Do đó nếu hình chiếu của A trên mp(P) mà nằm trên đường thẳng d thì chỉ có thể trùng với điểm H Mà tam giác IAH luôn vuông góc tại H do đó khoảng cách từ A đến  P lớn nhất khi H  Vậy khoảng cách từ A đến I  P lớn nhất là khoảng cách từ A đến  P

Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/

Từ phương trình đường thẳng ta có VTCP u:1;1; 2 ; M1; 2; 0 d

,AM 0; 6; 0 

     

3

AM u d

u

 

Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Tham gia ngay:Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương

Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://nguyenbaovuong.blogspot.com/