Giáo trình Hình học giải tích: Phần 1

Giáo trình Hình học giải tích (Giáo trình dùng cho các trường Cao đẳng Sư phạm) Giáo trình được biên soạn nhằm mục đích hệ thống hóa và khái quát hóa các kiến thức Hình giải tích THPT và bổ sung kiến thức mới để làm cơ sở cho việc học các môn khác trong chương trình Cao đẳng Sư phạm như Giải tích, Đại số tuyến tính, Hình cao cấp, Vật lý. Giáo trình gồm có 3 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 bao gồm các kiến thức về Vectơ và tọa độ, phương trình của đường và mặt, đường thẳng và mặt phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo.

Pear ng -.=xineesrvetc=neee - ° A ore renee

VAN NHU CUONG (Chi bién) - HOANG TRONG THAI

HINH HOC GIAI TICH

NHA XUAT BAN DAI HOC SU PHAM

VĂN NHƯ CƯƠNG (Chủ biên) HOÀNG TRỌNG THÁI

MUC LUC

Lời nói đầu

CHUONG I.VÉCTƠ VÀ TOA ĐỘ ~ PHƯƠNG TRINH CUA

_DUONG VA MAT

§1.Véctơ và các phép toán véctơ

1 Khái niệm véctơ Hệ véctơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

1.1 Véctơ

1.2 Phép cộng véctơ Phép nhân vếctơ với số thực

1.3 Hẹ véctơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

2 Tích vô hướng của hai vécto

2.1 Góc giữa hai véctơ

2.2 Định nghĩa tích vô hướng

2.3 Các tính chất của tích võ hướng

§2 Toa d6 afin và toa độ trực chuẩn

| Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng

1 Muc viéu afin trong mat phang

1.1 Định nghĩa

1.2 Toa độ của véctđ

1.3 Tọa độ của điểm

2 Déi toa dé afin

3 Tâm tỉ cự

3.1 Định nghĩa

3.2 Chia doạn thẳng theo tỉ số k

II Hệ toa độ trực chuẩn trong mặt phẳng

26

26

27 29

1 Hệ toạ độ trực chuẩn

I.1 Định nghĩa

1.2 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng trong hệ toạ độ trực chuẩn

1.3, Đổi hệ toạ độ trực chuẩn

III Hệ toạ độ afin và hệ toạ độ trực chuẩn trong không gian

1 Hé toa dé afin trong khong gian

1.1, Dinh nghia

1.2 Toa d6 afin của véctơ và của điểm trong không gian

1.3 Đổi hệ toạ độ afin trong không gian

2 Hệ toa độ trực chuẩn trong không gian

2.1 Định nghĩa

2.2 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng đối với hệ toa độ trực chuẩn

trong không gian

2.3 Đổi hệ toạ độ trực chuẩn trong không gian

2.4 Tích có hướng

2.5 Tích hỗn hợp (tích hỗn tạp) của ba véctơ

§3 Phương trình của đường và mat

1, Phương trình của đường trong mặt phẳng

1.1 Phương trình tổng quát của một đường thẳng trong mặt phẳng

1.2 Phương trình tham số của dường trong mật phẳng

1.3 Phương trình của đường trong hệ toa độ cực

2 Mặt trong không gian

2.1 Phương trình của mật trong không gian

2.2 Phuong trình tham số của một mặt trong không gian

2.3 Phương trình của mật trong hệ toa độ trụ

2.4 Phương trình của mật trong hệ toa độ cầu

3 Đường trong không gian

3.1 Phương trình tổng quát của đường trong không gian

3.2 Phương trình tham số của đường trong không gian

38

39

42 43

4 Hai bài toán thường gặp của llình giải tích

CHUONG IL DUONG THANG VA MAT PHANG

§1 Pudeng thang trong mat phang

1 Phương trình đường thẳng trong hé tog dé afin

1.1 Phương trình tham số và phương trình chính tác của đường thẳng

1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

1.3 Vị trí tương dối của hai đường thẳng

1.4 Chùm dường thẳng 1.5 Nửa mật phẳng

2 Phương trình của đường thẳng trong hệ toa độ trực chuẩn

2.1 Véctơ pháp tuyến của dường thang

2.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 2.3 Góc giữa hai dường thẳng

§2 Duong thang va mat phang troug khong gian

1 Phương winh ditong thdng trong hé toa dé afin

1.1 Phương trình của dường thẳng trong không gian 1.2 Vị trí tương đối của hai đường thắng trong không gian

2 Phương trình mặt phẳng trong hệ toa độ afin

to 1 Mật phẳng trong không gian t3 to Phương trình tham số của mật phẳng

to Noo Phương trình tổng quát của mật phẳng

te + - Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Ww 5, Vị trí tương đối piữa dường thắng và mật phẳng

tà .6 Chùm mật phẳng

7,

to Nửa không gian

3 Phương trình của mặt phẳng và phương trình của đường thẳng trong

hệ toa độ trực chuẩn

3.1 Véctơ pháp tuyến của mật phảng

38

61 6]

3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng §2 3.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 82

3.5 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 84

3.6 Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian 84 3.7 Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau 86

3.8 Áp dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học 87 CHUONG II DUGNG BAC HAI - MAT BAC HAT

1 Phuong trinh ctta duong bac hai trong hé toa dé afin 9]

1,2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai 92

1.3 Giao của đường bậc hai và đường thẳng 96

1.2 Phương trình chính tắc của mặt bậc hai 117

2 Phuong trình mặt bậc hai trong hệ toa độ trực chuẩn 127

2.2 Phương trình chính tắc của mật bậc hai trong hệ trực chuẩn 129

LOI NOI DAU

Giáo trình này nhằm mục đích hệ thống hoá và khái quát hoá các kiến thức Hình giải tích ở THPT và bổ sung những kiến thức mới để làm cơ sở cho việc học các môn khác trong Chương trình Cao dang Su pham như Giải tích, Đại số tuyến

tính, Hình cao cấp, Vật lí

Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ đã dược học ở phổ thông tương đối Kĩ

Ở dây sẽ nói thêm về hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính, tâm tỉ cự và tích

hén tap cla ba vecto

Về phương pháp toa do, ở bậc phổ thông học sinh chỉ dược biết hệ toa độ trực

chuẩn trong mặt phẳng và trong khóng gian Trong giáo trình này sẽ trình bày thêm

hệ toa độ alin một cách kĩ lưỡng và có giới thiệu qua vé toa do cue, toa do tru, toa do cầu Vấn dể đổi mục tiêu alïn và mục tiêu trực chuẩn cũng dược trình bày vì nó dược

ấp dụng để đưa phương trình đường bặc hai và mặt bậc hai về dạng chính tắc

Một trong những vấn để quan trọng và chiếm nhiều thời gian là việc nghiên cứu dường bậc hai và mật bậc hai với phương trình đạng tổng quát Một số kiến thức dược đề cập đến như: tâm, phương tiệm cận, dường tiệm cận, tiếp tuyến đường kính hoặc mật kính liên hợp với mệt phương của dường bậc hai hoặc của mật bậc hai, nhất

là vấn để phân loại afin và phân loại oclit của dường bậc hai và của mật bậc hai

Môn Hình giải tích dược giảng dạy ở học kì đầu năm thứ nhất, trong lúc nhiều khái niệm của dại số tuyến tính chưa học nên nhiều chứng mỉnh đáng ra có thể ngắn gọn hơn, nhưng lại phải trình bầy dài dòng

Tuy nội dung khá nhiều so với số tiết được phân phối trong chương trình, nhưng chúng tôi cho rằng có nhiều vấn dể nêu trong giáo trình này nhằm dé sinh

viên tự nghiên cứu dưới sự hướng dan của thầy piáo

Ngoài ra, nên tổ chức Xêmina trong dó sinh viên có thể lựa chọn các chủ dễ

thích hợp Các chủ để có thể là:

~ Sưu tầm các bài toán THÍCS, các bài toán trong thực tế đời sống và giải bằng

phương pháp toa do

— Ung dung toa do cuc, toạ độ cẩu, toạ độ trự trong nghiên cứu các đường cong va cdc mat cong

~ Dùng các phần mềm toán học để vẽ các đường, các mật, lập một bộ sưu tập các dường và mật trên máy ví tính

~ Sưu tầm tư liệu lịch sử phát triển của phương pháp toa dộ

TÁC GIÁ

10

Chuong |

§1 VECTO VA CAC PHEP TOAN VECTƠ

1 Khai niém vecta

Hé vecta déc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

11 Vectơ

Trong mật phẳng hoặc trong không gian, cho hai diểm A, l3 Đoạn thẳng AB

dược sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một wec/Ø, một điểm được gọi là điểm dau

còn điểm thứ hai dược gọi là điểm cuối,

Nếu 4A là diểm đầu, l là điểm cuối thì vectơ được ký hiệu là À3 Vectg còn

có thể kí hiệu là ä;b; ;Ä;Ý¡

Độ đài của đoạn thẳng Àl3 được gọi là độ dai hay modun của vectơ AB và ký hiệu môdun của vecto AB |B}: Suy ra hai vecto AB và BA có môdun

bằng nhau

Hai vecto AB va CD được gọi là hai vectơ càng phương hay hai veclØ CỘNG

tuyển nếu các đường thang AB va CD song song hoặc trùng nhau,

Hai vectơ cùng phương AB và CŨ gọi là cùng hướng nếu xẩy ra một trong hai trường hợp sau dây:

1) Néu hai đường thẳng AB và CŨ song song và hai điểm B và D nam cung

phía đối với dường thẳng AC (h 1)

2) Nếu hai đường thắng Al và CŨ trùng nhau và một trong hai ta AB (gốc À)

và tỉa CL) (gốc C) chứa tia Kia (h2)

1.20 Ubon cond vert! Phop ohan veeld với số thực

Chúng ta nhắc lại các phép toán vectơ đã học ở bậc phổ thông: phép cộng hai

vectơ, phép nhân một vectơ với số thực và các tính chất của các phép toán đó

Phép cong vecto

Cho a, b la hai vecto bat kỳ, khi đó tồn tại một vectơ € gọi là tổng hai vectơ

đã cho và ký hiệu là ¢ = ä+b được xác định như sau: lấy các điểm A, B, € sao cho

AC = é (h.3)

Hình 3

ID thấy rằng vectơ € không phụ thuộc vào việc chọn điểm A

Phép nhan vecto voi mot so thu

Cho mot vecto á và một số thực K bất kỳ, khi đó tổn tại một vectơ gọi là tích của d với số k và được ký hiệu là Ká, xác định như sau:

— Phương: Vecto ka cling phuong vii vecto a

—Iiướng: Vecto ka cling hướng với vectơ d néuk 2 0

Veclo ka ngược hướng với vectơ ä nếu k < Ô

—Modun: — |kail ={k] fe].

b= kil (<0)

[Dưới dây, chúng ta nêu lại các tính chất dã biết của các phép toán cộng hai Veclơ và phép nhân một vectơ với một số thực

® Đối với mọi eclơ ä, b, ¿ và với mọi số thực K, Í, m, phép toán cộng hai veeto va

nhân một vectơ với số thực có các tính chất sau:

L Phép cộng có tính chất kết hợp: ä+(b + ẻ )=(d+b)+ẻ

J3 dó tả có thể bỏ các dau ngoặc và viết là a + b + ¿ (gọi là tổng của ba

veeto, cling vay ta ed tổng của một số hữu han cde vecto)

2 Phép cộng có tính chất giao hoán: i + b= b+ a

Ba +0 =a,

+ Mỗi veclơ ä bất kỳ đểu có một vectơ cùng phương cùng modưn nhưng

ngược hướng với nó, ký hiệu là ~ä và được gọi là vectơ đối của vectơ á Ta có:

7 Phép nhân vectơ với số thực có tính chất kết hợp dối với phép nhân số thực:

(kDa =k(la )

& la =a

Một số hệ quả đơn giản (suy từ các tính chất trên):

Os = 6 va kO= 0 Ta cing thường viết ö là 6,

(—=k)4 =-(kä) ( Ký hiệu là -kii), do đó (=4 ==Œ4)= -la =-a

[lidu cia vecto’ & voi vecto b được ký hiệu là ä — b Đó là một Vectơ ¿ sao cho b+=ủ

'Ta cũng có: k(a ~ h yekid -k b

« Đạt vectơ trên mật phẳng (hoặc trong không gian):

Cho một vectơ i va mot diém © bất kỳ, khi dó rẩn rại đụ nhất một điểm M

sao cho OM =a (h6) Ta nói là da dat veeto ai tai điểm O

Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hinh binh hanh thi AB+ AD = AC

Quy tắc về hiệu: Cho hai điểm M,N thì với diém O bat kì luôn có:

1/3 Hộ vectd phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

THỷ vectơ phụ thuốc tHyển tính

Định nghĩa Hệ n vectơ dj, a, ,a, được gọi là phụ thuộc tuyến tính (PTTT) nếu tìm được các số kị, K„, , k, Không đồng thời bằng 0 sao cho:

ki +k;ấ,+ +k,ấ, =Ö,

(Ni, + Kẩ; + Kuấ, được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ dị, dy, Dy)

Néu hé veeto a), dy, ., d„ là PFFT thì ta còn nói: các vectơ By, a, dy

là PFTT

Me vecty doc lap tuyển tính

Định nghĩa Hé n vecto ay, ấ;, , d„ được gọi là độc lap tuyén tink (LTT) néu

đó là một hệ vectơ không PITT, tức là Không tìm dược các số K¡, K„ , k, không

đồng thời bing 0 sao cho: kya tk, d+ tk a, =0 uta

Nói Khác di, hệ n vectơ dị, a›, „ đ„ là độc lập tuyến tính (ĐI⁄FT) khi và chỉ

khi: nếu kiẩ, +; + +kuấy =Ú thì ki= kị= „.=k,=0,

Chang han theo dinh nghĩa, hệ ba vecto d, b, & duoe gọi là FT nếu tìm

dược ba số thực k, 4, m không đồng thời bằng không sao cho ki + /B + mẻ = 6

Hg ba vector d, b, € là ĐI/ET Khi và chỉ khí nếu có kả + ƒb +mẻ = Ö thì

xuyrak=/=m =0,

Điớn kiện de hai vecto PITT hay ĐLTT

Định lí, Hai vectơ ä, b PITT khi và khi chúng cùng phương (hay còn nói là

chúng cộng tuyến)

l6

Thực vậy hai vecto a, b PFET khi va chỉ có hai số R và ? không đồng thời

bằng Ô sao cho kẩ+(b= 0, Giá sử k # 0 thì d=—TB nên hai vectd i, b

bị

cộng tuyến

Hệ quả IIệ hai veeta a, b ĐI/ƑT Khi và chỉ khi chúng không công tuyến

Diéu kién dé ba yvecto PITT hay DLTT

Ba vecto trong không giản gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên những mật

phẳng song song hoặc trừng nhau, nói cách Khác: nếu các dường thẳng chứa chúng

cùng song song với một mặt phẳng, hay: nếu chúng lần lượt bảng bạ vectở nào đó

+Néu a,b PPT) thi hiển nhiên a,b, ¢ cũng PƯƑT vì: Khi đó ta có hai số k

và / không đồng thời bằng Ö sao cho ka +Ib=0, hay Kã +lh + 0e = 0 if

+ Nếu ¡{,b ĐIỊ/ET thì tì biết rằng vectv & c6 thé biu thi qua d va b, tee 1a

cd cae sO k, bsao cho G=ka tlb < kat+lb-c=0,

Vay a,b € PITT

Su PPTT cia bon vecty rong khong gian

Định lí lến veetơ bất Kì trong không giản đều PT,

Chứng mình

Gia sit ta có bốn vecto ä, b, é, d trong không gian Nếu ba vect d, b, ế

PEVT thì có ba số K, l; m không đồng thời bằng 0 sao cho ka + lbh +meé = 0 Khi

d6ka+1b +mé +0d = 0, voik, J, m khong déng thoi bing 0

Tức, bốn vectơ a,b, 6, d PITT

Bay giờ ta xét trường hop ba vecto a, b, € DLT

Ta lấy một điểm O và đật các vecto ä, b, ¿, d tại Ó, tức là xác dịnh các điểm A, B, C, D sao cho: OA=ä, OB=b, OC=¿, OD=d (h7)

Do cho ba vectơ ä, b, ế khác Ô và không đồng phẳng, ta dựng một hình hộp

có dường chéo là OD, các mật bên tuong tng song song voi cde mat phang (OAB),

(OBC) va (OAC):

Theo tính chất của hình hộp ta có:

OD =OD, +OD, +Ob)

Do OD, vaOA cong tuyén nén:

OD, =kOA vớikelR,

Tương tự: OD, =10B voile R

Hình 7

Phan tich mot vecto theo hai hoae ba vectd ĐLTT

Định lí Cho hai vectơ PLT a và b Nếu ¿ là vectơ sao cho a; b ; € PTFT

thì ¿ có thể viết một cách duy nhất dưới dang: ¢ =ka + Ib

Chứng mình

Vì ä; bị ¿ PUFP nên có ba số p, q, r không đồng thời bằng 0 sao cho

pa t+ qb +re = Ta thay r #0, vi néur = 0 thi pa + qb= 0 trong đó p và q không đồng thời bằng 0, suy ra a và b PTTT, trái giả thiết Vì vậy, ta có:

c=-Pá ror - %8 =kả + (B voi k=-2; 1=-4 r r

Néu co k’, I! khong déng thoi bang khong sao cho: ¿=kã+lL'b Khi dó

kế +lỗ =k+UB = (k~kĐ)á+(—1)b =0

Nhưng ä; b ĐI,TT nên k=k' và =Ï,

Như vậy cách viết ¿= ká +lb là duy nhất Khi đó ta nói rằng vectơ € được

phân tích một cách duy nhất theo hai vecto DLTY ä và b

19

Định lí Nếu ha vecto a; b; € ĐT thì mọi vectơ d dều viết được một cách duy nhất dưới dạng: d=kã+Ib+ mẻ và nĩi rằng vecLơ d dược phân tích một cách

duy nhất theo ba vectơ ẩ; by,

Chứng mình tương tự như chứng mính định lí trên

2 ` Tích vơ hướng của hai vectd

2.1 Gĩc giữa hai vecta

Cho hai vectơ đ và b đều khác vectơ 0, Từ điểm O ta vẽ Ộ =đ và Ol=b (h.§) Khi đĩ gĩc AOB được gọi là gĩc hợp bởi hai vectd d và b, và kí hiệu là (ä ; b), Nếu một trong hai vectơ ä và b Tà vectơ 0 thì gĩc (á ; b) xem là bao nhiêu cũng dược,

Nếu (¡ ; b) = 90” thì ta nĩi hai vectơ ä và b vuơng gĩc, và kí hiệu ä Lb

THình 8

2.2 Định nghĩa tích vơ hướng

Cho hai vecto bat ky di, b Số thực fil [5] costa b) dược gỌI là tích vỏ hưởng

Đặc biệt: Tích võ hướng đa gol la Đình phương vơ hướng của veclơ a Va Ki

cửa hai vectở ä và b, Ký hiệu: đ.b = al CON(; b),

Điểm kiên de hai vecto vuong goée

'Từ dịnh nghĩa tích vô hướng ta có:

Lb=0 4 i fo} costa b)) =0

Điều đó xẩy ra trong các trường hợp sau day:

+ [lai vecto a, b déu khéc 0 va cos(ä; b)=0, hay a L b

+ Vecto ä (hoặc b, hoặc cả hai) là vectơ 0

2 (Kết hợp với phép nhân vectơ với số thực): (Àä ) b = Ma b )

3 (Phân phối với phép cong vectu): a (b +t)=a.b+4.€,

Một số hệ quả suy từ các tính chất trên:

=A + AC!(do AB L AC nên ADLAC =0)

Ta có điểu phải chứng minh

Vi du 2 Ching minh dinh lí: Tổng bình phương bốn cạnh của hình bình hành bằng tổng bình phương hai dường chéo

Cho hình bình hành ACBD (h.10), ta c6:

AC?+ D?= 2(A?2+ AD?),

Thật vậy, AC) +BD? =AC +BUỶ

=(Ali+AD)? +(AD~ AI)

=2 + ÀD”)=20XB? + AD2),

Ta cé điều phải chứng mình

3

§2 TOADO AFIN VA TOA DO TRUC CHUAN

| Hé toa dé afin trong mat phang

{1 Muc tiéu afin trong mat phẳng

41.1 Định nghĩa

“Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến iva j Khi đó bộ ba (O; i; j 3 được gọi là một mục tiếu afin, hay con goi 1d hé toa dé afin

(h.1 1)

Cặp có thứ tự hai vecto ( i; j ) goi a co sé vecto cha hệ toa độ

Ta cũng kí hiệu mục tiêu đó 1a Oxy, voi Ox, Oy 1a cdc duang thang di qua O

và có vectơ chỉ phương lẩn lượt là i va j (h.12)

Diém O goi lA gde tog đo các dường thing Ox va Oy got Ih cde trục toạ độ,

OX là truc hodnh va Oy la trục tung,

/

1.2 Toạ độ của vectd

Xét mật phẳng với mục tiêu afin (O; i; J)

Một vectơ ú bất kỳ của mật phẳng được phân tích theo hai veCtJ cơ sở iva

j, tức là ta có duy nhất cập s6 (x; y) sao cho: U = Xi +y}

~

Khi dó cập số (x; y) dược gọi là toa độ của vectơ ú dối với mục tiêu đã cho và

viết: ö=(%; y) hoặc u(x; y)

Ta có: Ủ(X; yệ © =(X;Y) © U=Xi+Vj,

Dé thay:

— Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi toa độ của chúng bằng nhau

= Nếu ú=(@;y), Ý=(x;y) và ke R thì ũ+V=(x+x;y+y) và

ku = (kx; ky).'

— Nếu ũ =(x; y) và Ÿ =(X'; y') là các vectơ khác 0 và cộng tuyến thì các toa

độ của chúng tỉ lệ: x: x°=y: yˆ, hay một cách tương đương

4 Y) 20,

1.3 loa đố của điểm

Trên mặt phẳng cho hé toa do afin Oxy, véi moi diém M bat ky cha mat phẳng, toa dộ cửa veclơ OM được gọi là toq độ của điển M dối với mục tiêu đã cho

và viết: M = @; y) hoặc M@x; y)

Liên hệ giữa toa đọ của vectd tà toa đo của đi

Nếu M = (; y) và N =(; y2 thì MN = ON - OM = (x'= x; y’- y)

2 = Pdi toa dé afin

Cho hai hé toa d6 afin (O; £5 jf) và (O5 Ủ; J):

Giả sử điểm M có toa độ (x; y) dối với mục tiêu (O; i 5 J), €6 toa dd (x5 y’) đối với mục tiêu (Q i’; j ) Hãy tìm sự lién he gidta (x; y) va (x5 y’)

Giả sử đối với mục titu (O; i; j), điểm Œ và các vectơ , J! 66 toa do:

O'= (pq = Gb) ff = (sd);

nghia la: OO' spi tqj; @ sai bj: jl scitaj

24

Các hệ số a, b, c, đ trong công thức (Š) dược viết thành một bảng số sau đây:

Khi đó Á được gọi là ma trận của phép đối mục tiêu (5)

Công thức (#) gọt là công thức đổi hệ toạ độ (hay công thức đổi mục tiêu afin)

Nếu deL\ > 0 thì hai hệ tọa độ đã cho (O; ¡; j) và CO? ƒ;¡ ƒ) dược gọi là

cùng hướng, còn néu detA < 0, hai hệ tọa độ đó gọi là ngược hướng Do dé:

Tập hop các hệ tọa độ alin trong mặt phẳng được chia làm hai lớp tương dương Hai hệ tọa độ thuộc cùng lớp khi và chỉ khi chúng cùng hướng (suy ra chúng thuộc hai lớp khác nhau khi và chỉ khi chúng ngược hướng) Ta qui ước gọi các hệ tọa độ thuộc một lớp này là hệ toa độ thuận (hay hệ có hướng thuận), còn các hệ tọa

độ thuộc lớp kia gọi là hệ toạ dộ nghịch (hay hệ có hướng nghịch) Khi đó mật phẳng

i) xi

dược gọi là mặt phẳng định hướng Ta thường lấy lầm hệ toa độ thuận (h.13) va he toạ độ nghịch (h I4) tường ứng cùng hướng với một hệ trong hình dưới dây:

Phép tỉnh tien hé toa do

Đổi hệ toa độ alin (O; i; j) thành he (0', i; J) tte i <7; j = j goi

là phép tịnh tiến hệ toa độ theo veeta ¥ = OO'= (p; q) Ta có:

Cho hé n điểm A, , Aj A, va chon sé ky kyo ky mik, #0 +k, #0

Điểm M dược gọi là tám: tỉ cự của n diểm ;À¡ với n số tương ứng k;(= l,2, n)

HIẾU:

Sik, MA; = 6

it

26

Trong trudng hop k, =k, = =k,#OUn điểm M như thế được gọi là trọng

tâm của hệ diém Aj Khi dó ta có:

‘Trong tam của hệ hai điểm chính là trung diểm của doạn thẳng nối hai diểm

đó, Trọng tâm của hệ ba điểm Không thẳng hàng A, l3, C là trọng tam tam giác ABC,

theo nghĩa đã biết là giao điểm bạ dường trung tuyến,

Nếu cho biết toa độ các điểm 4; là (X; vị), Œ = lý 0) thì toạ độ (x; y) của tâm tỉ cự M phải thoả mãn điều kiện:

3.2 Chia đoạn thẳng theo tỈ số k

Dinh nghia, Cho ba diém A, B, C thang hàng, À z B., Số k được gọi là tisd don

của bộ ba điểm thắng hang co thé ty (A, B,C) neu CA=kCB (với K# D) Khí đó ta

còn nói: điểm C chia đoạn thẳng XH theo tỉ sdk va ki higu (A, B,C) =k

Vì CÀ =kCH nên CA ~KCBH=Ö nên € là tâm tỉ cự của hai điểm A, B véi hai

Nếu k> 01a gọi C là điểm chia ngoài của doạn thang AB theo ti sé k, con néu

k<01 gọi C là diém chia trong cla đoạn thắng AI theo tí số k.

Đặc biệt nếu M là trưng diém cha AB thi MA = -MB, tic AK = =H, ta có toa

độ (X; y) của trung điểm M của đoạn thắng AB là:

Ấp đụng 1 Treo ä hai đầu một thanh dồn hai vật nặng, vật ở dầu A có khối lượng

gấp hai khối lượng của vật ở đầu l3 Iìm toa độ trọng tâm (Vật lí) của hệ gồm thanh đồn với các Vậi nặng đó, cho biết A = (Xị; y), B= (xy yy)

Ap dung 2 Treo @ ba dinh mot tam pide ABC ba val nang, vật ở dỉnh A có khối

luong 3kg, vat & dinh B khéi lượng 2kg, vật ở đỉnh C khối lượng Ikg Tìm toạ độ trọng tâm (vật lí) của hệ đó, cho bidet A = (Xu; Vụ 2) BE yy 2) C= (Xe V4)

Giải bài toán này đưa về tìm tâm ti cu I(x, y, z) của hệ ba điểm A, B, C vdi cdc

hệ số 3, 2 và 1, ta được ket qua:

Il Hệ lọa độ trực chuẩn trong mat phang

1 — Hệ tọa độ trực chuẩn

1.1 Định nghĩa

Té toa d6 alin (O; i ; ] } CÓ CƠ SỞ V€CLƠ ( i ` j } gồm hai vectơ đơn Vị vướng

góc với nhau được gọi là hệ toạ độ trực chuán

TIệ tọa độ trực chuẩn còn gọi là hệ toa do Đểcác vuông

1.2 Biểu thức tọa độ của tích vỏ hướng trong hệ toa độ trực chuẩn

Cho trong hệ toa độ trực thuần Oxy, hai VeVtƠ ú = (X; y) và V =@X5 Y2)

ú.Ÿ =(xi+yj)'i +w'j)

=xx'i’tyy j’+2xyi.j.

Xx'+ yy!

COS = ————————————

22 v2 0,2

Xo +y x+y

1.3 Đổi hẻ toa độ trực chuẩn

Mục tiêu trực chuẩn cũng là mục tiêu alïn, ta có công thức đổi từ mục tiêu (O; is fj) sang mục tiêu mới (O% ; Ƒ):

X=ax'+cy'+p y=bxX+dy'+q

trong dé i’ = (a; b), j =(e;d) va OO! = (p; q)

Ở dây, các mục tiêu là trực chuẩn nên: Ï = ƒ! =lvà Ứ, j= 0, tức là:

nể 2 và 2 N ñ

a +bBê= l,c +dˆ= Ï và ac + bđ =0 (*)

‘Tir dang thie a’ + bˆ = 1, ta có thể tìm được góc œ sao cho a = cosœ, b= sinœ

vatire’ +d? = I tim được góc Ö sao cho c= cos, d = sind

Công thức đổi toa do: 4 [x =x'cosa+y’sina+p ly =x’sina ty’cosatq q)

Vậy, đổi mục tiêu trực chuẩn (O; ¡;¡ j) sang mục tiêu trực chuẩn mới

(O1; i; Ƒ'), ta có hai dạng công thức trên đây,

Cong thie (1) tng voi hat hé toa đó cũ và mới có cùng hướng nhau; còn Công thức (ID) ứng với hai hệ toạ độ cũ và mới ngược hướng nhau

Một số trường hợp đặc biệt:

Phep quay hé tua do quanh gov toa do (ts)

Đổi mục tiêu trực chuẩn (Ö; i 1 j } sang mue tidy true chudn mdi (O; i’ ; j ), tic OF = Ó gọi là phép quay hệ toa độ một góc @ # 0, ở đó:

Œ=góc(1, 1 ),0 = góc (Í, ƒ) với Ð=œ+ — + 2km,

Hai mục tiêu trực chuẩn cũ (; ¡; j) và mới (O'% Ú; ƒ ) là cùng hướng, có

công thức dối toa do:

yes Dot 3m

Ta có: d = (Ú, cosơ = l, sine=(,ØÐ =(¡, j)=œ+ > + 2k7; nên mục tiêu

trực chuẩn (Ö:; i; ] 3 và mục tiêu trực chuẩn mới (O1; Ú; 7) là khác hướng nhau

III Hệ tọa độ gíin và hệ tọa độ trực chuẩn

trong không gian

1 _ Hệ toạ độ afin trong không gian

1.1 Định nghĩa

Trong không gian cho một điểm Ô và ba vector i, ds k khong déng phang Khi dó (O: ï; is k) dược gọi là một mục fiéu afin, hay mot he toa dé afin trong khong gian Ditm O goi lA gdc toa dé; Cac bd ba vecto ( is fs K) gọi là một cơ sở

vectơ của hệ toa độ Các đường thẳng Ox, Oy, Oz với các vectơ chỉ phương tương

ứng là ¡; j; K gọi là các yc tog dd Ta con Kí hiệu hệ toa độ atin d6 1a Oxyz

1.2 Tọa độ afin của veclơ và của điểm trong không gian

Cho trude mot hé toa dé afin (O; i; j ; K} Theo trên, với mỗi vectơ ú trong không gian được phân tích một cách duy nhất theo cde vecto i, j „ k, tức là có bộ

bà có thứ tự ede sé (x, y, 7) duy nhất sao cho: =XI +Y j + 7k

Hộ bà có thứ tự (x, vụ z) dược gọi là tọa độ dÍin của veclơ ú đối với hệ tọa độ

afin dã cho và í hiệu là ú = (x; vị 2) hay 0(Xị Vị 2)

Tá có: Ú(X: V2) € U = xi ty] +7k

33

3- HHGT

Với mỗi diểm M, tọa độ của vecto OM due goi 1a toa dé afin cia diém M

déi v6i hé toa dé afin dd cho Digm M cé toa do là (x, y, 7), ta viel M = (x3 ys 2)

hay M(x; y; 7)

Ta c6 cdc tinh chat sau day trong hé toa do afin:

+ Néu M = (x; y;z) vaN =(x; y; z2) thì:

+Nếu ũ= (x; y; Z) và ? =(X; y2 Z2 thì:

+Ÿ =(X+X;y+Vy;⁄+⁄2;

kuủ=(Œx; ky; kz), k eR

+Nếu ú =(&; y; 7) và Ý =(X; 5 7’) khde Ova cộng tuyến thì:

KỶ =,k#0

suy ra các toa độ của chúng tỉ lệ x:x'=y:y'=z:2

1.3 Đổi hệ tọa độ afin trong không gian

Cho hai hệ tọa độ (O; ï; j; K) và (O3 Ủ; ƒ; K”) và một điểm M bất kỳ Gọi

(X; V; Z) và (X”; y7; Z2 lần lượt là tọa độ của M dối với hai hệ tọa độ đó Ta hãy tìm sự

liên hệ giữa (x; W; 2) và (X V22

Giả sử đối với hệ toa độ (O; ï; j; K), các vectơ i; yk! Lin lượt có toạ độ là

(a); bys CỤ), (ai bại cị), (uy bạ c2) va diém OF = (ay; by; &)

Do đó tạ có:

f=aitbj+cek;

ư

ai +b, j +Qk, Kosai +b jp ek;

OO! Saji +b, j tok

Vi O'Msx'i'ty' j't7'k! néntacé:

OM=xi+yJ'+zEt

=x'(a, i+ bd +ok)+y(a,i+ b,j +e,k)+z(a,i + b, j+¢,k)

= (a,x’ta,y’ ta,z’)i + (b,x + by’ + bz) +E x! + gy! + eZ Dk’ @)

Mặt khác: O'M =OM—OO '= (@x~a,)ï+(y—b,)]+Œ—eg)k — @)

X=u,X +a¿y +a¿Z +

Từ (1) và (2) tà suy ra: 4y =b,x+bạy '+bjZ+bạy — (3)

Z=CIX +Cạy +047’ $y Công thức (3) được gọi là công thức đổi mục tiêu hay đổi tạo độ afin (trong

không gian) Các hệ số trong (3) được viết thành bảng số sau day:

a a, a, A=/b, b, b,

Cy, C3

và được gọi là ma trận của phép biến đổi mục tiêu (3)

Với ma trận À, ta định nghĩa số deLA (và gọi là dinh thức của ma tran A)

Cy Cy Cy

Trong môn đại số tuyến tính sẽ học, chứng minh dược rằng: lša vectơ

u =(a,; a); a,),V = (); b,; bw =(c); C3 c,) PLTT Khi và chỉ Khi:

độ thuộc một lớp là hệ toa độ thuận (hay hệ có hướng thuận), còn các hệ tọa do thuộc lớp kia gọi là hệ toa độ nghịch (hày hệ có hướng nghịch) Khi dó không gian dược gọi là không gian định hướng Ta thường lấy lầm hệ thuận và hệ nghịch như các

hệ toa độ trong hình dưới (h.20):

0 0 1 Công thức tịnh tiến hệ toa độ afin trong không gian theo veeto OO' là:

36

Nếu mục tiêu alïn (O; i; i K) c6 co sé veto ( i; is k) gồm những vectơ

don vi va đôi một vuông góc, tức là: ¡° = j° =k” =1 vì

những tính chất riêng không còn đúng trong một hệ toạ độ afin bất ky

2.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ toạ độ trực chuẩn trong

không gian

Cho mục tiêu trực chuẩn (O; i; is Kỳ c6 co sb vector Ci 5 i: k):

i= jek? sivai.j=j.k=k.i =0

Các vectơ , Ÿ có các tọa độ trực chuẩn: ú =(x; V;7; V =(X; V2

Ta chitng minh được các công thức sau:

+ Tích vô hướng: ủ.Ÿ = xx' + vy' + 77/

2.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian

Cho hệ tọa dộ trực chuẩn (O; ï; j ; K), VÀ hệ tọa độ trực chuẩn (O45 1" i k') Khi d6, néu d6i với hệ (O; ï; j; K) tạ có: =, bị; C¡), J=(a,; b,;c,), Khz( bic.) thi:

al +b? +e7 sa; +b +e sadeh/ te’ =|

var aja, + bb, + ce, = ajay + byby +O,c, = aay + bb, +c, = 0

Ví dụ 3.,Đối mục tiêu trực chuẩn (O; ï; j; K) thành hệ (O%; 7; j1; K?) bằng cách

cho quay cdc true Ox va Oy quanh true Oz mot poe o (h.21)

Suy ra, dối với hệ (O; i; js K ) có: Ữ =(cdwœ sing; 0), j' =(-sina; cosa; 0)’,

k'=(0 00), Thử lại có i? = j? =k? ot, ifs PRK =0 và ma trận dồi

Công thức đổi toa do:

x=x'cosa~y’sina y=x’sina +y‘cosa,

,

“=#

Hình 21

2.4 Tích có hướng

Dinh nghia, Cho hai vecto bat ky a, b của không gian với hệ mục tiêu trực

chuẩn (O; ï; j ok ) Lich có hướng (hay còn gọi là tích vect7) cla hai veeto a và b

là một vectơ ú, kí hiệu là ú =[ä; b J, được xác định như sau:

—Nếu ä = 0 hoặc b= 0 thì[á; b|= 0

— Nếu ä, b khác vectơ không thì :

if Vecto [iy b | vudng góc với ä và b tức là[ä; b].á =[á; b].b=0.,

H/ — Hộ bạ (á, bh, ú) cùng hướng với hộ bạ cơ sở vectd (i, j „ K) của hệ

mục tiêu trực chuẩn (O; Ï; j; kK)

a

iti/ |ljB|= bl sinca b)

39

Hai tinh chất đầu khá hiển nhiên Sau đây ta chứng mình tính chất 3 (còn gọi

là tính chất phân phối của tích có hướng đối với phép cộng vect0)

Trước hết ta nêu cách dựng vectơ {á; bị trong trường hợp ñ =1 Tà lấy mật phẳng (P) vuông góc với vectơ ä và gọi b' là hình chiếu vuông góc của vectơ b lên mat phẳng (P) Quay vectơ bi mot góc 90” hoặc ~90” trên mật phẳng (P) được vectd

ú, sao cho bd ba (a, bh, d) cùng hướng với bộ ba ( i, j k )

Bây giờ ta ching minh cong thức |ä; b+¿| = [dsb] + [are] trong trường

hợp |á[= 1 Tà lấy mạt phẳng() vuông góc với á và gọi b“ và ¿“ lần lượt là hình chiếu vuông góc của b và ¿ lên mặt phẳng (Đ) Khi dó hiển nhiên b“+ ¿' là hình

chiếu vuông góc của b + ¿ lên (P) Nếu ta quay trên (P) các veeta bY, ef va b + ế cùng một góc 90” hoặc 90), thì ta lần lượt dược các vectơ Ú, ti ¡ Và Ủy mà

=[äd; bỊ, ủ, =[d; c} và úy ={ä; b + é| Hiển nhiên U+u,=u, Vay:

fa; bl 4+ [as c} =fa; bee],

jas b} + fas €] =[fa] as b] + [fa] a’: €]

Biểu thức toa độ của tÍCh có hướng

Trong hệ toa độ trực chuẩn (O, is js K) cho các vecld UO Ys 7) +

ví; W); Z2, tức là:

Khi đó: [ủ; #Ị=|&Ï +yj +zKbỳ; @'Í ty) 7K

Áp dụng tính chất phân phối ta có:

tú; v|=xviy ÍI+xy; jI+xL KI*wLji FIeyLii DIeyLj: KI

+#[K; i |tzy'lk; jI+#É; K |

Vì (O; ï; j ; k) là mục tiêu trực chuẩn thuận nên:

tỦ ÏI=Lj; jI=LÉ KI= 031 jI= K,1Ú; KỊ= b1; Hi:

Suyra: |; v|=xyK —xzZj- yx'k +yzi +7X'j T7

= (yz! —2y')i + (7x! = 7'x) j + (xy’— ye’)k