Các bài toán về bất đẳng thức trong các kỳ thi toán quốc tế

Posted by Red Devils Đặt gas cys on t= ac?... Xét tam giác ABC diện tích là Š với M là diém Torricelli trong tam gidc va MA=x, MB=y, MC=z.

Trang 1

Bài toán 1

Cho ø sô thực tuỳ ý x,, x;, , x„ Chứng minh răng:

Xx, 1+ x ott x, ><vn

l+x, l4+x74+4x5 lt xp te tx,

IMO Shortlist 2001 Loi giai (Posted by Conan Edogawa)

Dat y, =Ly, =l+x7+.+47,Visl<n>x, = Jy,-y,,-

BDT tương đương với: Ý“——“= 1,3, VY 3a

Ap dung BDT Cauchy Schwarz ta được:

yy Ỳ› Yn

Cần chứng minh: `ˆ¬1 1 ố

De thay:

Yon 33; Vn-Yn Yo MN Mi ye Yn Vn Vn

ltxc lt+x7 +x; Lt xp te +x,

Chứng minh răng với mọi sô thực dương a, b, c ta có:

Va?+8be Vb? +8ca Vc? +8ab

Loi giai (Posted by Red Devils and Conan Edogawa)

Ta sẽ đi chứng minh bài toán tổng quát hơn sau:

Bài toán tổng quát (Posted by trungdeptrai)

Với a,b,c >0 và k >8 Chứng minh rằng:

a + b + c > 3

Vatkbe Ve +kea Ajc+kab VI+k

IMO Shortlist 2001

Lời giải

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz ta được:

(Eee |e

Tiếp tuc 4p dung BDT Cauchy- Schwarz:

(Sava? +kbe) - 4a +kabe) < (Sa)(@ + kabc))

xa? + kbc) (Sa)

Trang 2

Do đó:

2

(=>) (Sa)(S6+keo)2[S:——](Seirsw]} >(Xsÿ

a) (da)

~ b va” | ề (3) +kabe))

Cần chứng minh:

(k+1)(Sa) >9(¥ (a’ + kabe))

<> (k-8)(a’ +b’ +c°)+3(k +1)(a+b)(b+c)(c+a) > 27kabe (ding vi k >8)

Bài toán3 — ;

Chứng minh răng với mọi sô thực dương a, b, c ta có:

1 1 1 ø+b+c

-+ + ST yg— a be abc

IMO LongList 1967 Lời giải (Posted by Red Devils)

‘Bat đẳng thức cần chứng minh tương đương với a”bÌc` +b°c*aŠ + c?a*b) < aŠ + bŠ + cŠ

Ap dung BDT AM-GM ta được:

ape ota th tp + + ttc! _2 6355308

Tuong tu:

Cộn từng về của 3 BĐT trên cho ta dpem

Với mọi sô thực dương 4, b, c thỏa mãn đăng thức a+b+ c=1 Chứng minh răng:

ab+2c°+2c be+2a°+2a ca+2b°+2b ab+bc+ca

14" Turkish Mathematical Olympiad, 2006

Lời giai (Posted by Minh Tuan)

2

Ta có:V7 =3” ab +2a°b’c’ +2a°b’c Yah +6a°b°c +2abc) ab 373 ar 250 2 3/3 (2

Cần chứng minh:

(Sab) >S)á*b) +6a°b?c +2abc 3` ab

Trang 3

-4bc(a +b)(b+c)(c +a) = 2abc(ab + be + ca)

> 9(a+b)(b+c)(c +a) = 8(ab+be+ca)

<=9(—c)(—a)(—b)8§(ab + bc + ca)

©ab+bc+ca>9abc (*)

a+b+c | (*) ding vi ab+be+ca > 33{(abc)’ >9abe ,do Vabe < 5 = 5

Vậy bất đắng thức được chứng minh

Bài toán 5

Cho a, b, c, đ là các số thực có tông bằng 0 Chứng minh rằng:

(ab+ac+ad +be+bd +cdy +12 >6(abc + abd + acd +bcd )

Loi giai (Posted by 11931110)

Xét phương trình: ƒ(x)=(x—4)(x—b)(x—e)(x—đ)=0

= f(x) =4x +2(Yab)x-(Yabe)=0 @)

Do f(x) c6 4 nghiém, nén theo dinh li Rolle phương trình ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm, giả sử các nghiệm đó là p, 4, r

Ta có:

#@Œ)=4Œœ~p)\x~4)(x—r)=4#`~4(5)p)3+” +4(Ö) pạ)x—4pạr =0 (2)

Đồng nhất (1) và (2) ta được

p+a+r=0,3`ab=23 pạ, Ð_ abc = 4 pạr

Và BĐT đã cho tương đương với

(> pa) +32 6pqr

c 5 (p4) +3>6pạr

BĐT hiển nhiên đúng nếu tồn tại 1 số bằng 0 BĐT cũng đúng nếu trong 3 SỐ p, g, r có Ì

số âm Do vậy ta chỉ cần xét TH còn lại: có đúng 1 số dương trong 3 số p, g, r va khong

mat tinh tong quát, giả sử p > 0

Xét hiệu C f(p q ) #(p yWớf ]}— $ 2 ,— |]=(g-r) | —-++— |20 2 } (4 ) 16 4 4

Cho nên BĐT sẽ đúng nếu ta em được

/[»#2.7)x0

2° 2

©3p°~8p`+16=0 ©(p~2) (3p”~4p +4)>0 (đúng)

Vậy BĐT được chứng minh.

Trang 4

Bài toán 6

Cho a,b,c >0;a? +b? +c? + abc = 4 Chimg minh rang:

0<ab+be+ca—abe <2

USAMO 2001

Loi giai (Posted by trungdeptrai)

Trong ba s6 a—1,b—1,c-—1 lu6n cé it nhat 2 s6 citing dau.Gia su hai s6 do la a—-1,b-1

Tacé: c(a—1)(b-1) 20 = abe > ac +be-c

Lai cé: a? +b? > 2ab> 4=a° +b? +c’ +abc > 2ab+c” +abe

=>ab<2-c

Vậy ab+be+ca—abc<2—c+be+ca~—(ae+be—e)= 2

Trong ba số ø—I,b—1,e—1 luôn có ít nhất 1 số không dương vì nếu cả 3 số đều dương thi a? +b’ +c? +abc > 4 Khong mat tông quát giả sử: a—1<0

Khi đó: ab+be+caT— abe = be(1-a)+a(b+c)20

Vậy 0<ab+be+ca- abe <2

Bài toán được chứng minh

Bài toán 7

Cho a, b, c>0 Chứng minh răng:

a’ =+ p + c <1

a*+Í(a® +bS)(d` +e)) bh+4[@S5+c9(b`+a°)) ct+‡f(c°+a5)(c`+b`)?

Olympic 30/4 năm 2006

Lời giải (Posted by Red Devils)

Ap dung BDT Holder ta co:

Ya OIG EY = Ya HONE aN +a") 2(Vare'e® )+ (Vata )= ae? tab?

Tương tự: ‡°+c°)(b`+a))° > a?b? +b°c?

ÂÍ(c° +aS)(c`+bỀ3) > b?c? +c?a?

Suy ra:

a’ bt c

ai +3(a° +b’ ae t+cy b* + 4® +e5)(` + a`)? cht ta + b`}

4 2

<y 4-4 at+act+ab a+b +e SG =!

Vậy bài toán được chứng minh

Bài toán 8 `

Cho a, b, c dương thỏa mãn abc=1.Chimg minh rang:

(midlet IMO Shortlist 2000

Trang 5

Lời giải

Vi abc=1 nên đặt a=, b=, =i

Zz x y Bat dang thức cần chứng minh trở thành:

(-x+y+z)(x-y+z)(£+ y—z)< xyz (Đây là BĐT Schur)

Với a, b, c dương Chứng minh rắng:

2a }* 2b }*( 2c Jes

Lời giai (Posted by Conan Edogawa)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 sô dương:

MOP 2002

Z 3

2

ote, bte >3) _, atb+e >( 2s)

= 2a 3 ss 3a =>} 2a Sy 3atb+e) _ (đpcm)

Bài toán 10

Cho x, y,z >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

7 76

p= xyz+2y` woo yz +2x zxX +2x yz ——

Dé chon DT vòng 2 Khối THPT chuyên ĐH KHTN- ĐHQG HN

Loi giai (Posted by nbkschool)

Đặt Ÿ =a,— =b,xz =c thì abe=l

x yz

Khi đó BĐT trên trở thành:

5 ——

a (" + a)

WP y= pm nm

=z:

Do abc=1 nén ton tai cac so m, n, p dé a=

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart ta có:

13 16

n’ pm +2n’ p® nˆp?m”+2npŠmẺ - Ề SP pm" +25 np

Theo BDT AM-GM:

m°+n®+ p9 > >in pm”?

mn’ +n pŸ + pŠmŠ > 3` nÌ pÌmÌ

Vậy P>1 Suy ra giá trị nhỏ nhất của biêu thức ban đầu là 1,đạt được khi x= y= z=l

Trang 6

Bài toán 11 ; `

Cho a, 5, c là các sô thực không âm tùy ý Chứng minh rắng:

zt zt zt 21 (a+b) (ctay (ctay (a+b)(b+c)(c+a)

SRR

Đặt gas cys on t= ac? Khi đó ta có đẳng thức x+ y+z+xyz=0

b+c c+a a+b

lại có:

2b

l+x=-—,l+y= ,l+z=

BĐT cần chứng minh tương đương với:

(I+z)`+(I+y} +(I+z}`+5(I+x)(+>y)(I+z)>8

c©> z1+39x1+35 x+3+5(I+5)x+5 xy + xyz) 28

Sv 439 x7 +3) x45) xy 20

= Div -3ayz4 3)) x? +5) xy 20

=5Œ+y+z)|(x=»Ÿ +(y-z) +(z—x} |+33x +5) xy 20

Không mắt tống quát gid sit a>b>c

(a-b)(b-c)(c-a) b0

(a+b)(b+c)(c+a)—-

Vì vậy chỉ cần chứng minh 33 ` x” +5`xy >0 (1)

Trường hợp xy+ yz+ zx>0: (1) hiển nhiên đúng

Ta có: x+y+z=—

Trường hợp xy+ yz+ zx<0: VI (1)=3(xt+ ytz) —(xy+ yztzx)20

Bài toán 12

Cho az, b, c>0 Chứng minh rằng:

1 1 1 3

a(i+b) (ite) (+a) Yabe [1+ Vabe)

USAMO Summer Program 2006

Ta có:

1+ab ——+——l43=

(Ita ata tats ata) 2 a(1+b) >> a(1+b) Te

Áp dụng BĐT AM-GM ta được:

Cay ED pete

Trang 7

+3Ñabc —3

2

a(I+b) b(I+c) c(I+a) I+abe Vabe (1+ Jabe ) c;e

Cho a, b, c>0 thoa man ab+bc+ca=1 Chứng minh rang:

ậ —+6b + ly tóc + [+ 6a <—

IMO Shortlist 2004 Loi giai (Posted by Minh Tuan)

Ap dung BDT Holder cho vé trai ta có:

5

[Eves [bse [Een <

<(14 60b-+14 66c-+146c0)( 44244) 4141)=

abe

ab+be+ca `

_ 27 _ 2Iab.bc.ca : 3 |

Bai toan 14

Cho a, b, c>0 thoa man abc > 1 Ching minh rang:

: + ` + ! <1 l+a+b lI+b+c l+c+a

Romania 2005 Lời giải

Bắt đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

5 (I+b+ec)(I+ze+a)<(I+a+b)(I+b+e)(I+e+a)

<> (a+b)(b+c)(c+a)22(at+b+c)+2

<= ab(at+b)+be(b+c)+ca(c+a)+2abe > 2(atb+c)+2

Vì abc >1 nên 2abc > 2, do đó chỉ cần chứng minh:

ab(a+b)+bc(b+e)+ca(e+a) >

c©c (a+b)+a?(b+c)+b°(c+a)

Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Jensen ta có:

2(a+b+c)

>2(a+b+c)

Trang 8

ce’ (at+b)+a°(b+c) +b’ (c+a) 2 2c’ Vab +2a° be +2b°^lca =

a

30 3 3 =

= 2a! vb ve! ena (thee) -6|“) GAOT

3 3

2

>2(a+b+e)-|Š == >2(+b+e)

Bài toán 15

Cho a,b,c >0;ab + bc + ca = | Chứng minh rằng:

Xa*+a+Alb`+b+c`+c>2Na+b+ec

Tran TST 2008 Loi giai (Posted by Conan Edogawa)

Áp dụng BĐT Mincowski ta có:

S» va +a => ya +a(ab+bc+ca) => Ja? (at+b+e)+abe =

> (Xava+b+e] +(3Vabe) = (a+b+c) +9abe

Cần chứng minh:

4(a+b+e)`+9abe > 2.|(a+b+c)(ab + be + ca)

Vậy bất đăng thức được chứng minh

Bài toán 16

Cho a,b,c >0,ab+be+ca= > Chứng minh rằng:

TT nan a-bc+l b-ca+l c-ab+] s3

China TST 2005 Lời giải (Posted by Red Devils)

Ta có:

1 — 1 _3 2(ab+be+ca) _

a@—be+l a? +2be+3ab+3ca 2 a’ +2bce+3ab+3ca_

_3 —a”~ab— ca +1 _3 i a(a+b+c)

2 \a?+2be+3ab+ 3ca 5 đa? +2bc +3ab +3ca BĐT cần chứng minh tương đương với:

2 2(ø+ +¢)) yon gab 3n

a

b —>————_ 21d

is +¢)) ay dhe +3ab43ea (1)

Trang 9

BĐT (1) đúng vì:

+2be +3ab + 3ca a`+2abc + 3a”b+3ca? va + 2abe +3a°b + 3ca’

1

a+b+c

a-bc+l b-ca+l c-ab+]

Bài toán 17

Cho x, y, z>0 và x+y+z=l minh

xx

xzy+yz y+ yz es Tx +xy

fl

China TST 2006

Tac6 AC TT > x+z > (x+y)(x+z)

=> NỔ ở x+y 2xˆy _ — >5 (y+z)a y

XS Laney 2omiors Goer 2S (v+2)'y ot

(xt+y)(y+z)(x+z) 2

oe 5 »(x-y}Ỷ >0, đúng

Cần chứng minh:

Ô VJXV+YZE AjyZ+ZX vfextxy 2

Cho +, y, z dương và xyz=l.Chứng minh rang:

(1+ y)(1+z) (1+ z)(1+.x) (1+x)(1+y) 4

IMO Shortlist 1998

Lời giải (Posted by caube94)

Áp dụng BĐT AM-GM ta được:

bby lez 3

54 * oy 3 -s0*?)~2

Trang 10

yì = 1

T : —————.>—y-— ——

ppuệng: eee +)_ = gứ**) 4

z >2z-1(x+y)—l

(+x)(+y) 4ˆ 8

Cộng từng về của 3 BĐT trên ta được:

3 3 3

(+z)0+z) (+20+z) (+3)(0+y) >—(x+y+z}-—>—~.3Ÿxyz ——=— (đpem a! 1 y+2) 4 2 G3 1 3.3 ha 4 (tp )

Với x, y, z là các sô thực dương có tích bang 1, ø là sô nguyên không nhỏ hơn 3 Chứng

minh rang:

d+y)d+z) (l+x)(+z) (l+x)+y) 4

(IMO Shortlist 2001) Lời giải (Posted by Red Devils) -

Ap dung bat dang thức AM-ƠM cho ø số ta có:

— 4,311,711, 1ạ„j X0†9012/1 —mx

d+»)d+z) 8 8 4” _" 4) 4

Tương tự ta có fal bat dang ue với y, z rồi cộng từng về suy ra:

A+31Z 3 ai -3- > net

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z =]

Bài toán 19

Cho x, y, z> 0 Chứng minh rang:

B(x? + xy t yy? + yet 27 M(z? + zx+x”) 2 (K+ Vz) Cay t yet ex)?

An D6 2007

Lời giải

Cách 1

Xét tam giác ABC diện tích là Š với M là diém Torricelli trong tam gidc va MA=x, MB=y, MC=z Theo dinh li ham so cos ta tinh được:

a=BC =y°+yz+z?,b= CA=Nz?+zx+x”,c= AB=+|x)+xy+y?

Trang 11

Ta cũng tính được:

S =1 in130%0y+ yz+ #) =X (ay + 0

43

=? Daren

Và:

2442452 ,

Gt pono TÔI tế Ay ee

P44 43(xyt yet) a +b? +0? +4y38

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với: 3a?b?c? > số (ái +b? +c? +438)

Ta di cé: 3abce >4Va? +b? +¢°S va a+b? +c’? > 4/38 nén:

16(a’ +b? +0°)S? _ 8(a? +b? +c? +.4V3S)S"

3a°b’c? = (dpem)

Cách 2

Thay x = a, y=D,z=c Ta sẽ chứng minh:

3(a? +ab+b?)(b° +be+c?)(c°+ca+a?)>(a+b+c)*(ab + be + ca)?

2

Ta có: a”+ab+bˆ >2(a+b)

Suy ra: 3(2”+ab+b?)(b°P +be+c?)(c°+eca+a?)> a +b) (b+c)(c+a)

Ta sẽ chứng minh:

ata +b) (b+c)(c+a)y >(a+b+c) (ab+be+cay

- aa +Ð) (+) (e+a)? >((4+b)®+e)(c+a)+abe)”

Bat đăng thức này đúng vi:

16(a+b)?(b+e)°(ce+a)? >128abc(a+b)(b+c)(c+a)

và (a+b)?(b+c)*(c+a)? >64a°b°c?

Trang 12

Bài toán 20

Cho a, b, c là các sô thực dương thỏa mãn z<b<c Chứng minh rang voi moi

+,y,z>0 thì:

(a+e}

(x+y+z)> (axsay+eo|S+2 v2]

abe

Austria 1971 Loi giai

Ta có:

2

4aetax+by+el[Z+ 2 vỀ S| ax+by+cz+ac 74742

Ta cần chứng minh:

abe Je y(a—b)(b-c)

b

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	3,57 MB